MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek
Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce Derivace fukce a Taylorův polyom 5 4 L Hospitalovo pravidlo a lokálí etrémy 7 5 Průběh fukce 8 6 Globálí etrémy sloví úlohy 9 7 Neurčitý itegrál 0 8 Neurčitý itegrál 9 Určitý a evlastí itegrál 0 Aplikace itegrálího počtu Nekoečé řady 5 Mocié řady 7 Výsledky i Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace.................. i Limity a spojitost fukce............................... ii Derivace fukce a Taylorův polyom......................... iii 4 L Hospitalovo pravidlo a lokálí etrémy...................... v 5 Průběh fukce..................................... vi 6 Globálí etrémy sloví úlohy........................... i 7 Neurčitý itegrál.................................. ii 8 Neurčitý itegrál.................................. iii 9 Určitý a evlastí itegrál............................... iv 0 Aplikace itegrálího počtu.............................. v Nekoečé řady.................................... vi Mocié řady.................................... viii
. Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Příklad.. Určete všechy kořey polyomu a apište jeho rozklad a kořeové čiitele v R... 6. p () = 4 p () = + 0 p () = 4 + 8 4 p 4 () = + 7 6 p 5 () = 5 + 9 4 + 6 8 p 6 () = 6 5 + 9 4 + 0 7 Příklad.. Rozložte a parciálí zlomky. R () = 6 +. R () = +. + + R () = + + + + R 4 () = 5 + 4 + 6 + + + R 5 () = + 4 + + R 6 () = + + + 6. + 4 + + 7. R 7 () = 6 0 5 + 4 57 + 5 75 8 ( )( + )( + ) Příklad. Najděte Lagrageův iterpolačí polyom fukce daé tabulkou a pomocí ěj odhaděte hodotu fukce v bodě 0 =... f () 9 0 f () 5 0 f () 59 7 5 0 4 f 4 () 59 8 6 86 97 78 Příklad. Najděte Hermiteův iterpolačí polyom fukce daé tabulkou a pomocí ěj odhaděte hodotu prví derivace v bodě 0 =.
. f () f (). 0 f () 0 0 f () 0 0 0 f () 4 0 f () Příklad. Uvažujte ásledující krátký eperimet. Měřeá veličia byla do okamžiku začátku eperimetu (tj. do času ula včetě) kostatí s hodotou Jakmile byl eperimet zaháje, probíhalo měřeí každou miutu a byly aměřey postupě hodoty 5 a 8. Posledím uvedeým měřeím byl eperimet ukoče a bylo zjištěo, že měřeá veličia se dále samovolě měí rychlostí +8 jedotky za miutu (tuto rychlost změy lze považovat za směrodatou i pro okamžik posledího měřeí). Získejte z popisu eperimetu dostatek iformací a amodelujte jeho průběh pomocí polyomu čtvrtého řádu. Polyom řádě zapište v základím tvaru. Dále pomocí získaého modelu odhadete hodotu měřeé veličiy a rychlost její změy půl miuty po zahájeí eperimetu. Tyto hodoty zapište jako jedoduché zlomky. Příklad.6. Určete přirozeý kubický splaj fukce daé tabulkou. f () 4 Příklad.7. Napište sadu rovic, pomocí kterých lze získat úplý kubický splaj fukce daé tabulkou, přičemž v levém krajím bodě je požadováa rychlost změy +, v pravém -. Kolik je potřeba rovic pro kolik ezámých? Rovice eřešte. 4 5 f () 0 0 0
. Limity a spojitost fukce Příklad.. Přímo z defiice limity poslouposti dokažte. ( ) +. lim = 0. lim = + 4 lim = Příklad.. Vypočtěte 6 9 5 7 6 +. lim. lim + 6 + 5 4 lim + 8 lim si! l lim 6. lim + 4 7 ( ) + 7. lim 8. ( ) + + + lim 9. lim ( + ( lim + ) 6 ( 0. lim + ) 7+6.. lim + Před dalšími limitami připomeňme Stirligovu formuli:! ( ) π s relaticí chybou cca e.! lim! lim lim + 5 Příklad. Vypočtěte 4 + 5 ( + )( + 4)( + 5). lim. lim, pro,m N lim + m 4 + 4 4 + 6 ( ) lim 7 + 8 + 6 + lim + + lim + + 6. + 7. lim lim + si 8. 9. lim 4 0 + 6 4 0 tg() arcsi(4) (e )(si5) 0. lim. lim. lim 0 5 0 0 cos cos + tg ( ) + lim 0 lim lim 0 si 0 + 5 ( ) 6. lim ( 4) cos )
Příklad. Najděte body espojitosti a určete jejich typ.. f () = ( + ). f () = + + f () = + f 4 () = + f 5 () = si { Q 6. χ() = 4π 0 R \ Q Příklad. Jak je třeba dodefiovat fukci f () = si cos si spojitá? v bodě = π, aby v ěm byla 6 4
Derivace fukce a Taylorův polyom Příklad. Z defiice odvod te derivace fukcí v libovolém bodě 0.. f : y =, N. g: y = h: y = e i: y = si() Příklad. Určete f (), je-li f () = si( ). Příklad Spočtete derivace ásledujících fukcí a upravte je do co ejjedoduššího tvaru.. f () = e. f () = ltg f () = tg f 4 () = arccos f 5 () = lll 6. f 6 () = + + 7. f 7 () = + 8. f 8 () = (sil cosl) si cos 9. f 9 () = ( ) ( + ) 0. f 0 () = cos + si (l)si + cos. f () =. f () = arctg + f () = arcsi + f 4 () = l Příklad Zderivujte a dále eupravujte. log π () si + si f () = lsiarctg( 4 ) arcsi e + tg( ) Příklad Určete 759. derivaci fukce f () = + +. Příklad 6. Určete rovici tečy a ormály ke grafu fukce f () = e cos v bodě T [0;?]. Příklad 7. Určete všechy body, ve kterých je teča ke grafu fukce f : y = + rovoběžá. s osou ;. s osou prvího kvadratu. Příklad 8. Je dáa fukce f : y = l a přímka p: y + = 0. Určete rovici ormály ke grafu fukce f rovoběžé s přímkou p. Příklad 9. Určete difereciály daých fukcí v libovolém bodě 0.. f () = e. f () = l 5
Příklad 0. Určete přibližou hodotu arctg, pomocí difereciálu a porovejte ji s přesější hodotou a kalkulačce. Příklad. Rozviňte polyom P() = 4 0 + do Taylorova polyomu se středem. Příklad. Pomocí vhodého Taylorova polyomu třetího stupě přibližě určete 0,98. Příklad Určete Taylorův polyom řádu se středem v 0 = fukce f () = l. Poté pomocí ěj odhaděte hodotu f (,) a určete, s jakou přesostí je odhad provede. (Polyom vypočítejte pomocí derivací, eí uté ho rozásobovat. Výsledou hodotu i chybu apište jako jedoduché zlomky.) Příklad Pomocí co ejjedoduššího Maclauriova polyomu (tj. Taylorova polyomu se středem v ule co ejižšího řádu) fukce f () = e odhaděte hodotu Eulerova čísla e s chybou meší ež. Výsledek zapište jako jede jedoduchý 00 zlomek. 6
L Hospitalovo pravidlo a lokálí etrémy Příklad. Vypočtěte. lim +. lim 8 lim cos tg lim e lim 0 si 6. lim π tg ( lim 0 ) ( 7. e lim l ) 8. 9. lim(e ) 0. lim ll( ). lim 0 a l, kde a > 0. lim + 0 + lim lim (tg) tg lim π 4 6. lim lim 0 +(cotg)si 0 9. lim 0 ( arctg ) Příklad. Najděte lokálí etrémy daých fukcí. 0 + ( l ) ( ) ( si 7. tg 8. lim 0. f () = +. f () = + f () = l f 4 () = e si ) 7
Průběh fukce Při vyšetřováí průběhu fukce f můžeme postupovat podle ásledujícího schématu: f : defiičí obor D( f ), parita, periodicita, průsečíky s osami a zaméka fukce; f : itervaly mootoie, lokálí etrémy; f : zakřiveí, ifleí body; asymptoty bez směrice, se směricí; (limity do ±), graf, globalita etrémů, obor hodot H( f ). Příklad. Vyšetřete průběh fukce... 6. 7. 8. f () = + 4 4 f () = 4 f () = + f () = arctg f () =, D( f ) = R + f () = l f () = si f () = e 8
6. Globálí etrémy sloví úlohy Příklad 6.. Ze všech obdélíků, které mají obsah S, určete te s ejmeším obvodem. Příklad 6.. Pro jaký poloměr podstavy r a výšku v bude mít válec s daým objemem V ejmeší povrch. Příklad 6. Do koule o poloměru r vepište válec s co možá ejvětším objemem. Určete poloměr ρ tohoto válce. Příklad 6. Kužel má vrchol ve středu kulové plochy s poloměrem r a podstavá kružice leží a povrchu koule. Určete, jaký ejvětší objem může teto kužel mít. Příklad 6. Drát délky a máme rozdělit a dvě části. Z prví části chceme vyrobit čtverec, ze druhé kruh. Jak velkou část máme použít a čtvrec, aby součet ploch obou útvarů co možá ejmeší. Určete teto součet obsahů. Jak se změí situace, budeme-li chtít součet ploch co možá ejvětší. Příklad 6.6. Z ostrova vzdáleého 5 km od rového břehu jezera se chceme dostat v ejkratší době do města a břehu jezera. Ve kterém místě a břehu máme lodí přistát, je-li rychlost lodě 4 km/h a rychlost chodce 6 km/h. Příklad 6.7. Určete vzdáleost bodu A = [,] od paraboly p: y =. Příklad 6.8. Určete rozměry pravoúhelíku, který je vepsá do elipsy o rovici 9 + 4y = 7 tak, aby měl maimálí možý obsah. Vypočtěte i teto obsah. Příklad 6.9. Z obdélíkového plechu o velikosti 80 cm 50 cm se má po odstřižeí stejě velkých čtverců v rozích plechu vyrobit krabice bez víka. Jak velké čtverce je třeba odstřihout, aby vziklá krabice měla maimálí objem, a jak velký bude teto objem? Příklad 6.0. Hodláme koupit obdélíkovou parcelu o rozloze 00 m, jejíž jeda straa bude ohraičea již hotovou zdí, zatímco ze zbývajících tří stra bude uté parcelu oplotit. Dokažte, že obdélík lze zvolit tak, aby plot měl miimálí délku, a ajděte délky příslušých stra. Příklad 6.. Obdélíková parcela o rozměrech 5a b se má oplotit a pak ještě ploty kolmými a prví strau rozdělit a 5 (shodých) parcel o rozměrech a b. Dokažte, že při daé celkové délce plotů c lze a a b zvolit tak, že rozloha P = 5ab parcely je maimálí. Určete takové rozměry a, b a P. Příklad 6.. Dokažte, že do trojúhelíka, jehož ejdelší straou je straa c, lze vepsat obdélík se základou obsažeou v c a s maimálím obsahem. Najděte vztah mezi obsahem trojúhelíka a vepsaého obdélíka. 9
7. Neurčitý itegrál Příklad 7.. Zitegrujte parciálí zlomky ( ) + 4 + + 4. d. d d d ( + 4) d 6. + d + 7. d 8. d 9. 0. + ( + ) ( ) d. d Před dalšími itegrály připomeňme rekurettí vzorec [ J (,a) = d ( + a ) = ( )a 4 4 + 5 + 4 d ] ( + a ) + ( )J. ( + ) d 5 + ( + ) d Příklad 7.. Zitegrujte substituce. (tg + cotg) d. ( + ) d d [( 5) + 4] d si d + d 6. e d e l 7. + e d 8. d 9. a + a d, a > 0 0. l d. 6 4 d 0
8. Neurčitý itegrál Příklad 8.. Zitegrujte per-partes. e d. e d sid 7. e cos4d arctgd l(si) 0. si d Příklad 8.. Zitegrujte R(si, cos ) e ( + ) d 6. ld 8. arcsid cos d. si + cos d. si cos d si + si d si cos + si d 6. Příklad 8. Zitegrujte substituce, odmociy e. d. arctg d cos si d si cos + 5 d l d 7. + 4 d 4 + d + d + 6 5 6. +, d
9. Určitý a evlastí itegrál Příklad 9.. Vyčíslete 8. d. d + d 00π + + d l cosd 6. e d 0 0 7. 0 arctgd 8. 5 4 d 9. l 0 e d 0. b a sgd, a < 0,b > 0 Příklad 9.. Vyčíslete. a 0 a d, a > 0. Příklad 9. Vhodou úvahou zitegrujte d + d.. e+4π e si d 6 5 + 7 4 + 8 d si sicos + cos 5 si 4 cos + si 4 + si d, víte-li, že jmeovatel emá reálý koře cos + 6 Příklad 9. Vyčíslete. d, a > 0 a. α d d, a > 0 a α d ld 0 0 6. 0 0 + d 7. d 8. + d 9. sid 0. 0 e d 0 e 8. d. d
0. Aplikace itegrálího počtu Příklad 0.. Vypočtěte obsah roviých ploch vymezeých daými křivkami... y = a + y = 0 y = a y = + si y = log, y = 0, = 0, a = 0 y =, y =, a = 0 Příklad 0.. Spočtěte délku křivky.. y =, 0 4 = 4 y ly, y e Příklad 0. Vypočtěte obsah rovié plochy vymezeé jedím kopečkem cykloidy (a osou ). Cykloida je křivka, kterou opíše bod a kružici, která se kotálí po ose. Ozačíme-li poloměr kružice a, a je-li áš sledovaý bod ěkdy (pro t = 0) v počátku, má cykloida parametrické vyjádřeí = a(t sit),y = a( cost), 0 t π. Dále určete délku této části cykloidy. y (πa, a) y a ϕ = a(ϕ siϕ) y = a( cosϕ) aϕ πa Příklad 0. Vypočtěte obsah a obvod kruhu o poloměru r (zkuste parametricky i eparametricky zadaý). Příklad 0. Vypočtěte obvod a obsah asteroidy, tj. křivky, kterou opíše bod a kružici, která se kotálí po vitří straě ehybé kružice čtyřásobého poloměru. Ozačíme-li poloměr větší kružice a, má asteroida parametrické vyjádřeí = acos t,y = asi t, 0 t π. Využijte jedak parametrického vyjádřeí, jedak ekvivaletí rovice + y = a.
y = acos t y = asi t y ϕ Příklad 0.6. Vypočtěte objemy těles ohraičeých plochami, které vzikou rotací ásledujících křivek ( ). y = b, 0 a, kolem osy a. y = a y = 0 (a) kolem osy (b) kolem osy y y = e, y = 0, 0 < (a) kolem osy (b) kolem osy y Příklad 0.7. Vypočtěte objem a povrch pláště.. rotačího kužele výšky v a poloměrem podstavy r koule o poloměru r auloidu, který vzike rotací kruhu o poloměru r kolem přímky vzáleé R od jeho středu, 0 < r < R 4
. Nekoečé řady Příklad.. Určete, pro která R kovergují daé ekoečé geometrické řady. Pro tato určete součet příslušé řady.. = = ( ) (log + ). = ( + 7) si = = Příklad.. Řešte rovice s ezámou R... + + 9 + = 0 4 + 8 = + log + ( + log) + ( + log) + = 6log l + l + l 4 + l 8 + = si + si + si + = Příklad. Určete součet ekoečé řady.. = = = + ( )( + 5) ( 4 + ) 4. 6. = + + = 6 + + 4 + = Příklad. Rozhoděte o kovergeci či divergeci ásledujících řad.. l =. = arctg = + = l = ( + Před dalšími příklady připomeňme zámou limitu lim )! = e. 6. ( = π arccos ) 5
7. 0. =! (!) = = + 8..! = = =tg 9.. ( )! = = α = l Příklad. Rozhoděte o kovergeci, resp. absolutí kovergeci, ásledujících alterujících řad.. 7. = = = ( ) ( ) ( ) + ( ) +. =( ) = ( ) l 6. = = ( ) + ( ) + l ( + ) 6
. Mocié řady Příklad.. Určete obor kovergece, resp. absolutí kovergece, ásledujících mociých řad.. = = +. 6. = = (!) ()! Příklad.. Určete součet mocié řady =. Příklad. Určete součet mocié řady =. 7. =! = 8. ( ) ( + ) = + =! ()! a pomocí této řady určete součet číselé řady = = a pomocí této řady určete součet číselé řady Příklad. Pomocí zaměitelosti pořadí sumace a derivace/itegrace určete součet ásledujících mociých řad. Určete i poloměry kovergece.. ( + ) = = ( ) ( + ). ( + ) = = ( + ) Příklad. Rozložte v Taylorovu řadu fukci f () = v bodě 0 =. Dále určete, pro jaká alezeý rozvoj platí. Příklad.6. Rozložte v Maclauriovu řadu fukci f () = l( + ) a určete, pro jaká alezeý rozvoj platí. Dále pomocí í určete součet číselé řady + ( ) = Příklad.7. S využitím Maclauriovy řady pro e určete součet řady. =0 ( + ).! Příklad.8. Pomocí Maclauriových řad elemetárích fukcí určete součet ásledujících mociých řad. Vyzkoušejte i přes zaměitelost pořadí sumace a derivace/itegrace.. = 4 4. = 4 4 7
Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Výsledky... p () = ( )( + )( + ). p () = ( )( + 4 + 5) p () = ( + )( + )( + )( 4) p 4 () = ( + )( + )(4 ) p 5 () = ( + ) ( )( + ) 6. p 6 = ( + )( )( + 4)( + + ) Výsledky... R () = + ( ). R () = + + R () = + + R 4 () = + + + + + + R 5 () = + + + + 6. + R 6 () = + + + ( + ) 7. R 7 () = + + + + ( + ) Výsledky... L () = + 7, f ( L () = + 6 +, f ( ).= 4 ).= 5 8 L () = 4 + + +, f ( ).= 8 L 4 () = 7 6 9 5 + 8 4 6 + 5 + 6, f 4 ( Výsledky. ( ) H () = +, f.=. ( ) H () = 5 4 4 + 4, f.=. 6 ( ) H () =, f.= 5 Výsledky. P() = 4 + + 4, f ( ).= 7 6, f 0 f () 4 5 8 f () 0 8 ( ).= 5 4 ).= 47 8 Výsledky.6. S () = 7 4 + 7 8 77 4 8,S () = 7 + 7 5 + Výsledky.7. 6 rovic pro 6 ezámých 4 polyomy po 4 koeficietech (i)
Limity a spojitost fukce Výsledky... > > l K. > ε ε + Výsledky.. l 4. 0. 0 0 6. 7. 8. 0 9. e 0. e. e 7. Výsledky.. 0 5 e. 0 4 m 6. 7. 8. 4 9. 6. 6. 0 Výsledky. 0. 0. 5 6.. v = ekoečá espojitost v = odstraitelá espojitost v = a = ekoečá espojitost v = 0 a = odstraitelá espojitost, v = ekoečá espojitost v = 4π odstraitelá espojitost, lim 4π f 5() = 6. ve všech bodech R espojitost. druhu ( π ) Výsledky. f = 4 6 (ii)
Derivace fukce a Taylorův polyom Výsledky. Dosazeím do defiičí limity f ( 0 ) := lim 0 f () f ( 0 ) 0. Výsledky. f () = si( ) + cos( ), f () = 4 Výsledky. f () = e. f () = si f () = tg l ( ) f 4() = cos + f 5() = f ll l 6() = 4 + + + 6. 8 + + + 7. f 7() = + 8. f + 8() = sil f 9() = 4 + 9. ( ) ( + ) 4 f 0() 0. = (cos + si) f () = ( + l )si.. f () = + f () = sg + f 4() = cos Výsledky [ log π () f () = lsiarctg( 4 ) arcsi e + tg( )] cosarctg( 4 ) siarctg( 4 ) 4 + 8 arcsi logπ() e + tg( ) + lsiarctg(4 ) log π () e +tg( ) log π () l [log π () + ] lπ e + tg( ) log π () e cos ( ) e +tg( ) e + tg( ) ( Výsledky f (759) () = d759 d 759 + ) ( ) = 759! + ( + ) 760 ( + ) 760 Výsledky 6. t : + y = 0, : y + = 0 Výsledky 7. [, 9 ].. [0,] 4 (iii)
Výsledky 8. : y e = 0 Výsledky 9.. d f ( 0 ) = ( 0 + )e 0 d d f ( 0 ) = l 0 0 l l 0. d Výsledky 0. arctg(,). = π 4 + 0,05. = 0,85. = 47 50 47 45 Výsledky. P() = 5 + 0( ) + ( ) + 8( ) + ( ) 4 Výsledky. f () =, 0 =, 0,98. = 4949 500 000 Výsledky f (,) =. T (,) = 69 6000, R (,) < 0 000 Výsledky e. = M 5 () = 6 60 0 (iv)
4 L Hospitalovo pravidlo a lokálí etrémy Výsledky... 0 6. 7.. 0. 0 8. 9. 0. 0 e e 6. 7. e 6 8. e 9. e Výsledky... lokálí maimum v [, ], lokálí miimum v [,] lokálí miimum v [, ], lokálí maimum v [,] lokálí miimum v [,0], lokálí maimum v [ e,4e ] lokálí miima v lokálí maima v [ π ] 4 + kπ, e π 4 +kπ, k Z, [ ] π 4 + kπ, e π 4 +kπ, k Z (v)
5 Průběh fukce Výsledky.. f () = + 4 4 D( f ) = R, ai sudá ai lichá, eí periodická, P = [ 4,0], P = [0,0] = P y, kladá a (, 4) (0, ), záporá a ( 4, 0); f () = +, klesající a (, ], rostoucí a [,), lokálí miimum [, 7 4 ] ; f () = 6 +, koveí a (, ) a (0,), kokáví a (,0), ifleí body [, 4] a [0,0]; ABS: emá, ASS: emá; lim f () =, globálí miimum ± [ H( f ) = 7 ) 4,. [, 7 ], globálí maimum emá, 4 y f () = + 4 4 4 0 4 6 7/4. f () = 4 D( f ) = R \ {±}, sudá, eí periodická, P = [0,0] = P y, kladá a (, ) (,), záporá a (, 0) (0, ); f () = 8 (, rostoucí a (, ) a (,0), klesající a (0,) a (,), lokálí 4) miimum [0,0]; f () = 4 + (, koveí a (, ) a (,), kokáví a (,), ifleí body 4) emá; ABS: = a =, ASS: y = pro i ; globálí etrémy emá, H( f ) = (,0] (,). (vi)
y f () = 4 4 0 4 4 f () = + D( f ) = R\{ }, ai sudá ai lichá, eí periodická, P = [0,0] = P y, P = [,0], záporá a (, ), kladá a (,); f () = + ( + ), rostoucí a (, ) a ( +,), klesající a (, ) a (, + ), lokálí maimum [, ], lokálí miimum [ +, + ]; f 4 () =, koveí a (,), kokáví a (, ), ifleí body emá; ( + ) ABS: =, ASS: y = pro i ; globálí maimum [, ], globálí miimum [ +, + ], H( f ) = (, ] [ +,). y f () = + 6 0 6 (vii)
f () = arctg D( f ) = R \ {0}, ai sudá ai lichá, eí periodická, P = [,0], P y emá, kladá a (,0) (,) záporá a (0,); f () =, rostoucí a (,0) a (0,), lokálí etrémy emá; + ( f 4 + () = (, koveí a (,0) a, ), kokáví a + ) [ ] bod, π ; 4 ABS: emá, ASS: y = π pro i ; 4 ( globálí etrémy emá, H( f ) = π, π ) { π } \. 4 y (, ), ifleí f () = arctg π 4 4 0 0.5 4 π π 4 π f () =, D( f ) = R + D( f ) = (0,), ai sudá ai lichá, eí periodická, P ai P y emá, kladá a (0,); f () = ( + l), rostoucí a ( e, ), klesající a ( 0,e ), lokálí miimum [e,e e ] f () = ( + ( + l) ), koveí a (0,), ifleí body emá; ABS: emá, ASS: emá; lim f () =, globálí miimum ( ) H( f ) = e e,. y 4 [ e,e e ], globálí maimum emá, f () = e e 0 e (viii)
6. f () = l D( f ) = R + \ {}, f () = l l, rostoucí a (e,), klesající a (0,) a (,e), lokálí miimum [e,e]; f () = l l, koveí a (,e ), kokáví a (0,) a (e,), ifleí bod [e, ] e ; ABS: =, ASS: emá; lim f () =, globálí etrémy emá, H( f ) = (,0) (e,). e e y f () = l 0 e e 7. f () = si D( f ) = R\{kπ,k Z}, lichá, periodická se základí periodou π, P ai P y emá, kladá a (kπ,π + kπ), záporá a + kπ,kπ); k Z k Z( π f () = cos ( si, rostoucí a π + kπ, π ) ( π ) + kπ a + kπ,π + kπ, k Z, klesající a ( π ) + kπ,kπ a (kπ, π ) + kπ, k Z, lokálí maima [ π ] k Z, lokálí miima + kπ,, k Z; [ π + kπ, ], f () = + cos si, koveí a (kπ,π + kπ), k Z, kokáví a ( π + kπ,kπ), k Z, ifleí body emá; ABS: = kπ, k Z, ASS: emá; lim f () eeistují, globálí etrémy emá, H( f ) = (, ] [,). ± y f () = si π π 0 π π (i)
8. f () = e D( f ) = R \ {0}, ai sudá ai lichá, eí periodická, P, P y emá, kladá a R \ {0}; f () = e, klesající a (,0) a (0,), lokálí etrémy emá; f () = + 4 e, koveí a ( ),0 a (0,), kokáví a [ ],e ; ABS: = 0 zprava, ASS: y = pro i ; globálí etrémy emá, H( f ) = (0,) \ {}. y (, ), ifleí bod f () = e e 4 0.5 0 4 ()
6 Globálí etrémy sloví úlohy Výsledky 6.. Čtverec o straě S. Výsledky 6.. r = v, tj. výška rova průměru podstavy Výsledky 6. ρ = r Výsledky 6. V ma = π 7 r Výsledky 6. Pro ejmeší se a čtverec použije Pro ejvětší se čtverec vůbec evyrobí, S ma = a 4π. 4a π + 4 délky drátu, S a mi = 4(π + 4). Výsledky 6.6. Je-li vzdáleost města od kolmého průmětu ostrova a břeh větší ež 5 km, přistaeme právě 5 km od tohoto kolmého průmětu směrem k městu. Je-li meší, přistaeme přímo ve městě. ( ) + Výsledky 6.7. v(a, p) = Výsledky 6.8. Jde o obdélík s jedím vrcholem [, ] a straami rovoběžými se souřadými osami. Jeho rozměry jsou 4 j a 6 j, obsah 4 j. Výsledky 6.9. Čtverce o straě 0 cm, objem krabice 8 l (8 000 cm ). Výsledky 6.0. 0 m straa přiléhající ke zdi, 0 m straa k í kolmá. Výsledky 6.. a = c 0, b = c, P = c 48 Výsledky 6.. Mj. s využitím stejolehlosti dostaeme, že hledaý obdélík má mít strau obsažeou v c délky c, druhou strau délky poloviy výšky a strau c, a jeho obsah je rove poloviě obsahu trojúhelíka. (i)
7 Neurčitý itegrál Výsledky 7... l + + c. + + c 6 6 + c l + c ( + 4) ( ) 6. arctg + c 6 l 7. + + c 8. l + c 9. 8 arctg + arctg + c 0. l + ( ) +. arctg + c. l 6 l( + + ) + ( ) + + arctg + c 5 ( + ) + [ 6 + + arctg ] + c 5 48 [( 5) + 4] + 5 8 ( 5) + 4 + 56 Výsledky 7.. arctg 5. l tg + c. arctg + c + c cos + c + c l + + + + c 6. e + c l + + + + c 7. l( + e ) + c 8. l + c 9.. la ( + a ) + a + c 6 l + 4 4 + c 0. l l + c (ii)
8 Neurčitý itegrál Výsledky 8... 4 e ( ) + c. ( 4 e + + ) + c cos + ( 4 4 si + c 5 si4 + )e 5 cos4 + c e + + c 6. (l ) + c arctg 7. l( + ) + c 8. arcsi + + c 9. tg + l cos + c 0. cotg[ + l(si)] + c Výsledky 8... l( + cos) + c. cos + 5 cos5 + c si + si + l( si) + c 4 l + cos + c cos 6. l tg + + 6 l( tg tg + ) + arctg tg + + c 5 5 (tg ) arctg + c Výsledky 8... 6. 7. ( )e + c ( + )arctg + c ( l 4 l + 8 9 ) + c 4 4 4l 4 + + c 6 + 6 6l 6 + + c + l + l + arctg ( ) 5 4 ( ) + c 5 + + c (iii)
9 Určitý a evlastí itegrál Výsledky 9... 45 4 l π 00. π 6 6. π l e 7. 0. π a + b 8. 9. π 6 Výsledky 9... a 4 π 6 [ l ( + )( ) Výsledky 9. ] 5 +. + l( ). 0 sius a třetí má stejě jako sius periodu π, přičemž a půlce periody abývá kladých a a půlce stejých záporých hodot, takže itegrál ze siu přes iterval délky jedé periody, či jako tu dvou period, je ulový. 0 jde o itegrál z liché spojité (jmeovatel emá reálý koře) fukce přes symetrický iterval 0 jde o itegrál z liché spojité fukce přes symetrický iterval Výsledky 9.. a 6. π 7. π 9. itegrál osciluje 0.. 8. pro α >, pro α α α 4 l pro α <, pro α.. 9 (iv)
0 Aplikace itegrálího počtu Výsledky 0... 9 Výsledky 0... 8 7 (0 0 ) Výsledky 0. S = πa, l = 8a Výsledky 0. S = πr, o = πr Výsledky 0. o = 6a, S = 8 πa π. ( = ) 9,9 8,loge l. 4 (e + ) Výsledky 0.6.. 7 πab. (a) 6 5 π (b) 8 π (a) π Výsledky 0.7.. V = πr v, S pl = πr r + v (b) π. V = 4 πr, S pl = 4πr V = π Rr, S pl = 4π rr (v)
Nekoečé řady Výsledky... (0,), s() =. /0, tedy vždy diverguje R,, s() = (0,0; 0,), s() = log + log + ( π 6 + kπ, π ) 6 + kπ, s() = si si k Z Výsledky.. { }. K =. K = /0 K = 0 { } 7π π K = {e} K = + kπ, 6 6 + kπ; k Z Výsledky.. Výsledky... 6. 7. 8. 9. 0.... 8 4 5 určitě diverguje k +, utá podmíka kovergece určitě diverguje k +, utá podmíka kovergece určitě diverguje k +, utá podmíka kovergece určitě diverguje k +, utá podmíka kovergece koverguje, odmociové kritérium koverguje, odmociové kritérium určitě diverguje k +, podílové, či lépe odmociové kritérium koverguje, podílové, či lépe odmociové kritérium koverguje, podílové, či lépe odmociové kritérium koverguje, podílové kritérium koverguje, itegrálí kritérium { 0 } 90 6. 4 6 koverguje pro α >, určitě diverguje k + pro α, itegrálí kritérium koverguje, srovávací kritérium s = určitě diverguje k +, srovávací kritérium s určitě diverguje k +, itegrálí kritérium (vi) =
Výsledky. S využitím Leibizova kritéria... 6. 7. koverguje absolutě, itegrálí kritérium koverguje relativě, itegrálí kritérium osciluje, utá podmíka kovergece koverguje absolutě, odmociové kritérium koverguje relativě, srovávací kritérium s koverguje absolutě, odmociové kritérium = koverguje absolutě, podílové, či lépe odmociové kritérium (vii)
Mocié řady Výsledky... OK =,), OAK = (,). OK = OAK =, OK = OAK = R OK = (,, OAK = (, ) OK = OAK = (,) 6. OK = OAK = ( 4,4) ( ) 7. OK = OAK =, 8. OK = OAK = R Výsledky.. s() = ( ), = = s Výsledky. s() = l, Výsledky. = = s ( ) = ( ) = l. s() = ( ), r =. s() = ( ), r = s() = ( + ) ( + ), r = s() = ( + )l( + ), r = Výsledky. f () = T () = 4 (+) 8 (+) = Výsledky.6. l( + ) = M() = + 4 4 + = = = + ( ) = M() = l Výsledky.7. e ( + ) Výsledky.8. =0 + (+) pro ( 4,0). + ( ) pro (,,. 4 l( + ) 4 l( ) arctg. 4 l( + ) 4 l( ) + arctg (viii)