Iterferece 15. prosice 014 1 Úvod 1.1 Jev iterferece Mějme dvě postupé vly ψ 1 z,t) = A 1 cosωt kz +ϕ 1 ) a ψ z,t) = A cosωt kz +ϕ ). Uvažujme yí jejich superpozici ψ = ψ 1 +ψ a podívejme se, jaká bude itezita výsledé superpozice I = ψ, když itezity původích vl jsou I 1 = ψ 1 = A 1 cos...) = 1 A 1 a I = 1 A I = ψ 1 +ψ ) = A 1cos ωt kz +ϕ 1 )+A cos ωt kz +ϕ )+A 1 A cosωt kz +ϕ 1 )cosωt kz +ϕ ) =I 1 +I + A 1 A cosωt kz +ϕ 1 +ϕ )+A 1 A cosϕ 1 ϕ )) =I 1 +I + I 1 I cosϕ 1 ϕ ). Při upravách jsme použili součtový vzorec cosθcosϕ = 1 cosθ ϕ) + cosθ + ϕ)) a fakt, že časová středí hodota fukce cosωt) je ula cosωt) = 0. Výsledá itezita tedy eí prostým součtem původích itezit, liší se o čle I it = I 1 I cosϕ 1 ϕ ), jehožvelikostzáležíavzájemémrozdílufází ϕ = ϕ 1 ϕ obouvl.vpřípaděi 1 = I = I 0 dostáváme I = I 0 1+cos ϕ), tedy v závislosti a fázovém posuvu může být výsledá itezita v rozmezí 0 pro fázový posuv ϕ = π +πk, k Z) až 4I 0 pro ϕ = πk, k Z). 1. Retardovaý čas Mějme zdroj a souřadici z = 0 v prostředí s fázovou rychlostí v ϕ, který v kladém směru osy z vysílá postupé vlěí dle předpisu xt). Jaký je průběh kmitáí ψt) v místě z 0? xt) 0 ψt) =? v ϕ z = z 0 z Sigál, který přijímáme v čase t a místě z = z 0, byl vyzáře ze zdroje v čase t 0 = t z0 v ϕ, ebot sigálu vyzařeého v čase t 0 trvá dobu z 0 /v ϕ ež se došíří do místa z = z 0. Teto čas t 0 azýváme retardovaým časem a fukci ψ pomocí ěj zapíšeme sado jako ψt) = xt 0 ) = xt z 0 v ϕ ). 1
Příklady.1 7.16 Iterferece roviých vl Zadáí: Směry, kterými se šíří dvě rovié vly stejé vlové délky, svírají malý úhel ϑ. Vly dopadají a stíítko, jehož rovia je přibližě kolmá a směr jejich postupu. Napiště výrazy pro obě rovié vly, složte jejich pole a ukažte, že vzdáleost y mezi dvěma sousedími iterferečími proužky je přibližě rova / ϑ. Jak se změí výraz pro y, dopadají-li iterferující paprsky a stíítko pod úhlem ϑ? Řešeí: Nejprve zapišme vyjádřeí roviých vl, které spolu budou iterferovat ψ 1 r,t) = A 1 cosωt k 1 r+ϕ 1 ). Z obrázku sado ahlédeme složkové vyjádřeí vlových vektorů k 1 = kcos,ksi,0), kde k je velikost vlového vektoru k = k, která je společá pro obě vly, ebot mají stejou vlovou délku. y stíítko. vla 1. vla P, r P = 0,y,0) k k1 O ϑ x Zajímáme-lise yíosuperpozici vl ψ 1 a ψ v bodě P a stíítkuopolohovémvektoru r P = 0,y,0) dostáváme výraz ψ r P,t) = ψ 1 r P,t)+ψ r P,t) = A 1 cosωt kysi +ϕ 1 )+A cosωt kysiϑ +ϕ ). Itezita výsledé superpozice pak je I = ψ = I 1 +I + A 1 A cosωt kysi +ϕ 1 )cosωt kysiϑ +ϕ ). Použitím součtového vzorce dostáváme I = ψ = I 1 +I +A 1 A cosωt+...)+coskysiϑ si )+ϕ ϕ 1 )). Středí hodota prvího kosiu je ulová, aopak druhý kosius je kostatí, tedy středí hodotu si můžeme odpustit, tz. I = I 1 +I +A 1 A coskysiϑ si )+ϕ ϕ 1 )). Zavedeme-li yí středí úhel dopadu ϑ a rozdíl mezi úhly dopadu ϑ jako ϑ = ϑ1+ϑ a ϑ = ϑ, pak můžeme upravit siϑ si = cosϑsi ϑ. Na závěrsi ještěpřepíšemevelikostvlovéhovektoru pomocí vlové délky k = π. Vztah pro itezitu zářeí a stíítku v závislosti a poloze Iy), resp. vztah pro iterferečí itezitu I it y), je tedy ) 4πy ϑ I it y) = A 1 A cos cosϑsi +ϕ ϕ 1 ).
Vzdáleost iterferečích proužků je pak dáa požadavkem, aby se fáze v iterferečím kosiu změila o π. Ozačme vzdáleost dvou vybraých bodů a stíítku jako y = y y 1, fázový posu pak má tvar Podmíka ϕ = π vede a ϕ = 4π y cosϑsi ϑ. y = cosϑsi ϑ. Pokud je rozdíl mezi úhly ϑ malý, můžeme aproximovat si ϑ = ϑ a dostat y = ϑcosϑ..1.1 Alterativí postup přes retardovaé časy Alterativí postup používá myšleé zdroje vlěí umístěé a vloploše procházející počátkem a vyjádřeí vly dopaduvší a stíítko pomocí retardovaým časů. stíítko. vla 1. vla l 1 l P y O ϑ Alterativí řešeí: Zajímejme se o to, jaká výsledá vla dopadá a stíítkov bodě P, který je ve vzdáleosti y od počátku. Roviy zázorěé a obrázku svírající úhly a ϑ se stíítkem si můžeme představovat jako zdroje roviého vlěí vysílaého směrem ke stíítku zdroje kmitající dle předpisů x 1 t) = A 1 cosωt+ϕ 1 ) a x t) = A cosωt+ϕ ). Na stíítku v bodě P se obě vly superpoují ψt) = ψ 1 t) + ψ t), kde ψ 1 vyjádříme pomocí retardovaého času jako ψ 1 t) = x 1 t l ) 1 = A 1 cos ω t l ) 1 )+ϕ 1 v ϕ v ϕ a tedy ψt) = A 1 cos ωt ωl ) 1 +ϕ 1 +A cos ωt ωl ) +ϕ v ϕ v ϕ Z obrázku a příslušých poměrů v trojúhelíku dostaeme l 1 = ysi. Dále z disperzího vztahu máme ω v ϕ = k. Dosazeím těchto vyjádřeí dostaeme tvar vly v bodě P ψt) = A 1 cosωt kysi +ϕ 1 )+A cosωt kysiϑ +ϕ ), což je stejý mezivýsledek jako při předchozím postupu. Dále je již postup zcela idetický. 3
. 7.1 & 7. Mýdlová bláa Zadáí: Obecé zadáí příkladů s mýdlovou bubliou je, že a tekou vrstvu tloušt ky d o idexu lomu dopadá světlo pod úhlem ϑ o vlové délce a aším úkolem je zjistit, pro jakou kombiaci těchto parametrů bude docházet ke kostruktiví resp. destruktiví iterfereci. ϑ y d ϑ x Řešeí: Na obrázku jsou zázorěy paprsky, které spolu budou iterferovat. Naším úkolem je vyjádřit rozdíl jejich optických drah 1 pomocí zadaých parametrů. Z ákresu vidíme, že pro teto rozdíl ϕ platí vztah ϕ = k d +x k 0 y +π), kde jsme ozačili k, resp. k 0, vlové číslo ve vrstvě, resp. mimo vrstvu, která sado vyjádříme pomocí disperzíhovztahu ω = c k, resp.ω = ck 0, a = π k 0 a tedy ω = πc ); dodatečáfáze π vzikápřiodrazu z opticky řidšího do opticky hustšího prostředí. Sellův záko dává vztah siϑ = siϑ. Vzdáleost x vyjádříme z trojúhelíku pomocí tgϑ = x y d. Posledí zbývá vzdáleost y daá vzorcem siϑ = x. Nyí dáme všechy tyto zalosti dohromady a obdržíme ϕ = πc d c +d tg ϑ π dtgϑ siϑ π = 4π d 1+ si ϑ 1 cos ϑ d siϑ siϑ π 1 1 si ϑ = 4πd ) 1 1 1 si ϑ si ϑ π si ϑ ) = 4πd si ϑ si ϑ π si ϑ = 4πd si ϑ π. Ke kostruktiví iterfereci dochází, pokud je fázový rozdíl ásobek π. Dostaeme tedy podmíku a parametry m+1 = 4d si ϑ m N 0. 1 Optická dráha představuje změu fáze podél skutečé délkové) dráhy paprsku, pro postupou vlu s vlovým číslem k je dáa jedoduše jako kl, kde l je délka skutečé) dráhy paprsku. Pro paprsek dopadající pod malým úhlem malým odkloem od kolmice) je koeficiet odrazu pro přechod světla z prostředí o idexu lomu 1 do prostředí s idexem lomu přibližě R = 1. Pro 1 + 1 < je teto koeficiet záporý a tato iverze vly dává dodatečou fázi π. 4
Vyjádříme-li vlovou délku, máme = 4d m+1 si ϑ a ejvětší vlovou délku, pro kterou astává kostruktiví iterferece získáme volbou m = 0, tedy = 4d si ϑ, což pro parametry příkladu 7.1, tj. d = 100m, = 1,33 a ϑ = 35 dává.3 7.5 Skleěý klí = 4 10 10 9 1,33 0.57 = 481m modrozeleá. Zadáí: Rovié povrchy skleěého klíu = 1,5) svírají úhel 0,1. Na klí dopadá kolmo svazek moochromatických paprsků o vlové délce = 500 m. Vypočtěte vzdáleost mezi iterferečími proužky, které vzikou v odražeém světle. Řešeí: Využijeme výsledků příkladu 7.16, takže ám bude stačit určit úhel ϕ mezi odražeými pro ϕ malé a stíítko umístěé kolmo a vycházející paprsky). Mějme skleěý klí jako a obrázku a echt paprsek vstupuje přímo dolů, tz. odkloě od kolmice k horí hraě klíu o úhel ϕ. Pak pro dráhu paprsku a úhly svírajícís příslušýmikolmicemi viz obrázek. paprsky, vzdáleost iterferečích proužků pak bude jedoduše ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Pomocí Sellova zákoa určíme vztahy mezi úhly ϕ, ϕ a ϕ. siϕ = siϕ, siϕ ϕ ) = siϕ Jelikož úhly jsou malé, tak použijeme aproximaxi six = x. a pak sado vyjádříme úhel ϕ pomocí úhlu ϕ ϕ = ϕ, ϕ ϕ ) = ϕ ϕ = 1)ϕ. Úhel mezi vystupujícími paprsky je pak zjevě dá jako ϕ = ϕ+ϕ = ϕ. Pro aše kokrétí zadáí dostáváme vzdáleost iterferečích proužků y = ϕ = 500 10 9 m 1,5 0,1 60 π 360 = 5,73mm. 5
.4 7.4 Vzduchový klí Zadáí: Vzduchový klí je ohraiče dvěma dokoale roviými skleěými deskami idex lomu = 1,5). Klí je vytvoře tak, že mezi skleěé desky byl vlože ve vzdáleosti L = 10cm od jejich dotýkajících se okrajů proužek staiolu tloušt ky d = 1/50 mm. Na klíovou vrstvu dopadá kolmo sodíkové světlo = 589 m). Určete vzdáleost dvou sousedích tmavých iterferečích proužků ve světle a) odražeém, b) procházejícím. Jak velká by musela být délka L, aby proužky v zeleém světle = 550m) byly od sebe 1mm? Řešeí: Řešeí pro odražeé světlo je velmi podobé jako v příkladu 7.5. Určíme úhel mezi vystupujícími paprsky, zde obecěji pro světlo dopadající a horí sklíčko odkloěé od kolmice o obecý úhel. Výsledý úhel je ϕ = ϕ. ϕ ϑ ϕ ϕ ϕ 6