Mlý průvodce historií integrálu Lebesgueův Perronův integrál (20. století) In: Štefn Schwbik (uthor); Petr Šrmnová (uthor): Mlý průvodce historií integrálu. (Czech). Prh: Prometheus, 1996. pp. 70 83. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400857 Terms of use: Schwbik, Štefn Šrmnová, Petr Institute of Mthemtics of the Czech Acdemy of Sciences provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This document hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry http://dml.cz
70 Kpitol IV. Lebesgueův Perronův integrál (20. století) Ke konci 19. století byl, zhrub řečeno, vývoj mtemtické nlýzy ukončen, pokud šlo o průzkum vlstností spojitých funkcí. Riemnnův integrál kupříkldu poskytl odpověď n otázku, jk nlézt funkci, když je dán její derivce, pokud tto derivce je spojitou funkcí. V teoriích bylo třeb dělt umělá nepříliš vkusná omezení, která ze hry vylučovl nespojité funkce. V průběhu 19. století došlo tké k výrznému posunu v tom, jk se mtemticky nhlíželo n proces integrování. V první fázi popsl Cuchy způsob, jkým lze definovt integrál pro specifickou třídu spojitých funkcí. Ve druhé fázi uvžovl Riemnn libovolnou funkci, definovl integrál podle Cuchyov postupu položil otázku, jké jsou funkce, které v jeho smyslu mjí integrál. Zvedl tk novou třídu riemnnovsky integrovtelných funkcí podl chrkterizci jejích prvků. Ve vývoji mtemtiky 19. století lze vystopovt jistý zlom v metodě. Stručně jej lze chrkterizovt tím, že v mtemtických ktivitách byly konkrétní výpočty nhrzeny myšlením v pojmech. Přitom jde o myšlení v obecných pojmech, které nhrdily konkrétní hodnoty, konkrétní funkce pod. Pod pojmem si vlstně lze předstvit i množinu prvků, kterých se týká. Ve třídě všech funkcí vymezí npř. pojem spojitosti nebo integrovtelnosti v Riemnnově smyslu jisté podmnožiny (spojité nebo riemnnovsky integrovtelné funkce), kterých se týká. Mtemtické důkzy jsou pk vedeny tk, že se nemluví o konkrétním prvku, le o celé třídě prvků, které mjí jistou vlstnost. Z hledisk dnešních metod by se mohlo zdát, že jde o bnlitu, kterou není nutno připomínt. V minulém století se všk právě tento přístup dostávl postupně do mtemtiky B. Riemnn byl jedním z průkopníků této moderní filozofie mtemtické tvorby. Dlužno podotknout, že přípd jeho teorie integrálu skýtá v tomto směru poměrně slbé potvrzení, jiné jeho výsledky o tom svědčí dleko zřetelněji. Z hledisk teorie integrálu lze nše století bez ndsázky nzvt stoletím Lebesgueovým. Henri Léon Lebesgue (1875 1941) studovl n Ecole Normle Supérieure. Do roku 1906 žil v Rennes pk se přestěhovl do Poitiers, kde se stl profesorem. V roce 1912 byl povolán do Příže jko mître des conférences
posléze se stl profesorem n Collège de Frnce. Členem Akdemie byl zvolen v roce 1922. 71 H. L. Lebesgue První oznámení o tom, že byl vytvořen nový integrál, silnější než integrál Riemnnův, se objevilo v r. 1901 v Comptes Rendus v práci s názvem Sur une générlistion de l intégrle définie od H. Lebesgue podrobně potom v r. 1902 v Lebesgueově disertci 3 Intégrle, Longeur, Aire (Ann. di Mtem. (3), 7, 231 359). V roce 1904 pk Lebesgue npsl knihu Leçons sur l integrtion et l recherche des fonctions primitives professées u Collège de Frnce, Guthier Villrs, Pris, 1904, která vyšl znovu v roce 1928 v řdě Collection de Monogrphies sur l Théorie des Fonctions. Tto knih vycházel z jeho přednášek, které měl v roce 1902 3 n Collège de Frnce. Lebesgueov teorie integrálu Svoji knihu Leçons sur l integrtion... koncipovl H. Lebesgue jko přehled zákldních postupů pro vybudování teorie integrálu. N zákldě dříve známých postupů, npř. z klsického postupu pro integrování spojitých funkcí nebo z Riemnnov integrálu, Lebesgue dochází k jednoduchým pozorováním formuluje následující:... cílem je přiřdit kždé omezené funkci f(x), definovné n konečném intervlu (, b), kldném, záporném nebo nulovém (tím Lebesque rozumí situce < b, > b, resp. = b), nějké konečné číslo f(x)dx, které nzveme integrálem f(x) n (, b), které splňuje následující podmínky: 1. Pro libovolná, b h máme 2. Pro libovolná, b, c máme f(x)dx + f(x)dx = c b h h f(x)dx + f(x + h)dx. c f(x)dx = 0. 3. [f(x) + ϕ(x)]dx = f(x)dx + ϕ(x)dx. 3 J. C. Burkill v roce 1944 ve vzpomínkovém článku o H. Lebesgueovi npsl, že nepochybně tto disertce je jedn z nejlepších, kterou kdy nějký mtemtik npsl.
72 4. Když je f 0 b >, potom tké f(x)dx 0. 5. 1 1dx = 1. 0 6. Když posloupnost f n (x) konverguje k f(x), přičemž monotonně roste, potom posloupnost integrálů z f n (x) konverguje k integrálu z f(x). Lebesgue tedy podává deskriptivní definici integrálu; jde o jistý systém xiomů, které má integrál splňovt. Závěrem Lebesgueov úsilí byl ucelená teorie míry měřitelných funkcí spolu s nlytickou definicí integálu, která má dosti názornou geometrickou interpretci. Podmínky 1. 6. djí dlší vlstnosti, které integrál musí mít. Kupříkldu z 3. podmínky lze jednoduše odvodit, že (v přípdě f(x) = ϕ(x) = 0) je [0 + 0]dx = 0dx = 0dx + 0dx, proto 0dx = 0. Z téhož se sndno odvodí f(x)dx = f(x)dx. Z 4. podmínky pk dostneme, že když je f g b >, potom tké f(x)dx g(x)dx. Bez problémů lze tké odvodit, že pro reálné k pltí že je kf(x)dx = k dx = b. f(x)dx, Nechť je dán intervl [, b]. Pro dnou (libovolnou) množinu M [, b] definujme její chrkteristickou funkci χ M tk, že položíme { 1 pro x M χ M (x) = 0 pro x [, b] \ M (pojem chrkteristické funkce množiny Lebesgue explicitně ve své knize neuvedl). Nechť funkce f definovná n intervlu [, b] je omezená, tj. pltí l < f(x) < L pro x [, b]. Předpokládejme, že je dán systém l = l 0 < l 1 < < l n = L
73 definujme M i = {x [, b]; l i 1 f(x) < l i }. M i je tedy množin těch prvků x [, b], pro které je funkční hodnot funkce f v intervlu [l i 1, l i ), viz obr. 16. Z toho, jk je definován množin M i chrkteristická funkce χ Mi, je Oznčme integrální součty l i 1 χ Mi (x) f(x) l i χ Mi (x) pro x M i. ψ(x) = n l i 1 χ Mi (x), Ψ(x) = i=1 n l i χ Mi (x) i=1 Potom je ψ(x) f(x) Ψ(x) pro x [, b]. Z uvedeného pk dostneme ψ(x)dx = n l i 1 χ Mi (x)dx i=1 f(x)dx neboli tké n i=1 l i χ Mi (x)dx = Ψ(x)dx, n l i 1 χ Mi (x)dx i=1 f(x)dx n l i χ Mi (x)dx. Dosud jsme nikterk nevyužili v úvhách 6. podmínku. V tomto okmžiku je dobré si uvědomit, že když se v systému l = l 0 < l 1 < < l n = L bude zmenšovt hodnot mx(l i l i 1 ), budou příslušné funkce ψ Ψ konvergovt k funkci f tto konvergence bude monotonní. Přesněji řečeno, budou li dány dv systémy l = l0 1 < l1 1 < < l1 n 1 = L l = l0 2 < l2 1 < < l2 n 2 = L přičemž mx(li 2 l2 i 1 ) < mx(l1 i l2 i 1 ), potom pltí i=1 ψ 1 (x) ψ 2 (x) f(x) Ψ 2 (x) Ψ 1 (x), pokud ψ 1 (x), Ψ 1 (x) jsou funkce odpovídjící prvnímu ψ 2 (x), Ψ 2 (x) druhému systému podle definice, která byl dán výše. Podle 6. podmínky pk lze určit i hodnotu f(x)dx (užitím limity), pokud budeme umět vypočítt hodnoty integrálů χ M i (x)dx, jinými slovy, pokud budeme umět počítt integrály z chrkteristických funkcí množin obsžených v intervlu [, b].
74 Å«Æ Obr. 16. Lebesqueovy integrální součty Stejně jko v přípdě Riemnnov integrálu, i zde jde o proximci hodnoty integrálu jistými součty, ty ovšem mjí ve srovnání s Riemnnovými součty jinou trochu složitější povhu, jsou to součty typu n i=1 l i χ M i (x)dx. Názorná předstv, která z tímto postupem stojí, je celkem jednoduchá. Lze ji vyložit tk, že chceme-li npř. zjistit, kolik peněz máme v kpse, můžeme postupovt metodou riemnnovských součtů tk, že budeme jednotlivé hodnoty (desetníky, dvcetníky,..., stokoruny,..., pětitisícikoruny) postupně vythovt průběžně sčítt, nebo můžeme postupovt po lebesgueovsku jednotlivé hodnoty seskupovt, tj. klást n zvláštní hromdy desetníky, dvcetníky,..., stokoruny,..., pětitisícikoruny,... poté, co máme prázdnou kpsu, zjistit, kolik máme od jednotlivých hodnot kusů, tj. zjistit velikost množin M 0.1 Kč,..., M 5000 Kč,... (to znmená vlstně výpočet χ M i (x)dx), provést příslušné vynásobení pk součet. Metod výčetek je občs vyždován v peněžních ústvech je v přípdě větších obnosů složených z mlých pltidel (npř. po rozbití prsátk nebo vyprázdnění mincovního utomtu) celkem prktická. Problém určení integrálu funkce Lebesgue tedy převedl n určení integrálu jednodušších chrkteristických funkcí χ M množin M [, b], které nbývjí hodnot 0 1. V přípdě, že je M intervl, tj. M = [c, d] [, b], je χ M(x)dx = d c dx = d c, je integrál chrkteristické funkce χ M délkou intervlu M. Z tohoto důvodu je přirozené povžovt integrály chrkteristických funkcí χ M množin M [, b] z míru množin M problém určení integrálu redukovt n určování míry množin v intervlu [, b]. Lebesgue v této souvislosti shledl, že funkce ψ, které nbývjí jen hodnoty 0 1, jsou plně určeny množinou {x [, b]; ψ(x) = 1};
integrál z tkové funkce přes intervl [, b] je kldný nebo nulový přiřdí tk množině {x [, b]; ψ(x) = 1} jisté nezáporné číslo. Když se podmínky pro integrování, tk jk jsme je v Lebesgueově formě uvedli výše (viz podmínky 1. 6.), převedou do geometrické řeči, dostne se Lebesgue k novému problému, problému míry množiny, který je formulován v následujícím odstvci. 75 Lebesgueov teorie míry Lebesgue ve své disertční práci posléze i v knize Leçons sur l integrtion et l recherche des fonctions primitives professées u Collège de Frnce formulovl problém míry tkto: Problémem je přiřdit kždé omezené množině E bodů n ose ox jisté číslo m(e), které je kldné nebo nul, nzývá se mírou, které má následující vlstnosti: 4 1. Dvě stejné množiny 5 mjí tutéž míru. 2. Množin, která je sjednocením konečného nebo spočetného počtu po dvou disjunktních množin, má míru rovnou součtu měr komponent. 3. Mír množiny všech bodů intervlu (0, 1) je rovn 1. Lebesguem formulovné podmínky 1. 6. pro integrál v tomto přípdě integrál chrkteristické funkce nějké množiny E djí vlstnosti 1. 3. stnovené pro míru, jestliže položíme m(e) = χ E (x)dx. Nechť E [, b] je množin. Zřďme body množiny E do nějkého konečného nebo spočetného systému po dvou disjunktních otevřených intervlů. Mír tohoto systému intervlů je podle vlstnosti 2 součtem délek jednotlivých intervlů. Jelikož je E částí uvedeného systému otevřených intervlů z předpokldu, že množinu E lze skutečně optřit mírou m(e) je součet délek jednotlivých intervlů systému, o němž je řeč, horní hrnicí míry množiny E, tj. tento součet je větší nebo roven hodnotě m(e). Množin všech horních hrnic tohoto typu má evidentně infimum, které Lebesgue oznčil m e (E) nzvl vnější mírou množiny E (mesure extérieure E). N tomto místě je vhodné připomenout, že kždá otevřená množin G [, b] je sestven z nejvýše spočetného systému nvzájem disjunktních otevřených intervlů. N zákldě vlstnosti 2 lze tedy zjistit míru m(g) pro otevřené množiny G. Lebesgueovu definici vnější míry E [, b] pk lze tké psát ve tvru m e (E) = inf m(g), 4 Symbolem ox se rozumí reálná os, dnes oznčovná R. 5 Podle Lebesgue jsou dvě množiny n přímce stejné, jestliže mjí tu vlstnost, že posunutím jedné z nich obě množiny splynou.
76 kde se infimum bere přes všechny otevřené množiny G [, b] obshující množinu E. Pokud má množin E míru, je vždy m(e) m(g), proto též (z vlstností infim) je m(e) m e (E). Buď C(E) doplněk množiny E v [, b], tj. Pk je tj. C(E) = {x [, b]; x / E}. m(e) + m(c(e)) = m([, b]), m(e) = m([, b]) m(c(e)) m([, b]) m e (C(E)), protože je m(c(e)) m e (C(E)). Číslo m([, b]) m e (C(E)) pk Lebesgue oznčil m i (E) nzvl vnitřní mírou množiny E (mesure intérieure de E). Čísl m e (E) m i (E) (tj. vnější vnitřní mír množiny E) jsou definován pro jkoukoli množinu E, mír m(e) všk pro ni existovt nemusí. Jsou-li nyní G G tkové otevřené množiny v [, b], že E G C(E) G, je m(g) + m( G) m([, b]), odtud neboli Proto je vždy m e (E) + m e (C(E)) m([, b]), m e (E) m([, b]) m e (C(E)) = m i (E). m e (E) m i (E). Lebesgue po této úvze říká, že množiny E, pro které je m e (E) = m i (E), jsou měřitelné jejich mír m(e) je společná hodnot m e (E) m i (E). Pokud má E rozumně definovnou míru n zákldě toho, že známe míru intervlu, npř. když je E = [c, d] [, b], není tto nová definice ve sporu s tím, co už víme. Po této definici pk Lebesgue konsttuje, že zbývá zjistit, zd tkto definovná mír splňuje podmínky 1, 2 3 vskutku je všechny prověří. Význmnou úlohu hrjí tkové množiny M R, pro které je m(m) = 0; jde o množiny míry nul. Jestliže npř. funkce f : [, b] R má nějkou vlstnost pro kždé x [, b] \ M, kde m(m) = 0, říká se, že f má tuto vlstnost skoro všude. Npř. f(x) = g(x) skoro všude v [, b] znmená, že existuje množin M [, b] s m(m) = 0 tk, že pro x [, b] \ M je f(x) = g(x) (tj. pltí f(x) = g(x) pro x [, b], ž n množinu M, která má nulovou míru). S těmito pojmy se lze v soudobé nlýze setkt velmi čsto.
Lebesgueův integrál se postupně v mtemtice 20. století zbydlovl, své pozice si upevnil zejmén tím, že byl velmi vhodný pro vyšetřování ve funkcionální nlýze. S touto tendencí je zpočátku svázáno zejmén jméno mďrského mtemtik F. Riesze (1880 1956). C. Crthéodory 77 Po době zrání Lebesgueov přístupu k integrci došlo k prvním pokusům systemticky vyložit mtemtickou nlýzu pomocí Lebesgueov integrálu. Zde jistě stojí z zmínku učebnice v Německu působícího řeckého mtemtik C. Crthéodoryho (1873 1950) Vorlesungen über reelle Funktionen, která vyšl v roce 1918 u Teubner v Lipsku. Součsně se tké rozvíjel přístup k Lebesgueovu integrálu tím, že se rozprcovávly nové definice, které byly v přípdě reálných funkcí ekvivlentní definici, kterou udl Lebesgue, byly všk součsně tkové, že je bylo možné převádět do složitějších bstrktních situcí. Do této ktegorie ptří práce P. J. Dniell z let 1917 1920 (npř. práce A generl form of integrl z Annls of Mthemtics z roku 1918). Jeho přístup byl zložen n tom, že přirozeným způsobem povžovl z známé integrály schodovitých funkcí ty pk pomocí monotonních limitních přechodů rozšiřovl n třídy funkcí obecnějších. N integrál pohlížel jko n funkcionál, který podle jistých prvidel přiřdí funkci nějkou hodnotu. Otázkou pk pochopitelně je stejně jko v přípdě Riemnnov nebo Lebesgueov přístupu jkým funkcím tuto hodnotu přiřdit lze jkým nikoliv. Nevýhody Lebesgueov integrálu Lebesgueův integrál vykzovl nesporné výhody ve srovnání s Riemnnovým integrálem. Připomeňme ty nejvýrznější z nich. ) K tomu, by funkce f : [, b] R byl integrovtelná v Lebesgueově smyslu, nemusí být spojitá v žádném bodě intervlu. Je-li funkce f : [, b] R integrovtelná v Riemnnově smyslu, je spojitá skoro všude v [, b]. Už tto skutečnost ukzuje, že tříd funkcí, které mjí Lebesgueův integrál, je bohtší než tříd funkcí, které jsou integrovtelné v Riemnnově smyslu. Následující tvrzení ukzuje, že pro Lebesgueův integrál pltí dosti silná konvergenční vět: b) Když je f n : [, b] R posloupnost funkcí integrovtelných v Lebesgueově smyslu, která bodově konverguje k funkci f : [, b] R, je f n g, kde g : [, b] R je integrovtelná v Lebesgueově smyslu, potom je f : [, b] R
78 integrovtelná v Lebesgueově smyslu pltí f(x)dx = lim n f n (x)dx. Když je f : [, b] R funkce integrovtelná v Lebesgueově smyslu, potom pro kždé s [, b] existuje integrál s f(x)dx = F (s) funkce F : [, b] R je bsolutně spojitá. V ritmetizovné podobě to znmená, že ke kždému ε > 0 existuje δ > 0 tk, že když je [c k, d k ] libovolný systém nepřekrývjících se intervlů v [, b], pro který je k m([c k, d k ]) < δ, potom je k F (d k) F (c k ) < ε. Je-li funkce F : [, b] R bsolutně spojitá, potom má derivci F (x) skoro všude, tj. existuje množin M [, b] s m(m) = 0 tk, že pro x [, b] \ M existuje F F (y) F (x) (x) = lim. y x y x c) Když má funkce F v intervlu [, b] omezenou derivci F, pk je funkce F integrovtelná v Lebesgueově smyslu v [, b] pltí pro kždé x [, b]. x F (x)dx = F (x) F () Pohlédneme-li n tvrzení c), vidíme ihned jeho podobnost se známým Newtonovým Leibnizovým vzthem. Poněkud omezující je zde ovšem předpokld, že derivce F má být omezená. Trochu jiné je následující tvrzení. d) Je-li funkce F spojitá v [, b] má-li v [, b] derivci F všude ž n spočetnou množinu bodů je-li F integrovtelná v Lebesgueově smyslu, pk pltí pro kždé x [, b]. x F (x)dx = F (x) F () V posledním tvrzení d) zse poněkud překvpí poždvek, že F má být integrovtelná v Lebesgueově smyslu. Tento poždvek všk v této větě vynecht nelze. Položíme-li totiž F (x) = { x 2 sin( π x 2 ) 0 < x 1 0 x = 0,
79 dostneme funkci, která má ve všech bodech intervlu [0, 1] derivci F (x) = 2π x cos( π x 2 ) + 2x sin( π ) = f(x) + g(x), 0 < x 1, x2 F (0) = 0. Není těžké se přesvědčit, že funkce F není v [0, 1] bsolutně spojitá, proto funkce F nemůže být v intervlu [0, 1] integrovtelná v Lebesgueově smyslu. Funkce F ovšem má v intervlu [0, 1] Newtonův integrál pltí (N) 1 0 F (x)dx = F (1) F (0) = 0. Podíváme-li se n funkci F, zjistíme, že sčítnec g(x) = 2x sin( π ), 0 < x 1, g(0) = 0 x2 je lebesgueovsky integrovtelný, že potíže s integrovtelností působí funkce protože je 1 0 f(x) = 2π x cos( π ), 0 < x 1, f(0) = 0, x2 f(x) dx =. Tento klsický příkld ukzuje, že Lebesgueův integrál není obecně způsobilý rekonstruovt funkci n zákldě znlosti její derivce, tj. s Lebesgueovým integrálem n levé strně nemusí pltit vzth x F (t)dt = F (x) F () pro kždé x [, b] ni v tom přípdě, že derivce F existuje všude v intervlu [, b]. To ovšem znmená, že pro Lebesgueův integrál nepltí Newtonův Leibnizův vzth, který po stletí sloužil k výpočtům konkrétních integrálů je dodnes ideálem v zákldních kurzech mtemtické nlýzy. Tento fkt byl mtemtiky pociťován jko podsttný nedosttek Lebesgueov integrálu. Nvíc je z uvedeného příkldu vidět, že přestože pro kždé ε (0, 1] existuje Lebesgueův integrál 1 existuje i vlstní limit ε lim ε 0+ F (x)dx = F (1) F (ε) = F (ε) 1 ε F (x)dx = lim F (ε) = 0, ε 0+
80 neexistuje Lebesgueův integrál 1 0 F (x)dx. Uvedené nedosttky jink velmi účinného Lebesgueov integrálu vedly záhy po Lebesgueových prcích n zčátku století k pokusům vytvořit integrál, pro který by tvrzení výše uvedeného typu d) pltilo bez předpokldu integrovtelnosti funkce F. Jednlo se tedy o nlezení teorie tkového integrálu, který by zručil integrovtelnost derivce funkce, pokud tto v nějkém rozumném smyslu existuje. Řešením tohoto problému se zbývli zejmén A. Denjoy O. Perron. V roce 1912 vytvořil A. Denjoy teorii integrálu, který tomuto poždvku vyhověl; šlo o tzv. totlizci (Denjoyův totál), která předstvuje poměrně složitý proces zložený n použití trnsfinitních čísel. Brzy potom propojil N. Luzin novou Denjoyovu integrci s pojmem zobecněné bsolutní spojitosti (ACG ). To vedlo k tvrzení: Funkce f : [, b] R je integrovtelná v Denjoyově smyslu, když existuje ACG funkce F : [, b] R tk, že je F = f skoro všude v [, b]. To odpovídá následujícímu známému tvrzení pro Lebesgueův integrál: Funkce f : [, b] R je integrovtelná v Lebesgueově smyslu, když existuje bsolutně spojitá funkce (AC funkce) F : [, b] R tk, že je F = f skoro všude v [, b]. V tomto textu se nebudeme podrobněji zbývt Denjoyovým přístupem k problému. K dlšímu pokusu o odstrnění uvedených nepříjemných vlstností Lebesgueov integrálu došlo v práci Über den Integrlbegriff (1914) německého mtemtik Oskr Perron (1880 1975). Po reltivně krátké době se ukázlo, že Denjoyův Perronův integrál jsou ekvivlentní pojmy. Perronův postup nznčíme v dlší části. Perronův integrál Budeme uvžovt omezený uzvřený intervl [, b] R. Buď dán funkce g : [, b] R x [, b]. Definujme vzthem g(x + h) g(x) Dg(x) = lim sup h 0 h x+h [,b] horní derivci funkce g v bodě x [, b] vzthem g(x + h) g(x) Dg(x) = lim inf h 0 h x+h [,b]
81 dolní derivci funkce g v bodě x [, b]. Pro kždé x [, b] je dle definice Dg(x) Dg(x), když má funkce g v bodě x [, b] derivci g (x), potom Dá se dokázt, že g (x) = Dg(x) = Dg(x). když je funkce g : [, b] R tková, že je potom je funkce g neklesjící v [, b]. Dg(x) 0 pro kždé x [, b], Buď f : [, b] R. Funkce M : [, b] R se nzývá mjorntou k funkci f, když pro kždé x [, b] pltí DM(x) f(x). Funkce m : [, b] R se nzývá minorntou k funkci f, když pro kždé x [, b] pltí Dm(x) f(x). Pltí následující tvrzení: Když je M : [, b] R mjornt m : [, b] R minornt k funkci f : [, b] R, potom pro kždé c, d, c d b, pltí M(d) M(c) m(d) m(c). O. Perron předložil následující definici: Když k dné funkci f : [, b] R existuje mjornt i minornt když inf M (M(b) M()) = sup(m(b) m()) = I R, m kde infimum bereme přes všechny mjornty suprémum přes všechny minornty k funkci f, řekneme, že funkce f má Perronův integrál (P ) f(x)dx od do b kldeme Dále pltí tvrzení: I = (P ) f(x)dx.
82 Pro dnou funkci f : [, b] R existuje Perronův integrál (P ) f(x)dx, právě když pro kždé ε > 0 existuje mjornt M minornt m k funkci f v intervlu [, b] tk, že pltí M(b) M() (m(b) m()) ε. Je užitečné si uvědomit, že když má funkce f : [, b] R primitivní funkci F : [, b] R, tj. když pltí F (x) = f(x) pro kždé x [, b], potom má funkce f Newtonův integrál (N) f(x)dx = F (b) F () má rovněž Perronův integrál (P ) f(x)dx, protože primitivní funkce F k funkci f je součsně mjorntou i minorntou k funkci f v [, b], dle definicí mjí ob integrály stejnou hodnotu. Mjornty minornty v definici Perronov integrálu nhrzují primitivní funkci, poždvky n ně kldené jsou le podsttně slbší, než poždvek existence primitivní funkce v přípdě Newtonov integrálu. Z tohoto důvodu lze očekávt, že Perronův integrál bude existovt pro širší třídu funkcí, než jsou funkce mjící Newtonův integrál. Posléze se skutečně ukázlo, že když je funkce f : [, b] R integrovtelná v Lebesgueově smyslu, je integrovtelná i v Perronově smyslu integrály podle obou definicí mjí stejné hodnoty. Nopk to všk není prvd, příkld uvedený v předešlé části to zřetelně ukzuje. Funkce, kterou jsme tm definovli, má Perronův integrál (protože má dokonce integrál Newtonův), le integrovtelná v Lebesgueově smyslu není. N tomto místě ještě připomeňme, že pro Lebesgueův integrál pltí, že když je funkce f : [, b] R integrovtelná, potom je integrovtelná i její bsolutní hodnot f : [, b] R. Lebesgueův integrál je proto bsolutně konvergentní. Perronův integrál tuto vlstnost nemá. Když je totiž funkce f : [, b] R integrovtelná v Perronově smyslu, potom její bsolutní hodnot f : [, b] R integrovtelná být nemusí. To je rovněž vidět z příkldu, který jsme uvedli výše. Perronův integrál je proto v ktegorii tzv. nebsolutně konvergentních integrálů. Pozoruhodné všk je, že když je funkce f : [, b] R integrovtelná je integrovtelná i její bsolutní hodnot f : [, b] R v Perronově smyslu, pk je tto funkce integrovtelná i ve smyslu Lebesgueově. Teorie integrce, které se změřily n odstrňování vd Lebesgueov integrálu, směřovly hlvně k tomu, by pltil Newtonův Leibnizův vzth F (x)dx = F (b) F (). Znk integrce n levé strně má přitom různé význmy, dle toho, jkou teorii integrálu máme n mysli. Vedle toho je tké důležité, jký význm se dá výrzu F pro dnou funkci F : [, b] R. V přípdě Lebesgueov integrálu npř. víme, že stčí, by funkce F : [, b] R měl derivci F skoro všude v intervlu [, b] by tto derivce byl v Lebesgueově smyslu integrovtelná. Pk Newtonův Leibnizův vzth pltí. Jestliže bude funkce F : [, b] R bsolutně spojitá, pk má derivci F skoro všude v intervlu [, b] tto derivce je utomticky integrovtelná, tj. pro bsolutně spojité funkce pltí uvedený Newtonův Leibnizův vzth vždy.
83 S. Sks V přípdě, že integrál je Perronův, pltí Newtonův Leibnizův vzth s tím, že F je tzv. proximtivní derivce. S tímto pojmem ni s dlšími jemnými pojmy moderní reálné nlýzy se zde zbývt nebudeme, jenom připomeneme, že moderní teorie integrálu (Lebesgueov i těch dlších, které po něm postupně byly ve 20. století vybudovány) vedl k mimořádnému rozvoji teorie reálných funkcí, která je pro vědecké bádání v oblsti klsické nlýzy v tomto století typická. První souborná knih orientovná n Perronův Denjoyův integrál spolu se všemi náležitostmi z reálné nlýzy je knih polského mtemtik Stnislw Skse (1897 1942) Theorie de l Intégrle která vyšl v roce 1933 potom v přeprcovné nglické verzi Theory of the Integrl v roce 1937. Tto knih pk byl vydán ještě mnohokrát v různých podobách dodnes je jedním ze zákldních děl reálné nlýzy. Ve dvcátém století došlo k velikému rozvoji pohledů n integrál. Zejmén význmný byl Lebesgueův objev, který výrzně ovlivnil rozvoj celé mtemtické nlýzy. Postupy Perronov typu vedly k odstrnění nesrovnlostí mezi Newtonovým Lebesgueovým integrálem.