. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového prostoru generovaného vektory b, c: a (, u, ), b (5,, ), c (,, ). u 5 7.. Zjistěte, zda je vektor u generován vektory u, u a pokud ano, určete jeho koeficienty vzhledem k bázi: u (, 7, 9), u (,, ), u (5,, ). Ano; [, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které tvoří následující skupina vektorů bázi vektorového prostoru V : (,, ), (5, u, ), (,, ). u R { 5}. 5. Proveďte diskusi hodnosti vektorového prostoru generovaného následujícími čtyřmi vektory v závislosti na parametru u: (,, ), (,, ), (, u, ), (5,, 7) (b) (,, ), (,, ), (, u, ), (,, 5) h pro každé u (b) h pro každé u 6. Určete hodnost lineárního prostoru generovaného funkcemi f() +, g() + a h() a v závislosti na parametru a. h pro a, jinak h. 7. Určete bez použití determinantu, zda je následující matice regulární: Ano. 8. Nalezněte ortogonální doplněk k prostoru generovanému vektory: (,,, ), (,,, ), (,,, ). (,,, ). 9. Určete obecné řešení soustavy lineárních rovnic a výsledek interpretujte geometricky. Dále určete dvě základní řešení této soustavy: + + 5 8 + 9 + 9 8 ( ( + s + t, s + t, s, t); X [,,, ] + s(,,, ) + t(,,, ), rovina v E ; (,,, ),, ),,. Pozn. Řešení soustavy lineárních rovnic závislé na parametru (a tedy i každé úlohy k ní vedoucí) má nekonečně mnoho ekvivalentních vyjádření. Konkrétní výsledek závisí na tom, jakým způsobem byla soustava (resp. její matice) upravována a jak byly zvoleny parametry. Odlišný tvar výsledku tedy v tomto případě nemusí znamenat jeho nesprávnost. Výsledky, které na parametrech nezávisejí (např. základní řešení), však musí být u všech řešení shodné.. Stanovte obecné řešení a dvě základní řešení soustavy rovnic: + + 6 5 6 + 8 7 + + ( ( + t, 5t, + t, t); X [,,, ] + t(, 5,, ), přímka v E ; (,,, ),, 9 ), 7,.. Udejte podmínku pro číslo a, aby daná soustava lineárních rovnic (i) měla nekonečně mnoho řešení, (ii) neměla řešení. + y z + y + y + z a
(i) a (ii) a. Vypočtěte čísla ( a, ) b tak, aby ( platila) maticová rovnost ( CD ) DC: ( ) a a b C, D (b) C, D b a, b 7 (b) a b Pozn. Výsledek zde vyjde jako řešení soustavy čtyř rovnic o neznámých a, b. Přestože k vypočtení neznámých stačí dvě z těchto rovnic, je nutné výsledek dosadit do zbývajících dvou a ověřit jejich platnost. V případě opomenutí tohoto kroku nelze postup uznat za správný.. Řešte maticovou ( rovnici ) AX XA, ( kde) A (b) A X A, J (b) X A, J. Pomocí metody inverzní matice řešte soustavu: 5 + 5 ( y) ( ( ) 5 5 5) ( ), 5 9 5, y 9 5. 5. Vyjádřete nejprve obecně matici X z maticové rovnice. Poté do výsledku dosaďte zadané matice C, D a vypočtěte: ( ) ( ) X C DX, C, D 5 ( ) ( ) (b) XD C X, C, D X (J D) C ( ) 9 (b) X C(D J) ( ) 6 6. Řešte maticovou rovnici s neznámou X a uveďte podmínku eistence a jednoznačnosti řešení: AX C X BX. X (A + B + J) C, pokud je A + B + J regulární. 7. Spočtěte determinant: 5 9. 8. Pomocí Cramerova pravidla určete, y ze soustavy: y + 5z + y 7z 6 + y A ; A, ; A y, y. 9. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází bodem P a je kolmá na přímku procházející body C, D: P [,, ], C [,, ], D [,, ] (b) P [,, 5], C [,, ], D [,, ] y z (b) + y z 6
. Určete parametrickou rovnici přímky procházející počátkem a kolmé na rovinu X [,, ] + u(,, ) + v(,, ). X [,, ] + t(,, ).. Určete parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem C a je kolmá na rovinu procházející body P, R, S: C [,, ], P [,, ], R [,, ], S [,, ]. X [,, ] + t(, 8, 8).. Vypočtěte vzdálenost bodu A od přímky procházející body B, C: A [,, ], B [,, ], C [,, ]. 66. Podle Sylvestrovy věty určete typ kvadratické formy zadané následující maticí koeficientů: D, D, D 6, D 6; indefinitní.. Určete typ kvadratické formy v závislosti na reálném parametru a: k() + + + + + (a + ). kanonický tvar ; pozitivně definitní pro a >, pozitivně semidefinitní pro a, a indefinitní pro a <. 5. Určete D(f) a H(f) funkce{ f() arcsin (sign()) a nakreslete její graf. D(f) R, H(f),, } ; f() sign(). 6. Určete inverzní funkci k funkci f, D(f ) a H(f ): f() + arcsin(5) (b) f() arcsin(5) (c) f() ln( + ) f () 5 sin, D(f ) 5, 7, H(f ) 5, 5 (b) f () 5 sin ( ), D(f ), +, H(f ) 5, 5 (c) f () ( ) e, D(f ) R, H(f ) ( ), 7. Určete inverzní funkci k funkci f() + 5 na intervalu (,. f (). 8. Nalezněte intervaly, v nichž eistuje inverzní funkce k funkci f. Určete tyto funkce, jejich definiční obory a obory hodnot. f() e + f : f, ), f : f (,, f () ln(), f () ln(), D(f ) D(f ) e, ) 9. Vypočtěte limitu posloupnosti: n n + n ( ) n + n + (b) ( ) n 7 (b) neeistuje; a n, a n. Nalezněte všechny hodnoty parametru, pro které posloupnost a n ( ) n nemá limitu. (,, ).. Spočtěte limity v krajních bodech D(f): f() arctg D(f) (, ) (, ), f( +) f( ), f(±).. Vypočtěte limity funkce f v krajních bodech definičního oboru a načrtněte graf funkce f v okolí těchto bodů (bez použití derivací):
f() (b) f() ln + 5 + (e) f() arccotg + (f) f() D(f) (, ) (, ) (, ), f( +) f( ) f( ) f( ), f(+) f(+), (c) D(f) (, ) (, ), f( +) f( ) e f( ), f( +), (e) D(f) (, ) (, ), f( +) f( ) f( ), f(+), (c) f() e + (d) f() arccotg + (b) D(f) (, ) (, ), f( +) f( ) f( ), f(+), (d) D(f) (, ) (, ), f( +) f( ) f( ), f(+), (f) D(f) (, ) (, ) (, ), f( +) f( ) f( ) f( ), f( +) f(+), arctg. Vypočtěte limitu lim pro, a. Znázorněte na grafu. arccotg f( +), f(±), f( ).. Dodefinujte funkci f tak, aby byla spojitá v bodě c: sin f(), c (b) f() (e ), c f() : (b) f() : e 5. Pomocí Wronskiánu rozhodněte, zda jsou následující funkce lineárně závislé: f, f + +, f. + + +, funkce jsou lineárně nezávislé. 6. Určete Taylorův polynom k-tého stupně funkce f v bodě a: f() sin, a, k (b) f() ln(cos ), a, k (c) f() cotg, a, k T () (b) T () (c) T () ( ) ( + 7. Určete lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f: f() ( + ) e (b) f() ln (c) f() 8 arctg() ln( + ) (d) f() ln( + 9 ) + 6 arccotg() (e) f() + ( ) (f) f() + ( + ) f na (,, na, ), lok. (i glob.) min. v, lok. (ani glob.) ma. nemá (b) f na (, e, na e, ), lok. (i glob.) ma. v e, lok. (ani glob.) min. nemá (c) f na (,, na, ), lok. (i glob.) ma. v, lok. (ani glob.) min. nemá (d) f na (,, na, ), lok. (i glob.) min. v, lok. (ani glob.) ma. nemá (e) f na (, 6 a, ), na 6,, lok. min. v, lok. ma. v 6 (f) f na (, 65 a, ), na 65,, lok. min. v, lok. ma. v 65 8. Určete lokální etrémy a intervaly konvenosti a konkávnosti funkce f: f(). lok. min. v, lok. ma. v 8 7, f na (, a, ) (pozor, ne na R!). 9. Pro funkci f určete inflení body a intervaly, ve kterých je tato funkce konvení nebo konkávní: ln f() (b) f() + (c) f() ln f na (, e, na e, ), inflee v e (b) f na (,, na, ) a (, ), inflee v )
(c) f na (, e, na e, ), inflee v e. Nalezněte etrémy funkce f() ( 6) v intervalu, 8. min f, ma f.. Určete nejmenší a největší hodnotu funkce f() na intervalu I: f() e +, I,. min f, ma f 9e.. Nalezněte globální etrémy funkce f() e 8. min f e, ma f e.. Vypočtěte: ln(ln ) arctg d (b) d (c) + 5 d ( ( + ) arctg ) + c (b) ln (ln(ln ) ) + c (c). K funkci f nalezněte primitivní [ funkci, která prochází bodem A: f() arcsin, A, ] [ ] (b) f() sin, A 6 [, (c) f() sin cos, A 6, 5 ] 6 arctg + c F () arcsin + + (b) F () 9 (sin cos ) + 9 (c) F () cos 5. Vypočtěte integrál: (e) 5 ( + ) d (b) d (f) d (c) ( + ) 5 + 8 d d (d) ( + ) 6 (b) 8 (c) 6 (d) Γ() (e) ln (f) 6. Určete obsah plochy, ohraničené křivkami y, y a y. 8 7. Převodem na hodnotu funkcí Γ a B vypočtěte integrál: 5 e d (b) e d (c) d Γ() (b) Γ() (c) B ( 5, ) ( ) 6 Γ 6 8. Vypočtěte obecné řešení diferenciální rovnice: y ( ) y 5 (b) y y (c) y e y e (d) y + y (e) y y (f) y + 6y e e d + (g) y y + y (h) y + y + y (i) y + y + y ( + ) (j) y + y (k) y + 7y + y e { c ( ) y + 5, (, ) c ( ) + 5,, ), c R (b) y c e, c R, (, ) (c) y tg(c e ), c (, ), ( ln ( ) ) c +, pro c, ( ln ( ) ( )) c +, ln c pro c > (d) y ln + +c, c R, (, ), (, ), (, ) ( (e) y ), ln + c c R, (, ), (, ) (f) y 9 e + c e 6, c R, R (g) y c e + c e + + 6 + 7, c R, R
(h) y (c + c ) e +, c R, R (i) y (c + c ) e + +, c R, R (j) y c sin + c cos +, c R, R (k) y c e + (c ) e, c R, R 9. Vypočtěte partikulární řešení diferenciální rovnice určené počáteční podmínkou: y + y, y() (b) y + y, y() y e + (b) y + e ( ) n. 5. Určete diferenci posloupnosti a n ) n a n ( 5. Vypočtěte obecné řešení diferenční rovnice: y n+ y n+ + y n (b) y n+ + 6y n+ + 9y n (c) y n+ 6y n+ + 9y n (d) y n+ y n+ + y n (e) y n+ + y n (n ) n y n ( c cos n 6 + c ) sin n 6 n (b) y n (c + c n)( ) n + 6 (c) y n (c + c n) n + (d) y n c + c n + n (e) y n c ( ) n + ( n 9 ) n 5. Určete y n, jestliže y n n +, y 5. y n n + n + 5. Určete vzorec pro n-tý člen posloupnosti (y n ), která je zadána rekurentně podmínkami: y n+ y n+ 5y n, y, y (b) y n+ y n+ 5y n, y, y 7 y n 6 ( )n + 6 5n (b) y n 7 6 ( )n + 7 6 5n 5. Nalezněte předpis pro n-tý částečný součet posloupnosti (a n ): a n n n. y n + ( n ) n+ 55. Určete vzorec pro součet prvních n členů posloupnosti (a n ): a n + n, n N (b) a n + n, n N y n n + n + n (b) y n n + n + 9 6 n 56. S použitím diferenčních rovnic vypočtěte součet řady: lim [ 9 + ( n + ) ( 9 57. Vypočtěte součet řady: n 5. n. ) n ] 9 n ( ) n. 6 5. 58. Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci řady: n + 5 n (b) ( ) n n n (c) ( ) n n + n (d) KA (b) KN (c) KA (d) KN 59. Vyšetřete obor konvergence a součet funkční řady: ( + ) n ( ) n+ (b) n n+ n (c) ( ) n ( ) n pro 5 OK ( 5, ), s (+) (+5) pro ( 5, ) neeistuje pro pro (b) OK (, ), s pro (, ) neeistuje pro ( ) n arccotg n
(c) OK ( pro 7, ) 7 9, s ( 7) pro ( 7, ) 9 neeistuje pro 9 6. Vyšetřete obor konvergence funkční řady: n n n (b) n() n ( + ) n (c) n( ) n (d) () n OK, ) (b) OK (, ) (c) OK (, (d) OK, 6. Vyšetřete obor ( konvergence ) a absolutní konvergence řady: + n n n+ (b) n ( ) n OK, ( ), OAK, ) (b) OK OAK (, ) 6. Určete D(f), graficky jej znázorněte a rozhodněte, zda tato množina je otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní: f(, y) y ln(y + (b) f(, y) ln y arccos y ) D(f) { [, y] : y > y }, je otevřená, není uzavřená, omezená ani kompaktní (b) D(f) { [, y] : y ln y }, je uzavřená, není otevřená, omezená ani kompaktní 6. Graficky znázorněte definiční obor funkce f(, y) y + y. Dále vypočtěte f. f(, y) + y y y. 6. Určete druhý diferenciál funkce f(, y) v bodě C: f(, y) e y, C [, ]. d f(c)(h, h ) 6eh + 6eh h 8eh. 65. Rozhodněte, zda rovnice + y + y definuje v okolí bodu P [, ] implicitní funkci f proměnné. Pokud ano, určete f (). Ano, f (). 66. Určete lokální etrémy funkce f: f(, y) 6y + y. Lokální minimum v [6, 8], lokální maimum nemá, sedlo v [, ]. 67. Určete vázané etrémy funkce f(, y) vzhledem k vazební podmínce: f(, y) y, + y (b) f(, y) y +, y + (c) f(, y) y y +, y + min. f(, ), ma. f(, ) (b) min. f (, n ) 7, ma. neeistuje (c) min. f (, ), ma. neeistuje, 68. Určete lokální vázané etrémy funkce f(, y) +y na množině popsané rovnicí +y. Lokální vázané minimum v [, ], lokální vázané maimum v [, ]. 69. Určete absolutní etrémy funkce f(, y) na množině zadané danou nerovností: f(, y) + y + + y, + y. Minimum f(, ) 5, maimum f(, ). 7. Vyšetřete absolutní etrémy funkce f(, y) na úsečce AB: f(, y) + y + + y, A [, ], B [, 5]. Minimum f(, ), maimum f(b) 5.