D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde ( v bodě., azýváme tuto + azýváme tečou ke rau ukce azýváme ormálou ke rau ukce Věta. (o eisteci derivace Fukce má v bodě! derivaci právě tedy, když má v tomto bodě derivaci zprava i. zleva a platí + Věta. (o souvislosti spojitosti a eistece derivace Má-li ukce v bodě! vlastí derivaci, je v tomto bodě spojitá. Věta. Necť ukce, mají derivaci v bodě! a ecť c!. Pak platí [] : ( c ( c ( []( : ± ( ( ± ( []( : + []( ( 4:, Tvrzeí [] a [] lze zobecit: [ * ]:( c + c +! + c c + c +! + c [ * ]:(!! +! +! +! Věta 4. Necť ( a eistuje vlastí ( [] ( + ( [] ( c ( c, s a c " {}, pak platí Věta. (o derivaci superpozice ukcí Necť ukce má derivaci v bodě a ukce má derivaci v bodě y. Pak superpozice # y # má derivaci v bodě a platí ( Věta 6. (o derivaci iverzí ukce Necť ukce je spojitá a ryze mootóí a itervalu F, F a eistuje vlastí ebo evlastí (. Pak ukce má vlastí ebo evlastí derivaci v bodě y, přičemž platí: Je-li (, je ( ( y Je-li a je rostoucí, resp. klesající, je ( ( y, resp. ( ( y. Libovolá ukce má v libovolém budě ejvýše jedu derivaci.
Deiice. (vyšší derivace Pro -tou derivaci platí ( (, ( m ( m+ Věta 7. Pro -tou derivaci z ásledujícíc ukcí platí ( ( ( ( c + c +! + c c + c +! + c ( ( k ( k k k Věta 8. (derivováí implicitě zadaýc ukcí Implicitě zadaé ukce derivujeme tak, že závislé proměé y! y zapíšeme ve tvaru y,!, y a počítáme s imi jako s ukcemi (viz straa 7. Věta 9. (Derivace elemetáríc ukcí l ( ta ( arcsi a a a l a cos si ( loa ( cot ( arccos + ( arcta + ( arccot l l [ ] [ ] l ( l e e e l + N Ě K T E R É D Ů S L E D K Y V L A S T N O S T Í D E R I V A C E Věta. (Rolleova Necť ukce splňuje tyt předpoklady: ab, [] je spojitá a uzavřeém itervalu [ ] [] V každém bodě otevřeéo itervalu ( ab, má vlastí ebo evlastí derivaci [] Platí ( a ( b pak eistuje takové číslo c ( a, b, že ( c Věta. (Laraeova -. věta o středí odotě, věta o přírůstku ukce Necť ukce splňuje tyt předpoklady: ab, [] je spojitá a uzavřeém itervalu [ ] [] V každém bodě otevřeéo itervalu ( ab, má vlastí ebo evlastí derivaci ( b ( a Pak eistuje takové číslo c ( a, b, že ( c b a Věta. (Caucyova -. věta o středí odotě, věta o podílu přírůstku Necť ukce, splňují tyto předpoklady: ab, [] jsou spojitá a uzavřeém itervalu [ ] [] V každém bodě otevřeéo itervalu (, [] Platí pro ( a, b Pak eistuje takové číslo c ( a, b, že platí ab eistuje vlastí ebo evlastí a vlastí ( c b a c b a
Graická iterpretace. Rovice ( t, y ( t, t [ a, b] směricí její sečy určeé body ( a, ( a, ( b, ( b bodě ( c, ( c,,, a a b b. vyjadřují křivku v roviě!. Číslo. Číslo ( c c. Tedy teča v bodě ( c, ( c ( ( a ( a b b je je směricí její tečy v je rovoběžá se sečou jdoucí body L H O S P I T A L O V O P R A V I D L O lim lim, ebo Věta. (L Hospitalovo pravidlo Necť, jsou ukce a e! *. Necť platí buď lim. Eistuje-li lim a ", eistuje i lim a platí lim a. Věta 4. Neurčité výrazy typu, lze určit pravidlem. Ostatí limity je třeba vodě upravit (viz. Table. Table i :lim lm :lim lim ( ( l lim (,, :lim e D I F E R E N C I Á L F U N K C E Deiice 4. Fukce se azývá dierecovatelá v bodě!, jestliže eistuje δ!, δ > s vlastostí!(", δ Dom a takové číslo A!, že platí: ( A τ A, " azývá diereciálem ukce v bodě a začí se + +. V tomto případě se lieárí ukce d. Můžeme říct, že A je lieárí aproimací přírůstku ukce a τ ( je cyba této aproimace. Fukce τ ( je τ ( obecě taková, že platí lim. ( + τ + A + τ A+ ( + τ lim A+ lim, A ( Odtud vidíme, že d A
Často se používá zápis d d Proto d d. T A Y L O R Ů V V Z O R E C Deiice. Buď $ {} a ukce, jež má v bodě! derivace až do řádu. Potom polyom ( t : + + +! +, " se azývá Taylorův polyom!!! stupě ukce v bodě. V případě, kdy jej azýváme Maclauriovým polyomem. Deiice 6. (rozšířeá deiice kombiačío čísla Pro a ", $ klademe rovost (!( + a a a a! e + + + + +!!! 4 cos + + +! 4!! Table - Maclauriovy polyomy pro elemetárí ukce! o( l ( + +! + ( + o( +!!! +! + +! o( si +! + ( + o ( a a a a ( + + + +! + + o( Z ukcí uvedeýc v předcozí tabulce je možo tvořit ové ukce alebraickými operacemi a superpozicemi. Pro alezeí Taylorovýc polyomů takto vziklýc ukcí eí zpravidla vodý přímý výpočet pomocí derivováí jedodušší je provést příslušé operace přímo s T. polyomy. Je však třeba ověřit, že takto vskutku obdržíme T. polyom a jakéo stupě. O všec ukcíc předpokládejme, že mají v daém bodě derivaci řádu. + Součet ukcí. t t + t Souči ukcí. t t t (poz. # Superpozice ukcí. t t # t Podíl ukcí. Napíšeme polyom t t t pak určujeme eurčité koeiciety c, c,!, c. t ve tvaru t : c + c + c +! + c, ". Z rovosti Věta. Necť ukce má a itervalu J spojitou derivaci řádu a v F vlastí ebo evlastí derivaci řádu +. Pal eistuje takové číslo ( + + ( ξ + ξ ξ J, že platí r ( ξ +!!. Použijeme-li t t je polyom, který obdržíme, jestliže se v součiu polyomů polyom t t obecě polyomem stupě. t t omezíme pouze a čley s mociami stupě, a to ačkoliv je 4
ξ +Φ <Φ<, pak má zbytek tvar, ( + ( Φ ( +! +. ( + ( +Φ( ( ( +! + a pro Maclauriův polyom V Y Š E T Ř O V Á N Í P R Ů B Ě H U F U N K C E Věta 6. Budiž ukce spojitá v itervalu J, jež má v každém vitřím bodě itervalu J derivaci ( c. Potom je rostoucí v J tedy a je tedy, je-li v každém vitřím bodě itervalu J. Věta 7. Budiž ukce spojitá v itervalu J, jež má v každém vitřím bodě itervalu J druou derivaci ( c. Potom je koveí v J tedy a je tedy, je-li v každém vitřím bodě itervalu J.
P Ř Í KLADY Příklad. Z deiice derivace odvoďte ( ( ( ( + DEFINICE DERIVACE lim lim lim + Příklad. Z deiice derivace odvoďte ( cot si ( + si si ( + si cos( + cot cot cos cos cos cos cot + lim lim + lim + cos [ si cos + cos si ] si [ cos cos si si ] cos si cos cos si + si si + cos cos cos lim + lim cos ( cos cos si si cos si + si si cos ( cos si si cos + si lim lim cos cos Příklad. Z deiice derivace odvoďte ( l l l [] [] l l lu t lim lim lim lim lim lim u t t u t e t e t : u : t l u ( l [], [] DERIVOVÁNÍ a b a + b c d Příklad 4. Dokažte c + d c + d a b a b a c d a b c ac ad ac bc ad bc + + + + c d ad bc L P L P c + d ( c + d ( c + d ( c d ( c + d ( c d + + Příklad. Derivujte y + ( + + y + + + + + + + + + + + + 6
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ( + + + + + + + + + + ( + Příklad 6. Příklad 7. ( + DERIVOVÁNÍ IMPLICITNĚ ZADANÝCH FUNKCÍ Příklad 8. Pro y derivuj y yy y + y + + y Příklad 9. Pro ( t, y ( t y derivuj + + y y yy y + y Příklad. Pro y urči y z 4 y + l y + l y + 4 + y y y 4 y y yy y y y y + TAYLORŮV POLYNOM Příklad. Najděte Maclauriův polyom 4. stupě ukce y si lo( si!! 4 4 4 4 + o(, lo( + + + o( + : 4 4 si lo o o!! 4 6 4 4 ( + + + + + si Příklad. Najděte Maclauriův polyom. stupě ukce y ta : cos ta c + c+ c + c + c + c + o, 4 4 6 si + + o!!! k 4 c k + o cos + + o k! 4! 4 + + + + + + + ta + + +!!!! 4! 4 ( c c c c c4 c o( 7
c c c c c c c!!! c c c c c4 + c4 c + c! 4!! 4!! Příklad. Najděte Maclauriův polyom. stupě ukce π π : lcos,,, l + ( cos : 4 4 cos + + o cos + + o! 4!! 4! 4 4 4 y y y 4 lo( + y y + + o( + + 4! 4!! 4! 4 4 4 4 + + + o! 4!! 4 4. Příklad 4. Vypočtěte e s přesostí. Z Maclauriova polyomu plye ξ + e e + +! + + R, R, kde ξ leží mezi a. Pro! +! ( ( + ξ e. R < +! +! + ξ...: e < e < e < (protože e < 4. Je tedy Pro je ( + +. <! 4 4, tedy %. e +.+. +..7 6 Příklad. Vypočtěte číslo e s cybou meší ež. Φ Φ e e e e e + + +! + + r, r,<φ < < < <!!! +! +! +! +! < +!> 6 +! má být ( 8
Derivace ukce... Některé důsledky vlastostí derivace... L ospitalovo pravidlo... Diereciál Fukce... Taylorův vzorec...4 vyšetřováí průběu ukce... Příklady...6 Derivováí implicitě zadaýc ukcí...7 Taylorův polyom...7 Table... Table - Maclauriovy polyomy pro elemetárí ukce...4 9