24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly: iverzí matice, regulárí matice, matice adjugovaá, Gaussova metoda iverze matic,přirozeá a celočíselá mocia matice Čas potřebý k prostudováí učiva kapitoly: 0,5 + 1,5 hodiy (teorie + řešeí příkladů)
Defiice Iverzí maticí k čtvercové matici azýváme (pokud existuje) takovou matici typu, pro kterou platí = = E, kde E je jedotková matice Věta Následující výroky jsou ekvivaletí: a) Iverzí matice k matici řádu existuje b) Hodost matice je rova jejímu řádu, tj h( ) c) Determiat matice je růzý od uly d) Matice je regulárí = Pozámka Vidíme, že regulárí matici můžeme defiovat třemi způsoby: det 0 h = ( ) Vlastosti iverzí matice Věta Pro libovolé čtvercové matice, B téhož řádu platí: ( ) = ( ), det ( ) = = ( det ) 1 1 1 det B = B, ( ) 1 1 1 Důkaz Důkaz druhého vzorce a základě vlastostí determiatů je velmi sadý: Cbd = E det = det E det det = 1 det = det Výpočet iverzí matice Věta 1 Iverzí matici k regulárí matici ( ) a řádu lze vyjádřit ve tvaru 11 21 1 1 1 det det 1 2 12 22 2 = = kde je algebraický doplěk prvku a Pozámka Matici ( ) ( ), stejého, tj traspoovaé matici algebraických doplňků, se říká matice adjugovaá
Gaussova metoda iverze matic K určeí iverzí matice se kromě uvedeého výpočtu pomocí adjugovaé matice používá (zejméa pro vyšší řády) tzv Gaussovy metody ato metoda je založea a tom, že k iverzí matici lze přejít pomocí pouze řádkových (ebo pouze sloupcových) elemetárích úprav matice, přičemž ejprve se sažíme dostat jedotkovou matici E a pak aplací týchž elemetárích úprav ve stejém pořadí přejdeme od matice E k iverzí matici V praxi vždy vystačíme se třemi operacemi: přičteím lieárí kombiace řádků k jiému řádku, vyásobeím řádku číslem růzým od uly a přehozeím pořadí řádků Pokud eí možo uvedeým postupem obdržet matici E, je matice sigulárí Řešeý příklad 1 Ivertujte matici ( ) 2 2 = 1 3 Řešeí 3 1 Pomocí adjugovaé matice: Matice algebraických doplňků je ( 2 2) 3 2 3 2 ( 2), dále sado spočítáme det =2 3 ( 2) 1 = 8 udíž = ( ) 1 8 2, po traspozici 2 Gaussovou metodou: Matici a jedotkovou matici E si apíšeme vedle sebe (do tzv blokové matice) a elemetárí úpravy provádíme současě a obou maticích: 2 21 0 2 21 0 2 21 0 4 0 ( E) = ( 1 3 0 1) ( 2 60 2) ( 0 81 2) ( 0 8 1 2) 3 2 8 0 3 2 1 0 3 2 ( 0 8 1 2) ( 0 1 1 2 ) = ( E ) = 2 Celočíselá mocia matice Defiice Pro čtvercovou regulárí matici a defiujeme celočíselou mociu takto: a) =, tz jako opakovaé ásobeí stejých matic b) c) čiitelů =, tz jako opakovaé ásobeí iverzích matic 0 = E čiitelů Pozámka m a) Nyí tedy máme defiová symbol pro libovolé celé m, kladé, ulové i záporé b) Symbol můžeme číst jako matici iverzí k matici ebo i jako ( 1) mociu matice, a základě uvedeé defiice je to jedo Věta Obdobě jako pro číselé mociy pro čtvercovou regulárí matici a m, Z platí: m m + =, m = m
Pozámka Pozor! Některé vzorce, platé pro číselé mociy, elze přejímat pro maticové mociy, zejméa proto, že pro ásobeí matic eplatí komutativí záko Např obecě může být ( ) B B Shrutí kapitoly: Iverzí maticí k daé čtvercové matici je matice stejého typu, pro kterou platí, že souči obou matic v libovolém pořadí dává jedotkovou matici Iverzí matici začíme Iverzí matice existuje pouze k maticím regulárím, tz takovým, jejichž determiat je růzý od uly Je třeba zát základí vlastosti iverzí matice Např determiat iverzí matice je rove převráceé hodotě determiatu původí matice; iverzí matice k součiu matic je rova součiu iverzích matic (čiitelů) v obráceém pořadí aj Vypočítat iverzí matici k daé matici lze dvěma základími způsoby Prvím je výpočet pomocí adjugovaé matice (traspoovaé matice algebraických doplňků), druhým je tzv Gaussova metoda iverze matic Pro vyšší řády je vhodější Gaussova metoda, protože metoda pomocí adjugovaé matice vyžaduje výpočty determiatů Přirozeou mociu matice, kde N, která je defiováa jedoduše jako -ásobý opakovaý souči matice, můžeme yí s využitím iverzí matice zobecit pro libovolý celočíselý základ m Z Pro celočíselou mociu matice platí ěkteré (pozor, e všechy!) věty jako m m pro číselé mociy, apř platí vzorec = + Otázky: Jak je defiováa iverzí matice? K jakým maticím existuje iverzí matice? Uveďte základí vlastosti iverzích matic Jak vypadá matice iverzí k matici traspoovaé? Jak je to s determiatem iverzí matice? Jak se dá vyjádřit iverzí matice k součiu matic? Jaké záte metody výpočtu iverzí matice? Formulujte přesě metodu výpočtu iverzí matice pomocí matice adjugovaé V čem tkví její áročost? Formulujte algoritmus Gaussovy metody iverze matic Defiujte celočíselou mociu matice Jak souvisí celočíselá mocia matice s iverzí maticí?
Příklad 1 Vypočítete iverzí matici (do třetího řádu oběma metodami, čtvrtého řádu pouze Gaussovou metodou): 1 3 2 2 a) ; b) 4 7 1 ; c) 2 1 3 3 2 1 2 0 1 1 1 e) 1 1 1 ; f) 2 3 2 1 0 2 3 2 3 1 1 3 2 ; d) 2 1 3 3 2 ; Řešeí příkladů 1a) 1e) 7 7 7 7 2 4 ; 1b) 1 1 2 ; 1c) 7 5 1 14 7 1 5 15 5 6 3 1 2 1 2 0 2 1 9 8 3 2 2 ; 1f) 1 0 3 3 5 3 2 0 0 ; 1d) [ eexistuje ]; Další zdroje: 1 POLÁK, J Přehled středoškolské matematy 6 vyd Praha: Prometheus, 1997 2 POLÁK, J Středoškolská matemata v úlohách I 1 vyd Praha: Prometheus, 1996 3 POLÁK, J Středoškolská matemata v úlohách II 1 vyd Praha: Prometheus, 1996 4 REKORYS, K a spol Přehled užité matematy 6 přepr vyd Praha: Prometheus, 1995 ZÁVĚR: [ady klepěte a pište]