2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice 2.1. (Funkční řd) Nechť v intervlu I je definován posloupnost funkcí {f n (x)} n=1. Funkční řdou rozumíme výrz tvru f k (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f n (x) +.... (2.1) Dosdíme-li z x určité číslo x 0 I, obdržíme z funkční řd (2.1) číselnou řdu tvru f k (x 0 ) = f 1 (x 0 ) + f 2 (x 0 ) + + f n (x 0 ) +.... (2.2) Konverguje-li číselná řd (2.2), řekneme, že funkční řd (2.1) konverguje pro x = x 0. Definice 2.2. (Obor konvergence) Nechť I I znčí množinu všech těch čísel x z množin I, pro která funkční řd (2.1) konverguje. Množinu I nzýváme konvergenčním oborem (nebo oborem konvergence) funkční řd (2.1). Definice 2.3. (Částečný součet zbtek) Funkci s n (x) tvru s n (x) = n f k (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f n (x) (2.3) nzýváme n-tým částečným součtem funkční řd (2.1). Výrz R n (x) = f n+k (x) = f n+1 (x) + f n+2 (x) +... nzýváme n-tým zbtkem řd (2.1). Součtem funkční řd (2.1) rozumíme funkci s(x) = lim n s n(x), (2.4) která je definován n množině I (tj. je definován pro všechn x, ve kterých existuje konečná limit lim n s n (x)). Potom píšeme s(x) = f k (x), x I. (2.5) Poznámk 2.4. Součtem nekonečné řd funkcí je ted opět funkce. Všimněme si všk, že tento součet nemusí být definován n celém intervlu I (kde jsou definováni jednotliví sčítnci), le obecně pouze n nějké jeho podmnožině I. Při určování oboru konvergence I čsto s výhodou užíváme limitního podílového nebo odmocninového kritéri. Příkld 2.5. Určeme obor konvergence řd x k = 1 + x + x 2 +.... ÚM FSI VUT v Brně 10
2. Funkční řd Studijní text Řešení. Všechn funkce f k (x) = x k (k = 1, 2,... ) jsou definován v I = (, ). Pltí f k+1 (x) f k (x) = x k x k 1 = x. Podle limitního podílového kritéri konverguje řd xk pro x < 1, tj. v intervlu ( 1, 1). Konvergenci v krjních bodech posoudíme doszením do dné řd. Pro x = 1 dostáváme divergentní řdu 1k 1 pro x = 1 dostáváme oscilující řdu ( 1)k 1. Konvergenční obor je ted tvru I = ( 1, 1), přičemž konvergence je bsolutní. Všimněme si nvíc, že uvedená funkční řd je řdou geometrickou (s kvocientem q = x). Podle vzorce pro součet geometrické řd ted pltí x k = 1, x ( 1, 1). 1 x Následující příkld ukzuje, že konvergenční obor nemusí být nutně intervl. Příkld 2.6. Určeme konvergenční obor řd cos k x = cos x + cos 2 x + cos 3 x +.... Řešení. Anlogickým postupem jko v předcházejícím příkldu lze ověřit, že dná řd konverguje, právě kdž cos x < 1. Tto nerovnost je splněn pro všechn reálná x, s výjimkou celočíselných násobků π. Ted I = (, ) {kπ; k je celé číslo}. Poznámk 2.7. Zkusme se zmslet nd tím, zd může existovt funkční řd, jejíž obor konvergence I je prázdná množin. Necháme-li se inspirovt předcházejícími příkld, pk vidíme, že obě výše uvedené funkční řd bl geometrické s hodnotou kvocientu q = x, resp. q = cos x. Zřejmě ted stčí vmslet příkld tkové geometrické funkční řd, b hodnot q (nní závisející n x) neležel pro žádné x v otevřeném intervlu ( 1, 1) (připomeňme, že pouze pro tto hodnot kvocientu geometrická řd konverguje). Tuto vlstnost má npř. funkce e x2, neboť e x2 1 pro všechn reálná x. Položíme-li ted q = e x2, pk odpovídjící geometrická řd ( e x 2) k = e kx2 = 1 + e x2 + e 2x2 +... nekonverguje pro žádné x (, ), ted její obor konvergence je prázdná množin. Jednou ze zákldních otázek v teorii funkčních řd je problém, nkolik se některé zákldní vlstnosti konečných součtů přenášejí i n součt nekonečné. Zjímt se budeme především o zchování tří následujících vlstností, které dobře známe z diferenciálního počtu: 1) Jsou-li funkce f 1 (x),..., f n (x) spojité n I, potom je n I spojitý tké jejich součet. 2) Integrál ze součtu funkcí je roven součtu integrálů těchto funkcí: ( b n ) n f k (x) dx = f k (x) dx. 3) Derivce součtu je rovn součtu derivcí: ( n ) n f k (x) = f k(x). ÚM FSI VUT v Brně 11
2. Funkční řd Studijní text Je přirozené se domnívt, že tto vlstnosti pltí i pro součt nekonečné. To všk obecně není prvd. Příkld 2.8. Uvžujme funkční řdu x + (x 2 x) + (x 3 x 2 ) +.... (2.6) Určeme obor konvergence ukžme, že tto řd konverguje n tomto oboru k nespojité funkci. Řešení. Člen této řd jsou funkce f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 x, f 3 (x) = x 3 x 2,..., ted funkce spojité (dokonce libovolně mnohokrát derivovtelné) n (, ). Nejprve určíme konvergenční obor I této funkční posloupnosti, tj. určíme množinu všech x, pro která dná řd konverguje. Pro její n-tý částečný součet pltí s n (x) = x + (x 2 x) + (x 3 x 2 ) + + (x n x n 1 ) = x n. Pro x > 1 je ted zřejmě lim n s n (x) = +, kdežto pro x < 1 tto limit neexistuje (neboť s 2k+1 (x), s 2k (x) ). Dále s n (1) = 1 pro všechn n, tj. lim n s n (1) = 1, kdežto lim n s n ( 1) neexistuje, protože s 2k+1 ( 1) = 1 s 2k ( 1) = 1. Je-li konečně x ( 1, 1), potom lim n s n (x) = 0. Máme ted tento výsledek: Konvergenční obor I posloupnosti funkcí s n (x) = x n je I = ( 1, 1, přičemž limitní funkce s(x) je tvru { 0, x ( 1, 1) s(x) = lim s n(x) =. n 1, x = 1 Zjistili jsme ted, že řd spojitých funkcí f n (x) konverguje v intervlu I = ( 1, 1 k nespojité funkci s(x), která má bod nespojitosti v x = 1 (viz obr. 2.1). 1 1 s 1 (x) x 1 1 x 1 s 2 (x) s 4 (x) s 3 (x) 1 s(x) 2 2 Obr. 2.1: Konvergence k nespojité funkci Je proto třeb zvést silnější tp konvergence funkčních řd, tzv. stejnoměrnou konvergenci, jejíž splnění umožní přenést poždovné vlstnosti i n nekonečné součt. Protože zvedení tohoto pojmu činí studentům obvkle jisté potíže, uvedeme poněkud neformální geometrickou definici stejnoměrné konvergence. Definice 2.9. (Stejnoměrná konvergence funkčních řd) Řekneme, že funkční řd (2.1) konverguje stejnoměrně v intervlu I k funkci s(x), jestliže posloupnost částečných součtů {s n (x)} n=1 této řd splňuje tuto vlstnost: vezmeme-li libovolně úzký pás obshující funkci s(x), pk vžd existuje tkový člen s N (x) dné posloupnosti částečných součtů, že tento člen všechn následující (tj. s N+1 (x), s N+2 (x),... ) leží v tomto pásu pro všechn x I. Pk píšeme f k (x) s(x), x I. Obor stejnoměrné konvergence budeme znčit I, protože může být jen částí oboru konvergence I. ÚM FSI VUT v Brně 12
2. Funkční řd Studijní text s(x) s N+1 (x) s N (x) s 3 (x) s 2 (x) s 1 (x) b x Obr. 2.2: Stejnoměrná konvergence Tuto definici ilustruje obrázek 2.2, kde I je intervl s krjními bod, b. Z tohoto obrázku rovněž vidíme, proč konvergence řd (2.6) k nespojité součtové funkci s(x) nemůže být v intervlu ( 1, 1 stejnoměrná. Pro prktické ověření stejnoměrné konvergence není uvedená definice příliš použitelná. Protože v plikcích čsto stčí pouze rozhodnout, zdli je dná funkční řd stejnoměrně konvergentní (její součet nepotřebujeme přitom znát), uvedeme následující jednoduché kritérium stejnoměrné konvergence. Vět 2.10. (Weierstrssovo kritérium) Funkční řd f k(x) je stejnoměrně konvergentní v intervlu I, jestliže k ní existuje mjorntní konvergentní číselná řd A k, tj. konvergentní řd, jejímiž člen jsou konstnt A k splňující pro všechn k všechn x I nerovnosti f k (x) A k, x I, k = 1, 2,.... V následujících třech větách uvedeme zákldní vlstnosti stejnoměrně konvergentních řd, které nám především umožní tto nekonečné funkční řd derivovt, resp. integrovt člen po členu. Vět 2.11. (Spojitost funkční řd) Nechť funkce f k (x) (k = 1, 2,... ) jsou spojité v intervlu I nechť funkční řd f k(x) stejnoměrně konverguje k funkci s(x) v tomto intervlu. Pk funkce s(x) je tké spojitá v intervlu I. Vět 2.12. (Integrce funkční řd) Nechť funkce f k (x) (k = 1, 2,... ) jsou integrovtelné v intervlu, b. Nechť funkční řd f k(x) stejnoměrně konverguje k funkci s(x) v intervlu, b. Pk funkce s(x) je tké integrovtelná v, b pltí s(x) dx = ( ) b f k (x) dx, tj. (f 1 (x) + f 2 (x) +... ) dx = f 1 (d) dx + f 2 (x) dx +.... Vět 2.13. (Derivce funkční řd) Nechť funkce f k (x), f k (x) (k = 1, 2,... ) jsou spojité n intervlu I. Nechť funkční řd f k(x) konverguje k funkci s(x) v intervlu I nechť řd derivcí f k (x) konverguje v tomto intervlu stejnoměrně. Pk má s(x) v I derivci pltí s (x) = f k(x), x I, tj. (f 1 (x) + f 2 (x) +... ) = f 1(x) + f 2(x) +..., x I. ÚM FSI VUT v Brně 13
2. Funkční řd Studijní text Příkld 2.14. Funkce s(x) je dán vzthem s(x) = 2 k = sin x sin 2x sin 3x + + +.... 2 4 8 Ukžme, že s(x) je definovná spojitá pro všechn reálná x vpočítejme její derivci. Řešení. Zřejmě pltí ( f k (x) = k 1 2 k 2), x (, ), k = 1, 2,.... Mjorntní číselná řd ( 1 k 2) konverguje, ted podle Weierstrssov kritéri dná funkční řd konverguje stejnoměrně n celé reálné ose. Odtud tké plne spojitost s(x) pro všechn reálná x. Nní prověříme, zd n (, ) konverguje stejnoměrně tké řd prvních derivcí f k (x). Vskutku, f k(x) = k cos kx 2 k k, x (, ), k = 1, 2,.... 2k Konvergenci mjorntní řd k/ 2 k ověříme sndno užitím limitního podílového kritéri. Ted podle Weierstrssov kritéri řd prvních derivcí konverguje stejnoměrně, podle vět o derivování funkční řd existuje s (x) pltí s (x) = ( ) 2 k = k cos kx 2 k = cos x 2 cos 2x 3 cos 3x + + +..., x (, ). 2 4 8 Shrnutí pozntků o funkčních řdách Sečtením nekonečně mnoh funkcí obdržíme opět funkci, která všk nemusí být definován n definičním oboru jednotlivých sčítnců, le obecně pouze n nějké jeho podmnožině (t se určí jko množin všech x, pro která dná řd konverguje; může se stát, že řd nekonverguje pro žádné x, pk součtová funkce není definován nikde). Zákldní vět mtemtické nlýz o spojitosti, derivci integrci součtu dvou (resp. konečně mnoh) funkcí nelze utomtick rozšířit n nekonečné součt. Ke splnění těchto vlstností je třeb vždovt silnější tp konvergence, tzv. stejnoměrnou konvergenci. ÚM FSI VUT v Brně 14