66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak je f rostoucí na I. Je-li f ) < 0 pro každé I, pak je f klesající na I. Definice 3. Nechť 0 Df). Tento bod se nazývá stacionární, pokud f 0 ) = 0. Poznámka 4. Lokální etrém může nastat buď ve stacionárním bodě nebo v bodě, kde f 0 ) neeistuje. Věta 5. Nechť je funkce f) spojitá v bodě 0 a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí O{ 0 } \ 0. Jestliže pro všechna O 0 ), < 0, je f 0 ) > 0 f 0 ) < 0) a jestliže pro všechna O{ 0 }, > 0, je f 0 ) < 0 f 0 ) > 0), pak má funkce f) v bodě 0 ostré lokální maimum minimum). Věta 6. Nechť f 0 ) = 0. Je-li f 0 ) > 0, pak má funkce f) v bodě 0 ostré lokální minimum. Je-li f 0 ) < 0, pak má funkce f) v bodě 0 ostré lokální maimum. Konvenost, konkávnost a inflení body Důsledek 7. Nechť I je otevřený interval a funkce f) má vlastní druhou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak je f ostře konvení na I. Je-li f ) < 0 pro každé I, pak je f ostře konkávní na I. Definice 8. Nechť 0 Df). Tento bod se nazývá kritický, pokud f 0 ) = 0. Věta 9. Nechť 0 je inflení bod a nechť eistuje f 0 ). Potom f 0 ) = 0. Nechť f 0 ) = 0 a eistuje okolí O δ 0 ) takové, že platí f 0 ) < 0 pro každé 0 δ, 0 ) a f 0 ) > 0 pro každé 0, 0 + δ), nebo naopak. Pak je 0 inflením bodem funkce f). Nechť f 0 ) = 0 a f 0 ) 0. Pak je 0 inflením bodem funkce f). Poznámka 0. Inflením bodem může může být buď kritický bod nebo bod, kde f 0 ) neeistuje. Zde je potřeba dát pozor na definici infleního bodu. V některých publikacích bývá inflení bod definován jako kritický bod, v němž druhá derivace mění znaménko, což znamená, že v inflením bodě musí eistovat vlastní druhá derivace, jejíž hodnota je rovna nule. Inflení body bývají někdy ještě rozdělovány do dvou kategorií podle chování f 0 ). Pokud 0 je inflení bod a současně f 0 ) = 0, nazývá se bod 0 sedlovým bode též stacionární inflení bod), a pokud 0 je inflení bod s f 0 ) 0, hovoříme o nestacionárním inflením bodě. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 67 Asymptoty Definice. Buď 0 R. Přímka = 0 se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže má f v 0 alespoň jednu itu nevlastní, tj. f) = ± nebo f) = ±. 0 + 0 Věta. Přímka y = a + b je asymptotou se směrnicí funkce f pro + právě tehdy, když eistují konečné ity f) + Analogické tvrzení platí pro. Vyšetřování průběhu funkce postup = a, f) a) = b. + i) Definiční obor; ii) spojitost, charakterostika bodů nespojitosti; iii) lichost, sudost, periodičnost; iv) f) = 0, intervaly, kde je funkce kladná a záporná; v) f ) = 0 a Df ); vi) monotonie, etrémy; vii) f ) = 0 a Df ); viii) konvenost, konkávnost, inflení body; i) asymptoty bez směrnice a směrnicí; ) graf funkce. http://user.mendelu.cz/hasil
68 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 47) Zjistěte, zda je funkce sudá, nebo lichá. f) = 3 sin e Připomeňme, že funkce je sudá, jestliže je její graf symetrický dle osy y, tj. f ) = f), a lichá, jestliže je její graf symetrický dle počátku soustavy souřadnic, tj. f ) = f). Spočtěme tedy, čemu se rovná f ). f ) = ) 3 e ) sin ) = 3 e sin ) = 3 e sin = f). Daná funkce je tedy lichá. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 69 48) Zjistěte, zda je funkce sudá, nebo lichá. f) = + 5) cotg 7 ln 3 Spočtěme, čemu se rovná f ). f ) = )[ ) + 5] cotg ln 3 ) = + 5) ) cotg ) 3 7 ln 7 = + 5) cotg ln 3 = + 5) cotg ln 3 = f). 7 7 Daná funkce je tedy sudá. http://user.mendelu.cz/hasil
70 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 49) Zjistěte, zda je funkce sudá, nebo lichá. Spočtěme, čemu se rovná f ). f ) = ) ) + sin ) f) = + sin = + + sin Daná funkce tedy není ani sudá, ani lichá. = + + sin ±f). http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 7 50) Rozhodněte o kladnosti a zápornosti funkce f) = ) esin arccotg. Funkce může změnit znaménko pouze ve svém nulovém bodě protnutím osy ), nebo v bodech, kde není definována přeskočením osy ). Proto nejprve určíme definiční obor dané funkce Df) = R. Nyní najdeme nulové body této funkce f) = 0, ) e sin arccotg = 0, ) e sin = 0, = 0, =. Obdrželi jsme celkem dva intervaly, na nichž musíme zjistit znaménko funkce., ), ) sgn f + f záporná kladná Daná funkce je tedy záporná její graf je pod osou ) v intervalu, ) a kladná její graf je nad osou ) v intervalu, ). http://user.mendelu.cz/hasil
7 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 5) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = 5 5 4 40 3 + 60. Nejdříve určíme definiční obor funkce f). Je zřejmé, že platí Df) = R. Spočítáme první derivaci, tj. f ) = 60 4 60 3 0 = 60 ). Nyní musíme určit definiční obor pro f ), ten je očividně Df ) = R, a stacionární body funkce f), tedy musíme vyřešit rovnici f ) = 0. Proto 60 ) = 0 = 0 nebo = 0 = 0, =, 3 =. Tyto body nám rozdělí definiční obor rozdělí na čtyři intervaly, ),, 0), 0, ) a, ), ve kterých zjistíme znaménka f ). Podle těchto znamének určíme průběh funkce v jednotlivých intervalech a určíme případné etrémy. K tomu nám pomůže následující tabulka, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f Odtud je vidět, že funkce f) je rostoucí v intervalech, ), a, ), klesající v, ). Funkce f) má dva lokální etrémy, lokální maimum pro = a lokální minimum pro =. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 73 5) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = e. Stejným postupem jako v předchozím příkladě obdržíme Df) = R, f ) = e e = e ) a Df ) = R. Nyní určíme stacionární body funkce f), proto e ) = 0 = 0 = = a =. Nyní se nám definiční obor funkce f) rozpadl na tři intervaly, ve kterých určíme průběh funkce, tj., ), ) ), sgn f + f, ) a klesající v intervalech Tedy funkce f) je rostoucí v intervalu, ),. Také má dva lokální etrémy, konkrétně lokální minimum pro = a lokální maimum pro =. ), http://user.mendelu.cz/hasil
74 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 53) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = ln. Určíme potřebné definiční obory a derivaci f), tj. Df) = 0, ), ), f ln ) =, Df ) = 0, ), ). ln Určíme stacionární body, proto ln ln ) = 0 ln = 0 nebo ln = = 0 nebo = e. Ovšem bod Df), proto je stacionárním bodem pouze. Nyní analyzujeme monotonii funkce f), tj. 0, ) ) ), e e, sgn f + f Tedy funkce f) je klesající v intervalech 0, ), a, e), rostoucí v intervalu e, ) a s lokálním minimem pro = e. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 75 54) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = sin, 0, π). Nejdříve určíme definiční obory ty jsou určeny již zadáním příkladu) a f ), tj. Df) = 0, π), f ) = cos, Df ) = 0, π). Najdeme stacionární body cos = 0 cos = = π 3 a = 5π 3. A analyzujeme monotonii funkce f) ) 0, π π, ) 5π 5π, π) 3 3 3 3 sgn f + f Funkce f) je tedy rostoucí na intervalu π, ) ) 5π 3 3 a klesající na intervalech 0, π 3, 5π, π). Funkce má také dva lokální etrémy, lokální minimum pro = π a lokální 3 3 maimum v bodě = 5π 3. http://user.mendelu.cz/hasil
76 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 55) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = ln. Nejdříve určíme definiční obory a f ), tj. Df) = 0, ), f ) = + ln ), Df ) = 0, ). Najdeme stacionární body + ln ) = 0 ln = = e = e. A analyzujeme monotonii funkce f) 0, e) e, ) sgn f + f Funkce f) je tedy rostoucí na intervalu e, ) a klesající na intervalu 0, e). Funkce má také lokální minimum pro = e. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 77 56) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = + 3) e. Nejdříve určíme definiční obory a f ), tj. Df) = R, f ) = + 4 + 3 e, Df ) = R. Najdeme stacionární body + 4 + 3 e = 0 + 4 + 3 = 0 + ) + 3) = 0 = nebo = 3. A analyzujeme monotonii funkce f), 3) 3, ), ) sgn f + f Funkce f) je tedy rostoucí pro 3, ) a klesající pro, 3), ). Funkce má lokální minimum pro = 3 a lokální maimum pro =. http://user.mendelu.cz/hasil
78 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 57) Rozhodněte o konvenosti a konkávnosti funkce f) = + 3) e. K analyzování chování tečen grafu funkce f) použijeme postup analogický vyšetřování monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f ). Tedy, nejdříve určíme definiční obory a f ), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f ) tu ale již známe z příkladu 56, tedy Df) = R, f ) = + 4 + 3, f ) = +, Df ) = R. e e Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f ) = 0, tj. + e = 0 + = 0 = a = +. Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f ), tj., ), + ) +, ) sgn f + + f Funkce f) je konvení v intervalech, ) a +, ), konkávní v intervalu, + ) a má dva inflení body pro = a = +. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 79 58) Rozhodněte o konvenosti a konkávnosti funkce f) = 4 3 + 7 3. K analyzování chování tečen grafu funkce f) použijeme postup analogický vyšetřování monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f ). Tedy, nejdříve určíme definiční obory a f ), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f ), tj. Df) = R, f ) = 4 3 6 4 + 7, f ) = 4, Df ) = R. Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f ) = 0, tj. 4 = 0 = a =. Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f ), tj., ), ), ) sgn f + + f Funkce f) je konvení v intervalech, ) a, ), konkávní v intervalu, ). Funkce má dva inflení body pro = a =. http://user.mendelu.cz/hasil
80 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 59) Rozhodněte o konvenosti a konkávnosti funkce f) = e. Nejdříve určíme definiční obory a f ), tj. Df) = R, f ) = e Nyní určíme kritické body, tj. ), f ) = e 3 ), Df ) = R. e 3 ) = 0 = 0 nebo = 3 = 0, = 3 a 3 = 3. Teď se nám definiční obor rozpadl na čtyři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f ), tj., ) 3 ) 3, 0 0, ) 3, ) 3 sgn f + + f Funkce f) je konvení v intervalech 3, 0) a 3, ), konkávní v, 3) a 0, 3). Funkce má tři inflení body pro = 0, ± 3. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 8 60) Rozhodněte o konvenosti a konkávnosti funkce f) = 5 3. Nejdříve určíme definiční obory a f ), tj. Df) = R, f ) = 3 5 5, f ) = 6 5 5, 7 Df ) = R \ {0}. Rovnice 6 5 5 = 0 7 nemá řešení. Ovšem druhá derivace neeistuje pro = 0, proto nám tento bod rozdělí definiční obor funkce f) na dva intervaly, proto, 0) 0, ) sgn f + f Funkce f) je konvení na intervalu, 0) a konkávní na intervalu 0, ). Funkce má inflení bod pro = 0. http://user.mendelu.cz/hasil
8 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 6) Určete asymptoty bez směrnice funkce f) =. Určíme definiční obor funkce f), tj. Df) = R \ {0}, proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je = 0. Musíme ověřit itní chování funkce f) v tomto bodě, tj. 0 = +. Proto eistuje asymptota bez směrnice a je dána rovnicí = 0. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 83 6) Určete asymptoty bez směrnice funkce f) = 5 + sin. Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě. Určíme definiční obor funkce f), tj. Df) = R \ {0}, proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je = 0. Musíme ověřit itní chování funkce f) v tomto bodě, tj. 5 + sin ) =. 0 Proto asymptota bez směrnice neeistuje. http://user.mendelu.cz/hasil
84 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 63) Určete asymptoty v ± funkce f) = 3. K určení rovnice asymptoty se směrnicí budeme postupovat dle daných vzorců, proto a = b = f) = f) a) = 3 = 3 3 = ) 3 3 = 3, 3 3 + 3 = 3 = = 3. Při výpočtu jsme využili možnost nerozlišovat, zda itu počítáme v + nebo toto samozřejmě v některých případech není možné a asymptoty se mohou lišit). Proto rovnice asymptoty se směrnicí je v obou směrech rovna y = 3 + 3. = http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 85 64) Určete asymptoty funkce f) = 4 + 3 4. Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor Df) = R \ {±}. V dírách definičního oboru vypočítáme jednostranné ity, tj. { 4 + 3 4 = 4 + 3 +, ) + ) =,, +, 4 + 3 4 = 4 + 3 ) + ) = { +,,, +. Funkce f) má tedy dvě asymptoty bez směrnice o rovnicí = a =. Nyní určíme asymptoty se směrnicí, tj. a = b = 4+ 3 4 = 4 + 3 4 + 4 + 3 4 = 3 ) = 4 + 3 4 =, 4 + 3 + 4 3 4 = Funkce f) má asymptotu se směrnicí o rovnici y =. 4 + 4 4 = 0. http://user.mendelu.cz/hasil
86 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 65) Určete asymptoty funkce f) = e +. Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor Df) = R \ { }. Vypočítáme jednostranné ity v, tj. { e +, + + =,,, Funkce f) má tedy asymptotu bez směrnice o rovnici =. Nyní určíme asymptoty se směrnicí, tj. a = = e + = e + = e + l H.p. e = + l H.p. e = =, e = 0. + V dalším nás tedy zajímá pouze směr do, proto e b = + = 0. Funkce f) má asymptotu se směrnicí pouze ve směru o rovnici y = 0. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 87 66) Vyšetřete průběh funkce f) = 3. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = R \ {±}. ii) Zjistíme itní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme ) 3 3 + = + + = +, ) 3 3 = + =, 3 + = +, 3 =. iii) Poněvadž platí f ) = 3 = f), je zadaná funkce lichá to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 3 = 0 = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f záporná kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 3 ) ), Df ) = R \ {±}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 3 ) = 0 = 0, = 3, 3 = 3,, ) 3 ) 3,, 0) 0, ), ) 3, ) 3 sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má lokální maimum pro = 3 a lokální minimum pro = 3. Ve význačných bodech lok. etrémy, infl. body) je vhodné znát i jejich funkční hodnotu, proto spočítáme f ) 3 ) 3 = 3 3 a f = 3 3. http://user.mendelu.cz/hasil
88 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = + 3 ) ), 3 Df ) = R \ {±}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 + 3 ) = 0 = 0,, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f Funkce f) má tedy v bodě = 0 inflení bod. Z předchozího již víme, že f0) = 0. V inflením bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f 0) = 0, což znamená, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích = a =. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = 3 = = ) 3 = =, 3 3 + b = = = 0. Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y =. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 7. Graf funkce f) z Příkladu 66. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 89 67) Vyšetřete průběh funkce f) = +. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že + 0. Proto máme Df) = R \ { }. ii) Zjistíme itní chování v bodu nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme + + = + + = + ) =, + = = ) =. + iii) Poněvadž platí f ) = + ±f), není zadaná funkce ani lichá, ani sudá což je vidět už z nesymetrie definičního oboru). Vzhledem k definičnímu oboru je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0 = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), 0) 0, ) sgn f + f kladná záporná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = + ), Df ) = R \ { }. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 + ) = 0 = 0, =., ), ), 0) 0, ) sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce má v = lokální minimum a v = 0 lokální maimum. Spočtěme v těchto význačných bodech funkční hodnotu. f ) = 4, f0) = 0. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = + ) 4 = + ) 3, Df ) = R \ { }. http://user.mendelu.cz/hasil
90 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 = 0, což je nesmysl. Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem zapomenout, že její znaménko se může změnit i v bodech, ve kterých není definována tj. v dírách jejího definičního oboru)., ), ) sgn f + f i) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici =. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = = + =, b = + + = + =. Funkce f) má tedy v + i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = +. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 8. Graf funkce f) z Příkladu 67. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 9 68) Vyšetřete průběh funkce f) = + ln. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna kladná reálná čísla, tedy Df) = 0, ). ii) Zjistíme itní chování na okraji definičního oboru + ln + ln = 0 + 0 + ln ln = 0 + 0 + l H.p. = 0 + + ln = +0 0 + 0 = 0 + = 0 =. iii) Vzhledem k tvaru definičního oboru je zřejmé, že zadaná funkce není ani lichá, ani sudá, ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0, + ln = 0, ln =, ln =, kde použité úpravy jsou vzhledem k oboru hodnot korektní. Protože ln > 0, daná funkce nemá žádný nulový bod a je tedy na celém svém definičním oboru buď pouze kladná, nebo pouze záporná zdůrazněme, že definiční obor je bez děr ). Tedy 0, ) sgn f + f kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) =, Df ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0 =. Připomeňme, že vše navíc probíhá na definičním oboru původní funkce, tj. 0, ), ) sgn f + f Z tabulky vidíme, že funkce má v = lokální minimum. Spočtěme v tomto význačném bodě funkční hodnotu. f) = + 0 =. http://user.mendelu.cz/hasil
9 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = + 4 Df ) = R \ {0}. = 3, viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 = 0 =. 0, ), ) sgn f + f Čili funkce f má v = inflení bod. Funkční hodnota v něm je f) = + ln. =, 9. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Asymptotu se směrnicí má, opět vzhledem k definičnímu oboru, smysl hledat pouze v + : a = + ln l H.p. = + ln + ln = = = 0, = l H.p. = b = + ln =, tedy funkce f) asymptotu se směrnicí nemá. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 9. Graf funkce f) z Příkladu 68. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 93 69) Vyšetřete průběh funkce f) = 3. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3 0. Proto máme Df) = R \ {0}. ii) Zjistíme itní chování v bodu nespojitosti, tj. = ) = +. 0 3 0 3 iii) Poněvadž platí f ) = + 3, není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0 =. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto ), 0) 0,, ) sgn f + + f kladná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) ) =, Df ) = R \ {0}. 3 3 vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 ) = 0 =,, 0) 0, ), ) sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má pro = lokální minimum s hodnotou f) = 3. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f 3) ) =, Df ) = R \ {0}. 3 4 viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 3) = 0 = 3, http://user.mendelu.cz/hasil
94 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, 0) ) 0, 3 3, ) sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má pro = 3 inflení bod. Platí f ) 3 = 8 7 a směrnice tečny je rovna f ) 3 = 8, což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní. 8 i) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = 3 = 3 3 = 3 3 = 0, b = = = 0. 3 3 Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 0. Graf funkce f) z Příkladu 69. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 95 70) Vyšetřete průběh funkce f) = +. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, tj. Df) = R. ii) Z bodu ii) plyne, že funkce je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f ) = + = f), je zadaná funkce sudá to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0 = ±. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), ), ) sgn f + + f kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 4 + ), Df ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0,, 0) 0, ) sgn f + f V bodě lokálního minima = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f0) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 4 3 ) + ) 3, Df ) = R. viii) Určíme inflení body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. 3 f ) = 0 3 = 0 = ± 3, http://user.mendelu.cz/hasil
96 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, 3 3 ) 3, ) 3 ) 3, 3 3 3 sgn f + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má dva inflení body = ± 3 s hodnotami f 3 ± a ) f 3 = ± 3 3. 3 4 ± 3 3 i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = + = 3 + = 3 = 0, + b = + = =. + Funkce f) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y =. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce ) = Obrázek. Graf funkce f) z Příkladu 70. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 97 7) Vyšetřete průběh funkce f) = +. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = R \ {±}. ii) Zjistíme itní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme ) + + = + + + = +, ) + = + + =, iii) Poněvadž platí + + =, + = +. f ) = + = f), je zadaná funkce sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Je zřejmé, že průsečíky s osou neeistují neboť rovnice + = 0 nemá řešení). Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), ), ) sgn f + + f kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 4 ), Df ) = R \ {±}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0,, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f V bodě lokálního maima = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f0) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 4 3 + ) ) 3, Df ) = R \ {±}. http://user.mendelu.cz/hasil
98 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Funkce nemá kritické body rovnice 3 + = 0 nemá řešení). Určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj., ), ), ) sgn f + + f Je vidět, že funkce nemá inflení body. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích = a =. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto + a = = + 3 = + 3 = 0, + b = = + =. Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y =. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek. Graf funkce f) z Příkladu 7. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 99 7) Vyšetřete průběh funkce f) = 3. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3 0. Proto máme 3 + 3 = Df) = R \ {± 3}. ii) Zjistíme itní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme ) =, 3 + 3 3 3 + 3 3 + 3 = 3 3 =, 3 = +. 3 + 3 ) = +, iii) Poněvadž platí f ) = 3 = f), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ) 3 ) 3, 0 0, ) 3, ) 3 sgn f + + f kladná záporná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 3 + 3 ), Df ) = R \ {± 3}. vi) Je zřejmé, že funkce f) nemá stacionární body. Určíme intervaly monotonie, tj., ) 3 3, ) 3, ) 3 sgn f + + + f Funkce f) tedy nemá žádný lokální etrém. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 9 + ) 3 ) 3, Df ) = R \ {± 3}. http://user.mendelu.cz/hasil
300 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 9 + ) = 0 = 0,, ) 3 ) 3, 0 0, ) 3, ) 3 sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má inflení bod pro = 0. Z předchozího již víme, že f0) = 0. Určíme zde ještě směrnici tečny, tj. f 0) = 3. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích = 3 a = 3. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = 3 = 3 = 3 3 = 3 = 0, b = 3 = 0. Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 3. Graf funkce f) z Příkladu 7. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 30 73) Vyšetřete průběh funkce f) = + ). Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = R{0}. ii) Zjistíme itní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme + ) = +, + ) =. 0 + 0 iii) Poněvadž platí f ) = ) = + ) = f), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 + = 0 = =, tedy funkce nemá průsečíky s osou. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, 0) 0, ) sgn f + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) =, Df ) = R \ {±0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0 = ±,, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f Určíme funkčního hodnoty lokálního maima pro = a minima pro =, tj. f ) = a f) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 3, Df ) = R \ {±0}. viii) Inflení body očividně neeistují, určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. http://user.mendelu.cz/hasil
30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, 0) 0, ) sgn f + f Z tabulky vidíme, že funkce f) nemá inflení bod. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = + [ ) + = ) ] + = = = 0. + =, Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y =. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 4. Graf funkce f) z Příkladu 73. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 303 74) Vyšetřete průběh funkce f) = ln. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = 0, ). ii) Zjistíme itní chování v levém krajním bodě definičního oboru, tj. ln 0 + =. iii) Definiční obor funkce f) není symetrický, proto funkce f) ani nemůže být lichá nebo sudá. Navíc, je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 ln = 0 =. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto 0, ), ) sgn f + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = ln, Df ) = 0, ). vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 ln = 0 = e, 0, e) e, ) sgn f + f Pro = e má funkce f) lokální maimum s funkční hodnotou f e) = e. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f 3 + ln ) =, Df ) = 0, ). 3 viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 ln 3 = 0 = e 3, ) ) 0, e 3 e 3, sgn f + f http://user.mendelu.cz/hasil
304 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné V bodě = e 3 ) je rovna f e 3 ) má funkce f) inflení bod. Platí f e 3 = 3 e 3 a směrnice tečny = e 3, což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Určíme i asymptotu se směrnicí pokud eistuje směr pro nemá smysl uvažovat), proto ln a = l H.p. = = 0, = 0. ln b = l H.p. = Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 5. Graf funkce f) z Příkladu 74. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 305 75) Vyšetřete průběh funkce f) = ln. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = R \ {0}. ii) Zjistíme itní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme iii) Poněvadž platí ln 0 + ln =, 0 ln = +. f ) = = ln = f), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 ln = 0 = = ±. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f záporná kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ln ) =, Df ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 ln = 0 = e = ± e,, e) e, 0) 0, e) e, ) sgn f + + f Funkce f) ma lokální minimum pro = e a lokální maimum pro = e s funkčními hodnotami f e) = e a f e) = e. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = ln 6 3, Df ) = R \ {0}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 ln 3 = 0 = e 3 = ± e 3, http://user.mendelu.cz/hasil
306 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné ) ) ) ), e 3 e 3, 0 0, e 3 e 3, a = 0. ) Vypočítáme funkční ) hod- = 5 e 3, f e 3 = 3 e 3, noty a směrnice tečen, proto f ) f e 3 = e 3. sgn f + + f Funkce f) má tři inflení body pro = ± e 3 e 3 ) = 3 e 3, f e 3 i) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = ln = ln ln l H.p. = l H.p. = = 0. = 0, Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 6. Graf funkce f) z Příkladu 75. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 307 76) Vyšetřete průběh funkce f) = ln. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že ln eistuje. Proto máme Df) = 0, ). ii) Zjistíme itní chování v levém krajním bodě definičního oboru, proto ln ) =. 0 + iii) Definiční obor není symetrický, proto funkce f) nemůže být sudá ani lichá. Navíc, je zřejmé, že funkce není ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = ln. Pokud si vzpomenete na grafy elementárních funkcí, viz je zřejmé, že funkce f) nemá žádné průsečíky s osou, proto 0, ) sgn f + f kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) =, Df ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = =, http://user.mendelu.cz/hasil
308 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 0, ), ) sgn f + f Určíme hodnotu lokálního minima, tj. f ) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) =, Df ) = R \ {0}. viii) Kritické body neeistují, určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. 0, ) sgn f + f Je tedy zřejmé, že funkce f) nemá inflení bod. i) Z bodu ii) plyne, že funkce asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Určíme i asymptotu se směrnicí směr pro nemá smysl), proto ln a = b = l H.p. = ln =. ln ) = =, Funkce f) tey nemá asymptotu se směrnicí. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 7. Graf funkce f) z Příkladu 76. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 309 77) Vyšetřete průběh funkce v intervalu [0, π]. f) = ln + sin sin Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Základní rámec definičního oboru je již dán zadáním příkladu. Dále musí platit + sin sin > 0 a současně sin. Řešení druhé rovnice dostaneme ihned, tj. π stále platí [0, π]). První rovnici rozdělíme do dvou možností + sin > 0 sin > 0 nebo + sin < 0 sin < 0, sin > sin < nebo sin < sin >, [ ) 0, 3π 3π, π] [ ) 0, π π, π] nebo soustava nemá řešení. Tedy definiční obor zadané funkce je [ Df) = 0, π ) π, 3π ) ] 3π, π. ii) Určíme hodnoty v krajních bodech definičního oboru, tj. f0) = 0 a fπ) = 0. Také zjistíme itní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme ln π + sin sin = +, 3π ln + sin sin =. iii) Vzhledem k definičními oboru není funkce f) sudá, lichá ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 + sin = + sin = sin sin sin = 0 = π. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto ) 0, π π, π) ) π, 3π 3π, π) sgn f + + f kladná kladná záporná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = [ cos, Df ) = 0, π ) π, 3π ) ] 3π, π. vi) Stacionární body neeistují, nyní určíme intervaly monotonie, tj. ) 0, π π, ) 3π 3π, π) sgn f + + f Zadaná funkce tedy nemá žádné lokální etrémy. http://user.mendelu.cz/hasil
30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = sin [ cos, Df ) = 0, π ) π, 3π ) ] 3π, π. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 sin = 0 = 0, = π, 3 = π. ) 0, π π, π) ) π, 3π 3π, π) sgn f + + f Je zřejmé, že kritické body = 0 a 3 = π nemohou být infleními body. Určíme funkční hodnotu a směrnici tečny v inflením bodě = π, tj. f π) = 0 a f π) =. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích = π a = 3π. Poněvadž jsme na omezeném intervalu, nemá smysl uvažovat asymptoty se směrnicí. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 8. Graf funkce f) z Příkladu 77. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 3 78) Vyšetřete průběh funkce f) = e. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. Df) = R. ii) Funkce f) je spojitá v celém definičním oboru. iii) Poněvadž platí f ) = e = f), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, 0) 0, ) sgn f + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = e ), Df ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0 = ±,, ), ), ) sgn f + f Funkce f) má lokální minimum pro = a lokální maimum = s funkčními hodnotami f ) = e a f) = e. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = e 3 ), Df ) = R \ {±}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 3 ) = 0 = 0, = 3, 3 = 3., ) 3 ) 3, 0 0, ) 3, ) 3 sgn f + + f http://user.mendelu.cz/hasil
3 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Funkce f) má tři inflení body pro = ± 3 a pro = 0. Určíme funkční hodnoty a směrnice tečen v infleních bodech, proto f ) 3 = 3 e 3, f ) 3 = 3 ) e 3, f 0) = 0, f 0) =, f = 3 ) 3 e 3 a f = e 3. i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty se směrnicí. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = e e = b = e = e = 0, l H.p. = = 0. e Funkce f) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 9. Graf funkce f) z Příkladu 78. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 33 79) Vyšetřete průběh funkce f) = arctg. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. Df) = R. ii) Je zřejmé, že funkce f) je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f ) = arctg ) = arctg ) = f) je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určit průsečíky s osou není snadné, zřejmě f) = 0 = 0. Eistence dalších nulových bodů můžeme vyloučit, neboť v bodě vi) ukážeme, že funkce je stále rostoucí. Proto obdržíme, 0) 0, ) sgn f + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = + = +, Df ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0 = 0,, 0) 0, ) sgn f + + f Funkce f) tedy nemá lokální etrémy. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = + ) 3, Df ) = R. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 = 0,, 0) 0, ) sgn f + f http://user.mendelu.cz/hasil
34 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Funkce f) má tedy inflení bod pro = 0. Z předchozího již víme, že f0) = 0. V inflením bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f 0) = 0, což znamená, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou. i) Asymptoty bez směrnice neeistují, určíme asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = arctg l H.p. = + =, arctg ) = arctg = ±π. Funkce f) má tedy dvě asymptoty se směrnicí. Pro je dána rovnicí y = + π a pro + máme y = π. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 30. Graf funkce f) z Příkladu 79. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 35 80) Vyšetřete průběh funkce ) f) = arccos. + Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Protože pro všechna R platí, tj. 0 + ) a 0 ), + vyhovují funkčnímu předpisu všechna reálná čísla, tj. Df) = R. ii) Funkce f) je spojitá v celém definičním oboru. iii) Poněvadž platí ) ) f ) = arccos = π arccos, + + zde jsme využili vztah arccos ) = π arccos ) není zadaná funkce lichá ani sudá to zjistíme již z grafu elementární funkce arccos ). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 + = ) = 0 =. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), ) sgn f + + f kladná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) ) = + ), Df ) = R \ {±}. vi) Vzhledem k definičnímu oboru f ) nemáme žádné stacionární body, určíme intervaly monotonie, tj., ), ), ) sgn f + + f Funkce f) má lokální maimum pro = a lokální minimum = s hodnotami f ) = π a f ) = 0. V těchto bodech není první derivace definována, proto zde má graf funkce f) hrot. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 4 ) + ), Df ) = R \ {±}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 4 ) = 0 = 0, http://user.mendelu.cz/hasil
36 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f Funkce f) má tři inflení body pro = ± a = 0. Určíme potřebné funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. f ) = π, f ) =, + f ) =, f0) = π, f 0) =, f) = 0, f ) =, + f ) =. i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = arccos ) + arccos + π = 0, ) = π. Funkce f) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = π. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 3. Graf funkce f) z Příkladu 80. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 37 8) Vyšetřete průběh funkce f) = 3 3. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. Df) = R. ii) Je zřejmé, že funkce f) je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f ) = 3 + 3 = 3 3 není zadaná funkce ani sudá ani lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 ) = 0 = 0, =. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, 0) 0, ), ) sgn f + + f kladná kladná záporná Ze změny znamének je vidět, že v bodě = 0 je pouze bod dotyku osy nikoli její průsečík. v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 4 3 3 3 3 ), Df ) = R \ {0, }. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 4 3) = 0 = 0, = 4 3,, 0) 0, 4 3) 4, ) 3, ) sgn f + f Funkce f) má lokální minimum pro = 0 a lokální minimum pro = 4 s hodnotami 3 f 0) = 0 a f ) 4 3 = 3 3 4. Navíc, v bodě = 0 není první derivace definována, bude mít graf funkce v tomto bodě hrot. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 8 9 ) 3 3 ), Df ) = R \ {0, }. viii) Druhá derivace nemá nulový bod, určíme tedy intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. http://user.mendelu.cz/hasil
38 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, 0) 0, ), ) sgn f + f V bodě = má funkce f) inflení body. Z předchozího již víme, že f) = 0. V inflením bodě určíme ještě směrnici tečny, ovšem f ) neeistuje. Z výpočtu f ) = plyne, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou y. i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = = = 3 3 3 = 3 = 3 ) 3 3 + + = 3 + ) l H.p. = 3 + ) 3 = = 3 ) 43 + 3 3 ) 4 3 + 3 3 3 0 0 l H.p. = = 4 + 3 = 3 =, Funkce f) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = + 3. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 3. Graf funkce f) z Příkladu 8. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 39 8) Vyšetřete průběh funkce f) = + ) 3 3 + ). Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. ii) Zadaná funkce je spojitá v R. iii) Poněvadž platí Df) = R. f ) = + ) 3 3 + ) není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 + ) 3 3 + ) = 0 8 + ) 3 = 7 + ) =, = 9 8. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), 9 8 ) 9 8, ) sgn f + f záporná záporná kladná Je tedy vidět, že v bodě = je pouze bod dotyku grafu funkce f) a osy. v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 3 +, Df ) = R \ { }. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 3 + = 0 + = = 0., ), 0) 0, ) sgn f + + f Funkce f) má lokální maimum pro = a lokální minimum pro = 0 s hodnotami f ) = 0 a f0). vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 3 3 + ) 4, Df ) = R \ { }. viii) Je vidět, že kritické body neeistují. Určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. http://user.mendelu.cz/hasil
30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, ), ) sgn f + + f Funkce f) tedy nemá inflení bod. i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme nyní asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = + ) 3 3 + ) + ) 3 3 + ) l H.p. = ) = 3 + =, ) 3 3 + ) Tedy funkce f) nemá ani asymptoty se směrnicí. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce =. Obrázek 33. Graf funkce f) z Příkladu 8. http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 3 83) Vyšetřete průběh funkce f) = cos cos). Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že cos 0 π + kπ, k Z π 4 + kπ, k Z. Proto máme Df) = R \ { π 4 + kπ }. k Z ii) Spočítáme itní chování v bodech nespojitosti budeme uvažovat pouze interval [ π, π], viz bod iii)), tj. cos 3π cos) =, cos 3π + cos) = +, 4 4 cos π cos) =, cos π + cos) = +, 4 4 cos π cos) = +, cos π + cos) =, 4 4 3π 4 iii) Poněvadž platí cos cos) = +, f ) = cos ) cos ) = 3π + 4 cos cos) = f), cos cos) =. je zadaná funkce sudá. Funkce cos je periodická s periodou π a funkce cos) je periodická s periodou π. Proto zadaná funkce f) je periodická s periodou π. Při vyšetřování funkce se tudíž omezíme na libovolný interval délky π, my zvolíme interval [ π, π] iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 cos = 0 = π, = π. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto ) π, 3π 4 3π, ) π 4 π, ) π 4 π, ) π π, ) π π, ) 3π 3π, π) 4 4 4 4 4 sgn f + + + f záporná kladná záporná kladná záporná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. cos f + ) sin ) =, Df ) = R \ { π cos) 4 + kπ k Z vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 cos + ) sin = 0 }. sin = 0 = π, = 0, 3 = π http://user.mendelu.cz/hasil
3 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné..., π) ) π, 3π 4 3π, ) π 4 π, ) π 4 π, 0) ) 0, π π, ) π π, ) 3π 3π, π) π,...) 4 4 4 4 4 sgn f + + + + + f Funkce f) má tedy v intervalu [ π, π] lokální minima pro = ±π a lokální maimum pro = 0 s hodnotami f π) =, f 0) =, f π) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 4 cos 4 4 cos ) cos, Df ) = R \ { π cos 3 4 + kπ k Z }. viii) Vypočítáme kritické body a f ) = 0 4 cos 4 4 cos ) cos = 0 cos = 0 = π, = π. Rovnice 4 cos 4 4 cos = 0 nemá řešení, protože při použití substituce y = cos, dostaneme rovnici 4y 4y = 0 s řešením y = 3 < 0 a y = + 3 >, tedy řešení původní rovnice neeistuje stejný výsledek dostaneme bez počítání s využitím faktu cos, potom totiž dostaneme 4 cos 4 4 cos 3). Nyní určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj...., π) ) π, 3π 4 3π, ) π 4 π, ) π 4 π, ) π π, ) π π, ) 3π 3π, π) π,...) 4 4 4 4 4 sgn f + + + f Funkce f) má proto v intervalu [ π, π] dva inflení body pro = ± π. V infleních bodech dopočítáme funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. f ) ) π = 0, f π =, f ) ) π = 0, f π =. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má čtyři asymptoty bez směrnice o rovnicích = 3π, 4 = π, = π a = 3π. Vzhledem k periodičnosti funkce f) nemají asymptoty se 4 4 4 směrnicí smysl. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce http://www.math.muni.cz/~zemane
I. 5. Průběh funkce 33 Obrázek 34. Graf funkce f) z Příkladu 83. http://user.mendelu.cz/hasil