Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin + >, + a, neboli < Definiční obor funkce f = f = cos cosh + 3 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;? a [ π 3 ;? Funkce f je definována předpisem f = e cosh lncos + 3 Proto je její definiční obor určen vztahem cos > Tedy D f = 4k π, 4k + π k Z Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3 Pro bod = je y = a f = 3 Tedy rovnice tečny je v tomto případě y = 3, neboli 3 y + = Bod = π 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + 3 cos [ π a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech ;? a [ 4π 3 ;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + 3 cos Proto je její definiční obor určen vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg 3 sin Pro bod = π π je y = a f = 3 Tedy rovnice normály je v tomto případě 3y = π, neboli 3y + 3 π = Bod = 4π 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + Typeset by AMS-TEX
[ π [ 7 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech ;? a 4 π;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Proto je její definiční obor určen Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg + Pro bod = π je y = + π π 4 a f π π, neboli π y + π 4 = Bod = 7 π není prvkem definičního oboru funkce f 4 = π Tedy rovnice tečny je v tomto případě y π 4 = Určete definiční obor funkce f = sin + [ π [ 6 a nalezněte její diferenciál v bodech ;? a 5 π;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Proto je její definiční obor určen Diferenciál funkce y = f v bodě =, ve kterém má funkce f derivaci f, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg + Pro bod = π π π je f = Tedy diferenciál je v tomto případě df ; h = h Bod = 6 π není prvkem definičního oboru funkce f 5 Nalezněte rovnice tečen ke grafu funkce v jejích infleních bodech f = ln + Definiční obor funkce f je celá množina R První dvě derivace této funkce jsou f = + a f = + Protože f > pro, a f < pro,, +, je funkce f konvení na intervalu, a konkávní na intervalech, a, + tedy její inflení body jsou = ± Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Protože pro = je y = ln a f =, má rovnice tečny v bodě [; ln rovnici y ln =, neboli y + ln = Protože pro = je y = ln a f =, má rovnice tečny v bodě [ ; ln rovnici y ln = +, neboli + y + ln =
Určete definiční obor funkce f = sin + [ π [ 5 a nalezněte její diferenciál v bodech ;? a 3 π;? Protože je funkce f definována předpisem f = e lnsin +, je její definiční obor určen podmínkou sin > Je to tedy množina D f = k Z kπ, k + π Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = sin lnsin + cotg + π π Protože f = je df ; h = h Bod = 5 π není prvkem definičního oboru funkce f 3 Určete definiční obor funkce f = ln [ a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech ;? a [ ;? Definiční obor D f funkce f = ln je určen nerovnostmi > a > Tedy D f =, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě je f = + = V bodě = je y = ln 3 a f 8 = 3 Rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v [ bodě ; ln 3 je y + ln 3 = 8, neboli 8 3y 4 3 ln 3 = 3 Bod = Určete definiční obor funkce není prvkem definičního oboru funkce f f = ln 3 3 3 a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [;?, [;? Definiční obor funkce f je určen nerovností 3 3 3 > Tedy D f =, 3, 3 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = 9 3 Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Pro = je y = ln 3 a f = 4 Tedy v tomto případě má tečna rovnici y ln = 4, 3 neboli 4 + y 4 ln 3 = 3
Určete definiční obor funkce f = ln [ a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech ;?, [;? Definiční obor D f funkce f = ln je určen nerovnostmi > a > Tedy D f =, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě je f = + = V bodě = je y = ln 3 a f 8 = 3 Rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v [ bodě ; ln 3 je y + ln 3 = 8, neboli 8 3y 4 3 ln 3 = 3 Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + 3 cos [ π a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech,?, [π,? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + 3 cos Proto je její definiční obor určen nerovností sin > Tedy D f = k Z kπ, k + π Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě jejího definičního oboru je f = sin lnsin + cotg 3 sin Pro = π π π je y = f = a f = 3 Tedy rovnice tečny v bodě 3 π, neboli 3 + y 3 π = Bod = π není prvkem definičního oboru funkce f [ π ; je y = Určete definiční obor funkce f = cos cosh + 3 a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech [;? a [π;? Protože je funkce f definována předpisem f = e cosh lncos +3, je definiční obor této funkce určen vztahem cos > Tedy D f = k Z 4k π, 4k + π 4
Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je derivace funkce f v obecném bodě definičního oboru rovna f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3 V bodě =, je y = a f = 3 Tedy rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [ ; je 3y =, neboli + 3y 3 = Bod = π není prvkem D f Nalezněte definiční obor funkce a její diferenciál v bodech = a = 3 f = e cosh + e 4 Funkce je definována předpisem f = e cosh ln e + e 4 Proto je definiční obor D f této funkce určen nerovností e > Tedy D f = e, e Diferenciál funkce f v bodě, která má v tomto bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = e cosh sinh ln e + V bodě = je f = 4 Tedy df; h = 4h Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = 4 sin a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [ 3;?, [;? cosh e + 4e 4, Protože funkce f je definována předpisem f = e sin ln4, je její definiční obor určen nerovností 4 >, tj, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = 4 sin cos ln4 sin 4 Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Pro bod = je y = f = a f = ln 4 Tedy rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [; je y = ln 4, neboli ln 4 y + = Nalezněte ity v krajních bodech definičního oboru funkce f = ln4 9 Definiční obor funkce f je určen vztahy 4 > a 9 Tedy D f =, 3 3, 3 3, 4 Čili máme najít ity v bodech = 4, = ±3 a = 5
ln4 4 9 = + Pro 3 se jedná o itu typu K jejímu výpočtu použijeme l Hospitalovo pravidlo To dává ln4 3 9 = 3 4 = 6 ln4 ln4 Protože 3 + 9 = + a 3 9 =, ita v bodě = 3 neeistuje Pro se jedná o itu typu proto můžeme pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Z něj plyne ln4 9 = 4 = Nalezněte asymptoty ke grafu funkce f = ln Definiční obor funkce f je D f =,, + Proto budeme hledat asymptoty v bodech =, = a = + Protože =, nemá funkce f v bodě = svislou asymptotu + ln Protože = je přímka = svislou asymptotou ke grafu funkce f f = ln + + Protože Protože + + ln = f = + = +, nemá funkce f v bodě = + vodorovnou asymptotu + =, nemá funkce f v bodě = + ani šikmou asymptotu ln Nalezněte ity v krajních bodech definičního oboru funkce f = ln + Definiční obor funkce f je určen vztahy + > a Tedy D f =,,, + Čili máme najít ity v bodech =, = ± a = + ln + + = Pro se jedná o itu typu K jejímu výpočtu použijeme l Hospitalovo pravidlo To dává ln + = + = ln + ln + Protože + = + a =, ita v bodě = neeistuje Pro + se jedná o itu typu proto můžeme pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Z něj plyne ln + + = + Dokažte, že derivace sudé funkce je funkce lichá + = 6
Nechť f je sudá funkce To znamená, že pro každé D f je f = f Nechť je bod D f, f + h f ve kterém eistuje derivace funkce f, tj eistuje konečná ita = f h h Protože je funkce f sudá, platí pro takové vztah f f + h f f h f = = = h h h h f h f = = f h h Tedy pro každý bod D f je f = f, což znamená, že funkce f je lichá Napište rovnici normály ke grafu funkce f = ln rovnoběžné s přímkou p y + 3 = Definiční obor funkce f je interval D f =, + Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f V našem případě je f = ln + Protože přímka p má směrnici k p = a normála má být rovnoběžná s touto přímkou, musí pro ovou souřadnici průsečíku normály s grafem funkce platit vztah f = ln + = Tedy souřadnice tohoto bodu jsou = e a y = e Proto je rovnice hledané normály y + e = e, neboli y 3e = Určete rovnici tečen k parabole y = +, které prochází bodem B = [; Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = Tedy rovnice tečny, která prochází bodem [ ; y, kde y = + je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [;, musí splňovat rovnici = Její řešení jsou = + 6 a = 6 Tedy body dotyku jsou [ + 6; 7 + 6 nebo [ 6; 7 6 Dostali jsme tedy dvě řešení Tečna, která prochází bodem [ + 6; 7+ 6, má rovnici y 7 6 = + 6 6, neboli + 6 y 3 6 = a tečna, která prochází bodem [ 6; 7 6, má rovnici y 7+ 6 = 6 + 6, neboli 6 +y +3 6 = Je dána funkce f = sin Vypočtěte f K výpočtu této derivace je výhodné použít Leibnizův vzorec n n n f g = f k g n k, k k= kde f a g jsou funkce, které mají derivace do řádu n včetně Jestliže zvolíme f = a g = sin, platí: f =, f = a f k = pro k > a pro každé k N je g 4k = g 4k+ = sin a g 4k+ = g 4k+3 = cos Z Leibnizova vzorce tedy dostáváme sin = sin 7 cos sin =
= 38 sin 4 cos Dokažte, že derivace liché funkce je funkce sudá Nechť f je lichá funkce To znamená, že pro každé D f je f = f Nechť je bod D f, f + h f ve kterém eistuje derivace funkce f, tj eistuje konečná ita = f h h Protože je funkce f lichá, platí pro takové vztah f f + h f f h + f = = = h h h h f h f = = f h h Tedy pro každý bod D f je f = f, což znamená, že funkce f je sudá Ve kterých bodech má graf funkce f = + 3 sin tečny rovnoběžné s osou y? Definiční obor funkce f je celá množina R Naším úkolem je najít body R, ve kterých je f + h f = ± Protože derivace funkce f, f = + h h 3 cos je pro kπ, sin /3 k Z konečná, stačí zkoumat pouze body = kπ V těchto bodech je h + 3 sinkπ + h = + k 3 sin h h h h h = + k h /3 h h /3 Protože tato ita je pro sudá k rovna + a pro lichá k rovna, jsou tečny ke grafu funkce f = + 3 sin v bodech = kπ, k Z, rovny = kπ, a tedy rovnoběžné s osou Oy Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou p y = 4 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě a je rovna směrnici této tečny V našem případě je f = 3 + Protože směrnice přímky p je k p = 4 a tato přímka má být rovnoběžná s tečnou, budeme hledat na grafu funkce y = 3 + body, pro které je f = 3 + = 4 Takto získáme dva body dotyku [; a [ ; 4 Tedy v bodě [; je rovnice tečny y = 4, neboli 4 y 4 =, a v bodě [ ; 4 je rovnice tečny y + 4 = 4 +, čili 4 y = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y =, která je rovnoběžná s přímkou p y = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny Protože směrnice přímky y = je rovna nule, máme na grafu funkce y = f = najít body, ve kterých je f = Protože f = 4, jsou to body =, = a = Protože f = f = a f =, eistují dvě tečny s danými vlastnostmi Jejich rovnice jsou y = a y = 8
Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 + 3 5, která je kolmá k přímce p 6y + = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je derivace funkce rovna f = 3 + 6 Protože přímka p má směrnici k = 3 a má být kolmá na hledanou tečnu, musí v bodě platit rovnost 3 + 6 = 3 tedy = Pro toto je y = 3 a f = 3 Tedy rovnice hledané tečny je y + 3 = 3 +, neboli 3 + y + 6 = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = + 5, která je kolmá k dané přímce p y = + 3 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je f = Protože směrnice přímky p je k p = a tato přímka má být kolmá na tečnu, budeme hledat na grafu funkce y = +5 body, pro které je f = = Takto získáme bod dotyku [ 3 ; 7 4 Tedy rovnice tečny je y 7 4 = 3, neboli 4 4y + = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln, která je kolmá k přímce p y = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je derivace funkce rovna f = Protože přímka p má směrnici k p = a má být kolmá na hledanou tečnu, musí v bodě platit rovnost = tedy = Pro toto je y = ln a f = Tedy rovnice hledané tečny je y ln =, neboli y + ln = Napište rovnice tečen hyperboly 7 y = 4, které jsou kolmé na přímku + 4y 3 = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny Protože přímka má směrnici k p = a hledáme tečnu kolmou na tuto přímku, musí být směrnice tečny rovna k = Označme y = f Na dané hyperbole máme najít najít bod, ve které je y = f = Protože funkce f splňuje rovnici 7 f = 4, dostaneme jejím derivováním rovnici 4 4ff = Tedy v bodě dotyku [ ; y musí být splněny rovnice 7 4y = a 7 y = 4 Řešení této soustavy rovnic nám dá dva body dotyku [4; 7 a [ 4; 7 Tedy eistují dvě tečny s danou vlastností Je-li bod dotyku [4; 7 je rovnice tečny y 7 = 4, tj y =, a je-li bod dotyku [ 4; 7 je rovnice tečny y + 7 = + 4, tj y + = Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [; 3 9
Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, y = f, ve kterém je funkce f diferencovatelná, má tvar y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je pro, y = a f = 4 Rovnice tečny tedy je y + = 4 Protože tečna má procházet bodem [; 3, musí splňovat rovnici 4 = 4 Tato rovnice má dvě řešení = ± Pro = + je y = + 8 a f + = 4 + Rovnice tečny, která se dotýká grafu funkce v tomto bodě je y 8 = 4 +, neboli 4 + y 3 8 = Pro = je y = 8 a f = 4 Rovnice tečny, která se dotýká grafu funkce v tomto bodě je y +8 = 4 +, neboli 4 y 3+8 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 4 + 5, která je rovnoběžná s přímkou p + 4y 4 = Normála ke grafu funkce = f v bodě [ ; y, kde y = f, která je v tomto bodě diferencovatelná, má rovnici f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Její směrnice je tedy k n = f Protože přímka p má směrnici k p =, máme na grafu 4 funkce y = 4 + 5 najít body, pro které je f = 4 Protože f = 4, eistuje pouze jeden takový bod Jeho souřadnice jsou = 4 a y = 5 Tedy rovnice hledané normály je 4y 5 = 4, neboli + 4y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 6 + 6, která je kolmá k dané přímce p y = Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f V našem případě je f = 6 Protože přímka p má směrnici k p = a normála má být kolmá na tuto přímku, musí pro ovou souřadnici průsečíku normály s grafem funkce platit vztah f = 6 = Tedy souřadnice tohoto bodu jsou = 5 a y = Proto je rovnice 4 hledané normály y + 4 = 5, neboli y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = +, která je kolmá k přímce p y = + Definiční obor funkce f je D f =, + Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f Směrnice přímky p je k p = Protože má být normála kolmá na přímku p, musí mít směrnici k = = Protože f = k p máme na grafu funkce y = + najít bod [ ; y, ve kterém je = To je bod [; tedy rovnice hledané normály je y =, neboli y = Veďte tečny ke grafu funkce y = + 9 + 5 tak, aby procházely bodem B = [;
Definiční obor funkce f je D f =, 5 5, + Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f 4 = + 5 Tedy rovnice tečný, která prochází bodem [ ; y, kde y = + 9 + 5 je y + 9 + 5 = 4 + 5 Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [;, musí splňovat rovnici + 9 + 5 = 4 + 5 Její řešení jsou = 3 a = 5 Tedy [ body dotyku jsou [ 3; 3 nebo 5; 3 5 Dostali jsme tedy dvě řešení Tečna, která prochází bodem [ 3; 3, má rovnici y 3 = + 3 neboli + y = a tečna, která prochází bodem + 5y = [ 5; 3 5, má rovnici y 3 5 = + 5, neboli 5 Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [ ; Definiční obor funkce f je D f =,, + Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = Tedy rovnice tečny v bodě [ ; y, kde y =, je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [ ;, musí splňovat rovnici = Tato rovnice má dvě řešení = ± Tedy body dotyku jsou [ + ; a [, Tečna, která prochází bodem [ + ;, má rovnici y + = 3 a tečna, která prochází bodem [ + ;, má rovnici y + + = 3 + + Vypočtěte itu arctg 3 Protože se jedná o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalova pravidla To dává arctg 3 = 3 + = 3 Vypočtěte itu π arctg +
Jedná se o itu typu l Hospitalova pravidla To dává Proto výraz nejprve upravíme na itu typu a použijeme π arctg = + π arctg + = + + = Vypočtěte itu + cotg Jedná se o itu typu proto výraz nejprve upravíme na podíl Platí cos sin cos = sin sin l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme cotg = Protože nyní již jde o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít + cotg sin cos = = + sin sin cos = + + sin = sin = + Vypočtěte itu + e Jedná se o itu typu Ale protože + e = + e = =, je + e e e = + + Vypočtěte itu cos + Jedná se o itu typu Protože cos = ep ln cos a funkce y = e je spojitá na celém R, stačí najít itu ln cos To je ita typu proto ji upravíme na itu typu Tedy + a použijeme l Hospitalovo pravidlo Takto dostaneme ln cos ln cos y sin y = + y + y = y + y cos y = cos = e / +
Vypočtěte itu cotg sin + Jedná se o itu typu sin Protože cotg = e sin ln cotg a funkce y = e je spojitá na celém R, stačí najít itu sin ln cotg, což je ita typu Tu převedeme na itu + typu a použijeme l Hospitalovo pravidlo Tak dostaneme sin ln cotg ln cotg = + = + sin + tg cos = Tedy + cotg sin = e = Dokažte, že polynom P s reálnými koeficienty má tuto vlastnost: Mezi každými dvěma reálnými kořeny polynomu P leží kořen polynomu P Nechť a, <, jsou nulové body polynomu P Protože každý polynom má na celé reálné ose derivace všech řádů a P = P =, jsou na intervalu, splněny předpoklady Rollovy věty o střední hodnotě Podle ní eistuje bod, takový, že P = Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí uvedená rovnost arctg + arccotg = k Definiční obor funkce f = arctg + arccotg je celá reálná osa Protože je funkce f diferencovatelná v celém R a její derivace je f = + =, je funkce f na celém R + konstantní Protože f = arctg + arccotg = π, je arctg + arccotg = π pro každé R Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnosti arctg + arctg + = k Označme f = arctg + arctg + Definiční obor této funkce je D f =,, + Diferencovatelná funkce y = f se konstantní na intervalu právě tehdy, když je na tomto intervalu f = Protože je f + = + + + =, je funkce f konstantní na + intervalech, a, + Konstantu určíme pomocí funkční hodnoty v libovolném bodě každého z těchto intervalů Protože f = π, platí na intervalu, + rovnost arctg + arctg 4 + = π 4 Protože arctg + arctg = 3 + 4 π, 3
je na intervalu, funkce arctg + arctg + = 3 4 π Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost arctg + arcsin + = k Uvažujme funkci f = arctg + arcsin Definiční obor této funkce je dán nerovností +, a tedy je to celá množina R + Diferencovatelná funkce je na intervalu konstantní právě tehdy, když je na tomto intervalu f = Derivace funkce f je f = + + + + = + + Tedy f = pro <, tj pro,, + Tedy funkce f = arctg + arcsin je na intervalech, a, + konstantní + Tuto konstantu lze na každém z těchto intervalů určit tak, že dosadíme libovolný bod příslušného intervalu Protože arctg + arcsin + + = π a arctg + arcsin + + = π je arctg + arcsin = π + pro, + arctg + arcsin = π + pro, Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost arctg arccos + = k Označme f = arctg arccos Definiční obor funkce f je určen nerovností + + Z toho plyne, že D f = R Derivace funkce f je rovna f = + + + 4 + = + + Diferencovatelná funkce f je konstantní na intervalu právě tehdy, když je její derivace rovna nule V našem případě je f = pro, +, a tedy je na tomto intervalu rovna konstantě Protože f =, je arctg arccos = pro, + + 4
Vypočtěte itu sin π ln Jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo To dává sin π ln = π cos π = π Vypočtěte itu e e sin Protože se jedná o itu typu, je možné použít k výpočtu této ity l Hospitalovo pravidlo To dává e e e + e = = sin cos Vypočtěte itu sin 3 Jedná se o itu typu Proto lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává sin cos sin 3 = 3 = 6 = 6 Vypočtěte itu ln 8 3 3 Protože se jedná o itu typu, lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává ln 8 3 3 = 3 8 3 = Vypočtěte itu tg sin 5
Jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pak dostaneme tg sin = cos cos cos = + cos cos = Vypočtěte itu Jedná se o itu typu l Hospitalovo pravidlo To dává π tg Proto výraz nejprve převedeme na ity typu a použijeme π tg = cotg π/ = π sin π/ = π Vypočtěte itu e/ Protože e / = a e / = + e y y + y = y + ey = +, e / neeistuje Vypočtěte itu sin Jedná se o itu typu Ale jestliže oba zlomky sečteme, získáme itu typu, pro jejíž výpočet již můžeme použít l Hospitalovo pravidlo takto dostaneme sin = sin sin = sin sin = cos sin = = = Vypočtěte itu e Jedná se o itu typu Proto nejprve výraz upravíme sečteme zlomky na itu typu Pak už můžeme použít l Hospitalovo pravidlo To dává e e = e = e e + e = e e + e = 6
Vypočtěte itu cotg Jedná se o itu typu Proto převedeme výraz na zlomek Platí cotg = cos sin = sin cos sin = sin + cos sin cos 3 = sin Hledanou itu najdeme jako součin tří it, které jsou vesměs typu Proto lze pro výpočet každé z nich použít l Hospitalovo pravidlo Tedy sin + cos sin cos cotg = 3 sin = sin = 3 = 3 Vypočtěte itu / Jedná se o itu typu Proto vyjádříme funkci pomocí eponenciály, tj napíšeme / = ln ep Protože je funkce f = e spojitá, platí / = ep ln = ep = e Vypočtěte itu + ln + Jedná se o itu typu Protože je + ln = e ln ln+ a funkce y = e je spojitá na celém R, je + ln = ep ln ln + = + + ln ln + = ep = e = + + Vypočtěte itu sin π/ tg 7
Funkce f je definována předpisem f = e tg lnsin Proto je její definiční obor určen podmínkou sin > a k + π Tedy D f = [ kπ, 4k + 4k + π π, k + π k Z Protože funkce y = e je spojitá v celém R, stačí najít itu tg lnsin Protože se jedná π/ o itu typu, převedeme tento výraz na itu typu a použijeme l Hospitalovo pravidlo Platí tg lnsin = lnsin π/ π/ cotg = cotg π/ sin = Proto je π/ tg sin = e = Vypočtěte itu + e e Protože se jedná o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme e + e = e e + e = Vypočtěte itu 3 Jedná se o itu typu Proto je možné použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme 3 = 3 ln 3 ln = ln 3 Najděte cos t dt Jedná se o itu typu proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme cos t dt = cos = 8
Najděte + arctg t dt + + Protože + arctg = π 4, integrál arctg t dt diverguje k + Jedná se tedy o itu typu Proto lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává + arctg t dt + = + + arctg = π 4 Najděte + e t dt e t dt Protože integrály + e t dt a + k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo To dává + e t dt e t dt e t dt divergují do +, jedná se o itu typu Proto lze = + e e t dt e = = + e e = + e t dt e = Najděte + cos t t dt Protože pro t, platí nerovnost cos t t cos t > a integrál dt t = +, jedná se o itu t cos t dt cos t typu Jestliže píšeme + t dt = +, dostaneme itu typu Proto lze pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Tedy platí cos t + t dt = + t cos t dt = + cos = 9
Najděte + + t4 dt 3 Protože je + 4 = +, integrál + + + t4 dt diverguje k + Jedná se tedy o itu Proto lze k výpočtu této itu použít l Hospitalovo pravidlo To dává + + t4 dt 3 = + + 4 3 = 3 Najděte + + t e t dt ln/ + e t Protože integrál t použít l Hospitalovo pravidlo To dává dt diverguje k +, jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu + + t e t dt ln/ = + e = Najděte α ft dt, + tα+ kde α > a ft je spojitá funkce na intervalu, ft Jestliže je f, integrál dt diverguje k nekonečnu Proto se v tomto případě jedná o tα+ itu typu Proto převedeme tento výraz na zlomek a dostaneme itu typu K jejímu výpočtu lze použít l Hospitalovo pravidlo Tímto způsobem dostaneme α ft dt = + tα+ + t α ft dt α α f = + α α = f α Jestliže je f =, pak ke každému ε > eistuje δ > takové, že pro každé, δ je f < ε Proto je pro < < δ + δ α t α ft dt α f dt + α t α ft dt + + δ
δ ε α dt + t α+ = ε α Protože tato rovnost platí pro každé ε >, je v tomto případě ita rovna α t α ft dt = + Tedy v obou případech je α ft f dt = + tα+ α Najděte definiční obor funkce f = e cosh + e 4 a její diferenciály v bodech = a = 4 Funkce je definována předpisem f = e cosh ln e +e 4 Proto je definiční obor D f této funkce určen nerovností e > Tedy D f = e, e Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = e cosh sinh ln e Protože v bodě = je f = 4, je df; h = 4h Bod = 4 není prvkem definičního oboru dané funkce Najděte definiční obor funkce f = a = 3 Funkce f je definována vztahem f = ep cosh e + 4e 4 cosh 7 3 tgh a její diferenciály v bodech = 3 [ 7 3 ln cosh tgh Proto je její 3 definiční obor D f =, 3 3, + Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = cosh 7 3 [ 3 ln cosh 3 3 Protože v bodě = je f =, je df; h = h Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Najděte definiční obor funkce f = = a = 67 3 tgh 3 3 cosh cosh + e a rovnici normál k jejímu grafu v bodech Protože je funkce f definována předpisem f = e cosh ln + e, je definiční obor této funkce určen podmínkou > Tedy D f =, Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, ve kterém je funkce f diferencovatelná, má tvar f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě
V našem případě je f = cosh sinh ln + cosh + e Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Pro = je y = a f = Tedy rovnice hledané normály je y =, neboli + y 4 = Najděte definiční obor funkce f = 3 cos + sin = π a = π a rovnici normál k jejímu grafu v bodech Funkce f je definována předpisem f = 3 cos + e lnsin Proto je její definiční obor určen vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = 3 sin + sin lnsin + cotg Pro bod = π π je y = a f = 3 Tedy rovnice normály je v tomto případě 3y = π, neboli 3y + 3 π = Bod = π není prvkem definičního oboru funkce f Najděte definiční obor funkce f = cos arctg 3 = π a = a rovnici tečen k jejímu grafu v bodech Funkce f je definována předpisem f = e lncos arctg Proto je její definiční obor určen 3 nerovností cos > Tedy D f = 4k π, 4k + π k Z Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naši funkce je f = cos 3 lncos tg 9 + Bod = π není prvkem D f Pro bod = je y = f = a f = 3 Tedy tečna v bodě [ ; je y =, neboli 3 + 3y 3 = Najděte definiční obor funkce f = 3 + cos cosh a rovnici normál k jejímu grafu v bodech = π a = Protože je funkce f definována předpisem f = 3+e cosh lncos, je definiční obor této funkce určen vztahem cos > Tedy D f = k Z 4k 4 π, 4k + 4 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě π
V našem případě je derivace funkce f v obecném bodě definičního oboru rovna f = 3 + cosh cos sinh lncos cosh tg Bod = π není prvkem D f V bodě =, je y = a f = 3 Tedy rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [ ; je 3y =, neboli + 3y 3 = + Nalezněte ity v hraničních bodech definičního oboru funkce f = + Funkce f je definována předpisem f = = ep ln + Proto je její definiční obor D f určen nerovností + > Tedy D f =,, + + Pro ± je = + 4 = e 4 ± ± + Pro je daný výraz typu, a tedy = + 4 4 + Pro + je daný výraz typu, a tedy = + + + Nalezněte rovnice všech asymptot ke grafu funkce f = ln6 Funkce f je definována předpisem / ln ln6 f = ln6 = ep Proto je definiční obor této funkce určen vztahy ln6 > a Tedy D f =,, 5 Asymptoty ke grafu dané funkce budeme hledat v krajních bodech jejího definičního oboru, tj v bodech = 5, = a = / 5 Protože ln6 =, nemá funkce f v bodě = 5/ asymptotu Protože f = Protože / ln6 = +, je přímka = svislá asymptota ke grafu funkce f + ln ln6 je ep funkce f v bodě = ln ln6 = 3 ln6 =, = e = Tedy přímka y = je vodorovná asymptota ke grafu Nalezněte definiční obor funkce f = 9 3 cosh a napište rovnici normál k jejímu grafu v bodech = a = 4 cosh ln9 3 Funkce f je definována předpisem f = ep Proto je její definiční obor určen vztahy 9 3 > a Tedy D f =,, 3 3