MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný text je komentovným přepisem podsttné části mých1 přednášek z předmětu Mtemtik, který je přednášen v prvním ročníku n oborech krjinářství výrob tvorb nábytku n Lesnické dřevřské fkultě Mendelovy univerzity v Brně. Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text tké nbízí oporu v oblstech, které jsou vyloženy poněkud odlišně, než je tomu v doporučovných skriptech může doplnit studentovy vlstní zápisky z přednášek, které jsou čsto neúplné nebo zkrtkovité t už z důvodu (učitelov) zkráceného zápisu n tbuli, nebo z důvodu nízké pozornosti (student) při psní poznámek. Oproti přenáškám skriptům jsou v textu vypuštěny motivční, plikční vzorové příkldy doprovodné obrázky. Text je poměrně krátký hutný, proto není míněn jko náhrd doporučené litertury. Text je šířen v elektronické podobě je nepřípustné do něj jkkoliv zshovt. Text je primárně určen k tisku, protože s textem n ppíře se přece jenom prcuje nejpohodlněji. Pro studenty kteří potřebují do textu pouze občs nhlédnout je k dispozici i verze vhodná pro prohlížení n obrzovce. Pro přípdné jiné použití než pro příprvu ke zkoušce si prostudujte licenční podmínky n http://user.mendelu.cz/mrik/ licence.html. Z upozornění n přípdné překlepy, chyby nepřesnosti, jkož i z dlší relevntní komentáře předem děkuji. Podpořeno grntem 99/2008 FRVŠ projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MNDLU v Brně (LDF) s ohledem n discipliny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) z přispění finnčních prostředků U státního rozpočtu České republiky.
Obsh Kpitol 1. Diferenciální počet 3 1. Funkce, vlstnosti funkcí 3 2. Limit, spojitost 7 3. Derivce funkce 15 4. Tylorův polynom 18 5. Věty o spojitých funkcích 19 6. Lokální extrémy, průběh funkce 20 7. Závěrečné poznámky 23 8. Shrnutí 24 Kpitol 2. Integrální počet 26 1. Neurčitý integrál 26 2. Riemnnův integrál 29 3. Nevlstní integrál 33 4. Obyčejné diferenciální rovnice (úvod) 34 5. Diferenciální rovnice se seprovnými proměnnými 35 6. Shrnutí 36 Kpitol 3. Lineární lgebr 37 1. Algebrický vektorový prostor 37 2. Mtice 39 3. Hodnost mtice 40 4. Inverzní mtice 42 5. Determinnt 42 6. Soustvy lineárních rovnic 44 7. Shrnutí 46 Kpitol 4. Nelineární rovnice, numerická mtemtik 48 1. Algebrické rovnice 48 2. Přibližné řešení rovnic 51 3. Metod nejmenších čtverců 56 4. Shrnutí 57 Vzorce pro derivování integrování 59 2
KAPITOLA 1 Diferenciální počet V této kpitole se budeme zbývt funkcemi. Pomocí funkcí v prxi popisujeme vzthy mezi veličinmi. Nejprve se změříme n nejjednodušší vlstnosti funkcí. 1. Funkce, vlstnosti funkcí Definice (funkce). Bud te A B neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel. Prvidlo f, které kždému prvku množiny A přiřdí jediný prvek množiny B se nzývá funkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zpisujemef : A B. Skutečnost, že prvku A je přiřzen prvek b B zpisujeme tkto: f() = b. Přitom říkáme, že b je obrzem prvku při zobrzení f, resp. že je vzorem prvkubpři zobrzeníf. Definice (pojmy spojené s funkcemi). Množin A z definice funkce se nzývá definiční obor funkce f. OznčujemeD(f) (resp.dom(f)). Množin všechb B, pro které existuje A s vlstnostíf() = b se nzývá obor hodnot funkce f. Oznčujeme H(f) (resp. Im(f)). Je-li y = f(x) nzýváme proměnnou x též nezávislou proměnnou proměnnou y závislou proměnnou. Grfem funkce rozumíme množinu všech uspořádných dvojic[x,y] R 2 s vlstnostíy = f(x). Poznámk 1.1. Funkce je tedy prvidlo, které jednomu reálnému číslu přiřdí jediné, přesně definovné jiné reálné číslo. Je-li toto prvidlo tvru y = vzorec s proměnnou x, nzýváme tento předpis explicitním tvrem funkce, npř.y = x 2 +lnx. Je-li toto prvidlo ve tvru vzorec s proměnnými x, y = 0, nzýváme tento předpis implicitním tvrem funkce., npř. x y lny = 0. Zjednodušeně řečeno se tedy jedná o prvidlo, které je bud efektivní (explicitní tvr) nebo málo efektivní (implicitní tvr) pro výpočet funkčních hodnot. Definice (periodičnost funkce). Řekneme, že funkce f je periodická, existuje-li kldné číslo p s vlstnostmi: je-li x D(f), je i x + p D(f) f(x) = f(x + p). Nejmenší číslo p s touto vlstností nzýváme (nejmenší) periodou. V následující definici se budeme zjímt o to, jestli existuje nějký vzth mezi funkční hodnotou v boděx z definičního oboru v bodě opčném. Definice (prit funkce). Necht funkce f splňuje následující podmínku: x D(x) ( x) D(f). (i) Řekneme, že funkce f je sudá pokud pltí f( x) = f(x). (ii) Řekneme, že funkce f je lichá pokud pltí f( x) = f(x). (iii) Řekneme, že funkce f má pritu, je-li sudá nebo lichá. Poznámk 1.2 (grf funkce mjící pritu). Grf sudé funkce je osově souměrný podle osy y. Grf liché funkce je středově souměrný podle bodu[0, 0]. Poznámk 1.3 (k pritě). Prit funkce nás informuje o tom, že funkční hodnoty f(x) f( x) u funkce nejsou nezávislé, le jsou definovné obě součsně jsou bud stejné, nebo se liší znménkem. V obecném přípdě zkoumáme sudost či lichost funkce přímo z definice. Sudost či lichost polynomu rcionální funkce 1 poznáme přímo ze zápisu této funkce použitím následující věty. 1 Předpokládáme, že čtenář je s pojmem polynom již obeznámen. Pokud ne, uvádíme definici v kpitole věnovné nelineárním rovnicím. Rcionální funkce je podíl dvou polynomů. 3
1. FUNKC, VLASTNOSTI FUNKCÍ 4 Vět 1.1. Pritu polynomů rcionálních funkcí lze určit následovně: (i) Polynom je sudá (lichá) funkce právě tehdy, když obshuje právě členy se sudým (s lichým) exponentem. (ii) Rcionální funkce, která je podílem sudého lichého polynomu (v libovolném pořdí), je lichá. (iii) Rcionální funkce, která je podílem dvou sudých nebo dvou lichých polynomů, je sudá. Poznámk 1.4. Poznmenejme, že číslo nul je tké sudé. Sudý polynom tedy může obshovt i bsolutní člen. To že polynom je sudý (lichý) právě tehdy, když obshuje pouze mocniny se sudým (lichým) exponentem slouží jko vysvětlení toho, proč se používá pojem sudá lichá funkce. Příkld 1.1 (prit). Následující funkce jsou sudé:f(x) = x 4 6,g(x) = x3 +x 2x 5 3x,h(x) = x4 6 x 2 +1. Následující funkce jsou liché:f(x) = x 3 6x 7,g(x) = x3 x 2x 4 3,h(x) = x6 3 x 3 x. Následující funkce nejsou ni sudé ni liché: f(x) = x 4 +x 2 x, g(x) = x3 x 2x 4 3x, y = ex. Definice (ohrničenost). Necht f je funkce M D(f) podmnožin definičního oboru funkce f. (i) Řekneme, že funkce f je n množině M zdol ohrničená, existuje-li reálné číslo s vlstností f(x) pro všechnx M. (ii) Řekneme, že funkce f je n množině M shor ohrničená, existuje-li reálné číslo b s vlstností f(x) b pro všechnx M. (iii) Řekneme, že funkce f je n množině M ohrničená, je-li n M ohrničená zdol i shor. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oboru funkcef. Poznámk 1.5 (grfický důsledek). Funkce je shor ohrničená, jestliže existuje vodorovná přímk, která leží celá nd grfem funkce. Podobně poznáváme n grfu ohrničenost zdol. Motivce. Pro libovolnou dobře definovnou funkci f pltí implikce x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ). nyní se budeme zjímt o to, z jkých podmínek lze tuto implikci obrátit. Obrácení implikce by totiž mohlo být užitečné při řešení některých nelineárních rovnic. Definice (prostost). Necht f je funkce M D(f) podmnožin definičního oboru funkce f. Řekneme, že funkcef je prostá, jestliže kždý obrz má jen jediný vzor, tj. pro kždéy f(m) existuje jedinéx M s vlstnostíf(x) = y. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oboru funkcef. Poznámk 1.6 (grfický důsledek). Funkce je prostá, jestliže kždá vodorovná přímk protíná grf nejvýše jednou. Poznámk 1.7 (k prostým funkcím). kvivlentně lze říci, že funkce f je prostá n množině M, jestliže stejné obrzy mjí nutně i stejný vzor, neboli různým vzorům jsou přiřzeny různé obrzy. Mtemticky formulováno: pltí implikce (1.1) f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2, tj. je-li funkce f prostá, můžeme tuto funkci odstrnit z obou strn rovnice místo f(x 1 ) = f(x 2 ) psát ekvivlentněx 1 = x 2. Definice (inverzní funkce). Necht funkce f : A B je prostá. Prvidlo, které kždému x z množiny f(a) přiřdí to (jediné) y, pro které pltí f(y) = x se nzývá inverzní funkce k funkci f, oznčujeme f 1.
1. FUNKC, VLASTNOSTI FUNKCÍ 5 Poznámk 1.8. Symbol f 1 (x) lze tedy chápt bud jko hodnotu inverzní funkce k funkci f v bodě x, nebo jko převrácenou hodnotu k číslu f(x), tj jko [f(x)] 1 = 1. Nebude-li z kontextu zřejmé, f(x) o kterou vrintu se jedná, musíme toto upřesnit. Poznámk 1.9 (geometrický význm inverzní funkce). Ihned z definice plyne, že grf funkce f grf funkce k ní inverzníf 1 jsou souměrné podle přímkyy = x, tj. podle osy prvního třetího kvdrntu. Poznámk 1.10 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f(x) určíme tkto: změníme formálně v zdání funkce proměnné x y, máme tedy x = f(y). Tto rovnice definuje implicitně inverzní funkciy = f 1 (x). Z této rovnice vyjádříme proměnnouy (pokud toto nelze provést, ponecháme inverzní funkci v implicitním tvru). Toto vyjádření je jednoznčné (jink by to znmenlo, že funkce f není prostá inverzní funkce neexistuje) definuje explicitně inverzní funkcif 1. U zákldních elementárních funkcí (viz dále) je zprvidl inverzní funkce jednoduše jiná zákldní elementární funkce, npříkld inverzní funkce k logritmické funkci je exponenciální funkce podobně (viz Tbulk 1). Protože vlstnost být inverzní funkcí je vlstnost vzájemná, je tké logritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Funkcey = f(x) Funkce inverzníy = f 1 (x) y = x y = x 2, x 0 y = x 2,x 0 y = x y = e x y = lnx y = lnx y = e x y = x y = log x y = sinx, x [ π/2,π/2] y = rcsinx y = cosx, x [0,π] y = rccosx y = tgx, x [ π/2,π/2] y = rctgx TABULKA 1. Inverzní funkce k zákldním elementárním funkcím. Příkld 1.2 (výpočet inverzní funkce). Nlezneme inverzní funkci k funkci y = 2x 1. Záměnnou x proměnných získáváme implicitní tvr inverzní funkce x = 2y 1 odsud y xy = 2y 1 1 = (2 x)y inverzní funkce má předpis y = 1 2 x Příkld 1.3 (výpočet inverzní funkce). Nlezneme inverzní funkci k funkci y = x+e x. Tto funkce je zřejmě prostá, protože je rostoucí. Záměnnou proměnných obdržíme implicitní tvr inverzní funkce x = y +e y. Odsud již proměnnou y neumíme vyjádřit. Ponecháme proto inverzní funkci v implicitním tvru. Poznámk 1.11 (zápis čísl jko výsledku předem zdné operce). Je zřejmé, že f(f 1 (x)) = x f 1 (f(x)) = x pro všechn, pro která má tento zápis smysl. Toto nám umožňuje zpst dné číslo jko výsledek nějké operce. Npř. číslo 1 lze zpst libovolnou z následujících možností 1 = lne 1 = log 5 5 1 = 6 log 6 1 = sin(rcsin1) = rctg(tg1) = ( 1) 2 Poznámk 1.12 (využití inverzní funkce nelineární rovnice). Má-li funkcef inverzní funkcif 1 je-li tto inverzní funkce definován v bodě x, potom má nelineární rovnice s neznámou y f(y) = x právě jedno řešení dné vzorcem y = f 1 (x).
1. FUNKC, VLASTNOSTI FUNKCÍ 6 Příkld 1.4 (nelineární rovnice). Řešme rovnici e 2 x 1 = 2. Protože k exponenciální funkci je inverzní logritmická funkce, plyne odsud 2 x 1 = ln2, odkud již sndno vyjádříme x = 2 ln2 +1. Jinou možností je přepst rovnici do tvru, který obshuje exponenciální funkci n obou strnách rovnice e 2 x 1 = e ln2 odstrnit tuto exponenciální funkci z obou strn rovnice (exponenciální funkce je totiž prostá lze použít (1.1) připojenou poznámku). Obdržíme smozřejmě stejný výsledek. Motivce. V následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí klesjící funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zchovávjí (rostoucí) nebo obrcejí (klesjící) směr nerovnosti při plikci funkce n obě strny nerovnice. Definice (monotonie funkce). Necht f je funkce M D(f) podmnožin definičního oboru funkce f. (i) Řekneme, že funkce f je n množině M rostoucí jestliže pro kždé x 1,x 2 M s vlstností x 1 < x 2, pltíf(x 1 ) < f(x 2 ). (ii) Řekneme, že funkce f je n množině M klesjící jestliže pro kždé x 1,x 2 M s vlstností x 1 < x 2, pltíf(x 1 ) > f(x 2 ). (iii) Řekneme, že funkce f je n množině M (ryze) monotonní je-li bud rostoucí, nebo klesjící n M. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oboru funkcef. Poznámk 1.13 (k monotonnosti). U vlstností monotonie nás zjímá nejčstěji přípd, kdy množinou M je intervl. Potom má monotonie ryzí monotonie názornou geometrickou interpretci n grfu funkce (obrázek!). Pozor: funkce y = 1/x není klesjící n celém svém definičním oboru, le pouze n kždém z intervlů(, 0) (0, ). Poznámk 1.14 (využití monotonie nelineární nerovnice). To, že je funkce rostoucí názorně znmená, že jsou-li vzory funkce (hodnotyx) uspořádány podle velikosti, pltí pro jejich obrzy (hodnotyf(x)) stejné uspořádání. Je-li f(x) tedy rostoucí funkce, jsou nerovnosti < b f() < f(b) ekvivlentní. Totéž pltí i pro neostré nerovnice. Můžeme tedy libovolnou (ostrou nebo neostrou) nerovnici npř. logritmovt, nebo odlogritmovt logritmem o zákldu větším než 1. Pozor! Je-li funkcef(x) klesjící, obrcí se při plikci funkce (nebo při vynechání funkce) n obě strny nerovnice znménko nerovnosti. Příkld 1.5 (nelineární nerovnice). Nerovnici ln(x 2 4x 4) > 0 lze řešit npříkld tk, že ji přepíšeme do tvru s logritmy n obou strnách nerovnice odlogritmujeme: ln(x 2 4x 4) > ln1 x 2 4x 4 > 1 Odsud poté dostáváme postupně: x 2 4x 5 > 0 (x 5)(x+1) > 0
2. LIMITA, SPOJITOST 7 x (, 1) (5, ), přičemž kvdrtickou nerovnici vyřešíme npříkld grficky. Okmžitě z definice vyplývá následující vět. Vět 1.2. Je-li funkcef n množiněm ryze monotonní, je n této množině i prostá. Následující vět ukzuje, že při přechodu k inverzní funkci se zchovává ryzí monotonie lichost. Vět 1.3. Je-li funkcef(x) rostoucí (klesjící, lichá), má tutéž vlstnost i funkce inverzníf 1 (x). Poznámk 1.15. Sudá funkce není prostá, nemá proto inverzní funkci. Poznámk 1.16 (shrnující poznámk). Shrňme si, jk nám znlost vlstností funkcí umožňuje prcovt s rovnicemi nerovnostmi. = b < b < b f je prostá f() = f(b) f je rostoucí f() < f(b) f je klesjící f() > f(b) Je-li funkce f prostá, pk pro kždé y H(f) má rovnice f(x) = y b b f je rostoucí f() f(b) f je klesjící f() f(b) s neznámoux právě jedno řešení toto řešení je možno vyjádřit vzthemx = f 1 (y). 2. Limit, spojitost Motivce. Nyní budeme hledt vhodnou veličinu, která nám umožní popst, jk rychle se mění jedn veličin při změnách veličiny druhé. U přímky je tkovouto vhodnou veličinou směrnice (zprvidl oznčujeme symbolem k): Je-li směrnice kldná, přímk roste, je-li záporná tk nopk. Je-li směrnice blízká k nule, přímk roste pozvoln, je-li mnohem větší něž jedn, přímk rychle roste, je-li mnohem menší než minus jedn, přímk rychle klesá. f(x+h) tečn sečn f(x) x x+h OBRÁZK 1. Tečn jko limitní poloh sečen (geometrický význm derivce) Při studiu funkcí se ukzuje, že vhodnou mírou rychlosti růstu funkce v dném bodě je směrnice tečny v tomto bodě (tto směrnice se pochopitelně může měnit podlé křivky, křivk může nejprve rychle růst, potom npříkld růst zpomlit opět klest). Jk le njít směrnici tečny ke křivce v bodě [x,f(x)]? Použijeme následující úvhu: Uvžujme sečnu n grfu funkce, která prochází body [x, f(x)] [x + h,f(x+h)]. Směrnice této sečny je k sečny = f(x+h) f(x) (x+h) x = f(x+h) f(x). h Přiblížíme-li bod [x + h,f(x + h)] k bodu [x,f(x)], přiblíží se sečn k tečně ze směrnice sečny dostneme směrnici tečny (sledujte n obrázku 1). Tímto procesem všk veličin h, která je ve jmenovteli udává vodorovnou vzálenost průsečíků n sečně, klesne n nulu nemůže se objevit ve jmenovteli (nulou nemůžeme dělit). Proto je nutno podrobně prozkoumt, co se děje s funkčními hodnotmi funcí při
2. LIMITA, SPOJITOST 8 změnách nezávislé proměnné (x). Budeme se přitom nejvíce zjímt o přípdy, kdy se blížíme k nějké problemtické hodnotě, npř. k nule ve jmenovteli, k nule uvnitř logritmu, nebo k nekonečnu (viz dále). Motivce. Definice v této podkpitole mjí následující smysl: Budeme sledovt, jk souvisí funkční hodnot v dném bodě (pokud je definován) s funkčními hodnotmi v nejbližších okolních bodech. Dále, pokud funkční hodnot v dném bodě není definován, budeme se zjímt o to, jestli funkční hodnoty v nejbližších okolních bodech jsou ustáleny okolo nějké význčné hodnoty, či nikoliv. Nejprve je vhodné rozšířit si množinu reálných čísel o dv dlší body, plus minus nekonečno. Definice (rozšířená množin reálných čísel). Rozšířenou množinou reálných číselr rozumíme množinu reálných číselrrozšířenou o body± následovně:r = R {, }, přičemž pro R definujeme: + =, =, + =, =. =.( ) =,.( ) =, = = 0 < <, ± =, je-li > 0 definujeme. = je-li < 0 definujeme.( ) =,. =.( ) =. Dlší operce definujeme pomocí komuttivnosti opercí +.. Body ± nzýváme nevlstní body, body množiny R nzýváme vlstní body. Poznámk 2.1. Nejsou tedy definovány operce, ±.0 ±. Poznmenejme, že smozřejmě není definováno dělení ± nulou. Definice (okolí). Okolím bodu R nzýváme libovolný otevřený intervl, který ve svém vnitřku obshuje bod, znčíme O(). Ryzím (též prstencovým) okolím bodu rozumíme množinu O()\{}, znčímeo(). Okolím bodu rozumíme libovolný intervl tvru(a, ), kdeaje reálné číslo okolím bodu intervl(, A). Ryzím okolím nevlstních bodů rozumíme totéž, co okolím těchto bodů. Definice (limit funkce). Necht,L R f : R R. Necht je funkcef definovná v nějkém ryzím okolí bodu. Řekneme, že funkcef má v bodělimitu rovnu číslul, jestliže ke kždému okolío(l) bodul existuje ryzí okolí O() bodu tkové, že pro libovolné x O() je f(x) O(L). Píšeme (2.1) lim x f(x) = L, nebof(x) L prox. Definice (vlstní nevlstní limit). Je-li v předchozí definici L R, nzývá se limit vlstní, je-li L {, }, nzývá se limit nevlstní. Vlstní limitu ve vlstním bodě je někdy vhodné ekvivlentně definovt následovně: Definice (εδ-definice limity). Necht,L R f : R R. Řekneme, že funkce f má v bodě limitu rovnu číslu L, jestliže ke kždému ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že pro libovolné x ( δ, + δ), x pltí f(x) (L ε,l+ε). Poznámk 2.2. Místo x ( δ, + δ), x lze ekvivlentně psát 0 < x < δ. Podobně místo f(x) (L ε,l+ε) lze psát f(x) L < ε Poznámk 2.3. Definice limity je nprosto nevhodná pro výpočet. Jednodušší je ukázt pomocí definice, že číslo L není limitou funkce v bodě.
2. LIMITA, SPOJITOST 9 Definice (jednostrnné okolí). Prvým (resp. levým) okolím bodu R nzýváme libovolný intervl tvru[, b),(resp. tvru(b, ], pro levé okolí), kde b je reálné číslo splňující b > (resp. b < ). Znčíme O + () (O ()). Ryzím prvým (resp. levým) okolím bodu rozumíme odpovídjící jednostrnné okolí, ze kterého vyjmeme bod. ZnčímeO + (), (O ()). Definice (jednostrnná limit). Necht R, L R f : R R. Dále necht je funkce f definovná v nějkém prvém (levém) ryzím okolí bodu. Řekneme, že funkcef má v bodě limitu zprv (limitu zlev) rovnu číslu L, jestliže ke kždému okolí O(L) bodu L existuje prvé ryzí okolí O + () (levé ryzí okolí O ()) bodu tkové, že pro libovolné x O + () (x O ()) pltí f(x) O(L). Píšeme lim f(x) = L ( lim f(x) = L). x + x Poznámk 2.4 (zkrácená form zápisu). Jiná form zápisu jednostrnné limity je f(+) = L pro limitu zprv f( ) = L pro limitu zlev. Fkt, že z rgumentem funkce je znménko přitom signlizuje, že se nejedná o funkční hodnotu v bodě (tj. nejde o f()), le o limitu v bodě zprv nebo zlev. Pro oboustrnné limity se symbolik tohoto typu používá zřídk, píšeme potom f(±). okolí bodu ryzí okolí bodu prvé okolí bodu prvé ryzí okolí bodu OBRÁZK 2. Okolí jednostrnné okolí bodu. Poznámk 2.5. Vidíme, že nedefinujeme ni jednostrnná okolí nevlstních bodů ni jednostrnné limity v těchto bodech. Poznámk 2.6. Aby existovl limit v bodě R, nemusí být funkce f v bodě definován, protože sinx f() v definici limity nikde nevystupuje. Npříkld limit funkce lim existuje, i když tto funkce není x 0 x definován v bodě 0. Funkce nopk musí být definován v nějkém ryzím okolí (nebo ryzím jednostrnném okolí, v přípdě jednostrnné limity) bodu. Nedefinujeme tedy npříkld lim 1 3x2, nebo lim x 1 x 0 ln(x). Poznámk 2.7 ( vulgární vyjádření pojmu limit). Nepřesně řečeno, předpis lim x f(x) = L znmená, že je-li hodnotx blízká k číslu, je funkční hodnotf(x) blízká k číslu L. Vět 2.1 (jednoznčnost limity). Funkce má v kždém bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprv, limitu zlev). Vět 2.2 (souvislost limity s jednostrnnými limitmi). Funkce má v bodě R limitu právě tehdy, má-li v tomto bodě obě jednostrnné limity tyto limity jsou shodné. Poznámk 2.8 (technická grfické nlezení limity). xistenci hodnotu limity poznáme pěkně z grfu funkce (umíme-li ho nkreslit). Předstvme si grf funkce y = f(x) hledejme hodnotu limity lim x + f(x) Uvžujme n grfu funkce testovcí bod. x-ová souřdnice tohoto bodu necht je větší než Posunujme testovcí bod po grfu funkce zprv dolev tk, by se x-ová souřdnice blížil k bodu. Pokud při tomto procesu dochází k tomu, že y-ová souřdnice se ustálí kolem nějkého čísl L, je číslo L limitou funkce v bodě zprv. Obrázek 3 ilustruje tuto myšlenku. Funkce n obrázku má obě jednostrnné limity v bodě, jsou všk různé. Proces nlezení limity zprv je zchycen n obrázku, limit zlev se njde nlogicky.
2. LIMITA, SPOJITOST 10 y f(x) testovcí bod L cílový bod limitní proces x x OBRÁZK 3. Limitní proces lim x +f(x) = L. Poznámk 2.9 ( experimentální stnovení limity ). Chceme-li odhdnout, zd jistá limit existuje či nikoliv, lze použít následující postup: zvolíme nějkou posloupnost čísel, která se blíží k číslu postupně počítáme funkční hodnoty funkce f v těchto číslech. Měl by vycházet posloupnost čísel, které se přibližují k jistému číslu L. Pokud toto skutečně vychází, je prvděpodobné, že toto číslo L je limitou funkce f v bodě ve smyslu výše uvedené definice. Toto přibližování může být porušeno v bodech, které jsou již znčně blízko bodu, což bývá způsobeno omezenou přesností počítcích strojů následným selháním lgoritmů, které jsou v těchto strojích zbudovány. sinx Příkld 2.1 (numerický experiment). Odhdneme hodnotu limity lim pomocí numerického experimentu. Budeme hledt hodnoty funkce sinx n posloupnosti hodnot x, které konvergují k nule zprv. x 0 + x x Dostáváme x 0.5 0.2 0.1 0.01 0.005 0.00001 sinx 0.95885 0.99334 0.99833 0.999983 0.9999958 1 x Odsud se zdá být rozumné se domnívt, že sinx lim x 0 + x = 1. Nicméně, tto domněnk může býti zvádějící. Klkulátor zokrouhluje. Z tbulky se zdá, že hodnot funkce je přesně jedn, pro x dost blízké nule. Bohužel, není tomu tk. Ve skutečnosti hodnot funkce sin(x)/x není rovn jedné nikde. Rovnice sinx = 1 nemá řešení. x Z tbulky je prvděpodobné, že sin(x)/x se přibližuje číslu 1 pokud se x přibližuje k číslu 0. Avšk tímto fktem si nemůže být zcel jisti. Žádné množství konkrétních dt neukzuje, že hodnoty nemohou být zcel jiné, pokud jsou hodnoty x ještě blíže k nule, než je zchyceno v tbulce. Numerický experiment dává dobrou předstvu, jká by mohl hodnot limity být, nemůže všk být použit pro důkz existence limity. Je nutno odvodit přesnou teorii pro výpočet limit, jk bude provedeno níže. Následující vlstnost nám dává informci o vzthu limity v bodě funkční hodnoty v tomto bodě. Tyto mohou být zcel nezávislé můžou existovt obě součsně být různé, nebo kterákoliv z nich existovt nemusí. Pokud všk obě existují jsou stejné, je funkce určitým způsobem pěkná spojitá. Definice (spojitost v bodě). Řekneme, že funkcef : R R je spojitá v bodě, jestližeje v definičním oboru funkcef lim f(x) = f(). x Řekneme, že funkcef : R R je spojitá zprv (spojitá zlev) v bodě, jestližeje v definičním oboru funkce f lim f(x) = f() ( lim f(x) = f()). x + x
2. LIMITA, SPOJITOST 11 Definice (spojitost n intervlu). Řekneme, že funkce je spojitá n otevřeném intervlu(, b), je-li spojitá v kždém jeho vnitřním bodě. Řekneme, že funkce je spojitá n uzvřeném intervlu [, b], je-li spojitá v kždém jeho vnitřním bodě, v bodě je spojitá zprv v boděbje spojitá zlev. Oznčení. Množinu všech funkcí spojitých 2 n intervlu I oznčujeme C(I). Je-li I = (,b) nebo I = [,b], píšemec((,b)), neboc([,b]). Poznámk 2.10 (filozofická). Všimněte si, že definice spojitosti je zcel odlišná od běžné předstvy spojité funkce jkožto funkce, jejíž grf lze nkreslit jedním them. Tto skutečnost je všk přirozená, protože nedokonlost, která nutně provází jkoukoliv vizulizci grfu funkce, nám nedovoluje zvést přesně jkýkoliv pojem, tedy ni spojitost, pokud se odvoláváme pouze n geometrický názor. Definice vlstně vyjdřuje fkt, že n intervlu, n kterém je funkce spojitá, se její funkční hodnoty mění pozvoln mlá změn proměnné x vyvolá reltivně mlou změnu proměnné y. Následující definice se týká nprosté většiny funkcí, se kterými budeme prcovt. Definice (zákldní elementární funkce). Všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální logritmické funkce obecná mocnin se nzývjí zákldní elementární funkce. Definice (elementární funkce). Všechny funkce, které ze zákldních elementárních funkcí získáme konečným počtem opercí sčítání, odečítání, násobení, dělení skládání těchto funkcí nvzájem se nzývjí elementární funkce. Poznámk 2.11. lementární funkce jsou tedy všechny funkce, které umíme v konečném tvru vyjádřit explicitním vzorcem z použití funkcí známých ze střední školy cyklometrických funkcí. Vět 2.3 (spojitost elementárních funkcí). lementární funkce jsou spojité v kždém vnitřním bodě svého definičního oboru. Poznámk 2.12 (technická). Předchozí vět nám říká, že u elementárních funkcí je limit funkční hodnot v bodech ptřících do definičního oboru totéž. Limitu v bodě proto zkusíme počítt tk, že nejprve dosdíme x =. Pouze pokud nelze dosdit, tj. pokud D(f), musíme limitu počítt jink. Díky této větě je pro nás pojem limit u elementárních funkcí zjímvý již jen v bodech, které neptří do definičního oboru funkce. Příkld 2.2 (výpočet limity doszením). Funkce y = ex ln(x) x 2 je spojitá n intervlech (0,1) (1, ). 1 Proto npř. e x ln(x) lim x 2 x 2 1 = e2 ln2. 3 Čtenář má ze střední školy prvděpodobně intuitivní předstvu o symptotách ke grfu funkce. Následující definice včleňují symptoty do konceptu limit. Definice (symptot bez směrnice, svislá symptot). Bud f funkce x 0 R vlstní bod. Řekneme, že přímk x = x 0 je symptotou bez směrnice (též svislá nebo vertikální symptot) ke grfu funkce f, jestliže lespoň jedn z jednostrnných limit funkcef v boděx 0 existuje je nevlstní. Definice (vodorovná symptot). Bud q R. Přímk y = q je vodorovnou (horizontální) symptotou ke grfu funkcey = f(x) v bodě+ právě tehdy, když pltí lim f(x) = q. x Podobně definujeme horizontální symptotu v bodě. 2 nglicky continuous
2. LIMITA, SPOJITOST 12 svislá symptot vodorovná symptot v+ OBRÁZK 4. Vodorovná svislá symptot. Poznámk 2.13 (souvislost mezi limitou vodorovnou symptotou). Předchozí vět definice říkjí, že vodorovná (horizontální) symptot v nevlstním bodě je totéž, co limit v tomto bodě. Vskutku, blíží-li se grf funkce y = f(x) k přímce y = q (přímk je symptotou), znmená to, že funkční hodnoty f(x) se blíží k čísluq (čísloq je limitou), nopk. Definice (symptot se směrnicí). Bud f funkce definovná v nějkém okolí bodu. Přímky = kx+q se nzývá symptot se směrnicí ke grfu funkcey = f(x) v bodě+, jestliže pltí lim kx+q f(x) = 0 x Podobně, změníme-li bod z bod, obdržíme definici symptoty se směrnicí ke grfu funkce f v bodě. Poznámk 2.14 (geometrický význm předchozí definice). Asymptot se směrnicí je tedy přímk, ke které se grf přibližuje v některém z nevlstních bodů. Všimněte si, že definice nevylučuje přípd, kdy kx + q f(x) = 0, tj. kdy je funkce f lineární. V tomto přípdě je grfem funkce přímk, která je sm svojí symptotou. Dále podotkněme, že vodorovná symptot je pouze speciální přípd symptoty se směrnicí, jejíž směrnice je nulová. Vět 2.4 (symptot se směrnicí). Bud f funkce definovná v nějkém okolí bodu. Přímk y = kx+q je symptot se směrnicí ke grfu funkce y = f(x) v bodě + právě tehdy, když existují konečné limity f(x) (2.2) k := lim x x q := lim x (f(x) kx). Podobně, změníme-li bod z bod, obdržíme symptotu se směrnicí ke grfu funkce f v bodě. y = f(x) g(x) y = kx+q OBRÁZK 5. Asymptot se směrnicí v+.
2. LIMITA, SPOJITOST 13 Poznámk 2.15. Grf funkce může le nemusí mít symptotu. U symptot se směrnicí mohou, le i nemusí, být obě symptoty v nevlstních bodech ± stejné. Dokonce může existovt pouze jedn (viz npř funkce y = e x ). U symptot ke grfům rcionálních funkcí je situce jednodušší (viz následující vět). Vět 2.5 (symptoty rcionální funkce). Asymptoty se směrnicí ke grfu rcionální funkce v bodech ± existují součsně jsou stejné. Poznámk 2.16. Polynom stupně lespoň 2 nemá symptoty. Asymptoty rcionálních funkcí určíme sndno pomocí dělení polynomů se zbytkem. V následujícím textu si ukážeme některé techniky umožňující prktický výpočet limit. Vět 2.6 (prvidl pro počítání s limitmi). Bud R, f,g : R R. Pltí (2.3) lim(f(x)±g(x)) = lim f(x)± lim g(x) x x x (2.4) lim(f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x x f(x) lim x g(x) = lim x f(x) (2.5) lim x g(x) (2.6) lim f(x) = lim f(x), x x kde limit vlevo existuje, jestliže existují limity vprvo (vlstní nebo nevlstní) výrz vprvo je definován. Totéž pltí i pro jednotlivé jednostrnné limity. Příkld 2.3 (plikce předchozí věty). S využitím věty lze počítt následující limity (i) (ii) (iii) lim x (rctgx+rccotgx) = π 2 +0 = π 2 1 lim x 0 x lim x cosx =.1 = 1 xe x = 1. = 1 = 0 Příkld 2.4 (selhání předchozí věty). Větu nelze použít pro výpočet limity lim x 0 +(1 + lnx), protože x bychom obdrželi nedefinovný výrz. Stejně tk větu nelze použít npř. pro výpočet limit lim x (sin2 x+cos 2 1 x) nebo lim x x cos2 x, protože limity lim x sin2 x lim x cos2 x neexistují. Toto všk nic nevypovídá o tom, zd původní limit existuje nebo neexistuje! Následující vět je plikovtelná v přípdech, kdy hledáme limitu součinu dvou funkcí, z nichž jedn limitu nemá druhá má limitu nulovou. Vět 2.7. Necht R, lim f(x) = 0 necht existuje ryzí okolí bodu, kde je funkce g(x) ohrničená. Pk x f(x)g(x) = 0, tj. limit existuje je rovn nule. lim x Příkld 2.5 (plikce předchozí věty). S pomocí této věty již lze vypočítt limitu z předchozí poznámky: 1 lim x x cos2 x = 0.(ohrničená funkce) = 0 Následující vět má použití npříkld při výpočtu limity rcionální funkce v bodech, ve kterých tto funkce není definován, tj. v bodech, pro které po doszení vychází nul ve jmenovteli nenulové číslo v čitteli (vychází-li nul i v čitteli, lze ve zlomku provést krácení, čímž se situce převede n některý z osttních přípdů). Vět 2.8 (limit typu L 0 ). Necht R, lim g(x) = 0 lim f(x) = L R \{0}. Necht existuje x x ryzí okolí bodu, ve kterém je funkceg(x) nemění znménko. Potom { f(x) lim x g(x) = + pokud g(x) L mjí stejné znménko, pokud g(x) L mjí různá znménk. Totéž pltí i pro jednostrnná okolí příslušné jednostrnné limity.
2. LIMITA, SPOJITOST 14 Poznámk 2.17 (symboly +0, 0 ). Limit typu L, pokud existuje, je vždy nevlstní. Znménko 0 určíme pomocí běžných prvidel pro určení znménk podílu podíl dvou kldných nebo dvou záporných čísel je kldný, podíl kldného záporného čísl (v libovolném pořdí) je záporný. Vyjádříme-li tedy symbolem +0 skutečnost, že funkce ve jmenovteli má limitu (jedno- nebo oboustrnnou) rovnu nule, v nějkém ryzím okolí (jedno- nebo oboustrnném) je všk nenulová kldná, lze podle předchozí věty počítt npř. tkto: 2 =, =. Podobně symbolem 0 vyjádříme skutečnost, že funkce ve +0 +0 jmenovteli má nulovou limitu v nějkém ryzím okolí je nenulová záporná lze psát npř. 2 0 =. Poznámk 2.18 (technická). V prxi je při plikci předchozí věty obvyklé vyšetřovt nejprve jednostrnné limity z jejich vzájemného vzthu poté usoudit n existenci nebo neexistenci oboustrnné limity. Příkld 2.6 (limit lomené funkce ve vlstním bodě neptřícím do definičního oboru). 1 x (i) lim x 2 + x 2 4 = 1 +0 = (ii) 1 x lim x 2 x 2 4 = 1 0 = 1 x (iii) lim x 2 x 2 neexistuje, protože jednostrnné limity nejsou stejné. 4 Následující vět ukzuje, že při výpočtu limity složené funkce lze postupovt tk, že určíme nejprve limitu vnitřní složky poté n výsledek plikujeme složku vnější. Vět 2.9 (limit složené funkce se spojitou vnější složkou). Je-li lim f(x) = b g(x) je funkce spojitá x v boděb, pltí lim g(f(x)) = g(b), tj. x lim g(f(x)) = g(lim f(x)). x x Totéž pltí i pro jednotlivé jednostrnné limity. Příkld 2.7 (limit složené funkce se spojitou vnější složkou). (i) lim x cos(e x ) = cos0 = 1 (ii) lim x erctgx = e π/2 Předchozí větu nelze plikovt v přípdě, že limit vnitřní složky je nevlstní, nebo pokud uvedeným postupem obdržíme nedefinovný výrz, npř. ln 0. V tomto přípdě lze využít následující větu. Vět 2.10 (limit složené funkce). Necht lim f(x) = b, lim g(y) = L existuje ryzí okolío() tkové, x y b že prox O() je f(x) b. Potom lim g(f(x)) = L. x Poznámk 2.19 (substituce v limitě). Vět je vlstně větou o substituci v limitě. Npř. v limitě L = lim 1 x 0 +ln x substituce y = 1 1 vede n limitul = lim lny (protože lim = ) odsud dostáváme L = x y x 0 + x Příkld 2.8 (limit složené funkce). (i) lim ln( 1 x 0 + x ) = ln = (ii) lim x rctg(e x ) = rctg = π 2 (iii) lim ln(sinx) = ln(0+) = x 0 + Následující vět umožní sndné počítání limity polynomu rcionální funkce v nevlstních bodech. Vět 2.11 (limit polynomu rcionální funkce v nevlstních bodech). Pltí lim x ± ( 0x n + 1 x n 1 + + n 1 x+ n ) = lim x ± 0x n lim x ± 0 x n + 1 x n 1 + + n 1 x+ n 0 b 0 x m +b 1 x m 1 = lim x n m + +b m 1 x+b m x ± b 0
3. DRIVAC FUNKC 15 Poznámk 2.20 (technická). Limit polynomu stupně lespoň jedn v nevlstních bodech je tedy vždy nevlstní, přičemž o jejím znménku rozhoduje pouze vedoucí člen. O hodnotě limity podílu dvou polynomů rozhoduje pouze podíl vedoucího člene čittele vedoucího člene jmenovtele. Příkld 2.9 (limit polynomu lomené funkce v nevlstních bodech). (i) lim x (6x3 2x+1) = lim x 6x3 = 6.( ) 3 = (ii) lim x (3x5 2x 2 +2) = 3.( ) 5 = x 3 2 (iii) lim x 2x 3 4x 2 +1 = lim 1 x 2 = 1 2 x 5 2 (iv) lim x 2x 3 4x 2 +1 = lim 1 x 2 x2 = 3. Derivce funkce Nyní můžeme ve směrnici sečny n grfu funkce (viz strn 7) použít limitní přechod h 0, čímž dostneme směrnici tečny. Tuto veličinu předstvujeme v následující definici. Definice (derivce funkce v bodě). Necht x D(f). Řekneme, že funkce f má v bodě x derivci rovnu číslu oznčenémuf (x), jestliže existuje konečná limit (3.1) f f(x+h) f(x) (x) = lim. h 0 h Poznámk 3.1 (jednostrnné derivce). Podobně definujeme i derivci zprv derivci zlev. Požíváme při tom limitu zprv zlev místo oboustrnné limity (3.1). Definice (derivce funkce). Necht má funkce f derivci v kždém bodě otevřeného intervlu I. Předpisem, který kždému bodu x z intervlu I přiřdí derivci funkce f v bodě x je definován funkce, kterou nzýváme derivcí funkcef n intervlui oznčujemef. Definice (vyšší derivce). Bud f(x) funkce f (x) její derivce. xistuje-li derivce (f (x)) funkce f (x), nzýváme ji druhou derivcí funkce f(x) oznčujemef f (x). n-násobným opkováním tohoto postupu dospíváme k n-té derivci funkcef(x), kterou oznčujemef (n) (x). Poznámk 3.2 (geometrický význm derivce). Z definice derivce plyne, že se jedná přesně o tu veličinu, udávjící rychlost růstu funkce, kterou jsme zčli hledt v motivci n strně 7. Geometrický význm derivce je následující: nkreslíme-li sečnu ke grfu funkce f procházející body[x, f(x)] [x+h, f(x+h)] (viz obrázek 1, strn 7), je směrnice této sečny f(x+h) f(x). Fixujeme-li bod [x,f(x)] s bodem h (x+h) se k boduxblížíme (tj. provádíme-li limitní přechod lim ), přejde sečn v tečnu v bodě[x,f(x)]. h 0 Limitní hodnot, tj. směrnice tečny, je potom rovn derivcif (x). Grf funkce má tedy v pevném bodě tečnu právě tehdy, když funkcef má v bodě derivci. Body, kde funkce nemá derivci, mohou být body, kde je limit (3.1) nevlstní (funkce má svislou tečnu), body kde existují jednostrnné derivce (tečny zlev i zprv existují) le tyto jsou různé (npř. funkce y = x ) konečně body, kde neexistuje některá z jednostrnných derivcí. Poznámk 3.3 (rovnice tečny). Má-li funkce f v bodě derivci, je rovnice tečny ke grfu funkce v tomto bodě y = f ()(x )+f(). Rovnici tečny můžeme použít k lineární proximci funkce. V okolí bodu pltí přibližný vzorec f(x) f()+f ()(x ), který umožňuje v okolí bodu nhrdit (obecně nelineární) funkci f(x) funkcí lineární.
3. DRIVAC FUNKC 16 Poznámk 3.4 (prktický význm derivce). Necht veličin x oznčuje čs, měřený ve vhodných jednotkách, necht veličin y se mění v průběhu čsu, tj. y = y(x). Derivce y (x) poté znčí okmžitou rychlost, s níž dochází ke změně velikosti veličiny y v čse x. Znčí-li npř. y(x) polohu pohybujícího se těles v čse x, je derivce y (x) rovn okmžité rychlosti tohoto těles (pojem rychlost užíváme ve fyzikálním smyslu tohoto slov). Znčí-li veličin y velikost populce určitého živočišného druhu v čse x, znčí derivcey (x) rychlost nárůstu této populce, tj. počet živočichů, který se v dném okmžiku nrodil (z čsovou jednotku), zmenšený o počet živočichů, který v dném okmžiku uhynul. Vět 3.1 (souvislost derivce spojitosti). Má-li funkce v bodě (n intervlu I) derivci, je v tomto bodě (n tomto intervlu) spojitá. Poznámk 3.5. Opčná vět nepltí, ze spojitosti funkce obecně neplyne existence derivce. Příkldem budiž funkcey = x v boděx = 0. Oznčení. Množinu všech funkcí které mjí n intervlu I spojitou derivci oznčujeme C 1 (I). Tyto funkce zprvidl nzýváme hldké funkce. Množinu všech funkcí které mjí n intervlu I spojité všechny derivce ž do řáduk včetně oznčujemec k (I). Poznámk 3.6 (filozofická). Dlouho přetrvávl názor, že spojitá funkce je funkce, jejíž grf lze nkreslit jedním them. Kreslíme-li grf tkovéto funkce, znmená to, že když při kreslení posunujeme pisátko nějkým směrem. Tkto kreslíme grf funkce, která má tečnu ( tedy i derivci), přípdně čáru zlomíme. Těchto zlomení může být konečně mnoho, proto se věřilo, že spojité funkce mjí derivci všude, s přípdnou výjimkou konečného počtu bodů. To, že tková předstv je nesprávná, ukázl B. Bolzno, který zkonstruovl funkci spojitou n R, která nemá v žádném bodě derivci. Grf tkovéto funkce podle výše uvedeného nelze nkreslit. Tento příkld ukzuje, že předstv spojité funkce pouze jko funkce, jejíž grf lze nkreslit jedním them je nesprávná. Poznámk 3.7 (k oznčení). Je-li funkce f ve tvru y = f(x), píšeme místo f (x) tké y (x), nebo stručněji y. V přírodních technických vědách se čsto setkáváme ještě s následujícím ekvivlentním znčením derivce y = dy. Přitom výrzy dx dy (které jsou v derivci formálně v podílu ) se dx nzývjí diferenciály. Je-li nezávislou proměnnou čs, oznčujeme jej zprvidl t nmísto x derivci v tomto přípdě znčíme tečkou tkto:ẏ Poznámk 3.8 (vzorce pro derivování zákldních elementárních funkcí). Zákldní elementární funkce derivujeme pomocí následujících vzorců. (c) = 0 (x n ) = nx n 1 ( x ) = x ln (e x ) = e x (sinx) = cosx (cosx) = sinx (tgx) = 1 cos 2 x (cotgx) = 1 sin 2 x (log x) = 1 xln (lnx) = 1 x (rcsinx) 1 = 1 x 2 (rccosx) 1 = 1 x 2 (rctgx) = 1 1+x 2 (rccotgx) = 1 1+x 2
3. DRIVAC FUNKC 17 Vět 3.2 (prvidl pro počítání s derivcemi). Necht f, g jsou funkce c R konstnt. Pltí (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) [cf(x)] = cf (x) [f(x)±g(x)] = f (x)±g (x) [f(x)g(x)] = f(x)g (x)+f (x)g(x) [ f(x) ] f (x)g(x) g (x)f(x) = g(x) g 2, (x) přičemž derivce vlevo existují, existují-li derivce vprvo, je-li výrz vprvo definován (tj. není nul ve jmenovteli zlomku). Příkld 3.1 (plikce předchozí věty). [ ] xe x = (xex ) (x+1) (x+1) xe x x+1 (x+1) 2 = (ex +xe x )(x+1) 1xe x (x+1) 2 = ex (x 2 +x+1) (x+1) 2 Poznámk 3.9 (technická). Protože derivce součtu je jednodušší než derivce součinu podílu, snžíme se součin nebo podíl rozdělit (pokud to lze) n součet jednodušších výrzů. (i) [(x+1)(x 2)] = (x 2 x 2) = 2x 1 ( x 3 ) x+1 (ii) = 1 4x 4 (x2 1+x 1 ) = 1 4 (2x x 2 ) Vět 3.3 (derivce složené funkce, řetězové prvidlo). Pltí (3.6) [f(g(x))] = f (g(x))g (x), kde existence derivce vlevo plyne z existence derivcí vprvo. Poznámk 3.10. Výrzf (g(x)) v předchozí větě znmená derivci funkcef vypočtenou v boděg(x). Příkld 3.2 (derivce složené funkce). (i) (ln(sinx)) = 1 sinx cosx (ii) (ln(xsinx)) = 1 ( xsinx (sinx+xcosx) (iii) ln ( xsin 2 (2x) )) 1 = xsin 2 (2x) [1.sin2 (2x)+x.2sin(2x)cos(2x)2] Následující vět nám umožní ve většině přípdů výpočet limit typu 0 0. Vět 3.4 (l Hospitlovo prvidlo). Necht R necht funkce f g jsou definovány v nějkém ryzím okolí bodu mjí zde derivci. Necht dále pltí bud lim f(x) = lim g(x) = 0, nebo lim g(x) =. x x x Pltí f(x) (3.7) lim x g(x) = lim f (x) x g (x), pokud limit n prvé strně rovnosti (3.7) existuje. Totéž pltí i pro obě jednostrnné limity. Poznámk 3.11 (k použití l Hospitlov prvidl). Pokud limit vprvo ve vzorci (3.7) neexistuje, nemůžeme ještě nic říci o limitě lim f(x)/g(x). Tto limit může nebo nemusí existovt. Pokud limit vprvo neexistuje, přípdně pokud pokus o použití l Hospitlov prvidl nevede ke zjednodušení, x musíme hledt pro výpočet limity jinou cestu. Poznmenejme ještě, že l Hospitlovo prvidlo lze použít libovolně-krát z sebou. Potom z existence poslední limity vyplývá existence všech limit předchozích. lnx x rctgx xe x +x 2e x +2 Příkld 3.3. Vypočtěte limity lim, lim x x x 0 x 3 lim x 0 x 3.
4. TAYLORŮV POLYNOM 18 Řešení. 1 lnx lim = x x = lim x x 1 2 x x rctgx lim x 0 x 3 = 0 0 = lim x 0 = 2 lim x 1 1 1+x 2 3x 2 1 x = 0, = lim x 0 1 3(1+x 2 ) = 1 3, xe x +x 2e x +2 lim x 0 x 3 = 0 0 = lim e x +xe x +1 2e x x 0 3x 2 e x +e x +xe x 2e x = 0 0 = lim x 0 = 0 0 = lim x 0 xe x 6x = lim x 0 6x e x 6 = 1 6 4. Tylorův polynom Motivce. Předpokládejme že je dán funkce f s následujícími vlstnostmi: Dokážeme vypočítt funkční hodnotu hodnotu derivcí (ž do řádun) v jistém boděx 0. Nemáme dosttečně efektivní lgoritmus n výpočet funkčních hodnot v osttních bodechx x 0. Pro výpočet funkčních hodnot v bodech v okolí bodux 0 se budeme snžit funkci proximovt jednodušší funkcí, v nšem přípdě polynomem stupněn. Nejlepší polynom, který funkcif v okolí bodux 0 proximuje je tkový polynom, který má s dnou funkcí totožné v boděx 0 derivce ž do řádun. Tkový polynom se nzývá Tylorův polynom nlezneme ho pomocí následující definice. Definice (Tylorův polynom). Necht n N je přirozené číslo f funkce, která je definovná v bodě x 0 R má zde všechny derivce do řádunvčetně. Polynom T n (x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + + f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n 1! 2! n! se nzývá Tylorův polynom stupněn funkcef v boděx 0. Bodx 0 se nzývá střed Tylorov polynomu. Poznámk 4.1. Tylorův polynom je jediný polynom stupněn, který má s funkcí f v bodě x 0 společnou funkční hodnotu hodnotu prvních n derivcí. V přípdě že středem polynomu je x 0 = 0 používáme pro Tylorův polynom název Mclurinův polynom. Vět 4.1 (Tylorov vět). Necht funkcef má v boděx 0 nějkém jeho okolío(x 0 ) spojité derivce do řádun+1, včetně. Pk pro všechnx O(x 0 ) pltí f(x) = T n (x)+r n+1 (x), kdet n (x) je Tylorův polynom funkcef stupněnse středem v boděx 0 R n+1 (x) je zbytek. Tento zbytek splňuje (4.1) R n+1(x) = f(n+1) (c) (n+1)! (x x0)n+1, kde c je vhodné číslo ležící mezi x x 0. Poznámk 4.2 (proximce její přesnost). Z vyjádření zbytku (4.1) plyne, že tento zbytek je mlý, jestliže x je blízkox 0, tj. bsolutní hodnot rozdílu(x x 0 ) je mlá n je velké f (n+1) (x) je mlá v uvžovném okolí bodux 0 Jsou-li tyto podmínky splněny, můžeme psát v okolí bodux 0 f(x) T n (x)
5. VĚTY O SPOJITÝCH FUNKCÍCH 19 chyb, které se při tom dopustíme bude mlá. (Z (4.1) jsme schopni určit mximální hodnotu chyby, které se přitom dopustíme.) Poznámk 4.3 (plikční). Tylorův polynom tedy slouží k tomu, bychom jistou funkční závislost proximovli závislostí polynomickou. Tím se závislost podsttně zjednoduší, protože polynomy jsou jedny z nejjednodušších funkcí. Mějme všk n pměti, že polynomická proximce může být vynikjící, le i dosttečná pouze pro některá x, nebo dokonce tk šptná, že její použití nevede k rozumným výsledkům. 5. Věty o spojitých funkcích Jk jsem viděli výše, spojitost není definován, tk, jk si spojitou funkci běžně předstvujeme jko funkci, kde nejsou skoky či nějké podobné drstické změny funkčních hodnot, le jko funkci, kde veškeré změny funkčních hodnot probíhjí reltivně pozvoln. Přesná definice všk byl zcel odlišná od této předstvy. Je tedy definice spojitosti pomocí limity přesně to, co si běžně předstvujeme pod pojmem spojitá čár v rovině (funkce, kde nejsou žádné drmtické změny )? Odpověd je poněkud překvpivá: Ne zcel. Český mtemtik B. Bolzno nšel příkld funkce, která je spojitá n R, le její grf se vůbec nedá nkreslit proto se při studiu spojitých funkcí nelze v důkzech odvolávt n zřejmé vlstnosti rovinných křivek. Nštěstí, i když definujeme spojitost n první pohled složitě pomocí limity, ty nejpěknější vlstnosti zůstnou zchovány, jk ukzují následující důležité věty. Vět 5.1 (Weierstrssov vět). Necht funkce f(x) je spojitá n uzvřeném intervlu[, b]. Potom je n tomto intervlu ohrničená nbývá zde své největší nejmenší hodnoty, tj. existují čísl x 1,x 2 [,b] s vlstnostíf(x 1 ) f(x) f(x 2 ) pro všechnx [,b]. Vět 5.2 (první Bolznov vět). Necht funkce f(x) je spojitá n uzvřeném intervlu [, b] pltí f() f(b) < 0 (tj. f() f(b) mjí opčná znménk). Pk funkce f(x) má n intervlu (,b) nulový bod, tj. existuje číslo c (, b) s vlstností f(c) = 0. Vět 5.3 (druhá Bolznov vět). Necht funkce f(x) je spojitá n uzvřeném intervlu [,b]. Potom nbývá všech hodnot mezi svou nejmenší největší hodnotou. Poznámk 5.1. Předešlé věty mjí jednoduchou grfickou interpretci, jk je ukázáno n Obrázku 6. Funkce n obrázku je ohrničená n[,b], její grf leží mezi čerchovnými črmi. Funkce má bsolutní minimum n intervlu [,b] v krjním bodě x = bsolutní mximum v boděx = M. Příslušné funkční hodnoty jsou n ose y. Funkce mění znménko n intervlu[,b], pltíf() < 0 f(b) > 0. Jeden z kořenů, o kterých mluví první Bolznov vět, je n obrázku oznčen symbolem c. Hodnot y 0 leží mezi mximální minimální funkční hodnotou. xistuje tedy, podle druhé Bolznovy věty,x 0 [,b] tkové, že f(x 0 ) = y 0. Jeden z bodů s touto vlstností je vyznčen n obrázku. Tvrzení vět jsou tedy zcel přirozená. Obrovskou zásluhou výše uvedených mtemtiků je mimo jiné fkt, že si uvědomili, že tyto věty nejsou žádnými sndnými důsledky definice spojitosti je potřeb podt jejich přesný důkz. Poznámk 5.2 (nelineární nerovnice). Bolznov vět umožňuje řešit většinu nelineárních nerovnic. Podle Věty 5.2 totiž funkce může změnit znménko jedině v bodě, kde je porušen její spojitost (= skokem), nebo v nulovém bodě (= grf protíná osu x). Řešíme-li tedy nerovnici f(x) > 0, nlezneme nejprve body nespojitosti funkce f nulové body této funkce, tj. řešení rovnice f(x) = 0. Obě skupiny bodů vyneseme n reálnou osu definiční obor se tímto rozpdne n několik podintervlů. Uvnitř kždého z těchto intervlů pltí bud f(x) > 0 nebo f(x) < 0. Která z těchto vrint pltí ve kterém z intervlů lze zjistit npříkld postupným doszováním reprezentntů z jednotlivých intervlů.
y 6. LOKÁLNÍ XTRÉMY, PRŮBĚH FUNKC 20 horní hrnice bsolutní mximum y 0 kořen x 0 c M b x dolní hrnice bsolutní minimum OBRÁZK 6. Funkce spojitá n[, b]. 6. Lokální extrémy, průběh funkce Definice (lokální extrém). Bud f funkce x 0 D(f). Řekneme, že funkce má v boděx 0 lokální mximum, jestliže existuje ryzí okolío(x 0 ), tkové, žef(x 0 ) f(x) pro všechnx O(x 0 ). Je-li nerovnost ostrá, říkáme, že funkcef má v bodě x 0 ostré lokální mximum. Pltí-li opčné nerovnosti, říkáme, že funkce má v bodě x 0 lokální minimum ostré lokální minimum. Lokální mximum minimum nzýváme společným názvem lokální extrémy. Ostré lokální mximum ostré lokální minimum nzýváme společným názvem ostré lokální extrémy. Poznámk 6.1 (k předchozí definici). Funkce má v bodě x 0 ostré lokální mximum (minimum), jestliže v nějkém ryzím okolí bodu x 0 nbývá pouze nižších (vyšších) funkčních hodnot, než f(x 0 ). Hodnot f(x 0 ) je tedy jediná nejvyšší (nejnižší) funkční hodnot v nějkém okolí bodux 0. Okolí bodux 0 z předchozí definice musí nutně celé ležet v definičním oboru funkce f. (V některé litertuře je tto podmínk poněkud oslben. Npř. u funkce y = x nemluvíme o lokálním minimum v bodě 0, protože nlevo od bodu 0 vůbec není definován. Jiní utoři tento bod všk z lokální extrém povžují.) Lokální extrémy úzce souvisí s monotonií, jk ukzuje následující vět. Vět 6.1 (postčující podmínky pro existenci neexistenci lokálních extrémů). Bud f funkce definovná spojitá v nějkém okolí bodux 0. Jestliže existuje levé okolí bodu x 0, ve kterém je funkce rostoucí prvé okolí bodu x 0, ve kterém je funkce klesjící, je bodx 0 bodem ostrého lokálního mxim funkcef. Jestliže existuje levé okolí bodu x 0, ve kterém je funkce klesjící prvé okolí bodu x 0, ve kterém je funkce rostoucí, je bodx 0 bodem ostrého lokálního minim funkcef. Jestliže existuje okolí bodu x 0 ve kterém je funkce ryze monotonní, lokální extrém v bodě x 0 nenstává. Poznámk 6.2. Grficky můžeme předchozí větu ilustrovt následovně. ր MAX ց min ր ր MAX ց b Poznámk 6.3 (bsolutní extrémy funkce). Uvžujme funkci, která je spojitá n uzvřeném intervlu [, b]. Podle Weierstrssovy věty tto funkce nbývá n intervlu [, b] své nejmenší největší hodnoty. Tyto hodnoty nzýváme bsolutní mximum bsolutní minimum funkce f n intervlu [, b]. Je zřejmé c d
6. LOKÁLNÍ XTRÉMY, PRŮBĚH FUNKC 21 (odkud?), že těchto extremálních hodnot může funkce nbývt pouze v bodech, ve kterých má lokální extrémy, nebo v některém z krjních bodů intervlu[, b]. Definice (konvexnost, konkávnost). Bud f funkce mjící derivci v bodě x 0. Řekneme, že funkce f je v boděx 0 konvexní (konkávní), jestliže existuje ryzí okolí bodux 0 tkové, že pro všechnx O(x 0 ) leží body grfu funkce nd tečnou (pod tečnou) ke grfu funkcef sestrojenou v boděx 0, tj. pltí ( ) (6.1) f(x) > f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) f(x) < f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ). Řekneme, že funkce je konvexní (konkávní) n otevřeném intervlu I, má-li tuto vlstnost v kždém bodě intervlu I. Definice (inflexní bod). Bod ve kterém se mění chrkter funkce z konvexní n konkávní nebo nopk nzýváme inflexním bodem funkce f. V následujících větách si ukážeme, že monotonie lokální extrémy úzce souvisí s první derivcí funkce, ztímco konvexnost/konkávnost inflexní body souvisí s druhou derivcí. Definice (stcionární bod). Řekneme, že bod x 0 je stcionárním bodem funkce f, jestliže funkce f má v boděx 0 nulovou derivci, tj. f (x 0 ) = 0. Poznámk 6.4 (geometrický význm). Geometricky jsou stcionární body body, ve kterých má grf funkce vodorovnou tečnu (proč?). Vět 6.2 (souvislost derivce lokálních extrémů). Necht má funkce v boděx 0 lokální extrém. Pk funkce f v bodě x 0 bud nemá derivci, nebo je tto derivce nulová, tj. pltí f (x 0 ) = 0 x 0 je stcionárním bodem funkce f. Poznámk 6.5 (strtegie hledání lokálních extrémů). Podle předchozí věty jsou body kde derivce neexistuje stcionární body jedinými podezřelými kndidáty n body, v nichž by funkce mohl nbývt lokálního extrému. Nikde jinde ( tkových bodů bývá nprostá většin) lokální extrém nemůže nstt. Při hledání lokálních extrémů postupujeme tk, že nejprve nlezneme všechny tyto podezřelé body (tj. funkcif zderivujeme zjistíme, kde je tto derivce nulová kde není definovná) poté v kždém bodě smosttně rozhodneme, je-li v něm lokální extrém přípdně jký. K tomu nám může posloužit Vět 6.1 ve spojení s následující Větou 6.3. Vět 6.3 (souvislost derivce monotonie). Necht funkcef má derivci n otevřeném intervlui. Je-li f (x) > 0 n intervlui, je funkcef rostoucí ni. Je-li f (x) < 0 n intervlui, je funkcef klesjící ni. Poznámk 6.6. Při stnovení intervlů, kde je derivce kldná kde záporná, nejčstěji používáme Poznámku 5.2. Situce je obzvláště jednoduchá u rcionálních funkcí viz. Poznámk 1.5 n strně 49. Následující dvě věty jsou jednoduchým důsledkem definice lokálních extrémů definice rostoucí klesjící funkce. Přesto mohou tyto věty znčně zjednodušit hledání lokálních extrémů funkce. Vět 6.4 (lokální extrémy složené funkce s monotonní vnější složkou). Necht funkce g(x) je definovná ni f(x) je ryze monotonní ng(i). Potom funkceg(x) f(g(x)) nbývjí ni svých lokálních extrémů ve stejných bodech. Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce f rostoucí opčného typu, pokud je funkce f klesjící. Vět 6.5 (lokální extrémy složené funkce s monotonní vnitřní složkou). Necht funkce g(x) je spojitá ryze monotonní ni necht funkcef(x) je definovná ng(i). Potom složená funkcef(g(x)) má lokální v boděx = právě tehdy, když funkcef(t) má lokální extrém v bodět = g(). Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce g rostoucí opčného typu, pokud je funkce g klesjící. Příkld 6.1 (lokální extrém složené funkce). N intervlu (0, 1) hledejme lokální extrémy funkce y = x 1 x 2. Podle Věty 6.4 stčí njít extrémy druhé mocniny této funkce, tj. funkce y = x 2 (1 x 2 ).