x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový integrál, element délky oblouku, element hmotnosti oblouku 3.. Délk oblouku N zčátku první kpitoly jsme zvedli pojmy jko oblouk jeho prmetrizce, tečné vektorové pole oblouku, orientce oblouku, křivk pod. Nyní budeme tyto pojmy používt. Doporučujeme čtenáři, by si dříve, než zčne číst následující text, připomněl obsh článku. kpitoly : řivky v R n jejich prmetrizce. Nechť je oblouk v prostoru R n, nechť g(t) (g (t), g (t),... g n (t)), t, b, je jeho prmetrizce nechť ġ(t) (ġ (t), ġ (t),... ġ n (t)), t, b, je jeho tečné vektorové pole. Připomeňme, že zde ġ i (t) znčí derivci funkce g i (t) podle proměnné t. Zvolme n oblouku body x g(), x, x,, x m g(b) tk, by následovly n oblouku z sebou. Sestrojme lomenou čáru L, jejíž vrcholy jsou body x, x,, x m. Příkld tkové x x 3 x 4 x x x 9 x æ brázek 3.: definici délky oblouku lomené čáry je nčrtnut n obr. 3.. Délk s(l) této lomené čáry je číslo m s(l) x i x i. (3.) i 9
9 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY Délkou oblouku s() nzveme číslo, které je suprémem délek s(l) všech lomených čr popsné vlstnosti. Je-li oblouk g(t), t, b, jeho prmetrizce, pk se dá ukázt, že s() je konečné číslo že pro něj pltí rovnost s() b ġ(t) dt. (3.) Hodnot s() nezávisí n volbě prmetrizce oblouku. Rozepíšeme-li vzth (3.) pro prmetrizci g:, b R, g (g, g ), dostneme s() b (ġ (t)) + (ġ (t)) dt, ġ dg dt, ġ dg dt. (3.3) Je-li speciálně oblouk část grfu nějké funkce y f(x), tj. pk je {(x, y) y f(x), x, b }, s() b + (f (x)) dx. (3.4) Pro oblouk v prostoru R 3 s prmetrizcí g:, b R 3 je pk jeho délk s() rovn číslu b b s() ġ(t) dt (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt, (3.5) kde g (g, g, g 3 ); ġ dg dt, ġ dg dt, ġ 3 dg 3 dt. (3.6) Úvhy, týkjící se délky oblouku, nás vedou k následující definici. 3.. řivkový integrál. druhu po oblouku Nechť je oblouk v R n nechť g:, b R je jeho prmetrizce. Nechť f: R n je funkce. Existuje-li Riemnnův integrál pk toto číslo znčíme b f ds f(g(t)) ġ(t) dt, (3.7) b f(g(t)) ġ(t) dt (3.8) nzýváme je křivkovým integrálem. druhu funkce f po oblouku (tké neorientovným křivkovým integrálem). Vlstnosti křivkového integrálu. druhu po oblouku řivkový integrál funkce f po oblouku byl definován pomocí jednorozměrného Riemnnov integrálu, má tedy vlstnosti podobné těm, které má Riemnnův integrál funkce f n intervlu. Připomeňme lespoň některé.
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 93. Linerit křivkového integrálu Jsou-li α, β reálná čísl, f, g funkce, pk rovnost (αf + βg) ds α f ds + β pltí, jkmile má prvá strn smysl. g ds (3.9). Aditivit vzhledem k oblouku Jsou-li, oblouky tkové, že jejich sjednocení je rovněž oblouk jejich průnik obshuje nejvýše krjní body oblouků, pk rovnost f ds f ds f ds + f ds (3.) pltí, jkmile má prvá strn smysl. 3. Element délky oblouku Příkldy Srovnání vzthu (3.) s definičním vzthem (3.8) ukzuje, že vzorec pro výpočet délky oblouku můžeme psát ve tvru Je tedy přirozené mluvit o s() b ġ(t) dt ds. (3.) ds ġ(t) dt (3.) jko o elementu délky oblouku. Udává-li sklární funkce f(x) hustotu v bodě x je-li x g(t) pro t, b, pk je přirozené mluvit o jko o elementu hmotnosti oblouku. f(x) ds f(g(t)) ġ(t) dt (3.3). Máme njít hodnotu integrálu x ds, kde {(x, y) R y ln x, x, }. Zvolme prmetrizcí x g (t) t, y g (t) ln t. Pk ġ(t) (, t ) o. x ds ( t, ) dt t 5 t + t dt t + u, t dt du t u t u 5 u / du 3 [u3/ ] 5 3 (53/ 3/ ). t t + dt
94 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY. Máme njít hodnotu integrálu (x + y)ds, kde je úsečk s krjními body A (, ), B (, ). Zvolme prmetrizci x t, y t, t,. Pro tkto zvolenou prmetrizci dostáváme tečné pole oblouku ġ(t) (, ) pro jeho velikost ġ(t) 5. Nyní můžeme dosdit (x + y) ds (t + t) 5 dt 3 5. 3. Máme njít hodnotu integrálu z x + y ds, kde je jeden závit šroubovice x r cos t, y r sin t, z rt, t,. blouk je nčrtnut n obr. 3. ). z y k x x ) r y æ.5 æ b) brázek 3.: Ilustrce ke 3. 4. příkldu Pro zvolenou prmetrizci dostáváme tečné pole oblouku jeho velikost ġ(t) r. Pk ġ(t) ( r sin t, r cos t, r) z x + y ds r t r r dt 8r3. 3
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 95 4. Máme určit celkovou hmotnost oblouku prboly y x, x, s hustotou f(x, y) y. blouk je nčrtnut n obr. 3. b). Máme integrovt přes oblouk tvořený částí prboly, která je grfem funkce, v níž x je závisle proměnná y nezávisle proměnná. Budeme jej tedy prmetrizovt jko grf funkce x y, kde z prmetr volíme proměnnou y. dtud z podmínky x plyne podmínk y, ekvivlentní s podmínkou y. Dostli jsme tk prmetrizci nšeho oblouku dtud dostáváme tkže x g (t) t, y g (t) t, t. ġ (t) t, ġ (t), ġ(t) t +, m() y ds t t + dt t t + dt 3 ( ). 5. Máme njít hodnotu integrálu x + y ds, kde oblouk má prmetrizci g(t) (e t cos t, e t sin t, e t ), t, ln. Pro zvolenou prmetrizci dostáváme tečné pole oblouku ġ(t) e t (cos t sin t, sin t + cos t, ) jeho velikost Pk x + y ds ln ġ(t) e t 3. e t et 3 dt 3 ln e t dt 3. 6. Máme njít hodnotu integrálu y ds, kde oblouk leží v prvním kvdrntu (x >, y > ) je popsán rovnicí (x +y ) x y.
96 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY prmetrizci oblouku využijeme polárních souřdnic. Je přímo vidět, že dný oblouk je v polárních souřdnicích popsán rovnicí ρ 4 ρ (cos ϕ sin ϕ), tedy pltí ρ cos ϕ. Jelikož musí být ρ > < ϕ <, lze tuto rovnici psát v ekvivlentním tvru ρ cos ϕ. Protože funkce cos ϕ je kldná pro < ϕ <, 4 je prmetrickým vyjádřením g(ϕ) zdného oblouku zobrzení x g (ϕ) cos ϕ cos ϕ, y g (ϕ) sin ϕ cos ϕ, < ϕ < 4. Pro tečné vektorové pole ġ(ϕ) pltí ( ) cos ϕ sin ϕ sin ϕ sin ϕ ġ(ϕ) sin ϕ cos ϕ, cos ϕ cos ϕ. cos ϕ cos ϕ Po zřejmých úprvách odtud dostneme ġ(ϕ) cos ϕ ( sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ, cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ) cos ϕ ( sin 3ϕ, cos 3ϕ) ġ(ϕ) cos ϕ sin 3ϕ + cos 3ϕ cos ϕ. Nyní dosdíme do integrndu dostneme y ds 4 sin ϕ cos ϕ cos ϕ dϕ 4 sin ϕ dϕ. 7. Máme vypočítt hmotnost jednoho závitu šroubovice, je-li hustot v dném bodě přímo úměrná druhé mocnině jeho vzdálenosti od počátku. Prmetrický popis obloku, kterým je zde jeden závit šroubovice, je x r cos t, y r sin t, z k t, t,, kde r > je poloměr šroubovice, k > je stoupání n jednom závitu. blouk je podoben tomu, který je nčrtnut n obr. 3. ). Rozložení hmotnosti je podle zdání úlohy dáno vzthem f(x, y, z) x + y + z. Tečné vektorové pole ġ(t) je pk dáno předpisem ( ġ(t) r sin t, r cos t, k ), t (, ), pro jeho velikost pltí ġ(t) r cos t + r sin t + k 4 r + k 4.
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 97 dtud plyne, že m() (x + y + z ) ds r + k 4 r + k 4 8. Máme njít hodnotu integrálu ( r + k 4 t ) [ ] t 3 ( 4 3 r + k rctg y x ds, r + k 4 dt ) r + k 3 kde je část Archimedovy spirály nčrtnuté n obr. 3.3 ), která má v polárních souřdnicích rovnici ϱ ϕ leží uvnitř kruhu o poloměru r < /. y z. ) r x æ x b) r y æ brázek 3.3: blouky z 8. 9. příkldu blouk prmetrizujeme pomocí polárních souřdnic x ϱ cos ϕ, y ϱ sin ϕ, ϕ, r. Dosdíme-li do těchto polárních souřdnic z rovnice oblouku ϱ ϕ, dostneme prmetrizci g(ϕ) oblouku ve tvru x g (ϕ) ϕ cos ϕ, y g (ϕ) ϕ sin ϕ, < ϕ < r. Pro tečné vektorové pole ġ(ϕ) pk dostáváme ġ(ϕ) (cos ϕ ϕ sin ϕ, sin ϕ+ϕ cos ϕ) ġ(ϕ) cos ϕ ϕ cos ϕ sin ϕ + ϕ sin ϕ + sin ϕ + ϕ sin ϕ cos ϕ + ϕ cos ϕ + ϕ, tkže τ (ϕ) + ϕ. dtud plyne rctg y r x ds r rctg ϕ sin ϕ r + ϕ ϕ cos ϕ dϕ rctg(tg ϕ) + ϕ dϕ ϕ + ϕ dϕ 3 [( + ϕ ) 3/ ] r 3 [( + r ) 3/ ].
98 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY 9. Určete celkovou hmotnost oblouku {(x, y, z) (x y) (x + y + z r ) (x > ) (y > ) (z > )}, jestliže je hustot dán předpisem f(x, y, z) x + y. blouk je část řezu kulové plochy se středem v počátku poloměrem r s rovinou y x je nčrtnut n obr. 3.3 b). Zvolíme prmetrizci pomocí sférických souřdnic x ϱ cos ϕ sin ϑ, y ϱ sin ϕ sin ϑ, z ϱ cos ϑ. Doszením do rovnic, které popisují oblouk v krtézských souřdnicích, dostneme rovnosti tedy ϱ cos ϕ sin ϑ ϱ sin ϕ sin ϑ, ϱ r, cos ϕ sin ϕ, ϱ r. Vzhledem k předpokldu x > y > z první rovnosti plyne ϕ. Nyní dosdíme 4 do rovnic pro sférické souřdnice r z ϱ / z cos ϕ. Dostneme prmetrizci g(ϑ) oblouku ve tvru x g (ϑ) r sin ϑ, y g (ϑ) r sin ϑ, z g 3(ϑ) r cos ϑ, < ϑ <, neboť z >. Pro tečné vektorové pole ġ(ϑ) pltí ġ(ϑ) (r cos ϑ, r cos ϑ, r sin ϑ), < ϑ <, tedy ġ(ϑ) r cos ϑ + cos ϑ + sin ϑ r. Máme tk vše připrveno k výpočtu integrálu, udávjícího celkovou hmotnost m() zdného oblouku. Je m() (x + y) ds r sin ϑr dϑ r [ cos ϑ] r. Úlohy Vypočtěte dný křivkový integrál. x y ds, kde je úsečk s krjními body (, ), b (4, ). [ 5 ln.]. 3. x ds, kde je grf funkce f(x) x, x,. [(7 7 5 5)/.] x y ds, kde je oblouk kružnice x +y r s krjními body (r, ), b (, r). [r 4 /3.]
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 99 4. 5. 6. 7. 8. z ds, kde oblouk je zdán prmetrizcí g(t) (t cos t, t sin t, t), t,. [(8 )/3.] (x + y ) ds, kde oblouk je zdán prmetrizcí g(t) (cos t + t sin t, sin t t cos t), t,. [ 3 ( +.] y ds, kde oblouk je zdán prmetrizcí g (t) (t sin t), g (t) ( cos t), t,. [4 3/.] x + y ds, kde oblouk je kružnice x + y x, >. [.] y ds, kde je oblouk cykloidy zdán prmetricky rovnicemi x (t sin t), y ( cos t), t, >. [ 56 5 3. ] 3..3 Některé plikce křivkového integrálu Uvedeme některé geometrické fyzikální plikce křivkového integrálu. Příslušné vzorce uvedeme nejdříve pro oblouk v rovině pk pro oblouk v třírozměrném prostoru. blouk v rovině Vzorce pro oblouky v rovině uvedeme pro tři různé způsoby jejich zdání. ) blouk je zdán jko grf funkce y f(x), x x, x ; b) blouk je zdán prmetricky x g (t), y g (t), t t, t ; c) blouk je zdán pomocí polárních souřdnic ϱ ϱ(ϕ), ϕ ϕ, ϕ, ϱ >.. Délk s() oblouku. ) s() x + (f (x)) dx x + y dx. x x b) s() t (ġ (t)) + (ġ (t)) dt t ẋ + ẏ dt. t t ϕ c) s() ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ.
APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY. Hmotnost m() oblouku s hustotou σ. ) m() x σ(x) + (f (x)) dx x σ + y dx. x x b) m() t t σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt σ ẋ + ẏ dt. t t c) m() ϕ ϕ σ(ϕ) (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. Anlogicky se počítá celkový náboj. V tomto přípdě může hustot σ náboje nbývt i záporných hodnot. 3. Sttický moment S x () oblouku vzhledem k ose y, resp. S y () vzhledem k ose x. ) S x () x f(x)σ(x) + (f (x)) dx x yσ + y dx. x x S y () x xσ(x) + (f (x)) dx x xσ + y dx. x x b) S x () t t g (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt yσ ẋ + ẏ dt. t t S y () t t g (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt xσ ẋ + ẏ dt. t t c) S x () ϕ ϕ ϕ ϕ ϱ(ϕ)σ(ϕ) sin ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. S y () ϱ(ϕ)σ(ϕ) cos ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. 4. Souřdnice x t (), y t () těžiště oblouku. x t () S y() m(), y t() S x() m().
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 5. Momenty setrvčnosti I x () oblouku vzhledem k ose x, resp. I y () vzhledem k ose y. x ) I x () (f(x)) σ(x) + (f (x)) dx x I y () x x σ(x) + (f (x)) dx x x x y σ + y dx. x σ + y dx. x x t b) I x () (g (t)) σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt t t I y () (g (t)) σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt t ϕ c) I x () (ϱ(ϕ)) σ(ϕ) sin ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. ϕ ϕ I y () (ϱ(ϕ)) σ(ϕ) cos ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. ϕ t t t t y σ ẋ + ẏ dt. x σ ẋ + ẏ dt. blouk v prostoru Vzorce pro oblouky v prostoru R 3 uvedeme pro přípd, že jsou zdány prmetricky x g (t), y g (t), z g 3 (t), t t, t.. Délk s() oblouku. s() t (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt t ẋ + ẏ + ż dt. t t. Hmotnost m() oblouku s hustotou σ. m() t t σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt σ ẋ + ẏ + ż dt. t t Anlogicky se počítá celkový náboj. V tomto přípdě může hustot σ náboje nbývt i záporných hodnot.
APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY 3. Sttický moment S xy () oblouku vzhledem k rovině xy, resp. S xz () vzhledem k rovině xz, resp. S yz () vzhledem k rovině yz. S xy () t t g 3 (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt zσ ẋ + ẏ + (ż) dt. t t S xz () t t g (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt yσ ẋ + ẏ + (ż) dt. t t S yz () t t g (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt xσ ẋ + ẏ + (ż) dt. t 4. Souřdnice x t (), y t () těžiště oblouku. x t () S yz() m(), y t() S xz() m(), t z t() S xy() m(). 5. Momenty setrvčnosti I x () oblouku vzhledem k ose x, resp. I y () vzhledem k ose y. I x () t ((g (t)) + (g 3 (t)) )σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt t t (y + z )σ ẋ + ẏ + ż dt. t I y () t ((g (t)) + (g 3 (t)) )σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt t t (x + z )σ ẋ + ẏ + ż dt. t I z () t ((g (t)) + (g (t)) )σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) + (ġ 3 (t)) dt t t (x + y )σ ẋ + ẏ + ż dt. t 3..4 řivkový integrál. druhu po křivce Nechť r je křivk v prostoru R n, g její prmetrizce tková, že g k : k, b k R n je prmetrizce oblouku k, k,,..., r. Nechť f: R n je dná funkce. Existují-li integrály k fds, k,,..., r, pk číslo r fds k k fds (3.4)
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 3 nzýváme křivkovým integrálem. druhu funkce f po křivce (tké neorientovným křivkovým integrálem). Vzhledem k tomu, že křivkový integrál po křivce je definován pomocí křivkového integrálu po oblouku, djí se zcel přirozeně n něj přenést tvrzení o vlstnostech křivkového integrálu po oblouku. Příkldy. Máme njít hodnotu integrálu (x + y) ds, kde je obvod trojúhelník s vrcholy A (, ), A (, ), A 3 (, ). řivk je tvořen třemi oblouky 3, kde je úsečk A A, je úsečk A A 3, 3 je úsečk A 3 A. Úsečk AB s krjními body A, B má prmetrizci x g(t) A + t(b A), t,. (3.5) Podle toho mjí nše úsečky tyto prmetrizce: g (t): x, y t, t,, g (t): x t, y t, t,, g 3 (t): x t, y ; t,. dtud dostneme (x + y) ds (x + y)ds + (x + y)ds + (x + y)ds 3 (t 4 dt + (t + t) + 4 dt + ( t) ) dt (4t + ( t) 5 + t) dt 5 + 3 5.. Máme njít hodnotu integrálu (x + y ) ds, kde je kružnice se středem v bodě (, ) poloměrem r >. ružnici se středem v počátku poloměrem r > můžeme chápt jko sjednocení dvou oblouků, kde, resp. je horní, resp. dolní půlkružnice, popsná jko obrz intervlu, v zobrzení g, resp. g, kde g (g, g ):, R, g (g, g ):, R, g (t) (r cos t, r sin t), g (t) ( r cos t, r sin t).
4 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY Pro tuto prmetrizci dostáváme n horní půlkružnici tečné pole oblouku ġ(t) ( r sin t, r cos t), t, jeho velikost ġ(t) r. Vzhledem k symetrii integrndu můžeme psát 3. Máme njít hodnotu integrálu Úlohy kde {(x, y) x + y x}. (x + y ) ds x + y ds, r r dt r 3. řivkou je kružnice se středem v bodě (, ) poloměrem. Použijeme prmetrizci pomocí polárních souřdnic x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ. Po doszení do zdné rovnice kružnice v krtézských souřdnicích zjistíme, že v polárních souřdnicích je křivk popsán rovnicí ρ ρ cos ϕ. Protože hodnot ρ musí být kldná, můžeme rovnici zkrátit ρ dostneme hlednou rovnici kružnice ρ cos ϕ, ϕ (, ), v polárních souřdnicích. dtud již sndno dostneme prmetrizci x cos ϕ, y cos ϕ sin ϕ, ϕ (, ). Prmetrizce je spojitě diferencovtelná pro tečné vektorové pole dostáváme předpis ( cos ϕ sin ϕ, sin ϕ + cos ϕ) ( sin ϕ, cos ϕ), ϕ (, ). Toto vektorové pole je spojité nenulové. Pro jeho velikost pltí sin ϕ + cos ϕ. Můžeme tedy dosdit do definičního vzthu počítt x + y ds cos 4 ϕ + cos ϕ sin ϕ dϕ cos ϕdϕ [sin ϕ]. cos ϕ dϕ V posledním kroku jsme vyžili toho, že je cos ϕ cos ϕ pro ϕ (, ).. Vypočtěte hodnoty následujících integrálů: () xy ds, kde je obvod obdélník ABCD s vrcholy A (, ), B (, ), C (4, ), D (4, ). [4.] (b) x + y ds, kde je kružnice x + y x, >. [8.]. Vypočtěte hmotnost křivočrého trojúhelník, jehož strny jsou průniky sféry x + y + z R se souřdnicovými rovinmi v prvním oktntu, tj. x, y, z, je-li hustot rozložení hmotnosti rovn jedné. [ 3R.]
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 5 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: křivkový integrál. druhu po oblouku, elementem práce silového pole f, orientovný křivkový integrál, křivkový integrál. druhu po křivce 3.. řivkový integrál. druhu po oblouku Element práce Při definici křivkového integrálu. druhu jsme vycházeli z geometrické interpretce zvedli jsme pojem elementu délky oblouku. I nyní budeme postupovt nlogicky. Místo geometrické interpretce použijeme fyzikální interpretci budeme se zbývt prcí, kterou vykoná silové pole f, když přemísťuje hmotný bod po oblouku. f(x) τ(x) x æ brázek 3.4: výkldu práce konné silovým polem Je-li g(t) prmetrizce oblouku, pk t(g(t)) ġ(t) ġ(t) je jednotkové tečné pole oblouku sklární součin f(g(t)) t(g(t)) předstvuje práci, kterou vykoná tečná složk silového pole f po dráze dné jednotkovým tečným vektorem oblouku v bodě x g(t). Je tedy přirozené nzývt sklární součin f(x) t(x) ds (3.6) elementem práce silového pole f. Tto úvh nás vede k následující definici orientovného křivkového integrálu. Definice orientovného křivkového integrálu Nechť je oblouk v R n orientovný orientcí τ (x), nechť g:, b R n je jeho prmetrizce tková, že n něm indukuje orientci souhlsnou se zdnou orientcí τ (x), tj. pltí rovnost τ (g(t)) t(g(t)) ġ(t), t, b, (3.7) ġ(t) nechť f: R n je dná vektorová funkce. Existuje-li neorientovný křivkový integrál (f τ ) ds, (3.8)
6 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY kde integrnd je sklární součin zdné vektorové funkce f jednotkového tečného vektorového pole τ, pk pro toto číslo používáme oznčení f ds (f τ ) ds (3.9) nzýváme je křivkovým integrálem. druhu vektorové funkce f po oblouku (tké orientovným křivkovým integrálem). Používná symbolik Pomocí elementu délky oblouku můžeme nyní vyjádřit křivkový integrál. druhu vektorové funkce f po oblouku ve tvru f ds (f τ ) ds b f(g(t)) τ (g(t)) ġ(t) dt Právě rovnost b f(g(t)) ġ(t) b ġ(t) dt f(g(t)) ġ(t) dt. ġ(t) f ds b f(g(t)) ġ(t) dt (3.) slouží čsto jko definice křivkového integrálu. druhu vektorové funkce f po oblouku. Pro tečné jednotkové vektorové pole orientovného oblouku s prmetrizcí g(t) se čsto používá oznčení τ ġ(t) ġ(t). (3.) Víme, že toto vektorové pole jednotkových tečných vektorů zdává n oblouku orientci indukovnou prmetrizcí. znčíme-li ještě f zdné vektorové pole definovné n oblouku, pk lze křivkový integrál. druhu vektorového pole f po oblouku zpisovt v čsto používném tvru fds ( f τ) ds. (3.) Je-li oblouk v R n s prmetrizcí g(t), t, b, f je vektorové pole definovné n oblouku, pk b f ds f(g(t)) ġ(t) dt. (3.3) znčíme-li f (f, f,..., f n ), x g(t), pk smíme používt následující velice názorný pro prktický výpočet nejvhodnější zápis f ds f (x) dx + f (x)dx +... + f n (x) dx n. (3.4) Je-li totiž x k g k (t), k,,..., n, (3.5)
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 7 prmetrizce oblouku, pk tedy dx k ġ k (t)dt, k,,..., n, (3.6) n b n f k (x) dx k f k (g(t))ġ k (t) dt f(g(t)) ġ(t) dt f ds. (3.7) k k Uvědomme si ještě, že v přípdě, kdy vektorová funkce f má jedinou nenulovou složku, npř. f k, pk z rovnosti (3.7) plyne f k (x) dx k Podívejme se ještě n některé speciální přípdy. Je-li R f (f, f ), pk f ds b f k (g(t))ġ k (t) dt, k,,..., n. (3.8) f (x, y) dx + f (x, y) dy (3.9) pomocí prmetrizce g (g, g ) oblouku, tj. x g (t), y g (t), t, b, dostáváme b f ds (f (g (t), g (t))ġ (t) + f (g (t), g (t))ġ (t)) dt. (3.3) Rovnost (3.8) má v tomto přípdě pro k tvr f (x, y) dx b f (g (t), g (t))ġ (t) dt. (3.3) Je-li nvíc oblouk grfem funkce y h(x), x, b, pk pro prmetrizci g(x) (x, h(x)) pltí ġ(x) (, h (x)), tkže rovnost (3.3) má nyní tvr f (x, y) dx b f (x, h(x)) dx. (3.3) Je-li R 3 f (f, f, f 3 ), pk f ds f (x, y, z) dx + f (x, y, z) dy + f 3 (x, y, z) dz. (3.33) Je-li (g, g, g 3 ) prmetrizce oblouku, tj. x g (t), y g (t), z g 3 (t) ; t, b, (3.34) pk f ds b [ 3 (f k (g (t), g (t), g 3 (t))ġ k (t) k ] dt (3.35)
8 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY Připomeňme si znovu fyzikální interpretci křivkového integrálu. druhu. Předstvuje-li f silové vektorové pole působící n orientovném oblouku, pk integrál f ds udává práci, kterou vykoná silové pole f, když pohybuje hmotným bodem po oblouku ve smyslu určeném zdnou orientcí od jeho počátečního bodu do bodu koncového. Z toho je tké vidět, proč při změně orientce oblouku změní hodnot integrálu své znménko n opčné. Vlstnosti křivkového integrálu. druhu po oblouku Nechť je orientovný oblouk s prmetrizcí g(t), nechť f, f, f jsou vektorové funkce definovné n oblouku nechť α, β jsou reálná čísl.. Závislost n orientci Je-li oblouk, který dostneme z oblouku změnou jeho orientce n opčnou, pk pltí f ds f ds, (3.36) jestliže jeden z integrálů existuje. Poznámk Z této vlstnosti plyne, že když změníme dnou prmetrizci z prmetrizci indukující opčnou orientci, integrál změní znménko.. Linerit křivkového integrálu (αf + βf ) ds α má-li prvá strn rovnosti smysl. f ds + β f ds, (3.37) 3. Aditivit vzhledem k integrčnímu oboru Je-li oblouky jsou orientovány tk, že koncový bod oblouku je počátečním bodem oblouku, pk pltí rovnost má-li jedn strn rovnosti smysl. f ds f ds + f ds, (3.38)
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 9 Příkldy. Máme njít hodnotu integrálu ( y) dx + x dy po jednom oblouku cykloidy (viz obr. 3.5) zdném prmetrizcí g(t) (t sin t, cos t), t,. y / / 3/ 5/ x æ brázek 3.5: Cykloid z. příkldu Pro dnou prmetrizci g(t) je ġ(t) ( cos t, sin t), t (, ), tedy ( y) dx + x dy. Máme njít hodnotu integrálu [( + cos t)( cos t) + (t sin t)(sin t)] dt. (x y) dx + (x + y) dy, kde je úsečk s počátečním bodem (, 3) koncovým bodem b (3, 5). Z prmetrizci úsečky b volíme vektorovou funkci Pk ġ(t) (, ), tedy g(t) (t, t ), t, 3. 3 (x y) dx + (x + y) dy [(t t + ) + (t + t )] dt 3. 3. Máme njít hodnotu integrálu (x y) dx + (x + y) dy
APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY po oblouku, kterým je část grfu funkce f(x) x pro x,. blouk je orientován tk, že počátečním bodem je bod (, ). blouk budeme prmetrizovt jko grf funkce dtud plyne ġ(t) (, t), tedy g(t) (t, t ), t,. (x y) dx + (x + y) dy [t t + (t + t )t] dt (t + t + t 3 ) dt 38 3. 4. Máme njít hodnotu integrálu (x y) dx + (x + y) dy po oblouku, kterým je část grfu funkce f(y) y pro y,. blouk je orientován tk, že počátečním bodem je bod (, ). blouk budeme prmetrizovt podobně jko v předešlém příkldě jko grf funkce, všk nyní je nezávisle proměnná y závisle proměnná x. Volíme tedy prmetrizci g(t) (t, t), t,. dtud plyne ġ(t) (t, ). Jelikož je g() (, ), indukuje tto prmetrizce n oblouku orientci souhlsnou se zdnou orientcí, tkže ji smíme použít, niž musíme uprvovt vypočtenou hodnotu integrálu. Po doszení dostáváme (x y) dx + (x + y) dy [(t t)t + t + t] dt 3. 5. Máme njít hodnotu integrálu (y + z) dx xy dy + (x + y + yz) dz po jednom závitu šroubovice s poloměrem 3 stoupáním, orientovným tk, že počátečním bodem je bod (3,, ) koncovým bodem je bod b (3,, ). Z prmetrizci oblouku volíme vektorovou funkci válcových souřdnic g(t) (3 cos t, 3 sin t, t), t,. dtud plyne ġ(t) ( 3 sin t, 3 cos t, ), t (, ).
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU Jelikož je g() (3,, ), indukuje tto prmetrizce n oblouku orientci opčnou než je zdná orientce, tkže ji sice smíme použít, všk musíme změnit znménko vypočtené hodnoty integrálu. My tu změnu znménk provedeme ihned v prvním kroku tím, že před integrál, který dostneme po doszení hodnot prmetrizce jejich derivcí, dáme znménko mínus. (y + z) dx xy dy + (x + y + yz) dz [(9 sin t + t)( 3 sin t) 9 sin t cos t(3 cos t) + (3 cos t + 3 sin t + 3t sin t)] dt 3 (cos t 8 sin t) dt. 6. Máme njít hodnotu integrálu (x + ) dy + y dx po části kružnice se středem v počátku poloměrem r, která leží v prvním kvdrntu. Z počáteční bod oblouku volíme bod (, r). Zdnou čtvrtkružnici prmetrizujeme pomocí polárních souřdnic g(t) (r cos t, r sin t), t,. Pk ġ(t) ( r sin t, r cos t), t (, ). Jelikož je g() (r, ), indukuje tto prmetrizce n oblouku orientci opčnou než je zdná orientce. Smíme ji sice použít, všk musíme změnit znménko vypočtené hodnoty integrálu. Je (x + ) dy + y dx r 7. Máme njít hodnotu integrálu (r cos t + r cos t r sin t) dt (r cos t + cos t) dt r. x dx + y dy + (x + y ) dz po úsečce b, kde (,, ), b (, 3, 4).
APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY Zvolíme prmetrizci úsečky Pk je x + t(b ), t,. g(t) ( + t, + t, + 3t), t,, ġ(t) (,, 3), t (, ). Jelikož je g() (,, ), indukuje tto prmetrizce n oblouku orientci souhlsnou se zdnou orientcí, tkže ji smíme použít niž měníme znménko vypočtené hodnoty integrálu. Doszením dostáváme x dx + y dy + (x + y ) dz 8. Máme njít hodnotu integrálu x dx + y dy + (xz y) dz po oblouku zdném prmetrizcí [ + t + + 4t + ( + t + + t )3] dt 3. g(t) (t, t, 4t 3 ), t,, orientovném tk, že z počáteční bod volíme bod (,, 4). Prmetrizce je zdná, tkže zbývá jen zjistit, jkou orientci indukuje. Jelikož bod je obrzem koncového bodu oboru prmetrů počátečním bodem pro zdnou orientci, je indukovná orientce opčná než orientce zdná. Je x dx + y dy + (xz y) dz [t t + t + (4t 5 t) t ] dt 5. 9. Máme njít hodnotu integrálu (x xy) dx + (y xy) dy, kde oblouk je část grfu kvdrtické funkce {(x, y) (y x ) ( x )}. Z počáteční bod volíme bod (, ). blouk prmetrizujeme jko grf funkce x t, y t, t. Zvolená prmetrizce indukuje souhlsnou orientci, jelikož bod (, ) je obrzem počáteční hodnoty t. Tečné vektorové pole je ġ(t) (, t), tedy (x xy) dx + (y xy) dy (t t 3 + (t 4 t 3 )t) dt 4 5.
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 3. Máme njít hodnotu integrálu x dx + y dy + z dz po oblouku (viz obr. 3.6) {(x, y, z) (x + y z ) (z ) ( x) ( y)} orientovném tk, že bod (,, ) je počátečním bodem. z x y brázek 3.6: blouk z. příkldu blouk leží n kružnici, která je průsečnicí kuželové plochy roviny z. Zvedeme válcové souřdnice x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z. Dosdíme-li do zdné rovnice křivky, dostneme ρ z. Jelikož je z, je tké ρ. Dospěli jsme tk k prmetrizci g(ϕ) nší čtvrtkružnice. Je to x g (ϕ) cos ϕ, y g (ϕ) sin ϕ, z, ϕ. Pro tečné vektorové pole dostáváme ġ(ϕ)) ( sin ϕ, cos ϕ, ), < ϕ <. Počáteční bod ϕ se zobrzuje v prmetrizci n bod (,, ), tkže indukovná orientce souhlsí se zdnou orientcí. Dosdíme počítáme x dx + y dy + z dz ( cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ) dϕ 6.
4 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY Úlohy. Nlezněte hodnoty následujících integrálů: () po oblouku { (x, y) R y dx x dy ( ) x + y b (x > ) } (b) (c) orientovném proti směru pohybu hodinových ručiček. sin y dx + sin x dy, [ b.] kde oblouk je úsečk s počátečním bodem (, ) koncovým bodem (, ). [.] ( y) dx + x dy, kde oblouk je v rovině zdán prmetrizcí x (t sin t), y ( cos t), t (, ), >. [.]. Nlezněte hodnotu integrálu kde je xy dx x dy, () úsečk s počátečním bodem (, ) koncovým bodem (, ). [4/3.] (b) oblouk prboly y 4 x s počátečním bodem (, ) koncovým bodem (, ). [.] (c) oblouk prboly x y s počátečním bodem (, ) koncovým bodem (, ). [/5.] 3.. řivkový integrál. druhu po křivce Definice integrálu Nechť,,..., r jsou orientovné oblouky v prostoru R n nechť g k : k, b k R n je prmetrizce oblouku k, k,,..., r, indukující n oblouku k orientci souhlsnou se zdnou orientcí. Předpokládejme, že koncový bod oblouku k je počátečním bodem oblouku k+ pro k,,..., r že r je orientovná křivk v R n s prmetrizcí g, indukující n křivce orientci souhlsnou se zdnou orientcí. Nechť
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 5 konečně f: R n je dná vektorová funkce. Existují-li integrály k f ds, k,,..., r, pk číslo f ds r k k f ds (3.39) nzýváme křivkovým integrálem. druhu funkce f po křivce (tké orientovným křivkovým integrálem). Vlstnosti orientovného křivkového integrálu Vzhledem k tomu, že orientovný křivkový integrál po orientovné křivce je definován pomocí orientovných křivkových integrálů po orientovných obloucích, djí se zcel přirozeně n něj přenést tvrzení o vlstnostech křivkového integrálu po oblouku. Příkldy. Máme njít hodnotu integrálu po hrnici množiny (viz obr. 3.7) (y + ) dx + z dy + x dz {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (y x) ( z)}, orientovné tk, že tečný vektor τ (,, ) (,, ). z x y æ brázek 3.7: blouk z. příkldu řivk je sjednocením dvou oblouků. blouk je půlkružnice, vytvořená jko průnik horní jednotkové polosféry x + y + z, roviny y x horního poloprostoru z. blouk je úsečk s krjními body (,, ) (,, ). Abychom nlezli prmetrizci oblouku, zvolíme sférické souřdnice x r cos ϕ sin ϑ, y r sin ϕ sin ϑ, z cos ϑ. Po doszení do rovnice sféry x + y + z do rovnice roviny y x dostneme rovnosti r, cos ϕ sin ϕ. dtud plyne r, ϕ 4. Pro oblouk můžeme
6 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY volit prmetrizci x g (ϑ) sin ϑ, y g (ϑ) sin ϑ, z g 3(ϑ) cos ϑ, ϑ. dtud pro tečné vektorové pole ġ(ϑ) dostneme ( ) ġ(ϑ) cos ϑ, cos ϑ, sin ϑ, < ϑ <. Můžeme tedy počítt integrál přes oblouk (y + ) dx + z dy + x dz ( ( ) sin ϑ + cos ϑ + cos ϑ ) sin3 ϑ dϑ [ 6 sin3 ϑ + sin ϑ + ϑ + sin ϑ + ] cos ϑ 6 cos3 ϑ (7 + 3). 6 Zbývá njít hodnotu integrálu po úsečce. Pro tu můžeme zvolit prmetrizci x t, y t, z, t,. Tečné vektorové pole je pk ġ(t) (,, ) sndno si ověříme, že n úsečce indukuje orientci opčnou k orientci zdné. Pro výpočet integrálu dostáváme (y + ) dx + z dy + x dz (t + ) dt 8 3. Abychom získli hodnotu hledného křivkového integrálu, musíme obě nlezené hodnoty sečíst. Je tedy (y + ) dx + z dy + x dz (y + ) dx + z dy + x dz + (y + ) dx + z dy + x dz 6 (7 + 3) 8 3.. Máme njít hodnotu integrálu po křivce (viz obr. 3.8) y dx + z dy + x dz {(x, y, z) (x + y ) (x + z )}, orientovné uspořádnou trojicí bodů, b, c, kde (,, ), b (,, ), c (,, ).
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 7 z c x b y æ brázek 3.8: řivk z. příkldu řivk je elips, která je průnikem válcové plochy roviny. Dosdíme-li z válcových souřdnic x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z do rovnic popisujících křivku, dostneme rovnosti ρ, ρ cos ϕ + z. dtud plyne ρ, z cos ϕ. blouk má tudíž prmetrizci x g (ϕ) cos ϕ, y g (ϕ) sin ϕ, z g 3 (ϕ) cos ϕ, ϕ. Pro tečné vektorové pole ġ(ϕ) dostáváme ġ(ϕ) ( sin ϕ, cos ϕ, sin ϕ), < ϕ <. Vyšetříme ještě indukovnou orientci. Bod ϕ se zobrzuje n bod (,, ), bod ϕ se zobrzuje n bod (,, ) b bod ϕ 3 se zobrzuje n bod (,, ) c. Vidíme, že indukovná orientce je souhlsná se zdnou orientcí. Můžeme tedy počítt y dx + z dy + x dz ( sin ϕ + cos ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ) dϕ. 3. Máme njít hodnotu integrálu po uzvřené křivce v rovině (x + y) dx + (x y) dy { } (x, y) R x + y b orientovné proti směru pohybu hodinových ručiček.
8 APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY Zdná křivk je elips se středem v počátku osmi, b. vytvoření její prmetrizce použijeme zobecněné polární souřdnice x ρ cos ϕ, y bρ sin ϕ. Dosdíme-li do zdné rovnice křivky, dostneme ρ, tedy tké ρ. Doszením této hodnoty z ρ do polárních souřdnic získáme prmetrizci oblouku x g (ϕ) cos ϕ, y g (ϕ) b sin ϕ, ϕ. Pro tečné vektorové pole ġ(ϕ) pltí ġ(ϕ) ( sin ϕ, b cos ϕ), < ϕ <. Abychom nlezli indukovnou orientci, budeme vyšetřovt směr pohybu po elipse, odpovídjící zvolené prmetrizci. tomu nlezneme tři po sobě jdoucí body n horní polovině elipsy. Hodnotám t, resp. t, resp. t odpovídjí body (, ), resp. (, b), resp. (, ), což znčí pohyb proti směru pohybu hodinových ručiček. Je tedy indukovná orientce souhlsná se zdnou orientcí. Dostáváme tk (x + y) dx + (x y) dy (( cos ϕ + b sin ϕ)( sin ϕ) + ( cos ϕ b sin ϕ)b cos ϕ) dϕ ( cos ϕ sin ϕ b sin ϕ + b cos ϕ b sin ϕ cos ϕ)dϕ ( ( + b ) sin ϕ + b cos ϕ) dϕ. 4. Máme njít hodnotu integrálu y dx + z dy + x dz po hrnici množiny (viz obr. 3.9) {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (x + y x) ( z)}, orientovné tk, že v bodě (,, ) je tečný vektor τ (,, ). řivk je průnikem kulové plochy válcové plochy s osou rovnoběžnou s osou z. Abychom nlezli její prmetrizci, vyjádříme její rovnice ve válcových souřdnicích x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z. Doszením do rovnice popisující křivku dostneme ρ + z, ρ ρ cos ϕ.
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU 9 z x y æ brázek 3.9: řivk ze 4. příkldu Je tedy dtud doszením dostneme ρ cos ϕ, z z ρ. cos ϕ sin ϕ. Z prmetrizci můžeme tedy volit vektorovou funkci x cos ϕ, y cos ϕ sin ϕ, z sin ϕ, ϕ. řivk se skládá ze dvou oblouků, kde {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (x + y x) (y ) ( z)} s prmetrizcí x g (ϕ) cos ϕ, y g (ϕ) cos ϕ sin ϕ, z g 3 (ϕ) sin ϕ, ϕ, s tečným vektorovým polem ġ (ϕ) ( cos ϕ sin ϕ, sin ϕ + cos ϕ, cos ϕ), < ϕ <, {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (x + y x) ( y) ( z)} s prmetrizcí x g (ϕ) cos ϕ, y g (ϕ) cos ϕ sin ϕ, z g 3 (ϕ) sin ϕ, ϕ,
APITLA 3. ŘIVVÉ INTEGRÁLY s tečným vektorovým polem ġ (ϕ) ( cos ϕ sin ϕ, sin ϕ + cos ϕ, cos ϕ), < ϕ <. Zvolená prmetrizce indukuje n oblouku orientci souhlsnou se zdnou orientcí, jk sndno ověříme, když do její prmetrizce dosdíme ϕ. Integrál 4 po celé křivce dostneme jko součet integrálů po obloucích. Je tudíž I y dx+z dy+x dz y dx+z dy+x dz+ y dx+z dy+x dz I +I. I cos ϕ sin ϕ( cos ϕ sin ϕ) dϕ+ + sin ϕ(cos ϕ sin ϕ) dϕ cos 4 ϕ cos ϕ dϕ, dtud + I cos ϕ sin ϕ( cos ϕ sin ϕ) dϕ+ sin ϕ(cos ϕ sin ϕ) dϕ + cos 4 ϕ cos ϕ dϕ. I I + I cos ϕ sin ϕ( cos ϕ sin ϕ) dϕ + sin ϕ(cos ϕ sin ϕ) dϕ+ cos 4 ϕ cos ϕ dϕ + cos 4 ϕ cos ϕ dϕ I 3 + I 4 + I 5 + I 6. Pro jednotlivé integrály pltí I 3, neboť funkce cos 3 ϕ sin 3 ϕ je lichá. Funkce cos 5 ϕ je sudá, tedy I 5 I 6. Zbývá určit integrál I 4. Je I I 4 sin ϕ(cos ϕ sin ϕ) dϕ 4 4 ( cos ϕ)(( + cos ϕ) ( cos ϕ)) dϕ ( cos ϕ + cos ϕ cos ϕ)dϕ 4 ( cos ϕ cos 4ϕ)dϕ 4.
3.. ŘIVVÝ INTEGRÁL. DRUHU Úlohy Nlezněte hodnoty následujících integrálu:. y dx + z dy + x dz kde křivk je lomená čár spojující body (,, ), (,, ), (,, ) (,, ). [.]. y dx x dy + z dz po obvodu trojúhelník, jehož vrcholy jsou průsečíky roviny 3x + y + 6z 6 se souřdnicovými osmi. 3. xy dx x dy, kde je [ 6.] 4. 5. 6. 7. 8. () lomená čár s vrcholy (, ), (, ) (, ), přičemž orientce je zdná dným pořdím bodů. [ 4.] (b) lomená čár s vrcholy (, ), (, ) (, ), přičemž orientce je zdná dným pořdím bodů. [4.] (y z) dx + (z x) dy + (x y)dz po křivce { ( x (x, y, z) R 3 (x + y ) + z ) } h ( > ) (h > ) orientovné zdným pořdím tří bodů (,, ), (,, h), (,, h). [ ( + h).] y dx x dy po křivce zdné prmetrickými rovnicemi x cos 3 t, y sin 3 t, t (, ), >. [ ] 3 4. x + y x + y dx x y x + y dy po kružnici x + y r, r >, orientovné zdným pořdím tří bodů (r, ), (, r), ( r, ). [.] (x + y) dx + (x y) dy po elipse x / + y /b, >, b >, orientovné zdným pořdím tří bodů (, ), (, b), (, ). [.] y dx + z dy + x dz po křivce {(x, y, z) R 3 (x + y ) (z xy)} orientovné zdným pořdím tří bodů (,, ), (,, ), (,, ). [.] æ