Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a, je omezena + =1,++=3,=0 Úlohu transformujeme do cylindrických souřadnic takto: =cos φ, =sin, = Integrační oblastí je válec o poloměru 1, který je šikmo seříznut rovinou ++=3.proto pro meze v cylindrických souřadnicích platí 0 3 cos sin, 0 1, 0 2 Dosadíme do původního zadání tuto transformaci. Přitom nesmíme zapomenout na Jakobián transformace a musíme dbát na vhodné pořadí integračních proměnných. = cos sin = cossin = cossin = cossin3 cos sin = 3 cossin cos sin cossin = cossin cos 3 4 5 sin 5 cossin = 3 4 cossin 1 5 cos sin 1 5 cossin 1
Výraz převedeme na tři integrály 3 4 cossin 1 5 cos sin 1 5 cossin = 3 cossin 4 Každý z těchto integrálů budeme řešit substitucí. Pro první použijeme =sin, =cos Pro druhý použijeme =cos, =sin Pro třetí použijeme =sin, =cos Dostaneme 3 cossin 4 1 5 cos sin 1 5 cossin 1 5 cos sin 1 5 cossin = 3 4 sin 2 = 3 4 0 1 5 0 1 5 0=0 1 5 cos 3 1 5 sin 3 2 = 3 4 0 2 0 2 1 5 1 3 1 3 1 5 0 3 0 3 Řešení 1b +, je omezena + =,,0 1 Úlohu transformujeme do cylindrických souřadnic takto: =cos φ, =sin, = Integrační oblastí je polovina kužele postaveného na špičku a mající výšku 1. Pro meze v cylindrických souřadnicích platí 0 1, 0, 4 5 4 Dosadíme do původního zadání tuto transformaci. Přitom nesmíme zapomenout na Jakobián transformace a musíme dbát na vhodné pořadí integračních proměnných. + = cos + sin = cos +sin = = = 3 = = 1 3 3 4
= 1 3 1 4 = 1 12 = 1 12 5 4 4 = 1 12 Řešení 1c +, Úlohu transformujeme do cylindrických souřadnic takto: je omezena,0 2,0 2,0 =cos φ, =sin, = Integrační oblastí je polovina válce (nad osou x ) o poloměru 1, který je posunut o 1 ve směru osy (to plyne z druhé podmínky). Proto pro integrační podmínky po transformaci postupně odvodíme Současně musí platit sin 2cos cos sin 2cos cos sin + cos 2cos sin +cos 2cos 2cos 2cos 0 2, 0 Dosadíme do původního zadání tuto transformaci. Přitom nesmíme zapomenout na Jakobián transformace a musíme dbát na vhodné pořadí integračních proměnných. + = sin + cos = sin +cos = = = 3 = 8 3 cos = 8 3 cos = 2 cos 3 Nyní představuje vnitřní integrál určitý problém. Proto zatím opustíme vlastní výpočet zadaného integrálu. Potřebujeme najít primitivní funkci ke cos. Tu nalezneme takto, cos =cos cos Budeme integrovat pomocí metody per partes. Položíme =cos, =cos, = sin, = 1 2 +sincos 3
Kdyby to bylo nejasné, pak detailní postup nalezení primitivní funkce ke cos nalezneme v M1a úloha 2f. Odtud cos cos =cos 1 2 +sincos sin1 2 +sincos = 1 2 +sincoscos+1 2 +sincossin = 1 2 +sincoscos+1 2 sin+sin cos = 1 2 +sincoscos+1 2 sin+1 2 sin cos První z těchto integrálů budeme řešit pomocí per partes a druhý substitucí. Pro první použijeme =, =sin, =1, = cos Pro druhý použijeme =sin, =cos Dostaneme 1 2 +sincoscos+1 2 sin+1 2 sin cos = 1 2 +sincoscos+1 2 cos cos+1 2 = 1 2 +sincoscos+1 2 cos+cos+1 2 3 = 1 2 +sincoscos+1 2 cos+sin+1 6 = 1 2 cos+1 2 sincos 1 2 cos+1 2 sin+1 6 sin = 1 2 sincos + 1 2 sin+1 6 sin Nyní se můžeme vrátit k původnímu výpočtu zadaného integrálu. 8 3 cos = 8 3 1 2 sincos + 1 2 sin+1 6 sin = 8 3 1 2 sin 2 cos 2 +1 2 sin 2 +1 6 sin 2 1 2 sin0cos 0 1 2 sin0 1 6 sin 0 = 8 3 1 2 1 0 + 1 2 1+1 6 1 1 2 0 1 1 2 0 1 6 0 = 8 3 1 2 1 0+1 2 1+1 6 1 1 2 0 1 1 2 0 1 6 0 = 8 3 0+ 1 2 +1 6 0 0 0=8 3 4 6 =8 3 4 6 = 8 3 2 3 2 = 16 9 2 =8 9 4
Řešení 1d +, je horní polovina koule + + Úlohu transformujeme do cylindrických souřadnic takto: =cos φ, =sin, = Integrační oblastí je horní polovina koule o poloměru. Pro meze v cylindrických souřadnicích si postupně odvodíme + + Odtud sin + cos + sin +cos + + 0, 0, 0 2 Dosadíme do původního zadání tuto transformaci. Přitom nesmíme zapomenout na Jakobián transformace a musíme dbát na vhodné pořadí integračních proměnných. + = sin + cos = sin +cos = = = 4 = 4 = 1 4 = 1 4 2 + = 1 4 2 3 + 5 = 1 4 2 3 + 5 = 1 4 2 3 + 1 5 = 1 15 4 15 10 15 + 3 15 = 1 4 8 15 = 2 15 1= 2 15 = 2 15 2= 4 15 5
Příklad 2 Vypočtěte trojné integrály transformací do sférických souřadnic a) b), + + je omezena + + =1, 0, 0, 0, je omezena + + =, 0, 0, 0 Řešení 2a, je omezena + + =1, 0, 0, 0 Úlohu transformujeme do sférických souřadnic takto: =sincos, =sinsin, =cos Integrační oblastí je osmina jednotkové koule v prvním oktantu. Pro meze ve sférických souřadnicích platí 0 1, 0 2, 0 2 Dosadíme do původního zadání tuto transformaci (nesmíme zapomenout na Jakobián transformace) =sincos sinsincos sin = sin coscossin Vnitřní integrál vyřešíme substitucí Tedy = sincossin cos =sin, =cos sin cos= = 4 =sin 4 Dosadíme do původního výpočtu a pokračujeme sincossin cos= sincos sin 4 = sincos sin 2 sin 0 4 4 6
= sincos 1 4 0 4 = sincos 1 = 1 4 4 sincos Další vnitřní integrál řešíme stejnou substitucí =sin, Tedy =cos sincos== 2 =sin 2 Dosadíme do výpočtu a pokračujeme 1 4 sincos= 1 4 sin 2 = 1 4 sin 2 sin 0 2 2 = 1 4 1 2 0 2 = 1 4 1 = 1 2 4 1 2 7 = 1 8 6 = 1 8 1 6 0 6 =1 8 1 6 = 1 48 Řešení 2b + +, je omezena + + =, 0, 0, 0 Úlohu transformujeme do sférických souřadnic takto: =sincos, =sinsin, =cos Naše těleso leží v prvním oktantu. Pro meze ve sférických souřadnicích si odvodíme z omezení dané oblasti sin cos + sin sin + cos cos sin cos +sin + cos cos sin + cos cos sin +cos cos cos cos Integrační meze po transformaci tedy budou 0 cos, 0 2, 0 2 Dosadíme do původního zadání tuto transformaci (nesmíme zapomenout na Jakobián transformace) + + = sin cos + sin sin + cos sin = sin cos +sin + cos sin
= sin + cos sin = sin +cos sin = sin= sin =sin =sin 4 = 1 4 cos sin1 = 8 cos sin Poslední integrál vyřešíme substitucí =cos, Tedy = 1 4 cos sin = sin cos sin= = 5 = cos 5 Dosadíme do původního výpočtu a pokračujeme 8 cos sin= 8 cos 5 =sin cos 4 = 1 4 cos sin 2 = 8 cos 2 5 cos 0 5 = 8 0 5 +1 5 = 8 1 5 = 40 8