SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij zýváme koeficiety soustvy čísl b i bsolutími čley Mtice ( A m m m se zývá mtice soustvy ( mtice R m m m b b b m je rozšířeá mtice soustvy ( Vektor ( se zývá vektor řešeí soustvy ( vektor b (b b m je vektor bsolutích čleů Pozámk Soustv m lieárích rovic o ezámých tvru ( budeme pro stručost ozčovt S(m ždou soustvu lieárích rovic S(m lze chrkterizovt její rozšířeou mticí soustvy R typu m ( Nmísto pojmu vektor řešeí soustvy S(m budeme čsto užívt stručějšího pojmu řešeí soustvy S(m Všechy vektory řešeí soustvy S(m předstvují její obecé řešeí Řešit soustvu S(m zmeá určit její obecé řešeí ebo jik řečeo lézt všech řešeí soustvy Soustvu S(m můžeme stručější zpisovt pomocí mticové symboliky Zpíšeme-li vektor řešeí vektor bsolutích čleů b jko sloupcové vektory b b b M M b m Můžeme vektor povžovt z mtici typu vektor b z mtici typu m soustvu S(m můžeme psát ve tvru
A b ( Součiem mtice A typu m mtice typu je podle defiice ásobeí mtic mtice b typu m Jestliže poecháme vektor řešeí vektor bsolutích čleů b ve tvru řádkových vektorů tj mtic typu m můžeme soustvu S(m psát ve tvru T kde je trspoová mtice k mtici typu b jsou tedy opět sloupcové vektory Řešitelost soustvy lieárích rovic T T A b T trspoová mtice k mtici b typu m T V tomto odstvci si ukážeme z jkých podmíek má soustv lieárích rovic řešeí kolik těchto řešeí může mít jké jsou jejich vlstosti Následující důležitá vět se uvádí pod ázvem Frobeiov vět Vět Soustv lieárích rovic S(m má řešeí právě tehdy když hodost mtice soustvy A se rová hodosti rozšířeé mtice soustvy R Důkz Předpokládejme ejprve že soustv S(m má řešeí dokžme že pk h( A h( R Je-li řešeí soustvy S(m pk pltí s s b přičemž s jsou sloupcové vektory mtice A z čehož vyplývá že sloupec bsolutích čleů b je j ( ij mj lieárí kombicí osttích sloupců rozšířeé mtice soustvy R při výpočtu hodosti mtice R lze teto sloupec vyecht Je tedy h( A h( R Předpokládejme opk že pltí h( A h( R Mtice R má tedy stejý počet lieárě ezávislých sloupců jko mtice A tkže posledí sloupec mtice R tj vektor b musí být lieárí kombicí sloupců mtice A Proto eistuje vektor c (c c tk že pltí c s s b c To všk zčí že vektor c (c c předstvuje řešeí soustvy S(m Příkld Soustv dvou lieárích rovic o třech ezámých T b emá řešeí Mtice soustvy A má hodost h( A kdežto rozšířeá mtice soustvy R
má hodost h( R Nepltí tedy h( A h( R eí splě podmík Frobeiovy věty dá soustv emá řešeí Je-li splě Frobeiov vět pk řešeí soustvy lieárích rovic S(m eistuje Zbývá pk rozhodout kolik má soustv řešeí Jk vyplývá z věty závisí v tom přípdě počet řešeí soustvy počtu ezámých Vět Nechť soustv lieárích rovic S(m má řešeí h je hodost mtice soustvy je počet ezámých Pltí: Jestliže h má soustv S (m právě jedo řešeí bjestliže h < má soustv S(m ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech Důkz Viz [] s Pozámk V přípdě že soustv S(m má ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech můžeme z h ezámých volit libovolá reálá čísl Odpovídjícím ezámým říkáme volé ebo volitelé ezámé Hodoty zbylých h ezámých jsou určey jedozčě vyjdřujeme je pomocí volých ezámých Příkld Řešme soustvu dvou lieárích rovic o třech ezámých Řešeí Soustvě lieárích rovic přiřdíme rozšířeou mtici soustvy převedeme ji trojúhelíkový tvr určíme hodosti h( A h( R Hodost rozšířeé mtice soustvy R je h( R hodost mtice soustvy A je h( A počet ezámých Soustv má ekoečě moho řešeí závislých h prmetru tj jed ezámá je volá Druhé mtici přiřdíme zpětě soustvu dvou rovic o třech ezámých tvru Nyí položíme př t kde t R Po doszeí t do rovice - máme t Posledí ezámou vypočteme z prví rovice soustvy Po doszeí t t t obdržíme tedy t Všech řešeí zdé soustvy se djí zpst ve tvru t t t
kde t R Pozámk Nechť soustv lieárích rovic S(m má ekoečě moho řešeí eboli h( A h( R < Vzth zhrující všech řešeí soustvy se zývá obecé řešeí soustvy Dosdíme-li z volé ezámé kokrétí reálá čísl dosteme jedo řešeí soustvy které zýváme prtikulárí řešeí soustvy Npř ( je prtikulárí řešeí soustvy z příkldu pro t Prtikulárí řešeí soustvy ve kterém jsou všechy volé ezáme rovy ule se zývá zákldí řešeí soustvy Npříkld ( je zákldí řešeí soustvy z příkldu pro t Defiice Soustv lieárích rovic S(m se zývá homogeí jestliže pltí b b Je-li lespoň jedo i m b zývá se soustv ehomogeí i m Pozámk V homogeí soustvě lieárích rovic jsou všechy prvé stry rovic rovy ule soustv má tedy tvr m m m Homogeí soustvu lieárích rovic budeme stručě zčit S (m Vět Homogeí soustv lieárích rovic má vždy řešeí Ozčíme-li h hodost mtice soustvy počet ezámých pltí: Jestliže h má homogeí soustv jedié řešeí ( bjestliže h < má soustv ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech Důkz Rozšířeá mtice homogeí soustvy lieárích rovic S (m má tvr R m m m Protože přidáím ulového sloupce se hodost mtice eměí pltí pro kždou homogeí soustvu rovost h( A h( R tkže homogeí soustv má vždy řešeí Zbývjící tvrzeí jsou důsledkem věty Pozámk Homogeí soustv lieárích rovic S (m kde > m tedy počet ezámých je větší ež počet rovic má vždy ekoečě moho řešeí Tto situce je popsá ásledující větou Vět Nechť mtice A soustvy lieárích rovic S (m má hodost h( A h < Obecé řešeí soustvy tvoří vektorový prostor dimeze h tkže báze tohoto prostoru obshuje h lieárě ezávislých řešeí všech osttí řešeí jsou jejich lieárími kombicemi Důkz Viz [] s 8 Metody řešeí soustv lieárích rovic Podle závěrů předchozího odstvce umíme určit počet souřdic lieárích rovic S(m Nyí se budeme zbývt otázkou jk řešeí soustvy lézt Uvedeme zde ejčstěji používé metody řešeí soustv lieárích rovic Předtím všk budeme defiovt pojem ekvivletích soustv lieárích rovic
Defiice Dvě soustvy lieárích rovic S (m S (m se stejými ezámými se zývjí ekvivletí jestliže moži všech řešeí soustvy S (m je rov možiě všech řešeí soustvy S (m Mějme soustvu lieárích rovic S(m Úprvy této soustvy po jejichž provedeí vziká soustv S (m s dou soustvou ekvivletí tedy úprvy jimiž se eměí moži řešeí soustvy zýváme ekvivletí úprvy soustvy lieárích rovic Jsou to zvláště tyto úprvy: (R zámě pořdí rovic (R ásobeí libovolé rovice eulovým reálým číslem (R přičteí lieárí kombice rovic soustvy k jié rovici soustvy (R vyecháí rovice která je lieárí kombicí jiých rovic dé soustvy (R zámě pořdí ezámých Podotýkáme že lieárí kombicí rovic zde rozumíme odpovídjící lieárí kombici řádkových vektorů rozšířeé mtice soustvy Ekvivletím úprvám soustvy lieárích rovic (R (R odpovídjí logické ekvivletí úprvy její rozšířeé mtice soustvy R (U (U při ichž se podle čláku hodost mtice R eměí Lze tedy kosttovt: Dvě soustvy lieárích rovic S (m (m z ichž jed vzike z druhé je požitím ekvivletích S úprv (R(R jsou ekvivletí právě tehdy když jejich odpovídjící rozšířeé mtice jsou ekvivletí Tohoto poztku prkticky využíváme při výpočtu řešeí soustvy S(m tk že rozšířeou mtici R této soustvy převedeme trojúhelíkovou mtici ekvivletími úprvmi (U (U Gussov elimičí metod Gussov metod je zlože převodu rozšířeé mtice R soustvy lieárích rovic S(m trojúhelíkovou mtici postupým prováděím ekvivletích úprv Postupujeme přitom stejě jko při výpočtu hodosti mtice Algoritmus řešeí soustvy lieárích rovic Gussovou elimičí metodou můžeme shrout do ásledujících kroků: Soustvě lieárích rovic S(m přiřdíme její rozšířeou mtici R Rozšířeou mtici soustvy převedeme ekvivletími úprvmi (U (U trojúhelíkovou mtici N zákldě vět rozhodeme o řešitelosti soustvy počtu jejích řešeí Trojúhelíkové mtici přiřdíme soustvu lieárích rovic ekvivletí soustvě S (m Vziklou soustvu lieárích rovic zdol vyřešíme Gussovou elimičí metodu předvedeme ásledujících dvou příkldech Příkld Určeme všech řešeí soustvy čtyř lieárích rovic o čtyřech ezámých Řešeí Rozšířeou mtici soustvy R uprvíme ekvivletími úprvmi trojúhelíkový tvr V prvím kroku sčítáme prví druhý řádek mtice od třetího řádku odečítáme dvojásobek prvího čtvrtý řádek je součtem prvího čtvrtého řádku původí mtice Dále změíme druhý třetí řádek mtic poté sčítáme dvojásobek ového druhého řádku trojásobkem čtvrtého řádku tk vzike ový čtvrtý řádek mtice
8 dosžeí trojúhelíkové mtice zbývá zjistit by pltilo Stčí trojásobek čtvrtého řádku mtice přičíst ke třetímu řádku 8 Z posledí mtice vidíme že pltí h( h( R A Dá soustv lieárích rovic má tedy právě jedo řešeí které sdo vypočteme ze soustvy lieárích rovic - Řešeím soustvy zdol postupě zjistíme že Řešeím soustvy je vektor ( Příkld Nlezěme všech řešeí soustvy tří lieárích rovic o čtyřech ezámých Řešeí Hed ze zdáí úlohy je zřejmé že soustv má buď ekoečě moho řešeí ebo žádé řešeí Počet ezámých je totiž určitě větší ež hodost obou mtic soustvě přiřzeých která je ejvýše rov třem Rozšířeou mtici soustvy uprvíme obdobými úprvmi jko v příkldě trojúhelíkovou mtici
Pltí h( A h( R Soustv má ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech Zvolíme-li příkld s t kde s t R z ekvivletí soustvy obdržíme s t ásledě s t Obecé řešeí soustvy je tedy kde s t R s s s t t t Volbou s t můžeme dostt prtikulárí řešeí ( volb s t vede k prtikulárímu řešeí ( které je zároveň zákldím řešeím (viz pozámk odezčí metod odezčí metodu řešeí soustvy lieárích rovic můžeme povžovt z modifikci Gussovy elimičí metody Scéář řešeí je opět dá kroky - Z úvodu odstvce s tím rozdílem že ve druhém kroku převádíme rozšířeou mtici soustvy trojúhelíkovou mtici pomocí kodezčího lgoritmu tk jk tomu bylo při určováí hodosti mtice Metodu si přiblížíme řešeím ásledujících tří příkldů Příkld Řešme soustvu lieárích rovic - Řešeí úprvě rozšířeé mtice soustvy použijme kodezčí metodu která odpovídá ekvivletím úprvám Výpočet probíhá tkto:
8 Protože h( h( R A má soustv právě jedo řešeí Posledí trojúhelíkové mtici odpovídá soustv lieárích rovic - - - - Řešeím posledí rovice je - Postupým doszováím vypočteých hodot z ezámé do jedotlivých rovic dosteme Jediým řešeím soustvy je tedy vektor ( Příkld Nlezěme řešeí soustvy lieárích rovic Řešeí Obdobě jko v předchozí úloze uprvujeme rozšířeou mtici R trojúhelíkovou mtici 8 R Pro přehledost dlších úvh změňme posledí dv řádky mtice Z této mtice je vidět že hodost mtice soustvy A tj mtice ekvivletí mtici R bez posledího sloupce je h( A kdežto hodost mtice R je h( R Protože h( h( R A emá podle Frobeiovy věty soustv žádé řešeí
Pozámk Jkmile se v ěkteré mtici vziklé z dé rozšířeé mtice soustvy ekvivletími úprvmi (tedy i kodezčí metodou vyskyte řádek obshující smé uly ž eulový prvek v posledím sloupci zmeá to že dá soustv emá řešeí Příkld Řešme soustvu lieárích rovic - Řešeí Protože se jedá o homogeí soustvu rovic která má vždy řešeí stčí prcovt pouze s mticí soustvy Je tedy Dále eí třeb mtici soustvy uprvovt Z posledího řádku mtice ihed plye poté z druhého řádku ze třetího řádku pk koec z prvího Soustv má pouze triviálí řešeí ( Dokočeím převodu mtice soustvy trojúhelíkovou mtici se může čteář sám sdo přesvědčit že pltí h( A že podle věty má soustv jedié triviálí řešeí Jordov metod úplé elimice V ekoomických plikcích hrjí důležitou roli zákldí řešeí těch soustv lieárích rovic které mjí ekoečě moho řešeí Tto zákldí řešeí je možo hledt použitím Jordovy metody úplé elimice Má-li uvžová soustv lieárích rovic ezámých pltí-li h( A h( R h < má soustv ekoečě moho řešeí závislých h prmetrech eboli volých ezámých Počet růzých zákldích řešeí soustvy pk závisí tom kolik způsoby můžeme tyto volé ezámé vybrt Dá se ukázt že kždá soustv lieárích rovic která má ekoečě moho řešeí má koečý počet zákldích řešeí ejvýše h zákldích řešeí Postup při řešeí soustvy lieárích rovic Jordovou metodou se dá shrout ásledově: Rozšířeou mtici soustvy převedeme trojúhelíkovou mtici V trojúhelíkové mtici vyulujeme prvky d hlví digoálou N hlví digoále tkto uprveé mtice vytvoříme pomocí ekvivletích úprv jedičky Výsledé mtici zpětě přiřdíme soustvu kterou již sdo vyřešíme Jordovu metodu si blíže vysvětlíme příkldech Příkld 8 Řešme soustvu lieárích rovic - Řešeí
Rozšířeou mtici soustvy ejprve převedeme trojúhelíkovou mtici tomu použijeme lgoritmus kodezčí metody Je vidět že pltí h( h( R A počet ezámých Zmeá to že soustv má ekoečě moho řešeí přičemž dvě ezámé jsou volitelé Dále vyulujeme prví řádek d hlví digoálou to tk že od prvího řádku odečteme řádek druhý posléze vydělíme prví řádek dvěmi Mtici přiřdíme soustvu rovic Volbou získáme jedo ze šesti zákldích řešeí soustvy (- ezámým přitom říkáme bázické proměé Jordov metod umožňuje přechode od jedoho zákldího řešeí k jiému změou bázické proměé Budeme-li chtít by bázickými proměými byly místo dále proměé je třeb čtvrtý sloupec posledí mtice uprvit jedotkový tvr T ( př tk že druhý řádek dělíme číslem - poté od prvího řádku odečteme trojásobek druhého Číslu přitom říkáme klíčový prvek druhému řádku klíčový řádek čtvrtému sloupci klíčový sloupec Této mtici odpovídá soustv rovic - - Volbou získáme tedy dlší zákldí řešeí je - ( N závěr řešeí příkldu uvádíme přehled všech zákldích řešeí soustvy
Výpočty v předchozím příkldu je možo opět do jisté míry zutomtizovt zákldě kodezčího lgoritmu Předpokládejme že chceme jít zákldí řešeí s bázickými proměými s volými proměými Zčěme př u proměé zřďme ji mezi bázické proměé Z klíčový prvek můžeme v rozšířeé mtici soustvy povžovt libovolé z čísel prvího sloupce Zvolme prvek Dále počítáme dle schémtu: - vydělíme klíčový řádek klíčovým prvkem - do klíčového sloupce doplíme uly - čísl ležící mimo klíčový řádek mimo klíčový sloupec počítáme podle vzthu j ij ' pro klíčový prvek i ij Rozšířeá soustv mtice je poté * zřzeí proměé mezi bázické je možo prcovt buď s klíčovým prvkem Zvolme z klíčový prvek Pk ebo * přitom ový prvek ' jsme počítli jko ' kdežto ový prvek ' jko ' (eí-li klíčový prvek v hlví digoále determitu druhého řádu pk teto determit měí zméko Máme tk zákldí řešeí ( Příkld ilustrci tohoto postupu vyřešíme ještě jede příkld
Řešme soustvu tří rovic o třech ezámých Řešeí Budeme postupě volit klíčové prvky v hlví digoále rozšířeé mtice soustvy * * * Z výsledé mtice vidíme že pltí h( A h( R tedy soustv má jedié řešeí ( Crmerovo prvidlo Jko posledí metodu řešeí soustv lieárích rovic uvádíme metodu zložeou použití determitů Metod má spíše je teoretický výzm dá se použít pouze tehdy je-li počet rovic soustvy počet ezámých shodý mtice soustvy musí být regulárí Nvíc víme z kpitoly o determitech že výpočet determitů vyšších řádů je čsto velmi prcý Hlví výzm Crmerov prvidl spočívá v tom že umožňuje eplicitě zpst řešeí soustvy pomocí prvků rozšířeé mtice soustvy že Crmerovým prvidlem se dá určit libovolá ezámá ezávisle osttích ezámých soustvy Vět Mějme soustvu lieárích rovic o ezámých b b b Jestliže je mtice soustvy A regulárí pk má soustv právě jedo řešeí tvru det A j j j det A kde A j je mtice vziklá z mtic soustvy A výměou jejího j-tého sloupce sloupcem prvých str rovic soustvy Důkz Protože je mtice soustvy A regulárí pltí pltí Ozčme h( A h( R soustv má právě jedo řešeí Dokážeme že det A det A
b b b det A Dosdíme-li do tohoto determitu vyjádřeí b ve tvru b j máme j j j j det A prvímu sloupci tohoto determitu přičteme lieárí kombici zbylých sloupců s koeficiety - - Odtud je det A det A protože det A pltí det A det A Obdobě se dokáže pltost vzthu det A j j pro j det A Příkld Crmerovým prvidlem řešme soustvu rovic Řešeí Pltí det A mtice soustvy A je regulárí soustv má právě jedo řešeí Dále det A 8 8 odtud det A 8 8 det A det A odtud det A det A
Příkld Crmerovým prvidlem řešme soustvu rovic z příkldu Řešeí Pltí 8 det A det A 8 8 det A det A Soustv má právě jedo řešeí 8