MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.21) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republik. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smk@seznam.cz
MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 2 Lineární funkce: = a+b, kde a,b R Derivace a její geometrický význam = 2+1 = 2 = 3 3 1 1 tan = 2 2 = tan = 1 tan = 3 3 Číslu a říkáme směrnice přímk a je určena vztahem a = tg. je úhel, který tato přímka svírá s kladným směrem os. Přímka je dána buď dvěma bod nebo jedním bodem [,f( )] a úhlem. V tomto případě má přímka rovnici = a ( )+f( ), Příklad. Napište rovnici tečn funkce f() v bodě [,f( )]. (Tečna funkce - přímka, která se dotýká funkce v jednom bodě [,f( )].) kde a = tg. f() f( )
MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 3 Řešení. Tečna má rovnici = a ( )+f( ),kde a = tg. M však úhel neznáme, ted nemůžeme vpočítat směrnici a. Zvolíme si ještě jeden bod na funkci a sestrojíme sečnu funkce v bodech [,f( )] a [ +h,f( +h)] (přímku, která těmito dvěma bod prochází). Reálné číslo h si zvolíme libovolně. f( +h) f() f( ) φ Směrnice sečn je (z pravoúhlého trojúhelníku tgφ = protilehlá přilehlá ). tgφ = f( +h) f( ) h +h Kdž se bude bod +h blížit k bodu, což znamená, že h se bude blížit k nule, tak tato sečna přejde postupně v tečnu v bodě [,f( )]. Směrnici tečn v bodě [,f( )] ted můžeme vjádřit pomocí limit (Této limitě, pokud eistuje, budeme říkat derivace funkce f() v bodě.) f( +h) f( ) a = lim. h h
MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 4 DEFINICE (Derivace v bodě). f() je funkce a D(f). Eistuje-li limita nazýváme ji derivace funkce f() v bodě a značíme ji f ( ). lim h Kdž označíme = +h, můžeme vjádřit předchozí definici ve tvaru f( +h) f( ), h f ( ) = lim f() f( ). Geometrický význam derivace. Derivace funkce f() v bodě, čili f ( ), je směrnice tečn funkce f() v tomto bodě. Tečna ke grafu funkce f() v bodě [,f( )] je přímka, která má rovnici VĚTA (Vztah mezi derivací v bodě a spojitostí v bodě ). Má-li funkce f() v bodě derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. = f ( ) ( )+f( ). DEFINICE (Derivace jako funkce). Má-li funkce f() derivaci ve všech bodech množin M, pak definujeme na této množině funkci, která každému bodu z M přiřadí derivaci v tomto bodě. Tato funkce se nazývá derivace funkce f() a značí se f (). (Jiné značení:, df d, d d.)
MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 5 Pravidla pro derivování u,v jsou funkce, c R. Pak platí P1 (c u) = c (u) P2 (u±v) = (u) ±(v) P3 (u v) = (u) (v)+(u) (v) P4 ( u (u) = v) (v) (u) (v) v 2, kde v. c R. Pak platí Vzorce pro derivování V1 (c) = V8 (cos) = sin V2 ( n ) = n n 1 V9 (tg) = 1 cos 2 V3 (e ) = e V1 (cotg) = 1 sin 2 V4 (a ) = a lna V11 (arcsin) 1 = 1 2 V5 (ln) = 1 V12 (arccos) 1 = 1 2 V6 (log a ) = 1 lna V13 (arctg) = 1 1+ 2 V7 (sin) = cos V14 (arccotg) = 1 1+ 2 Cvičení 1. Derivujte: 1. = 2sin 2. = 5 + 5 3. = tg cotg 4. = arcsin 5. = e cos 6. = sin(3 13) 7. = 2 arctg 8. = 3 2 + 9 4 ln arccotg
MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 6 Pro složenou funkci platí Derivujeme postupně jednotlivé složk a mezi nimi píšeme násobení. Podobně (h(g(f()))) = h (g(f())) g (f()) f (). Cvičení 2. Derivujte: 1. = sin 2 = sin( 2 ) 2. = sin 2 = (sin) 2 3. = arctg 3 4. = lncose 6 = ln(cos(e (6) )) 5. = (sin ln) 5 6. = 1 4 Derivace složené funkce (g(f())) = g (f()) f (). Derivace všších řádů DEFINICE (Druhá derivace, třetí derivace,...). Druhou derivací funkce f() rozumíme funkci tj. derivaci první derivace. Obecně n-tou derivací funkce f() rozumíme funkci f (n) = (f (n 1) ). f () = (f ()), Cvičení 3. Vpočítejte derivaci druhého řádu: 1. = 3 + 2 + 1 2. = 2 2 1 (Pomocí první derivace - zjistíme, kde funkce roste a kde klesá.) (Pomocí druhé derivace - zjistíme, kde je funkce konvení a kde je konkávní.) Cvičení 4. Derivujte (pomocí pravidel, vzorců a pravidla pro složenou funkci): 1. = 6 2 +5 9 2. = ln 1 1+ 3. = cos2 +1 4. = 5. = 1 3 arctg 3 1 5 6. = 3 3 arcsin+( 2 +2) 1 2 1 2 arcsin
MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 7 Slouží k výpočtu limit neurčitých výrazů. L Hospitalovo pravidlo VĚTA (L Hospitalovo pravidlo). f() a g() jsou funkce, R. Jestliže (Pokud limita na pravé straně eistuje.) f() lim g() = f() nebo lim g() = ± ±, f() lim g() = lim f () g (). pak platí L Hospitalovo pravidlo lze použít opakovaně!!! Příklad. cos 1 1. lim sin = L H (cos 1) = lim sin (sin) = lim cos = 1 =. 2. lim 2 e = L H ( = lim 2 ) 2 (e ) = lim e = L H (2) = lim 2 (e ) = lim e = 2 =. Neplést si L Hospitalovo pravidlo s pravidlem pro derivaci zlomku P4!!! Cvičení 5. 1. lim 3 2 +3 18 3 9 2. lim 2 ln( 1) 2 3. lim 1 ln +1 ln 4. lim 1 e sin e 5. lim +e 2 +1 ln(3+1) 6. lim 2 3 2+ 7. lim 8. lim 2 e 2