1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí polyomů a rozklad polyomu a souči jak zí tzv. biomická věta. Klíčová slova této kapitoly: polyom (mohočle) -tého stupě, základí operace s polyomy, biomická věta. Čas potřebý k prostudováí učiva kapitoly: 0,5 + 1,0 hodiy (teorie + řešeí příkladů)
Defiice. Polyomem ebo-li mohočleem -tého stupě proměé x rozumíme výraz kde a 0. 1 P x = a x + a x +... + a x+ a, 1 1 0 Pozámka. a) Často je výhodý kratší zápis pomocí zaméka sumy: k = k. k = 0 P x a x b) Termí mohočle se v praxi eexaktě používá také pro jakýkoliv výraz tvořeý součtem ebo rozdílem dvou či více jiých výrazů. Defiice. Polyomy jsou si rovy, jsou-li si rovy odpovídající koeficiety u týchž moci proměé. Sčítáí a odčítáí polyomů. Sčítáme, resp. odečítáme čley se stejými mociami proměé, a to tak, že sečteme, resp. odečteme příslušé koeficiety. Je zřejmé, že při uvedeých operacích se stupeň polyomu emůže zvětšit. x 3x 1 4x 0 x 3 4 x 1 x 7x 1 + + + = + + + + + = + +. Např. Násobeí polyomů. Součiem dvou polyomů je polyom, který je součtem součiů všech čleů prvího polyomu se všemi čley druhého polyomu: = m m k j k j ax k bx j abx + k j k= 0 j= 0 k= 0 j= 0. Stupeň výsledého polyomu je součiem stupňů obou čiitelů. Speciálím případem je ásobeí polyomu reálým číslem k, tj. polyomem ultého stupě. Vzike polyom, jehož koeficiety jsou rovy k-ásobku původích hodot. Umocňováí polyomů. Umocňováí polyomů a přirozeý expoet je možé vždy provést jako opakovaé ásobeí. Níže uvedeé vzorce patří k základímu matematickému vybaveí ( AB, jsou libovolé výrazy): A± B = A ± AB+ B A + B + C = A + B + C + AB + BC + AC 3 3 3 A B A 3A B 3AB B ± = ± + ±. Biomická věta. Biomická věta je obecý vzorec pro libovolou přirozeou mociu dvojčleu (biomu). Pro každé AB, R, N platí:
0 1 1 1 1 0 k k A+ B = A B + A B +... + A B + A B = A B. 0 1 1 k k = 0 Symboly! = k k! ( k)! jsou tzv. kombiačí čísla. Např. 8 8! 8 7 6 = = = 56. 3 3! 5! 3 1 Rozklad mohočleu a souči mohočleů. Některé mohočley je možé vyjádřit jako souči mohočleů ižšího stupě. To má často velký výzam, protože apř. při úpravách zlomků tak můžeme získat možost kráceí. Jedoduchý obecý algoritmus a zjištěí, zda je možé polyom rozložit a souči, eexistuje. Jeda možost je určit tzv. kořey polyomu a provést rozklad a souči kořeových čiitelů (bude probráo později). Některé jedoduché rozklady záme zpaměti: = ( ) ( + ) A 3 ± B 3 = ( A± B)( A AB+ B ) A B A B A B. Pozor: A + B v reálém oboru rozložit elze! Děleí polyomů. Polyom P ( x ) stupě lze dělit polyomem Qm opět ějaký polyom S m( x) Rp ( x) polyomu S m( x) a zlomku tvaru Qm ( x ), kde R p ižšího stupě ež Qm ( x ). x ižšího stupě m. Výsledkem může být, pak se jedá o děleí beze zbytku, ebo obecěji součet m ( x) x je zbytek po děleí a je to polyom ( x), P R = + > >. Q x Q x p S m x m p m Pozámka. Vidíme, že operace děleí eí a možiě všech polyomů uzavřea (výsledkem děleí polyomů emusí být polyom). Algoritmus pro písemé děleí polyomů. 1) Dělece i dělitele uspořádáme od ejvyšší mociy x k ejižší. ) Vydělíme prví čle dělece prvím čleem dělitele výsledkem je prví čle podílu. 3) Vyásobíme tímto čleem dělitele a výsledek odečteme od dělece tím získáme ového dělece. 4) Opakujeme teto postup s ovým dělecem tak dlouho, dokud eí zbylý polyom ižšího stupě ež dělitel. Teto zbylý polyom (pokud existuje) tvoří zbytek po děleí.
Shrutí kapitoly: Polyomem ebo-li mohočleem je eexaktě azývá libovolý matematický výraz, obsahující určitý počet aditivích čleů (tj. čleů, které se buď sčítají ebo odčítají). Exaktí defiice defiuje avíc tvar jedotlivých čleů jako souči určitého koeficietu a přirozeé mociy proměé. Nejvyšší přítomá mocia proměé, u které figuruje eulový koeficiet, určuje tzv. stupeň polyomu. Podobě jako s libovolými matematickými výrazy lze i s polyomy provádět základí početí operace, jako jsou součet, rozdíl, souči, přirozeá mocia a děleí. Speciálí operací je rozklad polyomu a souči jiých polyomů. O tom, jak vypadá přirozeá mocia dvojčleu (biomu) pro libovolý přirozeý expoet, hovoří tzv. biomická věta. Operace děleí polyomů se od ostatích liší tím, že eí uzavřea v možiě všech polyomů. Na písemé děleí polyomů existuje jedoduchý algoritmus. Otázky: Co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle? Defiujte exaktě polyom -tého stupě. Jaké základí operace pro polyomy záte a jak se provádějí? Jak se měí stupeň polyomů při jejich sčítáí, odčítáí, ásobeí, umocňováí a děleí? Co přesě říká biomická věta? Čím se liší operace děleí polyomů od ostatích operací? Jak vypadá algoritmus pro písemé děleí polyomů?
Příklad 1. Upravte a ejjedodušší tvar: a 4 4a 1 a) b) a + 4a 4a+ 1 c) a 1 a 1 a 1 a+ 1 d) m+ 1 m 1 m 4 m+ m m 4 4 x y 4pq 1 e) p q : 5 4 3 + p+ q p q f) xy ab a b g) 3 4 5 y x x c d c d 1+ 1 + x y y a + x a+ x a x a+ x h) a+ x a + x a+ x a x i) 1+ x 1 x + 1 x 1+ x 1+ x 1 x 1 x 1+ x 1 j) 1 a b a+ b a + a+ b a b. 3 Příklad. Rozložte a souči polyomů: a) ax + ax b) x 3 y c) 4 4 64 6 y + d) 3 9x 18x x +. Příklad 3. Proveďte písemě azačeé děleí polyomů: a) ( 8x 3 10x 13x+ 19 ):( x 3) b) ( 4x 3 5x 9x 11 ):( x ) c) ( 5 6m + 5m 6 ):( m+ 3) d) ( x + 1: ) ( x+ 1). + +
Řešeí příkladů: 1a) a, a 1b) a + 1, 1 4a a 1c), a 1, 1 a 1 ( a 1 ) ( a+ 1 ) 1d) 1, m 0,, 1e) 3 x+ y p q, p ± q 1f), x 0, y 0, x y x y 6 16 bd 1g),,,, 0 a+ x abcd 1h), 0, 0 19 17 a > x > a c x 1i) 1 1 + x, 0, 1, 0, 1 x 0, 1 + x 1 x x ± x 1 x 1+ x 1 x 1+ x 1j) 1, a > b. a b a) ax ( a x) d) ( x ) ( 3x 1) ( 3x 1) + b) ( x + y ) ( x+ y) ( x y) c) ( y 4) ( y 4 4y 16) + +. + + 3a) 4 4x + x 5+ x 3b) x 1 4x 5+ 3 x + 3c) 3m 3d) 4 3 x x + x x+ 1. Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997.. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ZÁVĚR: [Tady klepěte a pište]