.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých sčítanců (věta..). Součin funkcí už obvykle nelze integrovat jednoduše. Problém je v tom, že neeistuje univerzální algoritmus pro integrování součinu funkcí (to je podstatný rozdíl proti derivování součinu funkcí!). V některých případech lze integrovat součin funkcí metodou per partes (čili po částech). Cíle Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce k dané funkci, znáte základní integrály uvedené v tabulce.. a umíte vypočítat jednoduché integrály úpravou integrované funkce (integrandu). Výklad Pro integrování součinu dvou funkcí f ( ) g( ) f ( ) g ( d ) = f ( d ) g ( d ) obecně neplatí!!! Avšak ze vztahu pro derivování součinu dvou funkcí ( u v) = u v+ u v dostaneme u v= ( u v) u v a odtud integrováním u v d= [ ( u v) u v ] d= u v u vd. Věta... (Integrování per partes, čili po částech) Mají-li funkce u ( ) a v ( ) v intervalu ( ab, ) spojitou derivaci, pak v ( ab, ) platí u ( ) v( ) d= u( ) v( ) u( ) v ( ) d. Poznámka Integrační metoda se nazývá per partes (po částech), neboť se integrál z funkce f ( ) = u ( ) v( ) vypočte jen zčásti. Zbývá totiž vypočíst další integrál z funkce - 0 -
.. Integrace metodou per partes g ( ) = u ( ) v ( ). Integrování metodou per partes vyžaduje určitou prozíravost, abychom, pokud možno, volili funkce u ( ) a v ( ) tak, aby byl integrál g( ) d = u( ) v ( ) d jednodušší. Řešené úlohy Příklad... Vypočtěte integrál ( + )cos d Použijeme metodu per partes, přičemž položíme u = cos, v= +, takže u = sin, v = +. Proto je ( + )cos d = ( + )sin ( + )sin d. K výpočtu posledního integrálu opět použijeme metody per partes, přičemž položíme u = sin, v= +, takže u= cos, v =.. Dostaneme ( + )sin d = ( + )cos + cos d = ( + )cos + sin + C Je tedy d + = + + + + C ( )cos ( )sin ( )cos sin. Kdybychom v daném integrálu zvolili u = +, v= cos, bylo by u = + v = sin a daný integrál bychom dostali ve tvaru + d = + + + d ( )cos cos sin, což je integrál složitější než původní. Příklad... Vypočtěte integrál ln d Pokud bychom stejně jako v úloze a) volili u = ln nás v tomto okamžiku obtížný. Proto volíme, u =, v= ln, v =, dostaneme u = ln d. Tento integrál je však pro - -
.. Integrace metodou per partes takže u =, v =. ln d= ln d= ln + C 9. Pro jednoduché typy integrálů postupujeme podle následujícího schématu: Jednoduché typy integrálů řešitelných metodou per partes. Je-li P ( ) polynom stupně n, pak u integrálů typu: P ( )sind, P ( )cosd, Ped ( ), P ( )a d položíme v= P( ), takže v = P ( ), kdežto u integrálů typu: položíme P ( )lnd, P ( )arctgd, P ( )arccotg d, P ( ) arcsin d, P ( )arccosd u = P( ), takže u = P( ) d, kde P ( ) je polynom stupně n 0 (tedy i konstanta). Řešené úlohy Příklad... Vypočtěte integrál arctg d Integrovanou funkci můžeme výhodně zapsat ve tvaru arctg = arctg. u = v= arctg d = = d = d u = v = + + + arctg arctg arctg = - -
= arctg ln( + ) + C... Integrace metodou per partes Při výpočtu druhého integrálu jsme použili vztah [] z tabulky... Příklad..4. Vypočtěte integrál e d. u = e v= e d= = e + e d = u = e v = u = e v= = = e e + e d= e e e + u = e v = C. Příklad..5. Vypočtěte integrál n ln d n u = v= ln n+ n n ln d= n+ = ln d= u = v = n+ n+ n+ n+ n+ n+ = ln + C = ln n + C. + ( n + ) n+ n+ Speciálně pro n = 0 dostáváme ln d = (ln ) + C. Příklad..6. Vypočtěte integrál e cos( ) d. V tomto případě lze volit u = e. K cíli však povede i volba u = cos( ). u = e v= cos( ) e cos( ) d= = e cos( ) e sin( ) d = u = e v = sin( ) u = e v= sin( ) = = e cos( ) e sin( ) + e cos( ) d = u e v cos( ) = = - -
.. Integrace metodou per partes e cos( ) + e sin( ) 4 e cos( ) d. Jestliže hledaný integrál označíme symbolem I = e cos( ) d, dostáváme rovnici I = e cos( ) + e sin( ) 4I. Z této rovnice vypočteme neznámou I 5I = e cos( ) + e sin( ), e I = e cos( ) + e sin( ) = [ sin( ) cos( ) ] + C. 5 5 Poznámka Stejně jako v příkladu..6 se někdy stává, že při použití metody per partes dostaneme násobek hledaného integrálu: f ( d ) = F( ) + k f( d ) (k je konstanta). Je-li k, lze hledaný integrál vypočítat převedením integrálů na stejnou stranu rovnice. Tedy ( k) f( ) d= F( ), odkud f ( d ) = F( ) + C. k Kontrolní otázky. Proč se integrační metoda nazývána per partes?. Lze integrál e e d = e d e d rovná tento integrál?. Jak by se podle věty.. vypočítal integrál typu u ( ) v ( ) d? počítat naznačeným způsobem? Čemu se 4. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu sin d? 5. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu 6. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu 7. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu ln d? ln d? 8. Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = a výsledný integrál je e sin d? ln I = + C. 4-4 -
9. Doplňte funkci v ( ), je-li u ( ) = sin a výsledný integrál je I = cos+ sin +C. 9.. Integrace metodou per partes 0. Doplňte funkci v ( ), je-li u ( ) = a výsledný integrál je I = ln ln + + C.. a) Úlohy k samostatnému řešení. a) sin d b) ( + ) cosd c) cos d e d e) ( + ) e d f) ln d b) arctgd c) ln d ln d e) ln d f) 4 arctgd. a) ln d b) ln d c) arctg d arccotg d e) arcsin d f) arccos d 4. a) e cos d b) e sin d c) cos d cos( ln ) d e) sin ( ln ) d f) e sin d 5. a) d b) sin arcsin d ln ( cos ) d c) ar ctg ( + ) cos e) ln d f) e d ( + ) d d Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) ( ) cos+ sin+ C; b) + sin + cos + C ; c) 6 sin + cos + C ; e + C f) ln + + ln ln.. a) ln + C e 4 + + C; ; e) ( ) ; b) ( ) + arctg + C; c) ln + C; ln + C; e) ln ln + + C ; - 5 -
arctg + + C.. a) ln C 4 f) ( ) c) arctg ln ( + ) +C; arccotg ln ( ) f) arccos.. Integrace metodou per partes + ; b) ( ln ln ) + + C; + + + C; e) arcsin + + C; +C. 4. a) e ( sin cos ) b) e ( cos+ sin) C ) + +C ; + ; c) ( sin lncos ) 4+ ln + + C; ( sin ln ) + C ; (cos( ln ) + sin ( ln ) + C; e) ( ) cos ( ln ) f) e sin + cos + C. 5. a) ln sin cotg+ C ; 5 0 b) tg ( ln ( cos ) ) arcsin + +C; c) arctg ( ) ln ( 4 0) +C ; e) ( ln ln 6ln 6) Kontrolní test + + + + + C 4 ; + + C ; f) e + C. +. Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = a výsledný integrál je a) v ( ) = sin, b) v ( )= sincos, I = cos + sin + C. 4 8 c) v( ) = sin, v ( ) = sin.. Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = a výsledný integrál je I = ln ln + + C. a) v ( ) = ln, b) v ( ) = ln, c) v ( ) = ln, v ( ) = ln.. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu a) u =, v= arctg, b) u = arctg, v=, c) u =, v = arctg. u = arctg, v= 4. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu a), u = v= e, b) arctg d? d? e, u = v= e, c), e u = v=, u =, v= e. - 6 -
5. Vypočtěte neurčitý integrál d. cos a) cotg ln sin +C, b) tg + ln cos + C, c) tg ln cos 6. Vypočtěte neurčitý integrál + C, cotg + ln sin + C. ln cos d sin. a) cotg ln cos + C, b) cotg ln cos + + C, c) cotg ln cos + C, cotg ln cos + + C. 7. Vypočtěte neurčitý integrál a) b) c) ( )sind. ( + )cos ( )sin+ cos+c, 4 ( )cos ( )sin+ cos+ C, ( + )cos + ( )sin cos+ C, ( + )cos + ( )sin+ cos+c. 4 8. Čemu se rovná neurčitý integrál d? a) + C, b) ( ) + C, ln ln ln ln c) ln+ C, + + C. ln ln 9. Čemu se rovná neurčitý integrál ln( d )? a) c) ln( ) ( + ) +C, b).. Integrace metodou per partes ln( ) + ( + ) + C, + + C, ln( ) ln( ) ( ) + + C. - 7 -
.. Integrace metodou per partes 0. Čemu se rovná neurčitý integrál e sin d? a) e (sin + cos ) +C, b) e (sin cos ) + C, 5 5 c) e (sin cos ) +C, e (cos + sin ) + C. 5 Výsledky testu. b);. ;. a); 4. c); 5.b); 6. a); 7. ; 8. b); 9. a); 0. b). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu. znovu a propočítat další úlohy k samostatnému řešení. Shrnutí lekce Pro integraci součinu dvou funkcí f ( ) g( ) nelze nalézt obecnou formuli (na rozdíl od derivování součinu funkcí). Při integraci součinu funkce a derivace jiné funkce lze často užít metodu per partes (po částech). Nejčastěji je tato metoda využívána při výpočtu integrálů typu P ( ) f( d ), kde P ( ) je polynomická funkce (může být i P ( ) = ) a f ( ) je trigonometrická, eponenciální, logaritmická nebo cyklometrická funkce. Metoda bude úspěšná, pokud zbývající integrál bude jednodušší než integrál původní. - 8 -