Algoritmy a rasterizace 2D grafických objektů

Transkript

1 Algorimy a raserizace D graficých objeů Algorihms and raserizaion of D graphical objecs Jan Sečař Baalářsá práce 007

2 *** nascannované zadání sr. ***

3 *** nascannované zadání sr. ***

4 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, ABSTRAKT Tao Baalářsá práce se zabývá algorimy pro raserizaci záladních geomericých primiiv a paramericých polynomiálních řive. Teoreicá čás obsahuje něoli vybraných raserizačních algorimů s jejich sručným popisem. raicou čásí je program vyvořený v prosředí Java, erý využívá eorie ěcho algorimů a názorně předvádí jejich využií včeně průběžných výpočů. Teno program bude slouži jao pomůca předměu očíačová grafia. Klíčová slova: raserizace, úseča, ružnice, elipsa, řiva ABSTRACT This Bachelor hesis is engaged in raserizaion algorihms of basic geomeric primiives and parameric polynomials curves. Theoreic par is composed of some sampled raserizaing algorihms wih a brief descripion. racical par is represened by a program creaed in Java environmen wich uses heory of hese algorihms and illusraes heir usage including heir parallel calculaion. Keywords: raserizaion, vecor, circle, ellipse, curve

5 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, Rád bych ímo poděoval vedoucímu práce panu Ing. avlu oornému, h.d. za odborný dohled, rady a čas věnovaný éo práci. Dále bych chěl poděova celé rodině za podporu při sudiích a všem, eří ve mně vzbudili ouhu objevova. rohlašuji, že jsem na baalářsé práci pracoval samosaně a použiou lierauru jsem cioval. V případě publiace výsledů, je-li o uvolněno na záladě licenční smlouvy, budu uveden jao spoluauor. Ve Zlíně. odpis diplomana

6 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, OBSAH ÚVOD... 8 I TEORETICKÁ ČÁST... 9 JEDNODUCHÉ OBJEKTY ÚSEČKA Raserizace úsečy DDA algorimus..... Bresenhamův algorimus.... KRUŽNICE..... Raserizace ružnice..... Bresenhamův algorimus ELISA Bresenhamův algorimus... 6 KŘIVKY KŘIVKY INTEROLAČNÍ Inerpolace jediným polynomem Inerpolace po čásech Fergusonovy ubiy KŘIVKY AROXIMAČNÍ..... Beziérovy ubiy... JAVA ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI NEVÝHODY JAZYKA JAVA ECLISE... 8 II RAKTICKÁ ČÁST ROGRAMOVÁ ČÁST STRUKTURA ROGRAMU OIS JEDNOTLIVÝCH TŘÍD Raserize Canvas InInpu Wrier Scene IRaserizer IRaserizerDeail RaserizerBasicCircle RaserizerBezier RaserizerBresenhamCircle RaserizerBresenhamEllipse RaserizerBresenhamLine... 6

7 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, RaserizerDDALine RaserizerFerguson UŽIVATELSKÉ ROZHRANÍ ARAMETRY OVLÁDÁNÍ... 9 ZÁVĚR CONCLUSION... 4 SEZNAM OUŽITÉ LITERATURY... 4 SEZNAM OBRÁZKŮ... 4 SEZNAM ŘÍLOH... 44

8 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, ÚVOD Jedním z velých problémů počíačové vědy je vsup da. V podsaě exisují dva způsoby, ja je možné daa zadáva. rvním způsobem je generování da přímo pomocí počíače. Druhým způsobem je vládání da uživaelem za pomocí určiého vsupního zařízení. Druhý způsob je dos náročný, proo je vyvíjeno velé úsilí pro zjednodušení a zefeivnění éo činnosi. S ímo problémem se nejvíce seáváme v počíačové grafice. ro věšinu prováděných operací s objey v počíači je nuné jejich přesné vymezení. Objey v počíačové grafice jsou věšinou množiny bodů, eré jsou omezeny plochami, v rovině řivami. Je edy přirozeným požadavem zjednoduši vsup právě řive a ploch. Křivy a plochy jsou nejlépe reprezenovány funcemi a y je problemaicé zadáva. roo jsou vyvíjeny meody, eré umožní uživaeli co nejjednodušeji zada požadovanou řivu, nebo plochu, a o poud možno a, aby bylo možné odhadnou její var. Uživael má obyčejně za úol zada jen něoli řídicích bodů a maemaicý apará se o vyvoření řivy posará sám. Cílem éo práce je popsa a podrobně vysvěli funci maemaicých aparáů pro sesrojování řive v rovině a následného využií poznaů ve vyvořené apliaci, erá názorně předvede vybrané echniy raserizace řive a jednoduchých objeů.

9 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, I. TEORETICKÁ ČÁST

10 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, JEDNODUCHÉ OBJEKTY Mezi jednoduché graficé prvy paří úseča, ružnice a elipsa. Do éo aegorie se aéž řadí lomené čáry. I dyž jsou lomené čáry hojně využívány, nejsou zde podrobněji rozebírány, proože se v podsaě jedná o spojení více úseče. Taéž sem paří ruhový a elipicý oblou. Tyo jednoduché objey je možné reprezenova v podsaě dvěma způsoby. rvním je veorové vyjádření, de je aždý var určen výčem všech bodů a spojením mezi nimi. Tao forma zobrazení může bý zobrazována napřílad na veorových reslících zařízeních, nebo převedena pomocí algorimů do rasrové podoby. Touo procedurou zísáme druhý způsob zobrazení - zobrazení rasrové. Tím je posloupnos pixelů, eré předsavují požadovaný graficý prve. Too zobrazení využívají napřílad moniory a isárny. V podsaě se jedná o proces určování barev a pozic jednolivých bodů rasru v maici, na záladě veorového popisu objeu. Napřílad máme souřadnice začáu a once čáry. Raserizací ji převedeme na mnoho barevných samosaných bodů v barevné mřížce obrázu.. Úseča Úseča je nejjednodušší graficý prve. V analyicé geomerii obsahuje úseča neonečně mnoho bodů. Na rasrovém monioru se vša sládá z onečného poču bodů, eré zísáme raserizací. Navzdory omu, že je poměrně jednoduchá, její raserizaci je věnována velá pozornos. omocí úseče se oiž vyreslují složiější graficé objey, a proo se snažíme vyreslova úseču v co možná nejraším čase a přiom s nejvěší možnou přesnosí... Raserizace úsečy Raserizace úsečy je založený na vzorovaní s onsanním roem podle osy x a nebo podle osy y. To závisí na slonu úsečy reprezenovaného směrnicí m, erá se vypoče podle vzorce m = y y y =. () x x x

11 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 oud je výsledná směrnice m <, poom má úseča slon ose x menší ja 45 supňů, a proo vzorujeme podle osy x s roem pixel. Jesliže je m >, vzorujeme podle osy y. Úseču, jejíž výsledná směrnice m = nazýváme diagonálou. Tu je možné vzorova podle libovolné osy. Osu, podle eré vzorujeme, nazýváme řídící (hlavní) osou. Druhou osu nazveme osou vedlejší. [0] Obr. : Velios směrnice m pro různé slony úsečy.. DDA algorimus Jina aé známý jao jednoduchý přírůsový algorimus. Je jedním z prvních v grafice použiých algorimů. Je založen na opaovaném výpoču souřadnic, při němž nové souřadnice závisí na souřadnicích předcházejícího bodu. ři aždém výpoču je přičíán onsanní přírůse řídící ose, vůli vzorování se věšinou jedná o, ose vedlejší je přičíán přírůse neceločíselný. Ten je roven hodnoě m v případě že hlavní osou je osa x a hodnoě poud je hlavní osou y. roože je možné vyreslova pouze celé hodnoy, je m pořeba uo hodnou před aždým vyreslením zaorouhli. Výpoče probíhá až do dosažení oncového bodu úsečy. Z paramericého popisu úsečy x = x + x, () y = y + y, ()

12 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 je možné odvodi pro osu x ierační zápis erý se provede pro x + = x+, (4) y + = y+ m, (5) x roů. ro osu y jsou vzorce obdobné... Bresenhamův algorimus V DDA algorimu byli použia i reálná čísla, erá se před vyreslením zaorouhlovala. omocí Bresenhamova algorimu lze výpoče provés jen pomocí celočíselných operací a díy omu je algorimus výpočeně efeivnější. Celý algorimus spočívá v hledání nejblíže ležících bodů e suečné úsečce pouze pomocí celočíselné arimeiy. Ve směru hlavní osy je pozice následujícího bodu inremenována opě s roem, ale ve směru vedlejší osy se vypočíává chybový člen a podle něj se určuje pixel, erý je blíže úsečce a erý bude vyreslen. Z oho plyne, že následující pixel může bý na pozici ( x +, y ), nebo (, + y+ ) x. Obr. : Výběr pixelu na záladě veliosi odchyly pro řídící osu x ro výpoče odchyly hodnoy e y od reálné hodnoy y je dán vzah y y y x ( x + ) + y y = = 0. (6) ro výpoče odchyly hodnoy y + od reálné hodnoy y e y + ( x + ) 0. (7) x = y y = y+ + y Na záladě ěcho výpočů je možné rozhodnou o poloze nového bodu. oud e > e bude nová souřadnice y +, jina y.

13 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 ro rychlejší výpoče je odvozena rovnice y e e = ( x + ) y + y0. (8) x Vzorec (8) používá pro výpoče reálná čísla. o úpravě do varu (9) lze výpoče provés pomocí celých čísel. Tím je výpoče zjednodušen. ( e e ) = y x x y + ( x y x) = x 0 (9) ro výpoče následujícího bodu je vzorec upraven do varu ( x x ) x ( y y ) + = y + +. (0) Opaovaným výpočem jsou z éo rovnice zísány hodnoy pro aždý další bod z předcházejícího výpoču. odle znaména rozhodovacího členu bodu podle pravidel se určí poloha dalšího 0 + = + y, y + = y, () > 0 + = + y x, y = y. () + + Uvedený posup raserizuje pouze úsečy jejichž směrnice je ladná a menší než jedna. roo před provedením algorimu je nejprve řeba rozhodnou, erá osa je řídící a podle oho vybra algorimus určený pro danou směrnici.. Kružnice V eulidovsé geomerii je ružnice množina všech bodů v rovině, eré leží ve sejné vzdálenosi označované jao poloměr, od pevně daného bodu zvaného sřed. Kružnice jsou jednoduché uzavřené řivy. Kružnice bývá nejčasěji zadána svým sředem [x,y] a poloměrem r, ale aé napřílad pomocí polárních souřadnic, nebo paramericy... Raserizace ružnice Raserizace ružnice se věšinou provádí pro ružnici se sředem v počáu souřadného sysému a po sončení výpočů je posunua na souřadnice zadaného sředu. Raserizace se provádí pouze pro jednu osminu ružnice (jeden oan), zbye není řeba počía díy symeričnosi ružnice. ři raserizaci ružnice můžeme využí meod pro resbu úsečy a

14 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, nahradi ružnici lomenou čarou. Teno posup je vša nepřesný, na druhou sranu velmi rychlý. Obr. : Symericé rozdělení ružnice Další možnosí raserizace ružnice je raserizace pomocí polárních souřadnic. x = xc + r cosα () y = yc + r sinα (4) Úhel α nabývá hodno od 0 do 4 π. ři onsanním rou změny budou body rozložené na ružnici rovnoměrně. Teno ro by měl bý roven hodnoě, dy se body liší o jeden r pixel. Zbylých 7 oanů se zísá změnou znaména nebo přehozením souřadnic zísaných bodů, ja je parné z Obr.. Tyo meody jsou vša značně neefeivní a výpočeně náročné, proože používají násobení a rigonomericé výpočy... Bresenhamův algorimus Bresenhamův algorimus pro raserizaci úsečy je s určiými změnami možné apliova i na raserizaci ružnici. V lierauře je nazýván aé jao midpoin algorihm.

15 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, Opě se zde vybírá bod s nejmenší odchylou od reálné polohy ružnice pomocí rozhodovacího členu, erý vypočeme z rovnice = ( x + ) + y r. (5) oud je znaméno u záporné bude následující bod vyreslen na sejné souřadnici y, v opačném případě bude souřadnice nového bodu y. ři omo výpoču uvažujeme oan v úseu od x = 0 do x= y. Obr. 4: Výběr pixelu ružnice na záladě veliosi odchyly odobně jao při raserizaci úsečy jde o ierační algorimus, a proo se poloha bodu počíá na záladě bodu předcházejícího. Vzorec je edy upraven do varu + = + x + + y + y+. (6) o výpoču zjisíme podle znaména polohu následujícího pixelu pomocí riérií 0 + = + x +, y + = y, (7) > 0 + = + x + 5 y, y = y. (8) + + Teno algorimus je možné apliova i na ruhovou výseč. U ohoo výpoču se pouze mění rozmezí výpoču podle zadané výseče.

16 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, Elipsa Elipsa je uzavřená řiva v rovině. Všechny body elipsy mají sejný souče vzdálenosí od dvou pevně zvolených bodů, eré se nazývají ohnisa. Úseču spojující libovolný bod na elipse s ohnisem nazýváme průvodič. Spojíme-li ohnisa úsečou, v jejich sředu je sřed elipsy. Nejdelší spojnice sředu elipsy a bodu na elipse se nazývá hlavní poloosa. Nejraší aová spojnice je vedlejší poloosa... Bresenhamův algorimus Raserizaci elipsy, sejně jao u ružnice, je nejjednodušší provádě se sředem v počáu souřadného sysému a po provedení výpočů posunou na zadaný sřed elipsy [ x c, y c ]. Sejně jao u ružnice se raserizaci elipsy nejčasěji používá Bresenhamův algorimus s rozhodovacím riériem. Výpoče bodů musí bý proveden pro celý jeden vadran. Zbylé body dopočíáme na záladě symerie elipsy. Impliciní rovnice elipsy se sředem v počáu je ( x, y) = b x + a y a b = 0 F. (9) Obr. 5 Změna řídící osy při raserizaci elipsy ři raserizaci jednoho vadranu elipsy dochází e změně řídící osy. V bodě ve erém dojde e změně má ečna elipsy směrnici -. [0] Teno bod se po vyjádření z rovnice elipsy nachází na souřadnicích, eré se vypočíají podle vzahu

17 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, , b a b b a a. (0) O rozhodovacím členu se rozhodne na záladě následujících pravidel. Ty plaí pro řídící osu x. ( ) = + x b () ( ) y a x b = > + () ro řídící osu y a druhou čás algorimu jsou vzahy pro výpoče podobné.

18 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, KŘIVKY Křivy jsou obyčejně v počíači reprezenovány jao sousava paramerů rovnice, erá je posléze generaivně zobrazována. Too vyjádření může bý v podsaě rojího druhu: expliciní, impliciní, nebo paramericé. Křivy, eré posyují dosaečně široou šálu varů jsou řivy řeího supně (ubiy). Tyo řivy jsou aé nejčasěji využívány. Jsou jednoduše manipulovaelné a je možné u nich zaruči azvanou spojios ěcho řive bývá nenáročný. C, erá vyváří plynulou návaznos řive. Výpoče Modelování probíhá u věšiny řive a, že pomocí maemaicého aparáu se určí průběh řivy z polohy předem definovaných řídicích bodů, nebo ečných veorů. Exisují dva záladní druhy inerpreace řídicích bodů a o inerpolace a aproximace.. Křivy inerpolační Inerpolační řiva dané množině bodů je aová řiva, erá jimi prochází. Obr. 6 Inerpolační řiva

19 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, Inerpolace jediným polynomem Nejčasější inerpolační echniou je inerpolace polynomem, a o bud' jediným polynomem n - řádu pro n bodů, nebo po čásech. [9] Inerpolace polynomem n - řádu znamená nají řešení rovnic a an xi y i = xi. () an ann x n i Jao vsupní paramery éo rovnice jsou body, jimiž má řiva procháze a jejím řešením jsou paramery maice a ii. osupně se do výrazu dosazují body, jimiž má řiva procháze a z nich se zísá sousava rovnic. Nevýhodou polynomiální inerpolace je, že při polynomech vyššího řádu mohou u řivy vznia nepřirozené vlnění, a proo bývá polynomiální inerpolace používána pro řivy maximálně páého supně... Inerpolace po čásech Časější inerpolační echniou je inerpolace řivy po čásech. Aproximací polynomem řeího řádu poom rozumíme aproximaci jejích aždých čyř bodů polynomem řeího supně. Tímo vša vzniá problém návaznosi řive v mísě jejich propojení. Exisují vša meody, pomocí erých je řešena návaznos v ěcho bodech auomaicy. Inerpolační meody nejsou pro výše uvedené nevýhody příliš časo v počíačové grafice využívány. Tyo meody nacházejí uplanění v numericé maemaice a v maemaicé saisice, de se na záladě inerpolací usuzuje na poenciální chování nějaých jevů v budoucnu (poom se hovoří o exrapolaci). [9] Tyo meody byly z ěcho oborů aé původně odvozeny.

20 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, Fergusonovy ubiy Rou 964 používal J. C. Ferguson meodu pro generování řive, erá je řízena dvěma body a směrovými veory. Krajní body jsou významné pro pozici řivy, proože jimi řiva prochází. Veory pa určují míru vylenuí řivy. Čím je velios veoru věší, ím více se němu řiva přimyá. Obr. 7 řílad Fergusonových ubi Křiva je zadána body 0, l a veory ' 0, '. Rovnice výsledné řivy má var ' ' ( ) F ( ) + F ( ) + F ( ) F ( ) =, (4) de F, F, F, F 4 jsou ubicé Hermiovsé polynomy varu F F F F ( ) = ( ) = + ( ) = ( ) =. 4 +,, +, (5) a hodnoa nabývá hodno z inervalu 0,. oud položíme = 0 je ( 0) = 0. Analogicy pro = je ( ) =. To je důaz že řiva prochází rajními body. Zderivujeme-li () podle a dosadíme = 0 a =, vyplyne, že: ' 0 ' ( 0) = a ' ' ( ) =. Tečné veory v rajních bodech výsledné řivy jsou idenicé s ěmi, eré zadal uživael.

21 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 Maicový zápis: 0 ( ) Q = T ' (6) ' Obr. 8 - Hermiovsé polynomy () je ubiou, neboť z rovnic (4) a (5) plyne, že se jedná o souče polynomů supně maximálně ři. ' ' oložíme-li 0 = = 0, aproximujeme ouo meodou úseču. Spojios při navazování oblouů je zaručena, v případě že je roven poslední bod předchozího oblouu prvnímu bodu oblouu následujícího. Spojios poud jsou veliosi veorů ' předchozího a 0 ' následujícího oblouu shodné. C je zaručena,. Křivy aproximační Aproximací bodů rozumíme vyvoření aové řivy, erá je ěmio body vhodně řízena. Není laden požadave na procházení opěrnými body a doonce ani prvním a posledním bodem. V podsa exisují dva pohledy na aproximaci. [9]

22 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 Z maemaiy je znám první. Jeho cílem je smysluplná inerpreace vsupních da. Druhý je používán v počíačové grafice. Jeho účelem je generování řivy požadovaného varu. Křiva může bý řízena body, nebo veory. oud se jedná o body poom můžeme hovoři o řídicím polygonu. odle algorimu, erým je řiva vyvořena jsou zaručeny její vlasnosi. Záladní požadované vlasnosi jsou: hlados, spojios a poče inflexí. Obr. 9 Aproximační řiva V počíačové grafice se nejčasěji používá aproximace řivy po čásech, eré jsou generovány pomocí polynomů řeího řádu (ubiy). Kubiy jsou dosaečně flexibilní, a proo se jimi dá vyjádři éměř vše, co je v praxi pořeba. Velmi důležiou vlasnosí ubi je, že supeň polynomu ři je výpočeně nenáročný a díy omu je možné yo řivy vyváře ineraivně. aramericy lze danou ubiu Q() vyjádři ve varu ( ) ( ) ( ). x x x x y y y y x x x x d c b a z d c b a y d c b a x = = = = (7) Zráceně můžeme zapsa v maicovém varu ( ) [ ] z y x z y x z y x c c c b b b a a a TC Q,,, = =. (8)

23 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 Derivaci q ' ( ) zísáme derivací veoru T Konsanní maici C můžeme rozepsa do součinu d d q ( ) ( ) TC [ ' = q = =,,, 0]C. (9) d d C= MG, (0) de maice M je ypu 4x4 a nazývá se bázová maice. Čyřprvový veor G se nazývá geomericý veor. Geomericý veor reprezenuje vliv vnějších paramerů. Obsahuje řídicí body, nebo řídicí body a ečné veory ap. Bázová maice, erá je dána použiou meodou,pa určuje výpoče řivy podle vzahu [ ] [,,,] ( ) x( ), y( ), z( ) 4 =. () Q = m m m m 4 m m m m 4 m m m m 4 m m m m G G G G 4.. Beziérovy ubiy Beziérovy řivy paří v počíačové grafice mezi jedny z nejpoužívanějších ypů paramericých řive. Jeliož manipulace s veory u Fergusonových ubi je poměrně nenázorná, je Beziérova meoda podsaně populárnější. Beziérovy řivy supně dvě a ři, j. vadriy a ubiy, jsou použiy v mnoha apliacích a echnologiích, napřílad v osscripu a posscripových fonech, TrueType fonech, formáech apliace Corel Draw, Adobe Illusraor apod. Beziérovy ubiy jsou zadány pomocí čyř řídících bodů. Křiva přiom prochází prvním a posledním řídícím bodem, druhý a řeí bod určují vylenuí řivy. Křiva edy druhým a řeím řídícím bodem obecně neprochází.

24 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, Obr. 0 řílad Bezpérových ubi Mezi hlavní výhody Beziérových ubi paří jejich inuiivní zadávání a snadné hladé navazování řive na sebe. Taé výpoče bodů, eré leží na řivce, je velmi jednoduchý a rychlý. omocí Beziérových ubi vša nelze přesně modelova uželosečy, zejména ruh a elipsu, což omezuje použií ěcho řive. Taé nelze obecné Beziérově ubice vyvoři offseovou řivu (j. řivu, erá se od zadané řivy nachází v určié vzdálenosi). Beziérova ubia je určena vzahem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = i i i B B B B B, () de nabývá hodno z inervalu, 0 a B 0, B, B, B jsou ubicé polynomy varu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,, 0 B B B B = = = = () Maicový zápis: ( ) = T Q (4)

25 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, Obr. - Kubicé Bernseinovy polynomy oložíme-li = 0 a dosadíme do vzahu (), je ( 0) = 0, analogicy pro = je ( ) =. Křiva edy opě prochází rajními body. Zderivujme () a dosaneme Dosazením do ohoo vzahu za = 0 a = vyplyne, že ' ' ( ) = i B i ( ). (5) i= 0 ' ' ( 0) = ( 0 ) ( ) = ( ), (6) Tečné veory mají vždy směr spojnice dvojice rajních bodů a velios mají rovnu rojnásobu vzdálenosi bodů.

26 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, JAVA Java je objeově orienovaný programovací jazy, erý vyvinula firma Sun Microsysems. Byl předsaven. věna 995. Java je jedním z nejpoužívanějších programovacích jazyů na svěě. Díy své přenosielnosi je používán pro programy, eré mají pracova na různých sysémech počínaje čipovými arami, přes mobilní elefony a různá zabudovaná zařízení, apliace pro desop počíače až po rozsáhlé disribuované sysémy pracující na řadě spolupracujících počíačů rozprosřené po celém svěě. Tyo echnologie se jao cele nazývají plaforma Java. [7]. Záladní vlasnosi jednoduchý jeho synaxe je zjednodušenou verzí synaxe jazya C a C++. Odpadla věšina onsrucí, eré způsobovaly programáorům problémy a na druhou sranu přibyla řada užiečných rozšíření. objeově orienovaný s výjimou osmi primiivních daových ypů jsou všechny osaní daové ypy objeové. disribuovaný je navržen pro podporu apliací v síi (podporuje různé úrovně síťového spojení, práce se vzdálenými soubory, umožňuje vyváře disribuované liensé apliace a servery). inerpreovaný míso suečného srojového ódu se vyváří pouze zv. meziód. Teno formá je nezávislý na archieuře počíače nebo zařízení. rogram pa může pracova na libovolném počíači nebo zařízení, erý má dispozici inerpreer Javy, zv. viruální sroj Javy (Java Virual Machina). V pozdějších verzích Javy nebyl meziód přímo inerpreován, ale před prvním svým provedením dynamicy zompilovány do daného srojového ódu. Tao vlasnos zásadním způsobem zrychlila provádění programů v Javě ale výrazně zpomalila sar programů. V současnosi se převážně používají echnologie zvané HoSpo compiler, eré meziód zpočáu inerpreují a na záladě saisi zísaných z éo inerpreace později provedou přelad časo používaných čásí do srojového ódu včeně dalších dynamicých opimalizací.

27 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, robusní je určen pro psaní vysoce spolehlivého sofwaru z ohoo důvodu neumožňuje něeré programáorsé onsruce, eré bývají časou příčinou chyb. Vešeré používané proměnné musí mí definovaný svůj daový yp. Správa paměi je realizována pomocí Garbage collecoru erý auomaicy vyhledává již nepoužívané čási paměi a uvolňuje je pro další použií. To bylo v prvních verzích opě příčinou pomalejšího běhu programů. V posledních verzích běhových prosředí je díy novým algorimům pro garbage collecion a zv. generační správě eno problém ze značné čási eliminován. bezpečný má vlasnosi, eré chrání počíač v síťovém prosředí, na erém je program zpracováván, před nebezpečnými operacemi nebo napadením vlasního operačního sysému nepřáelsým ódem. nezávislý na archieuře vyvořená apliace běží na libovolném operačním sysému nebo libovolné archieuře. Ke spušění programu je pořeba pouze o, aby byl na dané plaformě insalován správný viruální sroj. odle onréní plaformy se může přizpůsobi vzhled a chování apliace. přenosielný vedle zmíněné nezávislosi na archieuře je jazy nezávislý i co se ýá vlasnosí záladních daových ypů. řenosielnosí se vša myslí pouze přenášení v rámci jedné plaformy Javy. ři přenášení mezi plaformami Javy je řeba dá pozor na o, že plaforma určená pro jednodušší zařízení nemusí podporova všechny funce dosupné na plaformě pro složiější zařízení a romě oho může definova něeré vlasní řídy doplňující nějaou speciální funčnos nebo nahrazující řídy vyšší plaformy, eré jsou pro nižší plaformu příliš ompliované. výonný přesože se jedná o jazy inerpreovaný, není zráa výonu významná, neboť přeladače pracují v režimu pomocí erého se přeládá jen en ód, erý je opravdu zapořebí. víceúlohový podporuje zpracování vícevlánových apliací dynamicý Java byla navržena pro nasazení ve vyvíjejícím se prosředí. Knihovna může bý dynamicy za chodu rozšiřována o nové řídy a funce, a o ja z exerních zdrojů, a vlasním programem.

28 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, eleganní velice pěně se v něm pracuje, je snadno čielný, přímo vyžaduje ošeření výjime a ypovou onrolu.. Nevýhody jazya Java roi programovacím jazyům, eré provádějí zv. saicou ompilaci (např. C++), je sar programů psaných v Javě pomalejší, proože prosředí musí program nejprve přeloži a poom eprve spusi. Je vša možnos využí mechanismů JIT a HoSpo, dy se časo prováděné nebo neefeivní čási ódu přeloží do srojového ódu a program se zrychlí. Na zrychlení se aé podílí nové přísupy e správě paměi, viz výše popsaná generační správa paměi. Další nevýhodou projevující se hlavně u jednodušších programů je věší paměťová náročnos při běhu způsobená nunosí mí v paměi celé běhové prosředí.. Eclipse Eclipse je open source vývojová plaforma, erá je známa jao vývojové prosředí určené pro programování v jazyce Java. Flexibilní návrh éo plaformy dovoluje rozšíři seznam podporovaných programovacích jazyů za pomoci pluginů, napřílad o C++ nebo H. roje Eclipse spusila firma IBM a spravuje jej Eclipse Foundaion. ro účely ohoo projeu se mimo jiné vyvořil graficý framewor SWT, náhrada za AWT/Swing. Díy SWT je Eclipse, co do vzhledu a chování, sejný jao naivní apliace operačního sysému. Nevýhodou SWT, a udíž Eclipse, předsavuje plaformová závislos graficého rozhraní. ro aždý cílový operační sysém je proo nuné sáhnou rozdílnou verzi insalačního archivu. []

29 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, II. RAKTICKÁ ČÁST

30 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, ROGRAMOVÁ ČÁST raicá čás éo práce je vořena programem, erý využívá výše popsané algorimy v praxi. ro vyvoření programu byl zvolen programovací jazy Java a vývojové prosředí Elipse. 4. Sruura programu Byla vyvořena sruura programu, ve eré jsou jednolivé raserizační algorimy odděleny od hlavní čási programu. Rozhraní IRazserizer implemenují všechny raserizační řídy. Too rozhraní obsahuje všechny funce, eré jsou pořebné pro raserizaci uvedených jednoduchých objeů. ro raserizaci řive je od rozhraní IRaserizer odvozeno rozhraní ICurveRaserizer, eré zahrnuje další funce, eré raserizace řive vyžadují. Hlavní čás programu je vořena řídou Raserize a pomocnými řídami Canvas, InInpu a Wrier. Dále program obsahuje řídu Scene vyvořenou pro obsluhu uládání a opěovné načíání připravených scén pomoci funcí save() a load(). Aby bylo možné uláda proměnné ypu oin, byla upraveny řídy DaaInpuSream a DaaOupuSream, eré byly odvozeny od sandardních říd ObjecInpuSream a ObjecOupuSream. 4. opis jednolivých říd 4.. Raserize Ja již bylo uvedeno, ao řída je řídou hlavní. Slouží pro vyvoření hlavního ona, plochy pro daa, plána pro raserizaci a ovládací prvy. Dále obsahuje dva časovače. rvní slouží pro přereslování scény. omocí druhého je docíleno zpomalení průběhu raserizačních algorimů. Taé jsou v ní ošeřeny ace provedené uživaelem a spoušění jednolivých algorimů. 4.. Canvas Třída Canvas slouží pro obsluhu graficého výsupu programu. Obsahuje funce pro vyreslení mřížy a osového říže, dále funce pro přepoče souřadnic zadaných a

31 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 vyreslovaných bodů a hlavně funci zabezpečující vyreslování všech vypočených bodů. Tyo body jsou uloženy ve veoru a jsou posupně vyreslovány jao čverce reprezenující pixely. Jejich velios je určena veliosí mřížy (size). 4.. InInpu Slouží pro vyváření vsupního ona, pomocí erého jsou nasavovány různé číselné paramery programu. aramery jsou omezeny minimální a maximální hodnoou aby nedocházelo nežádoucím savům. ři vyváření je zadán popis ona, původní hodnoa a maximální a minimální hodnoa. oud je slačeno lačío OK návraová hodnoa je rovna číslu zadanému v exovém poli. ři jaémoliv jiném způsobu zavření ona hodí funce geininpu() výjimu, erá informuje program o zrušení operace. Je-li zadán zna, nebo číslo mimo daný rozsah, vypíše se chybová zpráva s maximální a minimální hodnoou zadávané proměnné Wrier omocí řídy Wrier je obsluhován daový výsup programu. Díy podpoře hml a css v objeech JTexane je použio pro formáování výsupu asádových sylů. V proměnné begintex jsou uložený syly, eré nasavují vzhled zobrazovaných da. Velios písma je implicině nasavena v proměnné fonsize na velios 0. Tuo velios lze v průběhu měni pomocí ona InInpu, eré je voláno ze řídy Raserize Scene Třída Scene je vyvořena pro uládání a načíání scén vyvořených v omo programu. ro eno účel obsahuje funce save() a load(). ři uládání je pomocí omponeny JFileChooser vybrán, popřípadě vyvořen soubor do erého jsou následně uloženy paramery scény (zoom, rychlos animace ap.) a insance vyvořené raserizační řídy pomocí serializace. Uloženy jsou pouze pořebné daa pro vyvoření objeu. Daa jsou uládána v pevně daném pořadí. Načíání aé využívá JFileChooser pro výběr souboru. oé jsou ve sejném pořadí v jaém byla daa uložena ze souboru načíána a přiřazována hodnoám scény. Naonec

32 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 jsou zavolány funce pro smazání exu (cleartex()), všech bodu (poins.clear()) a pro výpoče záladních paramerů načeného objeu IRaserizer Tao řída slouží jao rozhraní (inerface) pro raserizační algorimy, aby bylo dosaženo jednoného sylu realizace raserizačních algorimů a aé z důvodu jednodušší implemenace ěcho algorimů do programu. Třída obsahuje funce: add(oin p) o přidává pozice body pořebné pro sesrojení daného objeu o je volána řídou Raserize při linuí na pláno (Canvas), poud je poče zadaných bodů menší než je pořebný poče bodu pro sesrojení daného objeu draw(graphics g) o vyresluje daný obje o je volána funcí pain(graphics g) při přereslování scény raserizemain() o vypoče a vypíše inicializační hodnoy daného algorimu o proběhne pouze poud je zadán pořebný poče bodů, poud je raserizace resarována, nebo poud je načena scéna raserizenex() o vypoče další bod objeu, poud nebyla raserizace doončena o funce provede výpoče dalšího bodu poud je slačeno lačío sep o při animaci je funce prováděna auomaicy po daných časových inervalech časovače

33 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, 007 raserizeresar() o smaže všechny vypočené body objeu a vypoče inicializační hodnoy algorimu o je vyonána po slačení lačía resar, po ediaci zadaných bodů vyvořeného objeu a při načení scény isenerfinished() o vrací hodnou proměnné enerfinished, erá určuje zda byly zadány všechny body objeu gemaxoincoun() o vrací poče pořebných bodů pro sesrojení daného objeu geoin(in i) o vrací bod z pole uživaelem zadaných bodů o je užívána při ediaci vyvořených objeů semouseselecedoin (in i) o nasavuje index vybraného bodu do proměnné mouseselecedoin pomocí erého se provádí ediace objeu gemouseselecedoin () o vrací hodnou bodu erý uživael vybral pro ediaci o poud má zápornou hodnou nebyl vybrán žádný bod moveoin (oin p) o posune bod erý je určen proměnnou mouseselecedoin na nově určenou pozici podle riérií, erá jsou určena pro aždý obje 4..7 IRaserizerDeail Too rozhraní je pouze rozšířením rozhraní IRaserizer o funce eré jsou využívány raserizaci řive. Jedná se o funce sesep(in i) a gesep(), pomocí erých je

34 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, nasavována a zísávána úroveň rozdělení řivy (sep). Jedná se o poče příme, na eré je daná řiva inerpolována RaserizerBasicCircle Třída slouží raserizaci ružnice pomocí polárních souřadnic. ro sesrojení ružnice a následnou raserizaci je pořeba zada dva body. rvní bod určuje polohu sředu, pomocí druhého bodu je vypočíán poloměr. oud jsou všechny body zadány je zavolána funce raserizemain(), erá vypoče poloměr r. omocí poloměru je určen ro (sep). Je nasavena pomocná proměnná a, erá slouží jao paramer rovnic. Dále jsou vypsány záladní vzahy pro eno yp raserizace a pomocí vzorců () a (4) eré jsou uvedeny v eoreicé čási je vypočen první bod. Teno bod je osmrá přidán do veoru vyreslovaných bodů, poaždé vša se změněnými znamény, proože u ružnice je vypočíáván pouze jeden oan a další jsou odvozeny. Funce raserizenex() pa při volání vypočíává a vypisuje další body ružnice doud π a <. Každý vypočený bod je použi osmrá, poaždé pro jiný oan RaserizerBezier Tao řída využívá algorimu pro Beziérovi ubiy. ro vyvoření Beziérovi ubiy jsou pořebné čyři body pomocí erých je řiva sesrojena. Raserizace je zde rozdělena do dvou hlavních čásí. V první čási jsou vypočíávány přímy, eré inerpolují zadanou řivu. Tyo přímy jsou poé raserizovány pomocí Bresenhamova algorimu pro úseču, erý voří druhou čás. rovedením funce raserizemain() je nasavena pomocná proměnná acualsep na velios rou, erý může bý uživaelsy změněn. omocí ohoo rou je vypočena první příma. Jao první bod je nasaven bod poins[0], druhý bod přímy je vypočen pomocí vzorců () a (). Tyo vzorce jsou aé vypsány do panelu daa. roměnné linefinished a lineseup jsou nasaveny na hodnou false. Hodnoa proměnné linefinished určuje zda má bý vypočena další úseča. roměnná lineseup udává zda pro danou přímu byla provedena inicializace pomocí funce raserizelinemain().

35 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, Funce raserizenex() se poé sará o volání funce raserizelinemain(), vyreslování dalších bodu úsečy pomocí funce raserizelinenex(), aé o výpočy dalších úseče RaserizerBresenhamCircle ro raserizaci ružnice pomocí Bresenhamova algorimu byla napsána řída RaserizerBresenhamCircle. Sejně jao řída RaserizerBasicCircle pořebuje pro sesrojení a výpoče ružnice body. Funcí raserizemain() jsou nasaveny počáeční hodnoy pomocných proměnných a přidány do veoru bodu čyři body ružnice a jsou vypsány vzorce do panelu daa. Další body jsou vypočíány pomocí funce raserizenex() doud plaí podmína acualoin.x+< acualoin.y. oud ao podmína není splněna znamená o, že raserizace byla doončena. 4.. RaserizerBresenhamEllipse omocí éo řídy je apliován algorimus pro raserizaci elipsy pomocí Bresenhamova algorimu. ro vyvoření elipsy je pořeba zada body. rvním zadaným bodem je sřed, další dva body jsou poloosy. U ěch je řeba rozhodnou o eré poloosy se jedná. Výběr je proveden pomocí diference souřadnic od sředu poud je v opačném případě se jedná o poloosu y. x > y, poom daný bod paří poloose x, o zadání všech bodů je provedena funce raserizemain(). Ta vypoče veliosi poloos a nasaví počáeční hodnoy proměnných. Je zde aé přidán první bod. Ten je přidán do veoru dvará, díy symeričnosi elipsy. Naonec jsou vypsány vzorce a paramery raserizované elipsy. Funce raserizenex() se dále sará o výpoče dalších bodů a o ve dvou fázích. v první fázi se vypočíávají body s řídící osou x doud plaí podmína a ( y 0,5) > b ( x ) změně řídící osy se provádí výpočy doud je Acualoin.y > 0. i i. o

36 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, RaserizerBresenhamLine Slouží pro raserizaci úsečy Bresenhamovým algorimem. ro sesrojení jsou pořeba zada body pomocí funce add(). o zadání ěcho bodů je zavolána funce raserizemain() erá vypoče paramery pořebné raserizaci. Dále rozhodne zda je pořeba zadané body přehodi. Body je nuné přehodi poud je hodnoa x prvního bodu věší než hodnoa bodu druhého. Algorimus je oiž sesrojen pro raserizaci zleva doprava. odle proměnné se rozhodne o hlavní ose, erá určí věvení funce. oé je přidán do veoru vyreslovaných bodů první bod (poins[0]). Následuje vypsání vzorců do panelu daa. Následující body jsou vypočíávány podle vzorců eré jsou dané řídící ose sesrojeny. Tyo vzorce jsou obsaženy ve funci raserizenex(). Raserizace probíhá až do chvíle dy je vypočený bod roven druhému zadanému bodu. 4.. RaserizerDDALine Třída byla vyvořena pro raserizaci úsečy pomocí DDA algorimu. Opě je pořeba zada body pro sesrojení a zahájení raserizace. ro raserizaci jsou využívány vzahy (4) a (5). Algorimu je sesrojen pro raserizaci úsečy zleva doprava. O případné přehození bodů se sará funce raserizemain(), erá dále vypoče hodnoy pořebné pro vypoče bodů a vypíše vzorce do panelu daa. ři raserizaci může nasa něoli siuací. Ty jsou ovlivněny směrnicí m. odle oho je program věven ja ve funci raserizemain(), a v raserizenex(). Body jsou vypočíávány pomocí funce raserizenex(), doud není dosaženo oncového bodu úsečy (poins[]) RaserizerFerguson Fergusonovu ubiu raserizuje řída RaserizerFerguson. Třída využívá vzorců uvedených v eoreicé čási. Konréně se jedná o vzorce (4) a (5).

37 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, K sesrojení ubiy jsou pořebné dvě dvojce bodů. Každá dvojce určuje vrchol a veor pomocí erého je určeno vylenuí řivy. roces raserizace je obdobný jao u raserizace Beziérovy ubiy. o zadání všech bodů je volána funce raserizemain(). Ta vypoče body první přímy a zobrazí užié vzorce do panelu daa. Funce raserizenex() se aá zde sará o volání funcí pro raserizaci vypočené úsečy, její inicializaci a o vypoče nové úsečy pomocí zadaných vzahů.

38 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, UŽIVATELSKÉ ROZHRANÍ Jeliož je program vyvořen v programovacím jazyu Java je eno program muliplaformní. To znamená ze je možné spusi ho v jaémoliv operačním sysému. o menších úpravách je možné eno program vloži aé jao apple na webové srány. Ve Windows se program spouší pomocí souboru sar.ba. o spušění programu se oevře ono programu. V jeho horní čási se nacházejí iony. Zleva iony pro novou scénu, uložení a oevření scény. Dále iony pro výběr raserizačního algorimu, ovládání animace raserizace a naonec iony pro nasavení paramerů. Vpravo je umísněn panel pro výpis da a vzorců vybraných raserizačních algorimů. Nejvěší čás ona zabírá plocha pro vyreslování a následnou raserizaci objeů. Obr. Uživaelsé rozhraní 5. aramery Uživaelsy je možné nasavova něeré paramery programu v určeném rozsahu: rychlos animace o nasaví dobu vyreslování jednoho bodu při auomaicé raserizaci o doba se nasavuje v miliseundách v rozsahu od 50ms do 0 000ms

39 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, veliosi mřížy o určuje velios mřížy erá reprezenuje velios pixelů o je možné jej měni aé pomocí oleča myši velios písma o nasavuje velios písma zobrazovaných da úroveň rozdělení řivy o je aivní pouze při raserizaci řive o určuje poče úseče na eré je řiva rozdělena 5. Ovládání rogram se ovládá pomocí myši. o zvolení iony příslušného raserizačního algorimu musí uživael linuím na pláno zada pozici bodů pořebných pro sesrojení vybraného objeu. ři zadávání bodů se vpravo vypisuje jejich pozice. o doončení zadávací sevence se v poli daa vypíšou obecné vzorce pro daný raserizační algorimus. o spušění raserizace se posupně vypisují auální vzorce a hodnoy vypočeného bodu. Vyvořené objey je možno upravova ažením vyznačených bodů. ři změně varu objeu se raserizace auomaicy resaruje. Raserizaci objeu je možné provádě v podsaě dvěma způsoby. rvním způsobem je auomaicá animace. o sisnuí iony play je aždých 500ms vypočen a zobrazen jeden pixel. Tuo dobu je možné nasavi pomocí lačía rychlos animace. Druhým způsobem je manuální posouvání animace pomocí lačía sep.

40 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, ZÁVĚR Baalářsá práce se zabývá raserizací D graficých objeů. Teoreicá čás pojednává o řivách a jednoduchých objeech. opisuje je a uvádí něeré z možných raserizačních algorimů. o seznámení s raserizačními algorimy pro úseču, ružnici a elipsu byly vybrány nejpoužívanější způsoby raserizace daných objeů. Byla popsána jejich funčnos a efeivia. Bresenhamův algorimus byl popsán u všech jednoduchých objeů z důvodu využií celočíselné arimeiy, erá je výpočeně efeivnější než arimeia reálných čísel. V další apiole byli charaerizovány zásupci algorimů pro meody inerpolace a aproximace řive. o domluvě byly zvoleny Beziérovy a Fergusonovy ubiy, eré jsou probírány i na přednášách předměu očíačová grafia. odrobně bylo popsáno jejich sesrojování a vliv jednolivých bodů na vzhled řivy. raicou čásí je apliace v jazyce Java, erá využívá všechny algorimy popsané v eoreicé čási. Sofware je hlavní výsup baalářsé práce a bude slouži jao výuová pomůca pro pořeby abineu Apliované informaiy FAI-UTB Zlín. Zdrojový ód apliace je mulipaformní díy použií programovacího jazyu Java. rogram je možné jednoduše rozšiřova o další raserizační algorimy dopsáním dané řídy obsahující maemaicý apará pro raserizaci nových objeů. rezenace algorimů na přednášách předměu očíačová grafia je umožněna ímo programem za použií předem připravených scén a nasavení, eré jsou pomocí programu uloženy do exerních souborů.

41 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, CONCLUSION This Bachelor hesis is engaged in raserizaion of D graphic objecs. Theoreic par discusses curves and primiive objecs. I describes and shows some of possible raserizaion algorihms. Afer a descripion of raserizaion algorihms for line, circle and ellipse, here was chosen mos used ways of raserizaion for hese objecs. Their funcionaliy and efficiency was described. Bresenham algorihm was described for all simple objecs because of using ineger arihmeic which is more compuaionally efficien han he arihmeic of real numbers. Reprezenaion of algorihms for mehods of inerpolaion and approximaion of a curve were characerized in he nex chaper. Bezier and Ferguson cubic curves were chosen afer consulaions, because hey are explained a he lessons of he Compuer graphic. Their consrucion and he effec of paricular poins o he shape of he curve were also described in his chaper. racical par is formed by an applicaion in Java language, which uses all he algorihms described in he heoreical par. The sofware is he main oupu of his hesis and i will serve as an educaional insrumen for he Deparmen of Applied Informaics a he FAI- UTB Zlín. The source code of he applicaion is muliplaform because of using he Java language. rogram is easy o exend by oher raserizaion algorihms. They can be added as a class implemening a mahemaical heorem for raserizaion of new objecs. This program allows he presenaion of he menioned algorihms a he lessons of he Compuer graphics, using prepared scenes and seups sored in exernal files.

42 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, SEZNAM OUŽITÉ LITERATURY [] DRDLA, J. Geomericé modelování řive a ploch. U, Olomouc, 00 [] Eclipse [online]. 007 [ci ]. Dosupný z WWW: hp:// [] HUDEC, B. Zálady počíačové grafiy. ČVUT, raha,00, ISBN [4] MARTÍŠEK, D. Maemaicé principy graficých sysémů. Brno : Liera, s., CD-ROM. ISBN [5] OKORNÝ,. Zálady počíačové grafiy. UTB, Zlín, 004. ISBN [6] Sochor, J., e al. Algorimy počíačové grafiy. Sripa ČVUT, raha 996 [7] SELL, B. Java rogramujeme profesionálně. Bogdan Kisza. raha : Compuer ress, s. ISBN [8] The Source for Java Developers [online] [ci ]. Dosupný z WWW: hp: //java.sun.com/ [9] ŽÁRA, J., e al. očíačová grafia - principy a algorimy. raha : Grada a.s., s. ISBN [0] ŽÁRA, J., e al. Moderní počíačová grafia.. přeprac. vyd. Brno : Compuer ress, s. ISBN

43 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. : Velios směrnice m pro různé slony úsečy... Obr. : Výběr pixelu na záladě veliosi odchyly pro řídící osu x... Obr. : Symericé rozdělení ružnice... 4 Obr. 4: Výběr pixelu ružnice na záladě veliosi odchyly... 5 Obr. 5 Změna řídící osy při raserizaci elipsy... 6 Obr. 6 Inerpolační řiva... 8 Obr. 7 řílad Fergusonových ubi... 0 Obr. 8 - Hermiovsé polynomy... Obr. 9 Aproximační řiva... Obr. 0 řílad Bezpérových ubi... 4 Obr. - Kubicé Bernseinovy polynomy... 5 Obr. Uživaelsé rozhraní... 8

44 UTB ve Zlíně, Faula apliované informaiy, SEZNAM ŘÍLOH Zdrojový ód programu. říloha se nachází na přiloženém CD v adresáři _zdrojovy_od. Spusielný program. Nachází se na přiloženém CD v adresáři _program. Scény programu určené pro prezenaci raserizačních algorimů. Uložené na CD v adresáři _sceny. 4 Doumenace e zdrojovému ódu ve formáu HTML. Nachází se na přiloženém CD v adresáři 4_doumenace. 5 Vývojové prosředí Eclipse. Uložené na CD v adresáři 5_eclipse. 6 Java Runime Environmen. Sofwarový balí, nuný pro spušění apliace. Na přiloženém CD v adresáři 6_jre.