Aplikovaná matematika II (NMAF072) LS 2016/17
|
|
- Bohuslav Vaněk
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aplikovaná matematika II (NAF072) irko Rokyta (KA FF UK) LS 2016/17 7 Lineární vektorové prostory Definice a příklady Lineární závislost a nezávislost vektorů Podprostory, lineární obal, báze Lineární zobrazení atice definice a základní vlastnosti Soustavy lineárních algebraických rovnic Determinanty a jejich výpočet Použití determinantů k výpočtům Vztah mezi maticemi a lineárními zobrazeními Lineární, bilineární a kvadratické formy 15 8 Funkce více proměnných Základní pojmy Konvergence v R n Spojitá zobrazení Parciální derivace a totální diferenciál Parciální derivace vyšších řádů Věty o implicitně zadaných funkcích Extrémy funkcí více proměnných Taylorův polynom 25 9 Vícerozměrná integrace Elementy teorie míry Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Fubiniho věta a věta o substituci Věty o limitních přechodech Integrály s parametrem Gamma funkce 32
2 Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika II (NAF072), kterou jsem v zimním semestru akademického roku 2016/17 vedl na FF UK a je rozšířením a úpravou textu, který vznikl v letech 2010/11 a 2013/14, kdy jsem tuto přednášku také měl. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a také důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobným korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese rokyta@karlin.mff.cuni.cz Text je možno nalézt v elektronické podobně na Rokyta,
3 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 1 7 Lineární vektorové prostory 7.1 LVP - definice a příklady Definice. nožinagse nazývá grupou, jestliže v G je definována (binární) operace " : G G G", tj. ke každým dvěma prvkům x, y G je přiřazen právě jeden prvekx y G, přičemž platí: (x y) z = x (y z)... asociativnost v G existuje neutrální prvek, tj. e G, x e = e x = x pro každé x G; ke každémux G existuje inverzní prvek x 1 G takový, že x x 1 = x 1 x = e. Dodatek: pokud navíc pro všechnax,y G platíx y = y x (komutativita), nazývámegkomutativní (nebo též Abelovou) grupou. Příklady grup: Celá čísla s operací sčítání. Nenulová racionální čísla s operací násobení. Grupa symetrií geometrických útvarů. Povolené transformace na Rubikově kostce. Definice. nožina V se nazývá reálným, resp. komplexním lineárním vektorovým prostorem (LVP), pokud V je komutativní grupou vzhledem k operaci "sčítání prvků vev "; ve V je navíc definováno násobení " " reálným resp. komplexním číslem, splňující: 1 x = x α (β x) = (αβ) x... asociativnost; (α+β) x = α x+β x α (x+y) = α x+α y... distributivnost pro všechna reálná (resp. komplexní) číslaα, β a libovolnéx,y V. Příklady LVP: ProstorR n se skaláry zr. ProstorC n se skaláry zc. Prostor polynomů s reálnými koeficienty (sčítání polynomů, násobení reálným skalárem). Prostory funkcí, prostory posloupností...
4 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory Lineární závislost a nezávislost vektorů Úmluva: prvky lineárního (vektorového) prostoru budeme nazývat vektory, prvky (reálná nebo komplexní čísla), kterými násobíme vektory, budeme nazývat skaláry. Definice. Necht x 1,...,x n V jsou vektory a c 1,...,c n skaláry. Potom vektor n c jx j nazýváme lineární kombinací prvků x 1,...,x n s koeficienty c 1,...,c n. Pokud je c 1 = = c n = 0, nazýváme tuto kombinaci triviální lineární kombinací, v opačném případě mluvíme o netriviální lineární kombinaci. Definice. Řekneme, že vektory x 1,...,x n V jsou lineárně závislé, pokud existuje netriviální lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna nule. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, tj. pokud platí c j x j = 0 = c 1 = = c n = 0, říkáme, že vektoryx 1,...,x n V jsou lineárně nezávislé. Tvrzení 7.1. Vektoryx 1,...,x n V jsou lineárně závislé právě tehdy, je-li jeden z nich lineární kombinací zbylých vektorů. Definice. Bud V libovolná podmnožina LVP. Řekneme, že je lineárně nezávislá, pokud je každá její konečná podmnožina lineárně nezávislá. Poznámka. Výše uvedená definice umožňuje identifikovat i lineárně nezávislé množiny o nekonečném počtu prvků. Věta 7.2 (Steinitzova). Necht pro vektoryx 1,...,x n V,y 1,...,y m V platí: pro všechnak = 1,2,...,m je vektor y k (nějakou) lineární kombinací vektorů x 1,...,x n, y 1,...,y m jsou lineárně nezávislé. Potomm n. Jinak řečeno: v množině všech lineárních kombinací daných n vektorů existuje nejvýše n lineárně nezávislých vektorů. Ještě jinak řečeno: vytvoříme-li z n vektorů lineárními kombinacemi k vektorů, a přitom k > n, tak těchto k vektorů už je lineárně závislých. 7.3 Podprostory, lineární obal, báze Definice. Necht V je lineární vektorový prostor. nožinu P V nazýváme podprostorem prostoru V, pokud pro každé x,y P jex+y P, pro každé x P a pro každý skalár α jeα x P. Pozorování: Každý podprostor LVP je sám LVP. Průnik libovolných podprostorů je opět podprostor; sjednocení dvou podprostorů je podprostor jen tehdy, je-li jeden z nich podmnožinou druhého.
5 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 3 Definice (Lineární obal). Bud V libovolná podmnožina LVP. Lineárním obalem množiny (značíme L()) nazveme množinu všech konečných lineárních kombinací prvků z, L() = {x V, n N, x 1,...,x n, c 1,...,c n skaláry,x = c j x j }. Příklad:L({0}) = {0},L(V) = V,L({[1]}) = R,L({[1,0],[0,1]}) = R 2. Věta 7.3. Bud V libovolná podmnožina LVP. PotomL() je podprostorem vev. Poznámky: L() je nejmenší podprostor, obsahující ; L() se nezmění, pokud z vynecháme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvků z ; nebo pokud k přidáme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvků z; Bud = {x 1,...,x n }, Je-li k > n, potom každých k vektorů z L() je lineárně závislých (viz "Steinitz"). Definice. Bud V neprázdný LVP. Řekneme, že V generujev (je generátorem prostoruv ), pokudl() = V. Řekneme, že V je konečně generovaný, pokud existuje množina o konečném počtu prvků, která jej generuje. V opačném případě říkáme, žev je nekonečně generovaný. Definice (Báze). Podmnožina V se nazývá bází prostoruv, pokud je lineárně nezávislá; generujev. Věta 7.4. Každý LVP má bázi. Poznámka: Báze V není určena jednoznačně, ale platí: pokud ve V existuje n-prvková báze (n N), pak i každá jiná báze V má n prvků (plyne ze Steinitzovy věty). Definice (Dimenze). Řekneme, že prostorv má dimenzin N, a píšemedimv = n, pokud v něm existuje báze, složena znprvků. Nulovému prostoruv = {0} připisujeme dimenzi 0. Řekneme, žev je konečně dimenzionální, pokuddimv N {0}. Není-li V konečně dimenzionální, říkáme, že je nekonečně dimenzionální, a píšemedimv =. Poznámky: Je-li dimv = n N, pak každá lineárně nezávislán-prvková množina je báze. Příklad: nožiny{[1,0],[0,1]} i {[2,0],[3,3]} jsou báze vr 2. Je-li dim V =, pak pro každou n-prvkovou množinu (n N) platí L() V, L() V. Věta 7.5 (O záměně). Necht dimv = n, {x 1,...,x n } je báze ve V. Necht P V je podprostor V, dimp = k, k < n, {y 1,...,y k } je báze v P. Potom existují indexy j 1,...j n k takové, že množina {y 1,...,y k,x j1,...,x jn k } tvoří bázi vev.
6 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 4 Důsledek: V konečně dimenzionálním prostoru V lze bázi každého podprostoru P V doplnit na bázi celého prostoru V pomocí (některých) prvků z předem dané báze celého prostoru V. Jinak rečeno: V konečně dimenzionálním prostoru V lze (některé) prvky báze celého prostoru V nahradit prvky báze daného podprostorup V tak, že výsledná množina zůstane bazí celého prostoruv. Věta 7.6 (O souřadnicích). Necht dimv = n, {x 1,...,x n } je báze ve V s reálnými (resp. komplexními skaláry). Potom pro každýx V existuje jednoznačně určenán-tice skalárůc 1,...,c n taková, že x = c j x j. Definice. Číslac 1,...,c n z předchozí věty se nazývají souřadnice vektoru x v bázi{x 1,...,x n }. 7.4 Lineární zobrazení Definice. Necht V aw jsou LVP. Řekneme, že zobrazení ϕ : V W je lineární, pokud D(ϕ) = V ; ϕ(cx + dy) = cϕ(x) + dϕ(y) pro všechny vektory x, y V a všechny skaláry c, d; Tvrzení 7.7. Je-liϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, platí ( ) ϕ(0) = 0, ϕ c j x j = c j ϕ(x j ), pro všechny vektory x j, a všechny skaláryc j,j = 1,...,n. Definice. Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP. nožinu R(ϕ) := {y W, x V, ϕ(x) = y} nazýváme oborem hodnot zobrazení ϕ. nožinu N(ϕ) := {x V, ϕ(x) = 0} nazýváme jádrem zobrazení ϕ. Poznámky: Jiné termíny a značení: Obor hodnot Range; jádro: N(ϕ) = Ker(ϕ). Je-li ϕ : V W lineární zobrazení, jer(ϕ) podprostorem vew a N(ϕ) podprostorem vev. Věta 7.8. Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP. Je-li ϕ prosté zobrazení, jeϕ 1 lineární a prosté zobrazení z R(ϕ) do V. Zobrazeníϕje prosté právě tehdy, když platí ϕ(x) = 0 = x = 0. (Poznámka: implikace x = 0 = ϕ(x) = 0 platí vždy.) Je-li ϕ prosté zobrazení, pak platí {x 1,...x k } LN ve V {ϕ(x 1 ),...ϕ(x k )} LN vew a {x 1,...x k } LZ vev {ϕ(x 1 ),...ϕ(x k )} LZ vew.
7 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 5 Věta 7.9. Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dimv je konečná. Potom platí dimn(ϕ)+dimr(ϕ) = dimv. Věta Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dimv = dimw je konečná. Potom platí ϕ je prosté nav ϕ zobrazujev naw. Důležitým důsledkem je následující věta: Věta 7.11 (Fredholmova alternativa). Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dim V = dim W je konečná. Potom y W!x V ϕ(x) = y právě tehdy, když ϕ(x) = 0 x = atice - definice a základní vlastnosti Definice. Reálnou resp. komplexní maticí A typum n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = = (a ij) i=1,...,m,,...,n a m1 a m2... a mn kdea ij R, resp.a ij C nazýváme prvky maticea. Poznámky: řádky (sloupce) matice A jsou vektory z R n (R m ) resp.c n (C m ); m n... maticeamá m řádků ansloupců; m = n... mluvíme o čtvercové matici A stupněn. Označení. nožinu všech reálných matic rozměrum n budeme značit m n (R), množinu všech komplexních matic rozměrum n budeme značit m n (C). Úmluva: Zápisem m n budeme rozumět množinu všech reálných nebo komplexních matic rozměru m n, zejména v situacích, kdy formulované tvrzení nebo vlastnost platí pro matice rozměru m n, bez ohledu na to, jestli jsou reálné nebo komplexní. Definice. Rovnost matic:a m n,b r s. PotomA = B právě tehdy, kdyžm = r,n = s, a b ij = a ij pro všechnai = 1,...,m; j = 1,...,n. Sčítání (odčítání) matic:a,b,c m n,c = A±B:c ij = a ij ±b ij pro všechnai = 1,...,m; j = 1,...,n. Násobení skalárem:a m n,(αa) ij = αa ij pro všechnai = 1,...,m; j = 1,...,n. Poznámka. Sčítání matic a násobení matice skalárem je tedy definováno "po složkách". m n je lineární vektorový prostor dimenze mn.
8 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 6 Definice (Násobení matic). Bud A m s, B s n. atice C = A B m n je definována takto: s C = (c ij ) i=1,...,m, kde c ij := a ik b kj.,...,n Poznámka (Einsteinova sumační konvence:) s a ik b kj a ik b kj (sčítání přes opakující se indexy). Pozor na interpretaci zápisů typu "a kk " apod. k=1 Poznámka (Skalární součin dvou vektorů:) Bud te x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) dva vektory z R n. Potom skalárním součinem vektorů x a y nazveme číslo x y := x j y j. Na skalární součin dvou vektorů lze nahlížet jako na součin dvou matic: typu 1 n a typu n 1. Výsledkem je pak matice typu 1 1, tedy číslo. Poznámka. Pro A,B n n je definováno A B i B A, obecně je ovšem A B B A, tj. násobení matic není komutativní. Uvažte například ( ) ( ) A =, B =, kdy A B = ( ), B A = k=1 ( Poznámka. Násobení matic ovšem je asociativní, tj. A (B C) = (A B) C, pokud jsou všechna násobení definována (tj. pokud souhlasí rozměry matic). Dále platí (ověřte): A (B+C) = A B+A C, (B+C) A = B A+C A, λ(a+b) = λa+λb, λ(a B) = (λa) B, ). pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. souhlasí rozměry matic). Definice (Jednotková matice stupněn). Jednotková matice stupněnje matice I n n tvaru I = Poznámka: Jednotková matice se též někdy značí symboleme.
9 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 7 Jednotková matice je příkladem tzv. diagonální matice, tj. matice, pro kteroua ij = 0, pokudi j. Ověřte: je-lii n n jednotková matice, paka I = I A = A, pro všechny maticea n n. Definice. Bud A n n. Řekneme, že A má inverzní matici (značíme ji A 1 ), pokud existuje A 1 n n, taková, že A A 1 = A 1 A = I. PokudA n n má inverzní matici, říkáme, žeaje regulární matice, v opačném případě říkáme, že A je singulární matice. Tvrzení Je-li A n n regulární, pak jea 1 určena jednoznačně a platí (A 1 ) 1 = A. Jsou-li A,B n n regulární, pak i matice A B ab A jsou regulární, a platí (A B) 1 = B 1 A 1, (B A) 1 = A 1 B 1. nožina všech regulárních matic stupně n tvoří grupu vůči operaci násobení matic, přičemž jednotkovým prvkem této grupy je jednotková matice. Tvrzení Bud A n n. Potom A je regulární sloupceajsou LN řádkyajsou LN. Poznámka: Toto tvrzení ještě později rozšíříme o další ekvivalentní podmínky. Definice. Transponovanou maticí k matici A m n nazvu matici A T n m takovou, že pro její prvkya T ij platí: at ij = a ji pro všechnai = 1,...,m; j = 1,...,n. Řeknu, že matice A n n je symetrická, pokud A = A T. (Uvědomte si na základě definice rovnosti dvou matic, že tento pojem má smysl jen pro matice z n n ). Řeknu, že maticea n n je ortogonální, pokud A A T = I. Tvrzení Bud A n n ; potom A A T = I A T A = I. Bud A n n ; potomaje ortogonální (A je regulární aa 1 = A T ). Definice. Hermitovsky sdruženou (někdo říká též "adjungovanou") maticí k maticia m n (C) nazvu matici A H n m (C) definovanou předpisem A H := A T, kde A je matice, sestávající z prvků komplexně sdružených k prvkům maticea. Řeknu, že maticea n n (C) je hermitovská (případně "samoadjungovaná"), pokuda = A H. Řeknu, že maticea n n (C) je unitární, pokuda A H = I. Tvrzení Bud A n n (C); potom A A H = I A H A = I. Bud A n n (C); potomaje unitární (A je regulární aa 1 = A H ). Poznámka: ProA n n (R) splývají pojmy "hermitovská" a "symetrická"; a "unitární" a "ortogonální".
10 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 8 Někdy se používá pro A H též označení A. Přesněji, A se užívá pro adjungovanou matici, A H pro matici Hermitovsky sdruženou. Názvosloví pochází z teorie operátorů, kde tyto pojmy označují dvě různé vlastnosti. Pro zobrazení, která jsou reprezentována konečnými maticemi, oba pojmy splynou. Cvičení. Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoň na jedné straně uvažovaných rovností): (Porovnejte tyto identity se vztahem který platí pro regulární maticea,b.) (A B) T = B T A T, (A B) H = B H A H. (A B) 1 = B 1 A 1, 7.6 Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavamlineárních algebraických rovnic (LAR) pronneznámýchx 1,...,x n (přičemž "pravá strana" y 1,...y m a "koeficienty" a ij jsou dány): a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = y 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n = y a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = y m Ax = y A x = y kdea m n (R) (resp. m n (C)), x x R n (resp.c n ), y y R m (resp.c m ). Diskuse: 1. Pokud y = 0, říkáme dané soustavě (A x = 0) homogenní soustava LAR. Označme N A := { x R n (resp.c n ); A x = 0} množinu řešení homogenní soustavya x = 0. Potom platí: vždy je 0 N A, tedyn A ; pokudn A = {0}, říkáme, že homogenní soustavaa x = 0 má pouze triviální řešení; N A je vektorový podprostor prostoru R n (resp. C n ), tedy x N A, z N A, α, β R = α x+β z N A. 2. Pokud y 0, říkáme dané soustavě (A x = y) nehomogenní soustava LAR. Platí: pokud je x P jedno (partikulární) řešení soustavya x = y, pak všechna řešení soustavya x = y mají tvar N x = x P + c J x J, (1) kde c J jsou konstanty (skaláry), N je dimenze vektorového prostoru N A a x J jsou (lineárně nezávislé) prvky báze prostorun A. J=1
11 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 9 Situaci z (1) někdy též formálně zachycujeme zápisem x = x P +N A. Věta Bud A m n. Potom y m 1! x n 1, A x = y N A = {0}. Navíc platí: pokudn A je netriviální (N A {0}), tak pro pevně zvolené y m 1 nastane právě jedna z těchto možností: neexistuje x n 1 takové, žea x = y (soustava nemá řešení); existuje nekonečně mnoho x n 1 takových, že A x = y (soustava má nekonečně mnoho řešení); tato řešení jsou pak tvaru x P +N A, kde x P je nějaké (jedno) řešení soustavy rovnica x = y. Definice. Bud A m n. Hodností matice A (píšeme h(a)) nazveme maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A. Tvrzení Bud A m n. Potomh(A) = h(a T ). Důsledky: Definice hodnosti matice se nezmění, pokud v ní zaměníme slovo "sloupců" slovem "řádků". ProA m n je h(a) min(m,n). Definice. Bud A m n, y m 1, x n 1. Rozšířenou maticí soustavy A x = y nazvu matici (A; y) m (n+1), která vznikne rozšířením matice A o jeden sloupec přidáním (sloupcového) vektoru y. Věta 7.18 (Frobenius). Bud A m n, y m 1. Potom soustava A x = y je řešitelná (tj. existuje alespoň jedno x n 1 takové, žea x = y) h(a) = h(a; y). Poznámka: Vždy je h(a) h(a; y) (rozmyslete si), tedy platí: soustava A x = y nemá řešení h(a) < h(a; y). Věta Bud A m n (tedynje počet sloupců maticea). Potom dimn A +h(a) = n, tedy dimn A = 0 h(a) = n. Věta 7.20 (aneb 1. rozšíření Tvrzení 7.13). Bud A n n čtvercová matice. Potom A je regulární sloupceajsou LN řádkyajsou LN h(a) = n dimn A = 0. Rekapitulace: ějme soustavu rovnic A x = y, A m n, y m 1, tedy matice A má n sloupců. Potom nastane právě jedna z těchto tří situací: 1. h(a) = n:! x n 1, A x = y. 2. h(a) < n & h(a) = h((a; y)): prostor všech řešení homogenní soustavy A x = 0 má dimenzi dimn A = n h(a), a soustava A x = y má nekonečně mnoho řešení tvaru x P + N A, kde x P je jedno (partikulární) řešení soustavya x = y.
12 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory h(a) < n & h(a) < h((a; y)): prostor všech řešení homogenní soustavy A x = 0 má dimenzi dimn A = n h(a), ale soustavaa x = y nemá žádné řešení (není řešitelná). Definice. atici A = (a ij ) nazvu horní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i > j. atici A = (a ij ) nazvu dolní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i < j. Poznámky: atice je horní trojúhelníková a současně dolní trojúhelníková právě tehdy, když je diagonální. Je-li A horní (nebo dolní) trojúhelníková matice, je nalezení řešení soustavy A x = y jednoduché, stejně jako nalezení hodnosti maticea. Gaussova eliminační metoda řešení soustavy rovnic A x = y: Upravujeme rozšířenou matici soustavy (A; y) s cílem obdržet na místěahorní trojúhelníkovou matici; používáme tyto úpravy: prohození dvou řádků v matici (A; y) (odpovídá prohození pořadí rovnic v systému); vynechání řádku v matici (A; y), pokud tento řádek tvoří s některými dalšími řádky LZ množinu vektorů (odpovídá vynechání příslušných rovnic v systému); vyškrtnutí nulových sloupců (odpovídá vynechání proměnné x j, která se nevyskytuje v soustavě rovnic); prohození dvou sloupců (odpovídá přečíslování proměnných x j ve vektoru řešení x); přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku matice (A; y). Příklad 1. Řešte tyto soustavy rovnic: (a) 2x+3y+z= 5 (b) 2x+3y+z= 5 x+4y+z= 3 x+4y+z= 3 x y = 1 x y = 2 (c) 2x+3y+z= 5 x+4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: (a) Nemá řešení. (b) Nekonečně mnoho řešení tvaru[x,y,z] = [2,0,1]+c[1,1, 5],c R, (dimn A = 1). (c) Právě jedno řešení: [x,y,z] = [ 12 5, 2 5, 1]. 7.7 Determinanty a jejich výpočet Definice. Determinant čtvercové maticea n n,deta, definujeme induktivně takto: ProA 1 1,A = (a 11 ), definujeme deta := a 11. ProA n n, definujeme deta := ( 1) j+1 a 1j det 1j, kde 1j je matice, která vznikne z maticeavyškrtnutím 1. řádku aj-tého sloupce. Příklad: vzorec pro výpočet determinantu A 2 2, Sarusovo pravidlo proa 3 3.
13 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 11 Poznámka. ísto označení "det A" používáme někdy zkrácené značení "svislé čáry kolem prvků matice A". Tedy a 11 a a 1n a 11 a a 1n a 21 a a 2n det a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn Pravidla pro výpočet determinantů: Je:detA T = deta, proto všechna následující tvrzení platí i tehdy, nahradíme-li všude slova "řádek, řádky"... slovy "sloupec, sloupce"... Je-li à matice, kterou dostaneme zaprohozením (záměnou) dvou řádků, pakdetã = deta. Obsahuje-li matice A nulový řádek, nebo jsou-li řádky matice A lineárně závislé, jedeta = 0. Přičteme-li k nějakému řádku matice A lineární kombinaci jiných řádků, nezmění se její determinant. Vynásobíme-li nějaký řádek maticeačíslem α, je determinant výsledné matice roven αdeta. Tvrzení 7.21 (Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce)). Označme ij matici, kterou dostaneme z A vyškrtnutími-tého řádku aj-tého sloupce. Označme dálea ij := ( 1) i+j det ij tzv. algebraický doplněk prvku a ij vzhledem k matici A. Potom platí: resp. Poznámka. deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij det ij, i = 1,...,n, deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij det ij j = 1,...,n. i=1 i=1 Číslodet ij nazýváme (i,j)-tým minorem maticea. Pro všechnai = 1,...,n resp.j = 1,...,n obecněji platí: a ij A kj = δ ik deta, resp. a ij A ik = δ jk deta, i=1 kde δ ij je tzv. Kroneckerovo delta, mající vlastnost δ ii = 1,δ ij = 0 pro všechnai j. Tvrzení Je-li A n n (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, pak n deta = a jj. Bud tea,b n n. Potom det(a B) = deta detb.
14 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 12 Tvrzení a 11 a a 1n.... b k1 +c k1 b k2 +c k2... b kn +c kn = a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a 11 a a 1n = b k1 b k2... b kn + c k1 c k2... c kn a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn. 7.8 Použití determinantů k výpočtům A. Regularita a hodnost matice Věta 7.24 (aneb 2. rozšíření Tvrzení 7.13). Bud A n n čtvercová matice. Potom A je regulární sloupceajsou LN řádkyajsou LN h(a) = n dimn A = 0 deta 0. Definice. Subdeterminantem dané matice A n n nazveme determinant jakékoli matice Ã, která vznikne z maticeavyškrtnutím stejného počtu řádků a sloupců. Stupněm subdeterminantudetã nazveme stupeň (tj. rozměr) příslušné (čtvercové) matice Ã. Věta Hodnost matice A n n je rovna maximálnímu stupni všech nenulových subdeterminantů matice A. B. Výpočet inverzní matice Věta Je-liA n n regulární matice, pak prvkyα ij její inverzní maticea 1 jsou dány vzorci: α ij = A ji deta, kde A ji je algebraický doplněk k prvku a ji maticea. i, j = 1,...,n, C. Cramerovo pravidlo pro řešení soustavya x = y Věta Bud A n n regulární matice, y n 1. Potom složkyx 1,...,x n řešení rovnicea x = y jsou dány vzorci: x i = deta(i) y deta, i = 1,...,n, kde maticea (i) y vznikne tak, že v matici A nahradíme její i-tý sloupec vektorem y.
15 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 13 Příklad 2 Řešte pomocí Cramerova pravidla: 2x+3y+z= 5 x+4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: Je = 5 0, = 2, = 12, = 5, Proto x = 12 5, y = 2 5, z = 5 5 = 1. Porovnejte výsledek s výsledkem Příkladu 1 c). D. Nalezení kolmého vektoru ke dvěma vektorům vr 3, jejich vektorový součin Definice (Kolmé vektory). Bud te x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) dva vektory z R n. Řekneme, že tyto dva vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud x y := x j y j = 0, tedy pokud skalární součin (nenulových) vektorů x, y je nulový. Poznámka. Platí x y = y x. Definice (Vektorový součin dvou vektorů zr 3 ). Bud te x = (x 1,x 2,x 3 ), y = (y 1,y 2,y 3 ) R 3. Definujme vektorový součin těchto dvou vektorů předpisem ( ) x x y := 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 R 3. (2) Věta Pro x, y R 3 platí: y x = ( x y). x a y jsou lineárně nezávislé x y 0. Jsou-li x a y jsou lineárně nezávislé, pak je vektor x y kolmý jak k vektoru x, tak k vektoru y. Poznámka. Bud te x, y, z R 3. Potom z ( x y) = z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3. Odtud ihned plyne předchozí věta (rozmyslete si). Označme i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Definici vektorového součinu pak lze formálně zachytit i takto: i j k x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3.
16 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 14 Poznámka. Označme e 1 = (1,0,...,0),..., e n = (0,0,...,1) R n. Vektorový součin vr n lze definovat pro(n 1) vektorů x 1,..., x n 1 R n pomocí následujícího determinantu: e 1 e 2... e n x 1 x 2 x n 1 x 1 1 x x 1 n := x1 n 1 x2 n 1... xn n 1 Jsou-li vektory x 1,..., x n 1 lineárně nezávislé vr n, je (nenulový) vektor x 1 x 2 x n 1 kolmý ke všem těmto vektorům. E. Objem rovnoběžnostěnu vr n Tvrzení Necht a 1 = (a 1 1,...,a1 n),..., a n = (a n 1,...,an n) je n lineárně nezávislých vektorů v R n. Potom absolutní hodnota determinantu a 1 1 a a 1 n a 2 1 a a 2 n a n 1 a n 2... a n n je číselně rovna objemu rovnoběžnostěnu, jehož hrany tvoří tyto vektory. 7.9 Vztah mezi maticemi a lineárními zobrazeními Věta Bud A m n (R). Potom zobrazeníϕ : R n R m definované předpisem ϕ( x) := A x pro všechna x R n je lineární. Bud ϕ : R n R m lineární zobrazení. Potom existuje právě jedna matice A ϕ m n (R) taková, že ϕ( x) = A ϕ x pro všechna x R n. V tomto případě říkáme, žea ϕ reprezentuje zobrazeníϕ. Věta Pokudn = m aa ϕ n n (R) reprezentuje lineární zobrazeníϕ : R n R n, platí ϕ je prosté ϕ je "na" A ϕ je regulární. Věta PokudA n n (R), reprezentující lineární zobrazeníϕ : R n R n, je regulární, pak matice A 1 n n (R) reprezentuje zobrazeníϕ 1 : R n R n, inverzní kϕ. Věta Pokud A m n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R m, a B s m (R) reprezentuje lineární zobrazení ψ : R m R s, pak matice B A s n (R) reprezentuje lineární zobrazeníψ ϕ : R n R s. Předchozí čtyři věty zůstanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolemc.
17 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory Lineární, bilineární a kvadratické formy Definice. Lineární formou (lineárním funkcionálem) nad (reálným resp. komplexním) vektorovým prostoremv nazvu lineární zobrazení f prostoruv do R resp.c. Věta Necht { e (1),..., e (n) } je báze v n-dimenzionálním vektorovém prostoru V n. Potom každý lineární funkcionál f nad V n je tvaru f( x) = α j γ j, kdeγ j = f( e (j) ),j = 1,...,n, a α jsou souřadnice vektoru x v bázi{ e (1),..., e (n) }, tj. x = n α j e (j). Definice. Bilineární formou na (reálném resp. komplexním) vektorovém prostoru V nazvu zobrazení A = A( x, y) z prostoru V V do R resp. C, které splňuje následující požadavky pro všechna x, y, z V a pro všechnaα R resp.c: A( x+ y, z) = A( x, z)+a( y, z), (3) A( x, y + z) = A( x, y)+a( x, z), (4) A(α x, y) = αa( x, y), (5) A( x,α y) = αa( x, y). (6) Poznámka. Vlastnosti (3) (5) jsou vlastnosti linearity, vlastnost (6) je tzv. antilinearita vzhledem ke druhé složce. Pokud jsou skaláry zr, je bilinearita totéž co linearita v každé z obou složek. Definice. Bilineární formaa( x, y) nav se nazývá hermitovská (resp. symetrická), pokud pro všechna x, y V platí A( x, y) = A( y, x) (resp. A( x, y) = A( y, x)). Poznámka. Příkladem hermitovské bilineární formy je skalární součin na vektorovém prostoru. Je-li A n n (K),A = (a ij ) n i,, je zobrazení A( x, y) := a ij x i y j (A x, y), x, y K n, i, bilineární formou nak n, která je hermitovská právě tehdy, když je hermitovská maticea. Na konečnědimenzionálních prostorech je výše zmíněná situace typická: Věta Bud A( x, y) bilineární forma na V n, dimv n = n. Bud { e (1),..., e (n) } báze vev n. Potom A( x, y) = (A α, β) = a ij α i β j, kde pro prvky matice A platí a ij = A( e (i), e (j) ), a α, resp. β jsou souřadnice vektoru x resp. y v bázi { e (1),..., e (n) }. Poznámka. Je-li A n n (C) hermitovská matice, pak platí (A x, x) R (ukažte to). Pokud je navíc (A x, x) 0 a (A x, x) = 0 x = 0, je výrazem (A x, y), x, y C n, (kde (, ) je eukleidovský skalární součin vc n ), maticíadefinován (určen) jiný skalární součin (bilineární formaa( x, y) = (A x, y) má všechny vlastnosti skalárního součinu). Tento nový skalární součin generuje odpovídající normu, i, x A := (A x, x), (7) čímž zavádí i nový pojem vzdálenosti (metriky) v C n,ρ A ( x, y) := x y A.
18 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 16 Poznámka. Často se používají pojmy "skalární součin", "norma", "metrika" i tehdy, když forma (A x, y) nemá všechny vlastnosti skalárního součinu. Například tzv. inkowského metrika (používaná v teorii relativity) je definovaná diagonální maticí A 4 4 (R), mající na diagonále prvky (1,1,1, c 2 ). Odpovídající časoprostorová metrika generuje časoprostorovou "normu" tvaru (x,y,z,t) 2 = x 2 +y 2 +z 2 c 2 t 2. Definice (Kvadratická forma). Je-liA( x, y) bilineární forma na vektorovém prostoruv, nazvu zobrazení Q( x) := A( x, x) : V R (C) kvadratickou formou na V, generovanou (vytvořenou) bilineární formou A. Kvadratická forma se nazývá hermitovskou, pokud je vytvořena hermitovskou bilineární formou. Tvrzení Bilineární formaa( x, y) v komplexním prostoru je hermitovská právě tehdy, kdyža( x, x) R pro každé x. Tvrzení V reálném prostoru lze každou kvadratickou formu vytvořit pomocí jediné symetrické bilineární formy. Příklad 2. Kvadratická forma Q( x) = x x 1x 2 + 3x 1 x 3 + 2x 2 2 : R3 R může být vytvořena jednak (nesymetrickou) bilineární formou jednak symetrickou formou A N ( x, y) = x 1 y 1 +x 1 y 2 +3x 1 y 3 +2x 2 y 2, A S ( x, y) = x 1 y (x 1y 2 +x 2 y 1 )+ 3 2 (x 1y 3 +x 3 y 1 )+2x 2 y 2. Poznámka. Předchozím dvěma bilineárním formáma N resp.a S odpovídají příslušné dvě matice A N = 0 2 0, A S = Věta 7.38 (o převedení na kanonický tvar). Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru)v n (dimv n = n) se skalárním součinem existuje ortonormální báze{ e (1),..., e (n) } vev n taková, že Q( x) = λ j α j 2, pro x = α j e (j), (8) kde λ j R jsou určena jednoznačně až na pořadí. Definice (Kanonický tvar). Kanonickým tvarem kvadratické formy Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. v reálném vektorovém prostoru)v n (dimv n = n) se skalárním součinem nazveme tvar Q( x) = λ j α j 2, pro x = α j e (j), (9) kde{ e (1),..., e (n) } vev n je nějaká báze vev n aλ j jsou nějaké skaláry. Věta 7.39 (Zákon setrvačnosti kvadratické formy). Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru)v n se skalárním součinem (dimv n = n) existuje (nikoli nutně ortonormální) báze { e (1),..., e (n) } ve V n taková, že Q( x) = ρ j α j 2, pro x = α j e (j), (10) kde ρ j R jsou bud 0, 1 nebo 1, přičemž počet nul, jedniček a minus jedniček nezávisí na bázi, v níž má Q( x) tvar (10).
19 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 17 8 Funkce více proměnných 8.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) R n budeme rozumět číslo x y, kde x y 2 = (x j y j ) 2. Poznámka. (i) x, y R n : x y = 0 x = y, (ii) x, y R n : x y = y x, obecněji α( x y) = α x y, (α C). (iii) x, y, z R n : x y x z + z y. Obecně jakékoli zobrazení : R n 0, + ) s vlastnostmi (i) (iii) nazýváme normou na prostoru R n. Definice. (i) Necht x R n, r > 0. nožinu B r ( x) U r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y < r} nazýváme otevřenou koulí se středem x a poloměrem r nebo také otevřeným okolím bodu x. (ii) Necht x R n, r > 0. nožinu B r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y r} nazýváme uzavřenou koulí se středem x a poloměrem r. Definice. (i) Necht R n, x R n. Řekneme, že x R n je vnitřním bodem množiny, jestliže existuje r > 0 splňující B r (x). (ii) nožina R n se nazývá otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem. (iii) Vnitřkem množiny rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny. Vnitřek množiny budeme značit int. Poznámka. (i) nožina R n je otevřená = int. (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou otevřené množiny. (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny G α R n, α A, jsou otevřené. Pak α A G α je otevřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny G i, i = 1,...,m, jsou otevřené. Pak m i=1 G i je otevřená množina. (Průnik nekonečně mnoha otevřených množin nemusí být otevřená množina: rozmyslete si, že platí: n=1 ( 1 n, 1 n ) = {0}). Definice. (i) Necht R n a x R n. Řekneme, že x je hraničním bodem množiny, pokud pro každé r > 0 platí B r ( x) a zároveň B r ( x) (R n \ ). (ii) Hranicí množiny rozumíme množinu všech hraničních bodů. Značíme ji H() nebo. (iii) Uzávěrem množiny rozumíme množinu H(). Uzávěr množiny značíme. (iv) Řekneme, že množina je uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body (tj. H(), neboli = ).
20 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 18 Poznámka. (i) nožina F R n je uzavřená, právě když R n \ F je otevřená. (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou uzavřené (i otevřené). (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny F α R n, α A, jsou uzavřené. Pak α A F α je uzavřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny F i, i = 1,...,m, jsou uzavřené. Pak m i=1 F i je uzavřená množina. (Sjednocení nekonečně mnoha uzavřených množin nemusí být uzavřená množina: rozmyslete si, že n=1 1 n, 1 1 n = (0, 1)). Definice. Necht A R n, A, a x R n. Vzdáleností bodu x od množiny A rozumíme číslo ρ( x, A) = inf{ x y ; y A}. Diametrem (průměrem) neprázdné množiny B R n rozumíme diamb = sup{ x y ; x, y B} a klademe diam = 0. Pokud diamb <, pak říkáme, že B je omezená množina. 8.2 Konvergence v R n Definice. Necht { x k } k=1 je posloupnost prvků Rn. Řekneme, že { x k } k=1 konverguje k y Rn, x k y, jestliže platí lim k x k y = 0. Prvek y nazýváme limitou posloupnosti { x k } k=1. Konvergentní posloupností v R n rozumíme každou posloupnost prvků R n, která má limitu v R n. Věta 8.1. Necht { x k } k=1 je posloupnost prvkůrn, x k = (x k,1,...,x k,n ) a necht y = (y 1,...,y n ). Potom x k y x k,j y j pro všechna j {1, 2,...,n}. Věta 8.2 (vlastnosti konvergence). Platí: (i) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. (ii) Necht A R n. nožina A je uzavřená, právě když limita každé konvergentní posloupnosti prvků z A leží v A. (iii) Necht { x kj } je posloupnost vybraná z posloupnosti { x k} k=1 prvků Rn, tj., {k j } je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Jestliže lim k x k = y, pak také lim j x kj = y. 8.3 Spojitá zobrazení Definice. Necht f : R n R m je zobrazení, a R n a R n. Řekneme, že f je spojité v bodě a vzhledem k množině, jestliže a a platí ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x : x a < δ f ( x) f ( a)) < ε; f je spojité v bodě a, jestliže je spojité v a vzhledem k R n. f je spojité na, jestliže je spojité v každém bodě a vzhledem k. Definice. Necht A R n a x A. Řekneme, že x je izolovaným bodem množiny A, jestliže ε > 0: A (B ε ( x) \ { x}) =.
21 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 19 Definice. Necht f : R n R m, A R n a necht a R n není izolovaným bodem množiny A. Řekneme, že prvek b R m je limitou zobrazení f v bodě a vzhledem k množině A, jestliže platí ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x A, x a: x a < δ = f ( x) b < ε. Je-li A = R n, říkáme, že f má v bodě a limitu b. Označení. Pokud limita f v bodě a vzhledem k A existuje, pak ji značíme lim f ( x) píšeme jen lim f ( x). x a, x R n x a lim f ( x). ísto zápisu x a, x A Věta 8.3 (Heineova věta o limitě). Necht f : R n R m, A D( f ), a není izolovaným bodem A, b R m. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) lim x a, x A f ( x) = b, (ii) pro každou posloupnost { x k } prvků množiny A, x k a, splňující lim x k = a, platí lim f ( x k ) = b. Věta 8.4 (Heineova věta o spojitosti). Necht f : R n R m, A D( f ), a není izolovaným bodem A. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) f je spojitá v bodě a vzhledem k množine A, (ii) pro každou posloupnost { x k } prvků množiny A, splňující lim x k = a, platí lim f ( x k ) = f ( a). Poznámka. Platí standardní věty o aritmetice limit, o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu. Věta 8.5 (spojitost složeného zobrazení v bodě). Necht f : R n R m a g : R m R k jsou vektorové funkce více proměnných. Necht a P R n, f ( a) Q R m, a necht platí: existuje δ R, δ > 0, takové, že f (B δ ( a) P) Q, f je spojité v bodě a vzhledem k P, g je spojité v bodě f ( a) vzhledem k Q. Pak zobrazení g f je spojité v bodě a vzhledem k P. 8.4 Parciální derivace a totální diferenciál Definice. Necht f : R n R je reálná funkce n proměnných, a R n, 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako limitu f f( a + t e i ) f( a) ( a) = lim, x i t 0 t pokud tato existuje vlastní. Symbolem f x i označujeme parciální derivaci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci, která bodu x přiřazuje hodnotu f x i ( x). Symbolem e i označujeme i-tý bázový vektor eukleidovské báze v R n. Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a L : R n R je lineární zobrazení. Řekneme, že L je (totální) diferenciál funkce f v bodě a, jestliže platí f( a + lim h) f( a) L( h) h 0 = 0. h
22 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 20 Věta 8.6 (vztah totálního diferenciálu a parciální derivace). Necht L je diferenciál funkce f v bodě a R n. Potom existují parciální derivace f ( a),..., f ( a) x 1 x n a pro každé h = (h 1,...,h n ) R n platí Jiná značení: (L f ( a) df( a).) h = (h1,...,h n ) (dx 1,...,dx n ) = L(h 1,...,h n ) = f ( a)h }{{} f ( a)h n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály f ( a)(h 1,...,h n ) = f x 1 ( a)h f x n ( a)h n. df( a)(dx 1,...,dx n ) = f ( a)dx }{{} f ( a)dx n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály Věta 8.7. á-li funkce f v bodě a R n totální diferenciál, je f v bodě a spojitá. Věta 8.8. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f x 1,..., Potom má f v bodě a totální diferenciál. f x n jsou spojité funkce v bodě a. Pouhá existence parciálních derivací (tj. parciálních diferenciálů) ještě neimplikuje existenci totálního diferenciálu! Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f( a + t v) f( a) D v f( a) = lim. t 0 t Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f ( a) existuje. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor ( f gradf( a) f( a) = ( a),..., f ) ( a) R n. x 1 x n Věta 8.9. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Necht existuje f ( a). Pak platí (i) D v f( a) = f( a) v = f ( a)( v) df( a)( v), (ii) max{d v f( a); v = 1} = f( a). Poznámka. Rozmyslete si k důkazu bodu (ii): v = 1 = D v f( a) f( a) v = f( a), f( a) 0, pak v := f( a) f( a) = D f( a) vf( a) = f( a) f( a) = f( a). Geometrický význam gradientu. Gradient funkce v bodě určuje směr největšího růstu funkce.
23 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 21 Velikost gradientu funkce v bodě je zároveň hodnotou (této největší) derivace ve směru gradientu. Definice. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a L : R n R k je lineární zobrazení. Řekneme, že L je derivací (totálním diferenciálem) zobrazení f v bodě a, jestliže platí f lim ( a + h) f ( a) L( h) h 0 = 0. h Úmluva. Pod termínem "derivace" budeme pro funkce f : R n R k rozumět totéž, co pod termínem "(totální) diferenciál". Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, které má v bodě a R n derivaci L f (a). Potom je f (a) reprezentováno (Jacobiho) maticí f 1 f Df x Dx ( a) D(f 1 ( a)... 1 x n ( a) f 1,...,f k ) 2 f ( a) := x 1 ( a)... 2 x n ( a) D(x 1,...,x n )... f k f x 1 ( a)... k x n ( a) Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f ( a) existuje. Potom f je spojité v a. Věta Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f j x i, i = 1,...,n, j = 1,...,k, jsou spojité v a. Potom f ( a) existuje. Věta 8.13 (derivace složeného zobrazení). Necht f je zobrazení z R n do R k, g je zobrazení z R k do R s, a R n a b = f( a) R k. Jestliže existují f ( a) a g ( b), pak existuje ( g f ) ( a) a platí ( g f ) ( a) = g ( b) f ( a). Důsledek 8.14 (řetízkové pravidlo). Necht funkce f 1,...,f k z R n do R mají v bodě a R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b = (f 1 ( a),...,f k ( a)) totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h( x) = g(f 1 ( x),...,f k ( x)). Potom má h v bodě a totální diferenciál a pro i {1,...,n} platí 8.5 Parciální derivace vyšších řádů h x i ( a) = k g y j ( b) f j x i ( a). Definice. Necht f je funkce z R n do R, i, j {1,...,n}, a R n. Parciální derivaci funkce f x i podle j-té proměnné v bodě a značíme 2 f x j x i ( a), pokud i j, případně 2 f ( a), pokud i = j. Analogicky značíme x 2 i parciální derivace vyšších řádů. Definice. Necht G R n je otevřená množina, f : G R a p N. Řekneme, že f je třídy C p, jestliže všechny parciální derivace funkce f až do řádu p včetně jsou spojité na G. nožinu všech funkcí f : G R třídy C p označujeme C p (G) a klademe C (G) = p=1 Cp (G). Definice. Necht G R n je otevřená množina, p N { } a f : G R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže všechny jeho složky f 1,...,f k jsou třídy C p.
24 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 22 Věta Necht p N { }, G R n, H R k jsou otevřené množiny, f : G R k, g : H R s jsou třídy C p a platí f(g) H. Pak zobrazení g f je třídy C p. Věta Necht G R n je otevřená, p N, a funkce f C p (G). Necht a G. Potom hodnota je nezávislá na pořadí indexů i 1, i 2,..., i p. p f x i1... x ip ( a) Poznámka. Tato tzv. záměnnost parciálních derivací obecně neplatí pro funkce, jejichž parciální derivace (až do příslušného řádu včetně) nejsou spojité. Definice. Necht všechny níže uvedené parciální derivace existují. Bud f : R n R n. Divergencí f v bodě a nazvu div f ( a) := f j x j ( a). Bud f : R 3 R 3. Rotací f v bodě a nazvu rotf e 1 e 2 e 3 ( a) := x y z f 1 f 2 f ( a) = 3 = ( f3 y f 2 z, f 1 z f 3 x, f 2 x f 1 y ) ( a). Definice. Bud f : R n R a necht existují parciální defivace 2 f, j = 1,...,n, v bodě a R n. Hodnotou x 2 j Laplaceova operátoru, aplikovaného na funkci f v bodě a (čteme "Laplace f( a)") nazvu hodnotu f( a) := 2 f x 2 ( a). j Poznámka. Operátory, a grad lze aplikovat i na vektorové funkce, "po složkách", tj. např. pro f : R n R k je f ( a) k-rozměrný vektor se složkami f j ( a), j = 1,...,k. Při formálním označení = ( x 1,..., x n ) lze psát tyto formální identity: gradf = f, div f = f, f = ( )f, rot f = f. Cvičení. Ověřte, že pro všechny funkce, mající v daném bodě spojité parciální derivace nejvyššího v identitách použitého řadu, platí tyto identity: div f( x) = f( x), div rot f ( x) = 0, rot rot f ( x) = div f ( x) f ( x), rot f( x) = 0.
25 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných Věty o implicitně zadaných funkcích Věta 8.17 (o implicitně zadané funkci). Necht p N { }, G R n+1 je otevřená množina, F : G R, x R n, ỹ R, [ x,ỹ] G a necht platí: (i) F C p (G), (ii) F( x,ỹ) = 0, (iii) F y ( x,ỹ) 0. Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R bodu ỹ, že x U! y V s vlastností F( x, y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U), a F ϕ x ( x) = j ( x, ϕ( x)), kde j {1,...,n}, x U. x F j y ( x, ϕ( x)) Věta 8.18 (o implicitně zadaných funkcích). Necht n, m N, p N { }, G R n+m je otevřená množina, F : G R m, x R n, y R m, [ x, y] G a platí: (i) F C p (G), (ii) F( x, y) = 0, (iii) F 1 y 1 ( x, y) F... 1 y m ( x, y) F m y 1 ( x, y) F... m y m ( x, y) Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R m bodu y, že x U! y V s vlastností F( x, y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U). 8.7 Extrémy funkcí více proměnných Definice. Bud f : R n R a D(f). Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na, jestliže platí y : f(y) f(x) (resp. y : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množině. Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) : f(y) f(x) (resp. y B δ (x) : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem lokálního maxima (resp. lokálního minima) funkce f na množině.
26 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 24 Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) \ {x}) : f(y) < f(x) (resp. y B δ (x) \ {x}) : f(y) > f(x)). Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině. Symbol max f (resp. min f) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množině nabývá (pokud taková hodnota existuje). Definice. Řekneme, že R n je kompaktní, pokud je uzavřená a omezená množina v R n. Věta Bud R n neprázdná kompaktní množina a f : R spojitá na. Pak f nabývá na svého maxima i minima (a tedy je m.j. omezená na ). Věta Necht G R n je otevřená, a G, j {1,...,n}. Necht funkce f : G R má v bodě a lokální extrém (vzhledem ke G). Pak bud f x j ( a) neexistuje nebo je rovna nule. Definice. Bod a R n nazýváme stacionárním bodem funkce f, pokud gradf( a) = 0, tj. pokud f x j ( a) = 0 pro všechna j = 1,...,n. Definice. Je-li A n n symetrická matice, pak funkce Q : R n R, definovaná předpisem Q( h) := (A h) h = je kvadratickou formou (definovanou maticí A). a ij h i h j i, Definice. Bud Q : R n R (jakákoli) kvadratická forma. Řekneme, že Q je pozitivně (negativně) definitní, pokud Q( h) > 0 (< 0) pro všechna h R n, h 0; pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud Q( h) 0 ( 0) pro všechna h R n ; indefinitní, pokud existují vektory h, k R n takové, že Q( h) > 0 a Q( k) < 0. Definice. Necht f : R n R má spojité druhé parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d 2 f( a) : R n R n R definované předpisem d 2 f( a)( h, h) := nazýváme druhým diferenciálem funkce f v bodě a. i, 2 f x i x j ( a)h i h j Poznámka. Zobrazení ( h : d ) 2 f( a)( h, h) je kvadratická forma, definovaná tzv. Hessovou maticí druhých derivací, H(f)( a) = 2 n f( a) x i x. j i, Věta 8.21 (postačující podmínky lokálního extrému). Budiž f C 2 (G), a G a necht f( a) = 0 (tj. a je stacionárním bodem f). Potom platí: Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima.
27 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 25 Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima. Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) indefinitní, nenabývá f v bodě a ani lokálního maxima, ani lokálního minima. Poznámka. K určení definitnosti kvadratické formy se často hodí následující pravidlo: Bud A n n matice kvadratické formy. Označme A 1 1 1, A , A n n n její hlavní diagonální podmatice; necht dále všechny determinanty deta 1,...detA n jsou nenulové. Označme číslem p počet znaménkových změn v posloupnosti {1, deta 1,...detA n }. Potom platí: Kvadratická forma definovaná maticí A je pozitivně definitní p = 0. Kvadratická forma definovaná maticí A je negativně definitní p = n. Věta 8.22 (Lagrangeovy multiplikátory). Necht m, n N, m < n, G R n je otevřená množina, f, g 1,...,g m C 1 (G), = { z G; g 1 ( z) = 0, g 2 ( z) = 0,...,g m ( z) = 0} a bod z je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory g 1 ( z), g 2 ( z),..., g m ( z) jsou lineárně závislé, (II) existují reálná čísla λ 1, λ 2,...,λ m R splňující 8.8 Taylorův polynom f( z) + λ 1 g 1 ( z) + λ 2 g 2 ( z) + + λ m g m ( z) = 0. Definice. Necht k N a necht funkce f : R n R má spojité k-té parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d k f( a) : R } n {{ R n } R definované předpisem k-krát d k f( a)( h,..., h) := }{{} k-krát j 1,...,j k =1 nazýváme k-tým diferenciálem funkce f v bodě a. k f( a) x j1 x jk h j1 h jk, Definice. Necht pro a R n existuje d k f( a), k N {0}. Potom Taylorovým polynomem k-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme polynom n proměnných T f, a k ( x) = f( a) + k 1 j! dj f( a)( x a,..., x a ). }{{} Definice. Řekneme, že množina R n je konvexní, pokud pro každé dva body x, y patří do i celá úsečka, která tyto dva body spojuje. j krát
28 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 26 Věta 8.23 (Lagrangeův tvar zbytku). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C k+1 (G) (k N {0}), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) = T f, a k ( x) + 1 (k + 1)! dk+1 f( ξ)( x a,..., x a ). }{{} (k+1) krát Věta 8.24 (důsledek: věta o přírůstku funkce). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C 1 (G), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) f( a) = f ( ξ)( x a). Věta 8.25 (Peanův tvar zbytku). Necht f je funkce z R n do R, která je třídy C k (k N) na jistém okolí bodu a R n. Potom platí f( x) T f, a k ( x) lim x a x a k = 0.
29 . Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 9: Vícerozměrná integrace 27 9 Vícerozměrná integrace 9.1 Elementy teorie míry Poznámka. Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, n, který má následující vlastnosti n, R n n ; všechny otevřené a uzavřené množiny z R n jsou prvky n ; je-li A n, je i R n \ A n ; jsou-li A j n, pak A j n, A j n. Definice. Bud n systém měřitelných množin na R n. nožinovou funkci µ : n R nazvu míra, pokud platí 1. µ(a) 0 pro všechna A n ; 2. µ( ) = 0; 3. jsou-li A j n po dvou disjunktní, pak platí tzv. princip spočetné aditivity, ( µ A j ) = µ(a j ). Zajímavá otázka: Existují neměřitelné množiny? Definice. Na R n uvažujme tzv. nedegenerovaný n-rozměrný interval (hranol), tj. množinu tvaru a 1, b 1 a n, b n, kde a j, b j R, a j < b j pro všechna j. Bud dále n systém měřitelných množin na R n takový, že všechny nedegenerované hranoly jsou prvky n. íru λ n, definovanou na n, která navíc splňuje podmínku λ n ( a 1, b 1 a n, b n ) = (b 1 a 1 ) (b n a n ) nazvu Lebesgueovou n-dimenzionální mírou (na R n ). Poznámka. Existuje více měr než jenom Lebesgueova. Uvažujte například jednorozměrnou míru µ, splňující µ((a, b)) = arctg b arctg a. Uvažujte dále například jednorozměrnou míru δ, splňující δ(a) = 0, pokud 0 / A, δ(a) = 1, pokud 0 A. (tzv. Diracova míra). Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. onotonie: A, B n, A B = konečnou Lebesgueovu míru. λ n (A) λ n (B), tedy speciálně omezené množiny mají A j n, A j A j+1 j N = λ n ( A j ) = lim j λ n (A j ).
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více7 Lineární vektorové prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 1 7 Lineární vektorové prostory 7.1 LVP - definice a příklady Definice. MnožinaGse nazývá grupou, jestliže v G je definována
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Více12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Více10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
VíceČtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VíceLineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem
Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
Více