Aplikovaná matematika II (NMAF072) LS 2016/17

Aplikovaná matematika II (NAF072) irko Rokyta (KA FF UK) LS 2016/17 7 Lineární vektorové prostory 1 7.1 Definice a příklady 1 7.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 7.3 Podprostory, lineární obal, báze 2 7.4 Lineární zobrazení 4 7.5 atice definice a základní vlastnosti 5 7.6 Soustavy lineárních algebraických rovnic 8 7.7 Determinanty a jejich výpočet 10 7.8 Použití determinantů k výpočtům 12 7.9 Vztah mezi maticemi a lineárními zobrazeními 14 7.10 Lineární, bilineární a kvadratické formy 15 8 Funkce více proměnných 17 8.1 Základní pojmy 17 8.2 Konvergence v R n 18 8.3 Spojitá zobrazení 18 8.4 Parciální derivace a totální diferenciál 19 8.5 Parciální derivace vyšších řádů 21 8.6 Věty o implicitně zadaných funkcích 23 8.7 Extrémy funkcí více proměnných 23 8.8 Taylorův polynom 25 9 Vícerozměrná integrace 27 9.1 Elementy teorie míry 27 9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál 28 9.3 Fubiniho věta a věta o substituci 30 9.4 Věty o limitních přechodech 31 9.5 Integrály s parametrem 31 9.6 Gamma funkce 32

Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika II (NAF072), kterou jsem v zimním semestru akademického roku 2016/17 vedl na FF UK a je rozšířením a úpravou textu, který vznikl v letech 2010/11 a 2013/14, kdy jsem tuto přednášku také měl. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a také důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobným korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese rokyta@karlin.mff.cuni.cz Text je možno nalézt v elektronické podobně na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/. Rokyta, 2011-17

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 1 7 Lineární vektorové prostory 7.1 LVP - definice a příklady Definice. nožinagse nazývá grupou, jestliže v G je definována (binární) operace " : G G G", tj. ke každým dvěma prvkům x, y G je přiřazen právě jeden prvekx y G, přičemž platí: (x y) z = x (y z)... asociativnost v G existuje neutrální prvek, tj. e G, x e = e x = x pro každé x G; ke každémux G existuje inverzní prvek x 1 G takový, že x x 1 = x 1 x = e. Dodatek: pokud navíc pro všechnax,y G platíx y = y x (komutativita), nazývámegkomutativní (nebo též Abelovou) grupou. Příklady grup: Celá čísla s operací sčítání. Nenulová racionální čísla s operací násobení. Grupa symetrií geometrických útvarů. Povolené transformace na Rubikově kostce. Definice. nožina V se nazývá reálným, resp. komplexním lineárním vektorovým prostorem (LVP), pokud V je komutativní grupou vzhledem k operaci "sčítání prvků vev "; ve V je navíc definováno násobení " " reálným resp. komplexním číslem, splňující: 1 x = x α (β x) = (αβ) x... asociativnost; (α+β) x = α x+β x α (x+y) = α x+α y... distributivnost pro všechna reálná (resp. komplexní) číslaα, β a libovolnéx,y V. Příklady LVP: ProstorR n se skaláry zr. ProstorC n se skaláry zc. Prostor polynomů s reálnými koeficienty (sčítání polynomů, násobení reálným skalárem). Prostory funkcí, prostory posloupností...

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 2 7.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů Úmluva: prvky lineárního (vektorového) prostoru budeme nazývat vektory, prvky (reálná nebo komplexní čísla), kterými násobíme vektory, budeme nazývat skaláry. Definice. Necht x 1,...,x n V jsou vektory a c 1,...,c n skaláry. Potom vektor n c jx j nazýváme lineární kombinací prvků x 1,...,x n s koeficienty c 1,...,c n. Pokud je c 1 = = c n = 0, nazýváme tuto kombinaci triviální lineární kombinací, v opačném případě mluvíme o netriviální lineární kombinaci. Definice. Řekneme, že vektory x 1,...,x n V jsou lineárně závislé, pokud existuje netriviální lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna nule. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, tj. pokud platí c j x j = 0 = c 1 = = c n = 0, říkáme, že vektoryx 1,...,x n V jsou lineárně nezávislé. Tvrzení 7.1. Vektoryx 1,...,x n V jsou lineárně závislé právě tehdy, je-li jeden z nich lineární kombinací zbylých vektorů. Definice. Bud V libovolná podmnožina LVP. Řekneme, že je lineárně nezávislá, pokud je každá její konečná podmnožina lineárně nezávislá. Poznámka. Výše uvedená definice umožňuje identifikovat i lineárně nezávislé množiny o nekonečném počtu prvků. Věta 7.2 (Steinitzova). Necht pro vektoryx 1,...,x n V,y 1,...,y m V platí: pro všechnak = 1,2,...,m je vektor y k (nějakou) lineární kombinací vektorů x 1,...,x n, y 1,...,y m jsou lineárně nezávislé. Potomm n. Jinak řečeno: v množině všech lineárních kombinací daných n vektorů existuje nejvýše n lineárně nezávislých vektorů. Ještě jinak řečeno: vytvoříme-li z n vektorů lineárními kombinacemi k vektorů, a přitom k > n, tak těchto k vektorů už je lineárně závislých. 7.3 Podprostory, lineární obal, báze Definice. Necht V je lineární vektorový prostor. nožinu P V nazýváme podprostorem prostoru V, pokud pro každé x,y P jex+y P, pro každé x P a pro každý skalár α jeα x P. Pozorování: Každý podprostor LVP je sám LVP. Průnik libovolných podprostorů je opět podprostor; sjednocení dvou podprostorů je podprostor jen tehdy, je-li jeden z nich podmnožinou druhého.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 3 Definice (Lineární obal). Bud V libovolná podmnožina LVP. Lineárním obalem množiny (značíme L()) nazveme množinu všech konečných lineárních kombinací prvků z, L() = {x V, n N, x 1,...,x n, c 1,...,c n skaláry,x = c j x j }. Příklad:L({0}) = {0},L(V) = V,L({[1]}) = R,L({[1,0],[0,1]}) = R 2. Věta 7.3. Bud V libovolná podmnožina LVP. PotomL() je podprostorem vev. Poznámky: L() je nejmenší podprostor, obsahující ; L() se nezmění, pokud z vynecháme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvků z ; nebo pokud k přidáme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvků z; Bud = {x 1,...,x n }, Je-li k > n, potom každých k vektorů z L() je lineárně závislých (viz "Steinitz"). Definice. Bud V neprázdný LVP. Řekneme, že V generujev (je generátorem prostoruv ), pokudl() = V. Řekneme, že V je konečně generovaný, pokud existuje množina o konečném počtu prvků, která jej generuje. V opačném případě říkáme, žev je nekonečně generovaný. Definice (Báze). Podmnožina V se nazývá bází prostoruv, pokud je lineárně nezávislá; generujev. Věta 7.4. Každý LVP má bázi. Poznámka: Báze V není určena jednoznačně, ale platí: pokud ve V existuje n-prvková báze (n N), pak i každá jiná báze V má n prvků (plyne ze Steinitzovy věty). Definice (Dimenze). Řekneme, že prostorv má dimenzin N, a píšemedimv = n, pokud v něm existuje báze, složena znprvků. Nulovému prostoruv = {0} připisujeme dimenzi 0. Řekneme, žev je konečně dimenzionální, pokuddimv N {0}. Není-li V konečně dimenzionální, říkáme, že je nekonečně dimenzionální, a píšemedimv =. Poznámky: Je-li dimv = n N, pak každá lineárně nezávislán-prvková množina je báze. Příklad: nožiny{[1,0],[0,1]} i {[2,0],[3,3]} jsou báze vr 2. Je-li dim V =, pak pro každou n-prvkovou množinu (n N) platí L() V, L() V. Věta 7.5 (O záměně). Necht dimv = n, {x 1,...,x n } je báze ve V. Necht P V je podprostor V, dimp = k, k < n, {y 1,...,y k } je báze v P. Potom existují indexy j 1,...j n k takové, že množina {y 1,...,y k,x j1,...,x jn k } tvoří bázi vev.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 4 Důsledek: V konečně dimenzionálním prostoru V lze bázi každého podprostoru P V doplnit na bázi celého prostoru V pomocí (některých) prvků z předem dané báze celého prostoru V. Jinak rečeno: V konečně dimenzionálním prostoru V lze (některé) prvky báze celého prostoru V nahradit prvky báze daného podprostorup V tak, že výsledná množina zůstane bazí celého prostoruv. Věta 7.6 (O souřadnicích). Necht dimv = n, {x 1,...,x n } je báze ve V s reálnými (resp. komplexními skaláry). Potom pro každýx V existuje jednoznačně určenán-tice skalárůc 1,...,c n taková, že x = c j x j. Definice. Číslac 1,...,c n z předchozí věty se nazývají souřadnice vektoru x v bázi{x 1,...,x n }. 7.4 Lineární zobrazení Definice. Necht V aw jsou LVP. Řekneme, že zobrazení ϕ : V W je lineární, pokud D(ϕ) = V ; ϕ(cx + dy) = cϕ(x) + dϕ(y) pro všechny vektory x, y V a všechny skaláry c, d; Tvrzení 7.7. Je-liϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, platí ( ) ϕ(0) = 0, ϕ c j x j = c j ϕ(x j ), pro všechny vektory x j, a všechny skaláryc j,j = 1,...,n. Definice. Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP. nožinu R(ϕ) := {y W, x V, ϕ(x) = y} nazýváme oborem hodnot zobrazení ϕ. nožinu N(ϕ) := {x V, ϕ(x) = 0} nazýváme jádrem zobrazení ϕ. Poznámky: Jiné termíny a značení: Obor hodnot Range; jádro: N(ϕ) = Ker(ϕ). Je-li ϕ : V W lineární zobrazení, jer(ϕ) podprostorem vew a N(ϕ) podprostorem vev. Věta 7.8. Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP. Je-li ϕ prosté zobrazení, jeϕ 1 lineární a prosté zobrazení z R(ϕ) do V. Zobrazeníϕje prosté právě tehdy, když platí ϕ(x) = 0 = x = 0. (Poznámka: implikace x = 0 = ϕ(x) = 0 platí vždy.) Je-li ϕ prosté zobrazení, pak platí {x 1,...x k } LN ve V {ϕ(x 1 ),...ϕ(x k )} LN vew a {x 1,...x k } LZ vev {ϕ(x 1 ),...ϕ(x k )} LZ vew.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 5 Věta 7.9. Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dimv je konečná. Potom platí dimn(ϕ)+dimr(ϕ) = dimv. Věta 7.10. Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dimv = dimw je konečná. Potom platí ϕ je prosté nav ϕ zobrazujev naw. Důležitým důsledkem je následující věta: Věta 7.11 (Fredholmova alternativa). Bud ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dim V = dim W je konečná. Potom y W!x V ϕ(x) = y právě tehdy, když ϕ(x) = 0 x = 0. 7.5 atice - definice a základní vlastnosti Definice. Reálnou resp. komplexní maticí A typum n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... = (a ij) i=1,...,m,,...,n a m1 a m2... a mn kdea ij R, resp.a ij C nazýváme prvky maticea. Poznámky: řádky (sloupce) matice A jsou vektory z R n (R m ) resp.c n (C m ); m n... maticeamá m řádků ansloupců; m = n... mluvíme o čtvercové matici A stupněn. Označení. nožinu všech reálných matic rozměrum n budeme značit m n (R), množinu všech komplexních matic rozměrum n budeme značit m n (C). Úmluva: Zápisem m n budeme rozumět množinu všech reálných nebo komplexních matic rozměru m n, zejména v situacích, kdy formulované tvrzení nebo vlastnost platí pro matice rozměru m n, bez ohledu na to, jestli jsou reálné nebo komplexní. Definice. Rovnost matic:a m n,b r s. PotomA = B právě tehdy, kdyžm = r,n = s, a b ij = a ij pro všechnai = 1,...,m; j = 1,...,n. Sčítání (odčítání) matic:a,b,c m n,c = A±B:c ij = a ij ±b ij pro všechnai = 1,...,m; j = 1,...,n. Násobení skalárem:a m n,(αa) ij = αa ij pro všechnai = 1,...,m; j = 1,...,n. Poznámka. Sčítání matic a násobení matice skalárem je tedy definováno "po složkách". m n je lineární vektorový prostor dimenze mn.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 6 Definice (Násobení matic). Bud A m s, B s n. atice C = A B m n je definována takto: s C = (c ij ) i=1,...,m, kde c ij := a ik b kj.,...,n Poznámka (Einsteinova sumační konvence:) s a ik b kj a ik b kj (sčítání přes opakující se indexy). Pozor na interpretaci zápisů typu "a kk " apod. k=1 Poznámka (Skalární součin dvou vektorů:) Bud te x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) dva vektory z R n. Potom skalárním součinem vektorů x a y nazveme číslo x y := x j y j. Na skalární součin dvou vektorů lze nahlížet jako na součin dvou matic: typu 1 n a typu n 1. Výsledkem je pak matice typu 1 1, tedy číslo. Poznámka. Pro A,B n n je definováno A B i B A, obecně je ovšem A B B A, tj. násobení matic není komutativní. Uvažte například ( ) ( ) 1 0 0 1 A =, B =, 0 2 0 0 kdy A B = ( 0 1 0 0 ), B A = k=1 ( 0 2 0 0 Poznámka. Násobení matic ovšem je asociativní, tj. A (B C) = (A B) C, pokud jsou všechna násobení definována (tj. pokud souhlasí rozměry matic). Dále platí (ověřte): A (B+C) = A B+A C, (B+C) A = B A+C A, λ(a+b) = λa+λb, λ(a B) = (λa) B, ). pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. souhlasí rozměry matic). Definice (Jednotková matice stupněn). Jednotková matice stupněnje matice I n n tvaru 1 0... 0 0 1... 0 I =....... 0 0... 1 Poznámka: Jednotková matice se též někdy značí symboleme.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 7 Jednotková matice je příkladem tzv. diagonální matice, tj. matice, pro kteroua ij = 0, pokudi j. Ověřte: je-lii n n jednotková matice, paka I = I A = A, pro všechny maticea n n. Definice. Bud A n n. Řekneme, že A má inverzní matici (značíme ji A 1 ), pokud existuje A 1 n n, taková, že A A 1 = A 1 A = I. PokudA n n má inverzní matici, říkáme, žeaje regulární matice, v opačném případě říkáme, že A je singulární matice. Tvrzení 7.12. Je-li A n n regulární, pak jea 1 určena jednoznačně a platí (A 1 ) 1 = A. Jsou-li A,B n n regulární, pak i matice A B ab A jsou regulární, a platí (A B) 1 = B 1 A 1, (B A) 1 = A 1 B 1. nožina všech regulárních matic stupně n tvoří grupu vůči operaci násobení matic, přičemž jednotkovým prvkem této grupy je jednotková matice. Tvrzení 7.13. Bud A n n. Potom A je regulární sloupceajsou LN řádkyajsou LN. Poznámka: Toto tvrzení ještě později rozšíříme o další ekvivalentní podmínky. Definice. Transponovanou maticí k matici A m n nazvu matici A T n m takovou, že pro její prvkya T ij platí: at ij = a ji pro všechnai = 1,...,m; j = 1,...,n. Řeknu, že matice A n n je symetrická, pokud A = A T. (Uvědomte si na základě definice rovnosti dvou matic, že tento pojem má smysl jen pro matice z n n ). Řeknu, že maticea n n je ortogonální, pokud A A T = I. Tvrzení 7.14. Bud A n n ; potom A A T = I A T A = I. Bud A n n ; potomaje ortogonální (A je regulární aa 1 = A T ). Definice. Hermitovsky sdruženou (někdo říká též "adjungovanou") maticí k maticia m n (C) nazvu matici A H n m (C) definovanou předpisem A H := A T, kde A je matice, sestávající z prvků komplexně sdružených k prvkům maticea. Řeknu, že maticea n n (C) je hermitovská (případně "samoadjungovaná"), pokuda = A H. Řeknu, že maticea n n (C) je unitární, pokuda A H = I. Tvrzení 7.15. Bud A n n (C); potom A A H = I A H A = I. Bud A n n (C); potomaje unitární (A je regulární aa 1 = A H ). Poznámka: ProA n n (R) splývají pojmy "hermitovská" a "symetrická"; a "unitární" a "ortogonální".

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 8 Někdy se používá pro A H též označení A. Přesněji, A se užívá pro adjungovanou matici, A H pro matici Hermitovsky sdruženou. Názvosloví pochází z teorie operátorů, kde tyto pojmy označují dvě různé vlastnosti. Pro zobrazení, která jsou reprezentována konečnými maticemi, oba pojmy splynou. Cvičení. Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoň na jedné straně uvažovaných rovností): (Porovnejte tyto identity se vztahem který platí pro regulární maticea,b.) (A B) T = B T A T, (A B) H = B H A H. (A B) 1 = B 1 A 1, 7.6 Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavamlineárních algebraických rovnic (LAR) pronneznámýchx 1,...,x n (přičemž "pravá strana" y 1,...y m a "koeficienty" a ij jsou dány): a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = y 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n = y 2...... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = y m Ax = y A x = y kdea m n (R) (resp. m n (C)), x x R n (resp.c n ), y y R m (resp.c m ). Diskuse: 1. Pokud y = 0, říkáme dané soustavě (A x = 0) homogenní soustava LAR. Označme N A := { x R n (resp.c n ); A x = 0} množinu řešení homogenní soustavya x = 0. Potom platí: vždy je 0 N A, tedyn A ; pokudn A = {0}, říkáme, že homogenní soustavaa x = 0 má pouze triviální řešení; N A je vektorový podprostor prostoru R n (resp. C n ), tedy x N A, z N A, α, β R = α x+β z N A. 2. Pokud y 0, říkáme dané soustavě (A x = y) nehomogenní soustava LAR. Platí: pokud je x P jedno (partikulární) řešení soustavya x = y, pak všechna řešení soustavya x = y mají tvar N x = x P + c J x J, (1) kde c J jsou konstanty (skaláry), N je dimenze vektorového prostoru N A a x J jsou (lineárně nezávislé) prvky báze prostorun A. J=1

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 9 Situaci z (1) někdy též formálně zachycujeme zápisem x = x P +N A. Věta 7.16. Bud A m n. Potom y m 1! x n 1, A x = y N A = {0}. Navíc platí: pokudn A je netriviální (N A {0}), tak pro pevně zvolené y m 1 nastane právě jedna z těchto možností: neexistuje x n 1 takové, žea x = y (soustava nemá řešení); existuje nekonečně mnoho x n 1 takových, že A x = y (soustava má nekonečně mnoho řešení); tato řešení jsou pak tvaru x P +N A, kde x P je nějaké (jedno) řešení soustavy rovnica x = y. Definice. Bud A m n. Hodností matice A (píšeme h(a)) nazveme maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A. Tvrzení 7.17. Bud A m n. Potomh(A) = h(a T ). Důsledky: Definice hodnosti matice se nezmění, pokud v ní zaměníme slovo "sloupců" slovem "řádků". ProA m n je h(a) min(m,n). Definice. Bud A m n, y m 1, x n 1. Rozšířenou maticí soustavy A x = y nazvu matici (A; y) m (n+1), která vznikne rozšířením matice A o jeden sloupec přidáním (sloupcového) vektoru y. Věta 7.18 (Frobenius). Bud A m n, y m 1. Potom soustava A x = y je řešitelná (tj. existuje alespoň jedno x n 1 takové, žea x = y) h(a) = h(a; y). Poznámka: Vždy je h(a) h(a; y) (rozmyslete si), tedy platí: soustava A x = y nemá řešení h(a) < h(a; y). Věta 7.19. Bud A m n (tedynje počet sloupců maticea). Potom dimn A +h(a) = n, tedy dimn A = 0 h(a) = n. Věta 7.20 (aneb 1. rozšíření Tvrzení 7.13). Bud A n n čtvercová matice. Potom A je regulární sloupceajsou LN řádkyajsou LN h(a) = n dimn A = 0. Rekapitulace: ějme soustavu rovnic A x = y, A m n, y m 1, tedy matice A má n sloupců. Potom nastane právě jedna z těchto tří situací: 1. h(a) = n:! x n 1, A x = y. 2. h(a) < n & h(a) = h((a; y)): prostor všech řešení homogenní soustavy A x = 0 má dimenzi dimn A = n h(a), a soustava A x = y má nekonečně mnoho řešení tvaru x P + N A, kde x P je jedno (partikulární) řešení soustavya x = y.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 10 3. h(a) < n & h(a) < h((a; y)): prostor všech řešení homogenní soustavy A x = 0 má dimenzi dimn A = n h(a), ale soustavaa x = y nemá žádné řešení (není řešitelná). Definice. atici A = (a ij ) nazvu horní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i > j. atici A = (a ij ) nazvu dolní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i < j. Poznámky: atice je horní trojúhelníková a současně dolní trojúhelníková právě tehdy, když je diagonální. Je-li A horní (nebo dolní) trojúhelníková matice, je nalezení řešení soustavy A x = y jednoduché, stejně jako nalezení hodnosti maticea. Gaussova eliminační metoda řešení soustavy rovnic A x = y: Upravujeme rozšířenou matici soustavy (A; y) s cílem obdržet na místěahorní trojúhelníkovou matici; používáme tyto úpravy: prohození dvou řádků v matici (A; y) (odpovídá prohození pořadí rovnic v systému); vynechání řádku v matici (A; y), pokud tento řádek tvoří s některými dalšími řádky LZ množinu vektorů (odpovídá vynechání příslušných rovnic v systému); vyškrtnutí nulových sloupců (odpovídá vynechání proměnné x j, která se nevyskytuje v soustavě rovnic); prohození dvou sloupců (odpovídá přečíslování proměnných x j ve vektoru řešení x); přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku matice (A; y). Příklad 1. Řešte tyto soustavy rovnic: (a) 2x+3y+z= 5 (b) 2x+3y+z= 5 x+4y+z= 3 x+4y+z= 3 x y = 1 x y = 2 (c) 2x+3y+z= 5 x+4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: (a) Nemá řešení. (b) Nekonečně mnoho řešení tvaru[x,y,z] = [2,0,1]+c[1,1, 5],c R, (dimn A = 1). (c) Právě jedno řešení: [x,y,z] = [ 12 5, 2 5, 1]. 7.7 Determinanty a jejich výpočet Definice. Determinant čtvercové maticea n n,deta, definujeme induktivně takto: ProA 1 1,A = (a 11 ), definujeme deta := a 11. ProA n n, definujeme deta := ( 1) j+1 a 1j det 1j, kde 1j je matice, která vznikne z maticeavyškrtnutím 1. řádku aj-tého sloupce. Příklad: vzorec pro výpočet determinantu A 2 2, Sarusovo pravidlo proa 3 3.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 11 Poznámka. ísto označení "det A" používáme někdy zkrácené značení "svislé čáry kolem prvků matice A". Tedy a 11 a 12... a 1n a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n det...... a 21 a 22... a 2n....... a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn Pravidla pro výpočet determinantů: Je:detA T = deta, proto všechna následující tvrzení platí i tehdy, nahradíme-li všude slova "řádek, řádky"... slovy "sloupec, sloupce"... Je-li à matice, kterou dostaneme zaprohozením (záměnou) dvou řádků, pakdetã = deta. Obsahuje-li matice A nulový řádek, nebo jsou-li řádky matice A lineárně závislé, jedeta = 0. Přičteme-li k nějakému řádku matice A lineární kombinaci jiných řádků, nezmění se její determinant. Vynásobíme-li nějaký řádek maticeačíslem α, je determinant výsledné matice roven αdeta. Tvrzení 7.21 (Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce)). Označme ij matici, kterou dostaneme z A vyškrtnutími-tého řádku aj-tého sloupce. Označme dálea ij := ( 1) i+j det ij tzv. algebraický doplněk prvku a ij vzhledem k matici A. Potom platí: resp. Poznámka. deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij det ij, i = 1,...,n, deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij det ij j = 1,...,n. i=1 i=1 Číslodet ij nazýváme (i,j)-tým minorem maticea. Pro všechnai = 1,...,n resp.j = 1,...,n obecněji platí: a ij A kj = δ ik deta, resp. a ij A ik = δ jk deta, i=1 kde δ ij je tzv. Kroneckerovo delta, mající vlastnost δ ii = 1,δ ij = 0 pro všechnai j. Tvrzení 7.22. Je-li A n n (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, pak n deta = a jj. Bud tea,b n n. Potom det(a B) = deta detb.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 12 Tvrzení 7.23. a 11 a 12... a 1n.... b k1 +c k1 b k2 +c k2... b kn +c kn =...... a n1 a n2... a nn a 11 a 12... a 1n a 11 a 12... a 1n........ = b k1 b k2... b kn + c k1 c k2... c kn............ a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn. 7.8 Použití determinantů k výpočtům A. Regularita a hodnost matice Věta 7.24 (aneb 2. rozšíření Tvrzení 7.13). Bud A n n čtvercová matice. Potom A je regulární sloupceajsou LN řádkyajsou LN h(a) = n dimn A = 0 deta 0. Definice. Subdeterminantem dané matice A n n nazveme determinant jakékoli matice Ã, která vznikne z maticeavyškrtnutím stejného počtu řádků a sloupců. Stupněm subdeterminantudetã nazveme stupeň (tj. rozměr) příslušné (čtvercové) matice Ã. Věta 7.25. Hodnost matice A n n je rovna maximálnímu stupni všech nenulových subdeterminantů matice A. B. Výpočet inverzní matice Věta 7.26. Je-liA n n regulární matice, pak prvkyα ij její inverzní maticea 1 jsou dány vzorci: α ij = A ji deta, kde A ji je algebraický doplněk k prvku a ji maticea. i, j = 1,...,n, C. Cramerovo pravidlo pro řešení soustavya x = y Věta 7.27. Bud A n n regulární matice, y n 1. Potom složkyx 1,...,x n řešení rovnicea x = y jsou dány vzorci: x i = deta(i) y deta, i = 1,...,n, kde maticea (i) y vznikne tak, že v matici A nahradíme její i-tý sloupec vektorem y.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 13 Příklad 2 Řešte pomocí Cramerova pravidla: 2x+3y+z= 5 x+4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: Je 2 3 1 1 4 1 1 1 1 2 5 1 1 3 1 1 1 1 = 5 0, = 2, 5 3 1 3 4 1 1 1 1 2 3 5 1 4 3 1 1 1 = 12, = 5, Proto x = 12 5, y = 2 5, z = 5 5 = 1. Porovnejte výsledek s výsledkem Příkladu 1 c). D. Nalezení kolmého vektoru ke dvěma vektorům vr 3, jejich vektorový součin Definice (Kolmé vektory). Bud te x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) dva vektory z R n. Řekneme, že tyto dva vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud x y := x j y j = 0, tedy pokud skalární součin (nenulových) vektorů x, y je nulový. Poznámka. Platí x y = y x. Definice (Vektorový součin dvou vektorů zr 3 ). Bud te x = (x 1,x 2,x 3 ), y = (y 1,y 2,y 3 ) R 3. Definujme vektorový součin těchto dvou vektorů předpisem ( ) x x y := 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 R 3. (2) Věta 7.28. Pro x, y R 3 platí: y x = ( x y). x a y jsou lineárně nezávislé x y 0. Jsou-li x a y jsou lineárně nezávislé, pak je vektor x y kolmý jak k vektoru x, tak k vektoru y. Poznámka. Bud te x, y, z R 3. Potom z ( x y) = z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3. Odtud ihned plyne předchozí věta (rozmyslete si). Označme i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Definici vektorového součinu pak lze formálně zachytit i takto: i j k x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 14 Poznámka. Označme e 1 = (1,0,...,0),..., e n = (0,0,...,1) R n. Vektorový součin vr n lze definovat pro(n 1) vektorů x 1,..., x n 1 R n pomocí následujícího determinantu: e 1 e 2... e n x 1 x 2 x n 1 x 1 1 x 1 2... x 1 n :=....... x1 n 1 x2 n 1... xn n 1 Jsou-li vektory x 1,..., x n 1 lineárně nezávislé vr n, je (nenulový) vektor x 1 x 2 x n 1 kolmý ke všem těmto vektorům. E. Objem rovnoběžnostěnu vr n Tvrzení 7.29. Necht a 1 = (a 1 1,...,a1 n),..., a n = (a n 1,...,an n) je n lineárně nezávislých vektorů v R n. Potom absolutní hodnota determinantu a 1 1 a 1 2... a 1 n a 2 1 a 2 2... a 2 n...... a n 1 a n 2... a n n je číselně rovna objemu rovnoběžnostěnu, jehož hrany tvoří tyto vektory. 7.9 Vztah mezi maticemi a lineárními zobrazeními Věta 7.30. Bud A m n (R). Potom zobrazeníϕ : R n R m definované předpisem ϕ( x) := A x pro všechna x R n je lineární. Bud ϕ : R n R m lineární zobrazení. Potom existuje právě jedna matice A ϕ m n (R) taková, že ϕ( x) = A ϕ x pro všechna x R n. V tomto případě říkáme, žea ϕ reprezentuje zobrazeníϕ. Věta 7.31. Pokudn = m aa ϕ n n (R) reprezentuje lineární zobrazeníϕ : R n R n, platí ϕ je prosté ϕ je "na" A ϕ je regulární. Věta 7.32. PokudA n n (R), reprezentující lineární zobrazeníϕ : R n R n, je regulární, pak matice A 1 n n (R) reprezentuje zobrazeníϕ 1 : R n R n, inverzní kϕ. Věta 7.33. Pokud A m n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R m, a B s m (R) reprezentuje lineární zobrazení ψ : R m R s, pak matice B A s n (R) reprezentuje lineární zobrazeníψ ϕ : R n R s. Předchozí čtyři věty zůstanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolemc.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 15 7.10 Lineární, bilineární a kvadratické formy Definice. Lineární formou (lineárním funkcionálem) nad (reálným resp. komplexním) vektorovým prostoremv nazvu lineární zobrazení f prostoruv do R resp.c. Věta 7.34. Necht { e (1),..., e (n) } je báze v n-dimenzionálním vektorovém prostoru V n. Potom každý lineární funkcionál f nad V n je tvaru f( x) = α j γ j, kdeγ j = f( e (j) ),j = 1,...,n, a α jsou souřadnice vektoru x v bázi{ e (1),..., e (n) }, tj. x = n α j e (j). Definice. Bilineární formou na (reálném resp. komplexním) vektorovém prostoru V nazvu zobrazení A = A( x, y) z prostoru V V do R resp. C, které splňuje následující požadavky pro všechna x, y, z V a pro všechnaα R resp.c: A( x+ y, z) = A( x, z)+a( y, z), (3) A( x, y + z) = A( x, y)+a( x, z), (4) A(α x, y) = αa( x, y), (5) A( x,α y) = αa( x, y). (6) Poznámka. Vlastnosti (3) (5) jsou vlastnosti linearity, vlastnost (6) je tzv. antilinearita vzhledem ke druhé složce. Pokud jsou skaláry zr, je bilinearita totéž co linearita v každé z obou složek. Definice. Bilineární formaa( x, y) nav se nazývá hermitovská (resp. symetrická), pokud pro všechna x, y V platí A( x, y) = A( y, x) (resp. A( x, y) = A( y, x)). Poznámka. Příkladem hermitovské bilineární formy je skalární součin na vektorovém prostoru. Je-li A n n (K),A = (a ij ) n i,, je zobrazení A( x, y) := a ij x i y j (A x, y), x, y K n, i, bilineární formou nak n, která je hermitovská právě tehdy, když je hermitovská maticea. Na konečnědimenzionálních prostorech je výše zmíněná situace typická: Věta 7.35. Bud A( x, y) bilineární forma na V n, dimv n = n. Bud { e (1),..., e (n) } báze vev n. Potom A( x, y) = (A α, β) = a ij α i β j, kde pro prvky matice A platí a ij = A( e (i), e (j) ), a α, resp. β jsou souřadnice vektoru x resp. y v bázi { e (1),..., e (n) }. Poznámka. Je-li A n n (C) hermitovská matice, pak platí (A x, x) R (ukažte to). Pokud je navíc (A x, x) 0 a (A x, x) = 0 x = 0, je výrazem (A x, y), x, y C n, (kde (, ) je eukleidovský skalární součin vc n ), maticíadefinován (určen) jiný skalární součin (bilineární formaa( x, y) = (A x, y) má všechny vlastnosti skalárního součinu). Tento nový skalární součin generuje odpovídající normu, i, x A := (A x, x), (7) čímž zavádí i nový pojem vzdálenosti (metriky) v C n,ρ A ( x, y) := x y A.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 16 Poznámka. Často se používají pojmy "skalární součin", "norma", "metrika" i tehdy, když forma (A x, y) nemá všechny vlastnosti skalárního součinu. Například tzv. inkowského metrika (používaná v teorii relativity) je definovaná diagonální maticí A 4 4 (R), mající na diagonále prvky (1,1,1, c 2 ). Odpovídající časoprostorová metrika generuje časoprostorovou "normu" tvaru (x,y,z,t) 2 = x 2 +y 2 +z 2 c 2 t 2. Definice (Kvadratická forma). Je-liA( x, y) bilineární forma na vektorovém prostoruv, nazvu zobrazení Q( x) := A( x, x) : V R (C) kvadratickou formou na V, generovanou (vytvořenou) bilineární formou A. Kvadratická forma se nazývá hermitovskou, pokud je vytvořena hermitovskou bilineární formou. Tvrzení 7.36. Bilineární formaa( x, y) v komplexním prostoru je hermitovská právě tehdy, kdyža( x, x) R pro každé x. Tvrzení 7.37. V reálném prostoru lze každou kvadratickou formu vytvořit pomocí jediné symetrické bilineární formy. Příklad 2. Kvadratická forma Q( x) = x 2 1 + x 1x 2 + 3x 1 x 3 + 2x 2 2 : R3 R může být vytvořena jednak (nesymetrickou) bilineární formou jednak symetrickou formou A N ( x, y) = x 1 y 1 +x 1 y 2 +3x 1 y 3 +2x 2 y 2, A S ( x, y) = x 1 y 1 + 1 2 (x 1y 2 +x 2 y 1 )+ 3 2 (x 1y 3 +x 3 y 1 )+2x 2 y 2. Poznámka. Předchozím dvěma bilineárním formáma N resp.a S odpovídají příslušné dvě matice 1 3 1 1 3 1 2 2 A N = 0 2 0, A S = 1 2 2 0. 3 0 0 0 2 0 0 Věta 7.38 (o převedení na kanonický tvar). Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru)v n (dimv n = n) se skalárním součinem existuje ortonormální báze{ e (1),..., e (n) } vev n taková, že Q( x) = λ j α j 2, pro x = α j e (j), (8) kde λ j R jsou určena jednoznačně až na pořadí. Definice (Kanonický tvar). Kanonickým tvarem kvadratické formy Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. v reálném vektorovém prostoru)v n (dimv n = n) se skalárním součinem nazveme tvar Q( x) = λ j α j 2, pro x = α j e (j), (9) kde{ e (1),..., e (n) } vev n je nějaká báze vev n aλ j jsou nějaké skaláry. Věta 7.39 (Zákon setrvačnosti kvadratické formy). Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru)v n se skalárním součinem (dimv n = n) existuje (nikoli nutně ortonormální) báze { e (1),..., e (n) } ve V n taková, že Q( x) = ρ j α j 2, pro x = α j e (j), (10) kde ρ j R jsou bud 0, 1 nebo 1, přičemž počet nul, jedniček a minus jedniček nezávisí na bázi, v níž má Q( x) tvar (10).

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 17 8 Funkce více proměnných 8.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) R n budeme rozumět číslo x y, kde x y 2 = (x j y j ) 2. Poznámka. (i) x, y R n : x y = 0 x = y, (ii) x, y R n : x y = y x, obecněji α( x y) = α x y, (α C). (iii) x, y, z R n : x y x z + z y. Obecně jakékoli zobrazení : R n 0, + ) s vlastnostmi (i) (iii) nazýváme normou na prostoru R n. Definice. (i) Necht x R n, r > 0. nožinu B r ( x) U r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y < r} nazýváme otevřenou koulí se středem x a poloměrem r nebo také otevřeným okolím bodu x. (ii) Necht x R n, r > 0. nožinu B r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y r} nazýváme uzavřenou koulí se středem x a poloměrem r. Definice. (i) Necht R n, x R n. Řekneme, že x R n je vnitřním bodem množiny, jestliže existuje r > 0 splňující B r (x). (ii) nožina R n se nazývá otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem. (iii) Vnitřkem množiny rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny. Vnitřek množiny budeme značit int. Poznámka. (i) nožina R n je otevřená = int. (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou otevřené množiny. (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny G α R n, α A, jsou otevřené. Pak α A G α je otevřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny G i, i = 1,...,m, jsou otevřené. Pak m i=1 G i je otevřená množina. (Průnik nekonečně mnoha otevřených množin nemusí být otevřená množina: rozmyslete si, že platí: n=1 ( 1 n, 1 n ) = {0}). Definice. (i) Necht R n a x R n. Řekneme, že x je hraničním bodem množiny, pokud pro každé r > 0 platí B r ( x) a zároveň B r ( x) (R n \ ). (ii) Hranicí množiny rozumíme množinu všech hraničních bodů. Značíme ji H() nebo. (iii) Uzávěrem množiny rozumíme množinu H(). Uzávěr množiny značíme. (iv) Řekneme, že množina je uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body (tj. H(), neboli = ).

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 18 Poznámka. (i) nožina F R n je uzavřená, právě když R n \ F je otevřená. (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou uzavřené (i otevřené). (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny F α R n, α A, jsou uzavřené. Pak α A F α je uzavřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny F i, i = 1,...,m, jsou uzavřené. Pak m i=1 F i je uzavřená množina. (Sjednocení nekonečně mnoha uzavřených množin nemusí být uzavřená množina: rozmyslete si, že n=1 1 n, 1 1 n = (0, 1)). Definice. Necht A R n, A, a x R n. Vzdáleností bodu x od množiny A rozumíme číslo ρ( x, A) = inf{ x y ; y A}. Diametrem (průměrem) neprázdné množiny B R n rozumíme diamb = sup{ x y ; x, y B} a klademe diam = 0. Pokud diamb <, pak říkáme, že B je omezená množina. 8.2 Konvergence v R n Definice. Necht { x k } k=1 je posloupnost prvků Rn. Řekneme, že { x k } k=1 konverguje k y Rn, x k y, jestliže platí lim k x k y = 0. Prvek y nazýváme limitou posloupnosti { x k } k=1. Konvergentní posloupností v R n rozumíme každou posloupnost prvků R n, která má limitu v R n. Věta 8.1. Necht { x k } k=1 je posloupnost prvkůrn, x k = (x k,1,...,x k,n ) a necht y = (y 1,...,y n ). Potom x k y x k,j y j pro všechna j {1, 2,...,n}. Věta 8.2 (vlastnosti konvergence). Platí: (i) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. (ii) Necht A R n. nožina A je uzavřená, právě když limita každé konvergentní posloupnosti prvků z A leží v A. (iii) Necht { x kj } je posloupnost vybraná z posloupnosti { x k} k=1 prvků Rn, tj., {k j } je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Jestliže lim k x k = y, pak také lim j x kj = y. 8.3 Spojitá zobrazení Definice. Necht f : R n R m je zobrazení, a R n a R n. Řekneme, že f je spojité v bodě a vzhledem k množině, jestliže a a platí ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x : x a < δ f ( x) f ( a)) < ε; f je spojité v bodě a, jestliže je spojité v a vzhledem k R n. f je spojité na, jestliže je spojité v každém bodě a vzhledem k. Definice. Necht A R n a x A. Řekneme, že x je izolovaným bodem množiny A, jestliže ε > 0: A (B ε ( x) \ { x}) =.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 19 Definice. Necht f : R n R m, A R n a necht a R n není izolovaným bodem množiny A. Řekneme, že prvek b R m je limitou zobrazení f v bodě a vzhledem k množině A, jestliže platí ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x A, x a: x a < δ = f ( x) b < ε. Je-li A = R n, říkáme, že f má v bodě a limitu b. Označení. Pokud limita f v bodě a vzhledem k A existuje, pak ji značíme lim f ( x) píšeme jen lim f ( x). x a, x R n x a lim f ( x). ísto zápisu x a, x A Věta 8.3 (Heineova věta o limitě). Necht f : R n R m, A D( f ), a není izolovaným bodem A, b R m. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) lim x a, x A f ( x) = b, (ii) pro každou posloupnost { x k } prvků množiny A, x k a, splňující lim x k = a, platí lim f ( x k ) = b. Věta 8.4 (Heineova věta o spojitosti). Necht f : R n R m, A D( f ), a není izolovaným bodem A. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) f je spojitá v bodě a vzhledem k množine A, (ii) pro každou posloupnost { x k } prvků množiny A, splňující lim x k = a, platí lim f ( x k ) = f ( a). Poznámka. Platí standardní věty o aritmetice limit, o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu. Věta 8.5 (spojitost složeného zobrazení v bodě). Necht f : R n R m a g : R m R k jsou vektorové funkce více proměnných. Necht a P R n, f ( a) Q R m, a necht platí: existuje δ R, δ > 0, takové, že f (B δ ( a) P) Q, f je spojité v bodě a vzhledem k P, g je spojité v bodě f ( a) vzhledem k Q. Pak zobrazení g f je spojité v bodě a vzhledem k P. 8.4 Parciální derivace a totální diferenciál Definice. Necht f : R n R je reálná funkce n proměnných, a R n, 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako limitu f f( a + t e i ) f( a) ( a) = lim, x i t 0 t pokud tato existuje vlastní. Symbolem f x i označujeme parciální derivaci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci, která bodu x přiřazuje hodnotu f x i ( x). Symbolem e i označujeme i-tý bázový vektor eukleidovské báze v R n. Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a L : R n R je lineární zobrazení. Řekneme, že L je (totální) diferenciál funkce f v bodě a, jestliže platí f( a + lim h) f( a) L( h) h 0 = 0. h

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 20 Věta 8.6 (vztah totálního diferenciálu a parciální derivace). Necht L je diferenciál funkce f v bodě a R n. Potom existují parciální derivace f ( a),..., f ( a) x 1 x n a pro každé h = (h 1,...,h n ) R n platí Jiná značení: (L f ( a) df( a).) h = (h1,...,h n ) (dx 1,...,dx n ) = L(h 1,...,h n ) = f ( a)h }{{} 1 + + f ( a)h n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály f ( a)(h 1,...,h n ) = f x 1 ( a)h 1 + + f x n ( a)h n. df( a)(dx 1,...,dx n ) = f ( a)dx }{{} 1 + + f ( a)dx n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály Věta 8.7. á-li funkce f v bodě a R n totální diferenciál, je f v bodě a spojitá. Věta 8.8. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f x 1,..., Potom má f v bodě a totální diferenciál. f x n jsou spojité funkce v bodě a. Pouhá existence parciálních derivací (tj. parciálních diferenciálů) ještě neimplikuje existenci totálního diferenciálu! Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f( a + t v) f( a) D v f( a) = lim. t 0 t Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f ( a) existuje. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor ( f gradf( a) f( a) = ( a),..., f ) ( a) R n. x 1 x n Věta 8.9. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Necht existuje f ( a). Pak platí (i) D v f( a) = f( a) v = f ( a)( v) df( a)( v), (ii) max{d v f( a); v = 1} = f( a). Poznámka. Rozmyslete si k důkazu bodu (ii): v = 1 = D v f( a) f( a) v = f( a), f( a) 0, pak v := f( a) f( a) = D f( a) vf( a) = f( a) f( a) = f( a). Geometrický význam gradientu. Gradient funkce v bodě určuje směr největšího růstu funkce.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 21 Velikost gradientu funkce v bodě je zároveň hodnotou (této největší) derivace ve směru gradientu. Definice. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a L : R n R k je lineární zobrazení. Řekneme, že L je derivací (totálním diferenciálem) zobrazení f v bodě a, jestliže platí f lim ( a + h) f ( a) L( h) h 0 = 0. h Úmluva. Pod termínem "derivace" budeme pro funkce f : R n R k rozumět totéž, co pod termínem "(totální) diferenciál". Věta 8.10. Necht f je zobrazení z R n do R k, které má v bodě a R n derivaci L f (a). Potom je f (a) reprezentováno (Jacobiho) maticí f 1 f Df x Dx ( a) D(f 1 ( a)... 1 x n ( a) f 1,...,f k ) 2 f ( a) := x 1 ( a)... 2 x n ( a) D(x 1,...,x n )... f k f x 1 ( a)... k x n ( a) Věta 8.11. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f ( a) existuje. Potom f je spojité v a. Věta 8.12. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f j x i, i = 1,...,n, j = 1,...,k, jsou spojité v a. Potom f ( a) existuje. Věta 8.13 (derivace složeného zobrazení). Necht f je zobrazení z R n do R k, g je zobrazení z R k do R s, a R n a b = f( a) R k. Jestliže existují f ( a) a g ( b), pak existuje ( g f ) ( a) a platí ( g f ) ( a) = g ( b) f ( a). Důsledek 8.14 (řetízkové pravidlo). Necht funkce f 1,...,f k z R n do R mají v bodě a R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b = (f 1 ( a),...,f k ( a)) totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h( x) = g(f 1 ( x),...,f k ( x)). Potom má h v bodě a totální diferenciál a pro i {1,...,n} platí 8.5 Parciální derivace vyšších řádů h x i ( a) = k g y j ( b) f j x i ( a). Definice. Necht f je funkce z R n do R, i, j {1,...,n}, a R n. Parciální derivaci funkce f x i podle j-té proměnné v bodě a značíme 2 f x j x i ( a), pokud i j, případně 2 f ( a), pokud i = j. Analogicky značíme x 2 i parciální derivace vyšších řádů. Definice. Necht G R n je otevřená množina, f : G R a p N. Řekneme, že f je třídy C p, jestliže všechny parciální derivace funkce f až do řádu p včetně jsou spojité na G. nožinu všech funkcí f : G R třídy C p označujeme C p (G) a klademe C (G) = p=1 Cp (G). Definice. Necht G R n je otevřená množina, p N { } a f : G R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže všechny jeho složky f 1,...,f k jsou třídy C p.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 22 Věta 8.15. Necht p N { }, G R n, H R k jsou otevřené množiny, f : G R k, g : H R s jsou třídy C p a platí f(g) H. Pak zobrazení g f je třídy C p. Věta 8.16. Necht G R n je otevřená, p N, a funkce f C p (G). Necht a G. Potom hodnota je nezávislá na pořadí indexů i 1, i 2,..., i p. p f x i1... x ip ( a) Poznámka. Tato tzv. záměnnost parciálních derivací obecně neplatí pro funkce, jejichž parciální derivace (až do příslušného řádu včetně) nejsou spojité. Definice. Necht všechny níže uvedené parciální derivace existují. Bud f : R n R n. Divergencí f v bodě a nazvu div f ( a) := f j x j ( a). Bud f : R 3 R 3. Rotací f v bodě a nazvu rotf e 1 e 2 e 3 ( a) := x y z f 1 f 2 f ( a) = 3 = ( f3 y f 2 z, f 1 z f 3 x, f 2 x f 1 y ) ( a). Definice. Bud f : R n R a necht existují parciální defivace 2 f, j = 1,...,n, v bodě a R n. Hodnotou x 2 j Laplaceova operátoru, aplikovaného na funkci f v bodě a (čteme "Laplace f( a)") nazvu hodnotu f( a) := 2 f x 2 ( a). j Poznámka. Operátory, a grad lze aplikovat i na vektorové funkce, "po složkách", tj. např. pro f : R n R k je f ( a) k-rozměrný vektor se složkami f j ( a), j = 1,...,k. Při formálním označení = ( x 1,..., x n ) lze psát tyto formální identity: gradf = f, div f = f, f = ( )f, rot f = f. Cvičení. Ověřte, že pro všechny funkce, mající v daném bodě spojité parciální derivace nejvyššího v identitách použitého řadu, platí tyto identity: div f( x) = f( x), div rot f ( x) = 0, rot rot f ( x) = div f ( x) f ( x), rot f( x) = 0.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 23 8.6 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta 8.17 (o implicitně zadané funkci). Necht p N { }, G R n+1 je otevřená množina, F : G R, x R n, ỹ R, [ x,ỹ] G a necht platí: (i) F C p (G), (ii) F( x,ỹ) = 0, (iii) F y ( x,ỹ) 0. Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R bodu ỹ, že x U! y V s vlastností F( x, y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U), a F ϕ x ( x) = j ( x, ϕ( x)), kde j {1,...,n}, x U. x F j y ( x, ϕ( x)) Věta 8.18 (o implicitně zadaných funkcích). Necht n, m N, p N { }, G R n+m je otevřená množina, F : G R m, x R n, y R m, [ x, y] G a platí: (i) F C p (G), (ii) F( x, y) = 0, (iii) F 1 y 1 ( x, y) F... 1 y m ( x, y)..... 0. F m y 1 ( x, y) F... m y m ( x, y) Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R m bodu y, že x U! y V s vlastností F( x, y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U). 8.7 Extrémy funkcí více proměnných Definice. Bud f : R n R a D(f). Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na, jestliže platí y : f(y) f(x) (resp. y : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množině. Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) : f(y) f(x) (resp. y B δ (x) : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem lokálního maxima (resp. lokálního minima) funkce f na množině.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 24 Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) \ {x}) : f(y) < f(x) (resp. y B δ (x) \ {x}) : f(y) > f(x)). Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině. Symbol max f (resp. min f) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množině nabývá (pokud taková hodnota existuje). Definice. Řekneme, že R n je kompaktní, pokud je uzavřená a omezená množina v R n. Věta 8.19. Bud R n neprázdná kompaktní množina a f : R spojitá na. Pak f nabývá na svého maxima i minima (a tedy je m.j. omezená na ). Věta 8.20. Necht G R n je otevřená, a G, j {1,...,n}. Necht funkce f : G R má v bodě a lokální extrém (vzhledem ke G). Pak bud f x j ( a) neexistuje nebo je rovna nule. Definice. Bod a R n nazýváme stacionárním bodem funkce f, pokud gradf( a) = 0, tj. pokud f x j ( a) = 0 pro všechna j = 1,...,n. Definice. Je-li A n n symetrická matice, pak funkce Q : R n R, definovaná předpisem Q( h) := (A h) h = je kvadratickou formou (definovanou maticí A). a ij h i h j i, Definice. Bud Q : R n R (jakákoli) kvadratická forma. Řekneme, že Q je pozitivně (negativně) definitní, pokud Q( h) > 0 (< 0) pro všechna h R n, h 0; pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud Q( h) 0 ( 0) pro všechna h R n ; indefinitní, pokud existují vektory h, k R n takové, že Q( h) > 0 a Q( k) < 0. Definice. Necht f : R n R má spojité druhé parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d 2 f( a) : R n R n R definované předpisem d 2 f( a)( h, h) := nazýváme druhým diferenciálem funkce f v bodě a. i, 2 f x i x j ( a)h i h j Poznámka. Zobrazení ( h : d ) 2 f( a)( h, h) je kvadratická forma, definovaná tzv. Hessovou maticí druhých derivací, H(f)( a) = 2 n f( a) x i x. j i, Věta 8.21 (postačující podmínky lokálního extrému). Budiž f C 2 (G), a G a necht f( a) = 0 (tj. a je stacionárním bodem f). Potom platí: Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 25 Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima. Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) indefinitní, nenabývá f v bodě a ani lokálního maxima, ani lokálního minima. Poznámka. K určení definitnosti kvadratické formy se často hodí následující pravidlo: Bud A n n matice kvadratické formy. Označme A 1 1 1, A 2 2 2..., A n n n její hlavní diagonální podmatice; necht dále všechny determinanty deta 1,...detA n jsou nenulové. Označme číslem p počet znaménkových změn v posloupnosti {1, deta 1,...detA n }. Potom platí: Kvadratická forma definovaná maticí A je pozitivně definitní p = 0. Kvadratická forma definovaná maticí A je negativně definitní p = n. Věta 8.22 (Lagrangeovy multiplikátory). Necht m, n N, m < n, G R n je otevřená množina, f, g 1,...,g m C 1 (G), = { z G; g 1 ( z) = 0, g 2 ( z) = 0,...,g m ( z) = 0} a bod z je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory g 1 ( z), g 2 ( z),..., g m ( z) jsou lineárně závislé, (II) existují reálná čísla λ 1, λ 2,...,λ m R splňující 8.8 Taylorův polynom f( z) + λ 1 g 1 ( z) + λ 2 g 2 ( z) + + λ m g m ( z) = 0. Definice. Necht k N a necht funkce f : R n R má spojité k-té parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d k f( a) : R } n {{ R n } R definované předpisem k-krát d k f( a)( h,..., h) := }{{} k-krát j 1,...,j k =1 nazýváme k-tým diferenciálem funkce f v bodě a. k f( a) x j1 x jk h j1 h jk, Definice. Necht pro a R n existuje d k f( a), k N {0}. Potom Taylorovým polynomem k-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme polynom n proměnných T f, a k ( x) = f( a) + k 1 j! dj f( a)( x a,..., x a ). }{{} Definice. Řekneme, že množina R n je konvexní, pokud pro každé dva body x, y patří do i celá úsečka, která tyto dva body spojuje. j krát

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 8: Funkce více proměnných 26 Věta 8.23 (Lagrangeův tvar zbytku). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C k+1 (G) (k N {0}), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) = T f, a k ( x) + 1 (k + 1)! dk+1 f( ξ)( x a,..., x a ). }{{} (k+1) krát Věta 8.24 (důsledek: věta o přírůstku funkce). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C 1 (G), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) f( a) = f ( ξ)( x a). Věta 8.25 (Peanův tvar zbytku). Necht f je funkce z R n do R, která je třídy C k (k N) na jistém okolí bodu a R n. Potom platí f( x) T f, a k ( x) lim x a x a k = 0.

. Rokyta, FF UK: Aplikovaná matematika II kap. 9: Vícerozměrná integrace 27 9 Vícerozměrná integrace 9.1 Elementy teorie míry Poznámka. Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, n, který má následující vlastnosti n, R n n ; všechny otevřené a uzavřené množiny z R n jsou prvky n ; je-li A n, je i R n \ A n ; jsou-li A j n, pak A j n, A j n. Definice. Bud n systém měřitelných množin na R n. nožinovou funkci µ : n R nazvu míra, pokud platí 1. µ(a) 0 pro všechna A n ; 2. µ( ) = 0; 3. jsou-li A j n po dvou disjunktní, pak platí tzv. princip spočetné aditivity, ( µ A j ) = µ(a j ). Zajímavá otázka: Existují neměřitelné množiny? Definice. Na R n uvažujme tzv. nedegenerovaný n-rozměrný interval (hranol), tj. množinu tvaru a 1, b 1 a n, b n, kde a j, b j R, a j < b j pro všechna j. Bud dále n systém měřitelných množin na R n takový, že všechny nedegenerované hranoly jsou prvky n. íru λ n, definovanou na n, která navíc splňuje podmínku λ n ( a 1, b 1 a n, b n ) = (b 1 a 1 ) (b n a n ) nazvu Lebesgueovou n-dimenzionální mírou (na R n ). Poznámka. Existuje více měr než jenom Lebesgueova. Uvažujte například jednorozměrnou míru µ, splňující µ((a, b)) = arctg b arctg a. Uvažujte dále například jednorozměrnou míru δ, splňující δ(a) = 0, pokud 0 / A, δ(a) = 1, pokud 0 A. (tzv. Diracova míra). Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. onotonie: A, B n, A B = konečnou Lebesgueovu míru. λ n (A) λ n (B), tedy speciálně omezené množiny mají A j n, A j A j+1 j N = λ n ( A j ) = lim j λ n (A j ).