5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi prostoru V, že je matice zobrazení A v této bázi co nejjednodušší, např. má následující strukturu A = A 0 A A 3. 0.. A k, kde A k jsou čtvercové matice malého řádu nejlépe nebo a ostatní prvk matice jsou nulové. Problém najít bázi, ab v ní matice zobrazení měla diagonální tvar kde A k jsou skalár, vede k pojmu vlastní číslo a vlastní vektor matice. Definice: Nechť A C n,n. Jestliže platí A = λ pro jisté komplení číslo λ C a jistý nenulový vektor C n, Θ, potom číslo λ nazýváme vlastním číslem matice A a vektor vlastním vektorem příslušným k tomuto vlastnímu číslu. Množinu všech vlastních čísel nazýváme spektrem matice A. Poznámka: Všimněme si, že až dosud jsme uvažovali reálné matice. U vlastních čísel studium pouze reálných matic ztrácí smsl, protože i reálná matice může mít komplení vlastní čísla. Proto uvažujeme obecně komplení matice. Poznámka: Podmínka eistence nenulového vektoru Θ v definici vlastního čísla je nezbtná: kdbchom připustili i = Θ, potom b každé komplení číslo blo vlastním číslem a definice b ztratila smsl.
5. Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Odpovídá-li matice A matici nějakého zobrazení A, pak každý nenulový vektor z jádra zobrazení Ker A je vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu 0. Je-li Ker A = {Θ} je-li matice A regulární, pak 0 není vlastním číslem matice A. Příklad: Je-li P je matice ortogonální projekce v prostoru R 3 na nějaký podprostor U U je ted buď rovina nebo přímka procházející počátkem, pak pro každý vektor u U platí P u = u, všechn vektor z U s vjímkou nulového vektoru Θ jsou vlastními vektor matice P příslušné vlastnímu číslu. Prostor U je roven jádru projekce nulovému prostoru matice P, a ted každý vektor z ortogonálního doplňku U s výjimkou Θ je vlastním vektorem příslušným k vlastnímu číslu 0. Obrázek 5.: Poznámka: Pro každý vlastní vektor čtvercové matice A platí A = λ, 0, a ted po složkách máme soustavu a a... a n a a... a n... a n a n... a nn. n = λ. n, kde,..., n jsou neznámé a λ parametr soustav. Tato rovnice je ekviva-
5. Vlastní čísla a vlastní vektor 3 lentní homogenní soustavě rovnic A λi = Θ s parametrem λ a λ a... a n 0 a a λ... a n.... = 0.. a n a n... a nn λ n 0 Protože je tato soustava homogenní, mohou nastat dvě možnosti: a matice je regulární a má ted pouze triviální řešení. V takovém případě neeistuje nenulový vektor Θ takový, že b platilo A = λ; číslo λ není ted vlastním číslem. b matice je singulární, a ted její množina řešení obsahuje i nenulové vektor a její dimenze je nejméně. Číslo λ je ted vlastním číslem matice a každý vektor z množin řešení této homogenní soustav je vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu λ. Hledáme-li vlastní čísla a vektor matice, musí být soustava s maticí A λi singulární. Tento případ nastane právě kdž je nulový její determinant. Determinant matice deta λi = a λ a... a n a a λ... a n... a n a n... a nn λ je polnom stupně n v proměnné λ, který nazýváme charakteristickým polnomem matice A. Je zřejmé, že vlastní čísla matice jsou jeho kořen. Podle základní vět algebr má každý polnom n-tého stupně právě n obecně kompleních kořenů, počítáme-li i jejich násobnosti. Platí ted věta: Tvrzení: Každá čtvercová matice A C n,n má právě n vlastních čísel, počítáme-li každé vlastní číslo v jeho násobnosti jakožto kořenu charakteristického polnomu. Příklad: Reálná čtvercová matice A = 0 0 řádu má charakteristický polnom tvaru deta λi = λ λ = λ λ = λ +
4 5. Vlastní čísla a vlastní vektor a jeho kořen jsou čísla λ, = ±i λ + = 0. Tato reálná matice nemá ted reálná vlastní čísla. Dosadíme-li za λ = i získáme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ = i Vidíme, že vlastní vektor i i i i 0 0 i i i 0 0. má také komplení složk a platí i = i = i Podobně postupujeme i pro vlastní číslo λ = i a vpočteme příslušný vlastní vektor. i Příklad: Nechť A = 5 3 8 6 4.. Nalezněte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektor matice A. Charakteristický polnom matice A je roven deta λi = 5 λ 3 8 λ 6 4 λ = = 5 λ λ λ + 4 + 4 65 λ 8 λ λ = λλ λ + Řešením rovnice deta λi = 0 hledáme kořen charakteristického polnomu, které se postupně redukuje na řešení kubické rovnice λλ λ+ = 0, ted λλ = 0, jejíž kořen jsou jeden dvojnásobný kořen λ = λ = a jeden kořen λ 3 = 0. Vlastní vektor příslušné vlastnímu číslu λ = λ = získáme řešením soustav A λ I = A λ I = Θ, ted 4 3 8 6 4 3 4 3 0 0 0 0 0 0 ze které vplývá, že každý vektor, pro který je A =, musí splňovat podmínku [0, 3,,, 4, 0] λ a ted lineárně nezávislými vlastními vektor jsou například =, 4, 0 a = 0, 3,. Podobně postupujeme i u,
5. Vlastní čísla a vlastní vektor 5 vlastního čísla λ 3 = 0. Řešení rovnice A λ 3 I = A = Θ vede na hledání vektorů z nulového prostoru soustav. 5 3 8 6 4 5 3 0 3 6 0 5 3 0 0 5 3 0 0 0 0 Jedním z možných řešení je vektor 3 =,,. Indukuje-li matice A Obrázek 5.: zobrazení A tato matice je maticí lineárního zobrazení A v standardních bá-zích, 0 0 pak má matice zobrazení A v bázi,, 3 diagonální tvar 0 0. 0 0 0 Geometrická interpretace zobrazení A je, že se jedná o projekci na rovinu podél os dané vektorem 3. Příklad: Určete vlastní čísla a příslušející vektor matice A = 4 5 7 4 9 4 0 5 Postupujeme stejným způsobem, vpočteme charakteristický polnom deta λi = 4 λ 5 7 4 λ 9 4 0 5 λ = 4 λ 4 λ5 λ + 80 + 8 4 λ + 55 λ = λλ 4λ + 3 a nalezneme jeho kořen λ =, a protože je diskriminant D = 6 4 3 = 6 5 = 36 jsou další kořen kompleně sdružené λ,3 = 4±6i = ± 3i..
6 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ = najdeme jako nenulové řešení homogenní soustav A λ I = Θ 4 5 7 3 5 7 3 5 7 4 9 5 9 0 0 0 4 0 5 4 0 4 0 0 40 3 5 7 0 0 3 5 7 0 0 0 0 například =,,. Řešením soustav A λ I = Θ získáme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ = + 3i 3i 5 7 6 3i 9 6 3i 9 0 4 i 39 3i, 4 0 3 3i 0 0 0 kterým může být vektor = 3 3i, 5 3i, 4. Podobně vpočteme i vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ 3 = 3i: 3 = 3 + 3i, 5 + 3i, 4. Poznámka: Je-li λ k násobný kořen charakteristického polnomu matice A, pak v obecném případě nemusí být násobnost vlastního čísla jako kořenu rovna počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušných tomuto vlastnímu číslu. Pak matice A není diagonalizovatelná, ted neeituje báze, ve které b měla matice zobrazení A, které indukuje daná matice A, diagonální tvar. [ ] 0 0 Příklad: Matice A = má charakteristický polnom tvaru deta 0 λi = λ 0 λ = λ, a ted číslo λ = 0 je vlastní číslo s násobností. Vlastní vektor matice, které přísluší tomuto vlastnímu číslu vpočteme ze soustav A λi = Θ, ted v našem případě řešením soustav A = Θ ve tvaru 0. + 0. = 0,. + 0. = 0, které vede na = 0, =, [0, ] λ, a ted dim[0, ] λ = se nerovná násobnosti vlastního čísla λ = 0. Matice není ted diagonalizovatelná, nelze nalézt bázi, ve které b měla matice diagonální tvar.,
5. Vlastní čísla a vlastní vektor 7 Smetrické matice a jejich vlastnosti Definice: Nechť A = a ij R m,n. Matici A T R n,m, definovanou A T ji = a ij, i =,..., m, j =,..., n nazýváme maticí transponovanou k matici A. Poznámka: Slovně, j-tým řádkem matice A T se stává j-tý sloupec matice A j =,..., n a i-tým sloupcem matice A T se stává i-tý řádek matice A i =,..., m. Příklad: A = 3 4 5 6 R,3, A T = 4 5 3 6 R 3, Definice: Matice A se nazývá smetrická, jestliže A T = A. Poznámka: Smetrická matice je ted nutně čtvercová matice A R n,n. Poznámka: Ukázali jsme, že reálná matice A R n,n může mít obecně i komplení vlastní čísla. Tvrzení: Smetrická matice A R n,n má všechna vlastní čísla reálná. Tvrzení: Vlastní vektor příslušné navzájem různým vlastním číslům každé reálné matice A R n,n jsou lineárně nezávislé. Tvrzení: Vlastní vektor příslušné navzájem různým vlastním číslům smetrické matice A R n,n jsou navzájem ortogonální kolmé. Příklad: Nechť A = λ, Θ. Pak je ortogonální doplněk X = [ ] λ invariantním podprostorem matice A, který splňuje podmínku A X pro každé X. Příklad: Najděte charakteristický polnom, vlastní čísla a příslušné vlastní vektor smetrické matice A =.
8 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Obrázek 5.3: Postupujeme standardním způsobem: vpočteme charakteristický polnom λ deta λi = λ λ = = λ λ λ λ λ = = λ λ 3 + 3λ = = λ λ 3 λ = = λ[ λ λ 3] = = λ[ + λ λ + λ 3] = = λλ 4 = λλ λ + a určíme jeho kořen λ =, λ =, λ 3 = a příslušné vlastní vektor řešením homogenních soustav A λ i I = Θ λ = : 0 0 0 0 0 0 0 0 získáme v tvaru =,,, který splňuje A =, 3 3 λ = : 0 0 0 0,
5. Vlastní čísla a vlastní vektor 9 řešením soustav A λ I = Θ je vektor = 0,, splňující A = λ 3 = : 3 3 0 0 0 0 0 0 a řešením A λ 3 I = Θ získáme 3 =,,, pro který platí A 3 = 3. Definujeme-li matici vlastních vektorů X =,, 3 = 0, pak kromě identit vplývající z definice vlastních vektorů A X = X 0 0 0 0 0 0 platí i vlastnost, že vlastní vektor příslušné navzájem různým vlastním číslům jsou kolmé X T X = 0 0, = 3 0 0 0 0 0 0 6 Kdž jednotlivé sloupce matice X vnormujeme tak, ab měl výsledné vektor jednotkovou délku = = 3 = = 3 = 3 3 = 6 pak pro matici X =,, 3 platí X T X = I, ted X je ortogonální matice viz následující podkapitola. Základní vlastnost, že vektor,, 3 0,,,.
0 5. Vlastní čísla a vlastní vektor vtváří ortonormální bázi prostoru R 3 je vidět z následujících rovností T X T T X = T T T 3 3 = T T T T 3 = 3 T 3 T 3 T 3 3 =,,, 3,,, 3 3, 3, 3, 3 = 0 0 0 0 0 0. Příklad: Nechť A : R 3 R 3 je lineární zobrazení se smetrickou maticí 7/9 4/9 4/9 A = 4/9 /9 8/9. 4/9 8/9 /9 Vlastní čísla matice najdeme jako kořen charakteristického polnomu 7/9 λ 4/9 4/9 deta λi = 4/9 /9 λ 8/9 4/9 8/9 /9 λ = = λ 3 λ + λ = λ λ +. Protože je matice A smetrická, jsou tto kořen λ =, λ = λ 3 = reálná čísla. Vlastní vektor = β, β, β 3 takový, že A = λ je řešením homogenní soustav 6β + 4β + 4β 3 = 0 4β 0β + 8β 3 = 0 4β + 8β 0β 3 = 0 s hodností a její řešení lze získat i přímo pomocí vektorového součinu jako = α 6, 4, 4 4, 0, 8 = α 7, 44, 44. Vektor β, β, β 3 musí být totiž kolmý na vektor 6, 4, 4 a 4, 0, 8. Koeficient α zvolíme tak, ab bla norma vektoru rovna jedné, ted =,,. Vlastní vektor příslušné dvojnásobnému vlastnímu číslu 3 λ = λ 3 = jsou řešeními homogenní soustav β + 4β + 4β 3 = 0 4β + 8β + 8β 3 = 0 4β + 8β + 8β 3 = 0
5. Vlastní čísla a vlastní vektor s garantovanou hodností. Standardním postupem získáme soustavu v horním stupňovitém tvaru β + β + β 3 = 0 s dvěma lineárně nezávislými řešeními =,, 0 a 3 =, 0,. Tto vektor lze normovat tak, ab jejich norma bla rovna jedné, ted = 5,, 0. Protože obecně 3 není kolmé na a ted není kolmé i na, třetí vektor 3 vpočteme pomocí Gram-Schmidtova orthogonalizačního procesu, kde 3 = 3 α, kde α zvolíme tak, ab platilo že 3, = 0, ted 3, α, = 0. Koeficient α se rovná α = 3, = 4/ 5 a vektor 3 =, 0, 4,, 0 =, 4,. Vektor 5 5 5 3 pak vpočteme normováním vektoru 3 3 =, 4, 5 45 Vpočtené vektor,, 3 jsou ortonormální bází, ve které má lineární zobrazení A diagonální tvar 0 0 Ã = 0 0. 0 0 Obrázek 5.4:
5. Vlastní čísla a vlastní vektor Ortogonální matice a jejich vlastnosti Definice: Matice A R n,n se nazývá ortogonální, jestliže A T A = I. Tvrzení:. Každá ortogonální matice A je regulární a platí A = A T. Sloupce ortogonální matice A tvoří ortonormální bázi prostoru R n. Je-li A = a, a,..., a n, pak A T A = = a T a T. a T n a... a n = a, a... a, a n a, a... a, a n. a n, a... a n, a n a T a... a T a n a T a... a T a n. = a T n a... a T n a n 0... 0 = 0..... 0 = I. 0... 0 3. Podobně, řádk ortonormální matice tvoří ortonormální bázi R n. Protože je A = A T, platí i vlastnost AA T = AA = I. Tvrzení: Ortogonální matice A R n,n má všechna vlastní čísla ležící na jednotkové kružnici λ =. Příklad: Ortogonální matice řádu První vektor nejobecnější ortonormální báze, v prostoru R je tvaru = cos ϕ, sin ϕ a druhý bazický vektor má nutně jeden ze dvou tvarů ± sin ϕ, cos ϕ. Odpovídající ortogonální matice jsou ted tvaru cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ, ϕ [0, π sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ Poznámka: Matice tvaru lze získat z matic sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ 0 0 vnásobením maticí. Matice zobrazení odpovídá zrcadlení vzhledem k ose dané vektorem e. Matice tvaru 0 0 cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ odpovídá rotaci o úhel ϕ. Všechn ortogonální transformace v R lze ted získat buď otočením o nějaký úhel ϕ a/nebo zrcadlením kolem os e.
5. Vlastní čísla a vlastní vektor 3 Obrázek 5.5: Obrázek 5.6: Obrázek 5.7: Platí ted transformační vztah mezi souřadnicemi nejakého bodu v rovině, před otočením a/nebo zrcadlením a po otočení a/nebo zrcadlení
4 5. Vlastní čísla a vlastní vektor, = = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ, 0. 0 Příklad: Nejobecnější kladně orientovanou ortonormální bázi,, 3 prostoru R 3 lze získat následujícím způsobem: Nechť ϑ je úhel mezi vektor e 3 a 3, pro který 0 < ϑ < π. Pak se rovin dané dvojicemi vektorů e, e a, protínají na přímce, ve které leží i vektor k = e 3 3 s délkou ležící na kružnici s poloměrem v obou rovinách. Ted eistuje úhel sin ϑ ϕ [0, π takový, že k = cos ϕ e + sin ϕ e a úhel ψ [0, π takový, že k = cos ψ sin ψ. Úhl ϕ, ϑ, ψ se nazývají Eulerov úhl popisující transformaci souřadnic e, e, e 3 do nového sstému daného vektor,, 3, kterou lze rozdělit do třech kroků: a rotace kolem vektoru e 3 o úhel ϕ; b překlopení kolem vektoru k o úhel ϑ; c rotace otočení kolem vektoru 3 o úhel ψ. Transformační matici lze napsat ted jako součin tří jednoduchých matic otočení cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 0 0 0 cos ϑ sin ϑ 0 sin ϑ cos ϑ cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 = cos ψ cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ψ sin ψ cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ψ sin ϑ sin ϕ cos ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ sin ψ sin ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ cos ψ sin ϑ sin ϕ sin ψ sin ϑ cos ψ sin ϑ cos ϑ Příklad: Matice 0 0 0 cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ popisuje pootočení rovin = 0 kolem os o úhel ϕ viděno pozorovatelem proti směru hodinových ručiček ve cos ϕ 0 sin ϕ cos ϕ sin ϕ 0 směru kladné os. Podobně matice 0 0 a sin ϕ cos ϕ 0 sin ϕ 0 cos ϕ 0 0 popisují rotace kolem os resp. os z.
5. Vlastní čísla a vlastní vektor 5 Obrázek 5.8: Obrázek 5.9: Kuželosečk a kvadratické ploch Příklad: Rovnice 5 +6+5 = 8 popisuje nějakou keželosečku v rovině a m máme vpočítat její tp a délk poloos. Zavedeme nový souřadný sstém
6 5. Vlastní čísla a vlastní vektor pomocí transformace souřadnic = + = +, ve vektorovém zápisu = cos π = 4 sin π 4 sin π cos π 4 4 jde ted o pootočení o úhel π/4 ve směru hodinových ručiček. Po dosazení Obrázek 5.0: do rovnice získáme rovnici kuželosečk v nových souřadnicích a 5 + + + 6 + + 5 + = 8, 4 + 6 = 6, 4 + =, což je rovnice elips s délkami poloos a =, b =. Obecně převedeme-li rovnici do standardní form 5 8 + 3 8 + 5 8 =,
5. Vlastní čísla a vlastní vektor 7 Obrázek 5.: pak ji lze psát pomocí smetrické matice jako výraz ve tvaru T 5/8 3/8 =. 3/8 5/8 Nní známým způsobem najdeme vlastní čísla a vektor matice 5/8 λ 3/8 3/8 5/8 λ 5/8 3/8 3/8 5/8 = 5/8 λ 9 64 = 6 64 0 8 λ + λ = = λ 8 λ = 0, 8 8 ze kterého vplývá, že λ = a λ = 4. Vlastní čísla jsou kladná λ > 0 a λ > 0, a současně λ λ, a ted se jedná o elipsu ve tvaru λ + λ =, + =, kde vztah mezi souřadnicemi, a, získáme pomocí matice vlastních vektorů, příslušných vlastním číslům λ = a λ = 4 3/8 3/8, 3/8 3/8 0 0 =,
8 5. Vlastní čísla a vlastní vektor 3/8 3/8 3/8 3/8 0 0 =, =, Kuželosečk: obecný postup Obecný tvar kuželosečk elips, parabol nebo hperbol se středem smetrie v počátku souřadného sstému je a + a + a =. Splňuje-li bod, tuto rovnici, pak i bod, leží ted na dané kuželosečce. Cílem je převést kuželosečku do tvaru a + a =, kde a jsou souřadnice bodu v souřadném sstému daném hlavními poloosami nebo asmptotami kuželosečk. Jsou-li a a a kladná čísla, pak se jedná o elipsu, mají-li různá znamínka, jde o hperbolu. Jednotlivé případ jsou znázorněn grafick na následujícím obrázku: Obrázek 5.: a a Použijeme následující postup: definujeme smetrickou matici A = a a Rovnici a + a + a = lze pak přepsat do tvaru T A =.
5. Vlastní čísla a vlastní vektor 9 Obrázek 5.3:. Protože je matice A smetrická, lze nalézt ortonormální bázi, ve které má tato matice diagonální tvar, ted platí, že eistují vektor, tak, λ 0 že A = λ a A = λ. V maticovém tvaru AX = X, 0 λ kde X =, a současně platí X T X = I. Pak po substituci = T X do rovnice A = získáme rovnici kuželosečk v nových souřadnicích, ve tvaru T λ 0 =, 0 λ ted λ + λ =. Vlastní čísla λ, λ matice A určují tp kuželosečk a příslušné vlastní vektor, určují směr hlavních poloos asmptot kuželosečk. Kvadratické ploch ploch. stupně v prostoru: obecný postup Rovnice s kvadratickými člen a + a + a 3 z + a + a 3 z + a 33 z = popisuje elipsoid, hperboloid, paraboloid, válcovou plochu a jejich různé variant. Z uvedené rovnice je zřejmé, že počátek je středem smetrie dané
0 5. Vlastní čísla a vlastní vektor Obrázek 5.4: ploch, t.j. je-li bod,, z řešením dané rovnice, pak je řešením i bod,, z. V maticovém zápisu má rovnice tvar z T a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 z =, A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Řešení problému vlastních čísel smetrické matice A vede k reálným vlastním číslům λ, λ, λ 3 s ortonormálními vlastními vektor,, 3. Zavedeme-li nové souřadnice pomocí transformace z = X z, X =,, 3.
5. Vlastní čísla a vlastní vektor získáme rovnici kvadratické ploch v standardním tvaru z T λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ 3 z =, ted λ +λ +λ 3 z =. Tp kvadratické ploch zjistíme, podle toho zda jsou všechna vlastní čísla kladná pak rovnice popisuje elipsoid nebo se liší znaménkem pak jde o hperboloid nebo se jedná o některou jinou variantu kvadratické ploch. Příklad: Nechť rovnice z + z = popisuje nějakou kvadratickou plochu. O jaký tp kvadratické ploch jde a jaké jsou její hlavní os? Matice A = 0 příslušné vlastní vektor jsou =, = 3 6 má vlastní čísla λ =, λ =, λ 3 = 3 a, 3 = Transformace do nových souřadnic vede na rovnici kvadratické ploch v standardní formě + 3z =. Jedná se ted o rotační hperboloid, jehož průnik s rovinou, je hperbola protínající osu. Průnik hperboloidu s rovinou, z je elipsa s větší poloosou na ose a průnik s rovinou, z je opět hperbola protínající osu. 0.
5. Vlastní čísla a vlastní vektor Obrázek 5.5: