4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí Výklad Definice 4 Jestliže v bodě 0 0 D f ( D f )a f ( ) = f ( 0 ), pak říkáme, že funkce f ( ) je spojitá 0 Věta 4 Nechť jsou funkce f ( ), g( ) spojité v bodě 0 ( D D ), pak jsou spojité f g i funkce f( ) g ( ), f( ) g ( ) a pro g ( ) 0 je spojitá i funkce f ( ) g ( ) Důkaz: Plyne přímo z věty Věta 4 Předpokládejme, že funkce f ( y) je spojitá v bodě b a nechť g ( ) = b Pak f( g ( )) = fb ( ) 0 0 Důkaz: Platnost vyplývá v podstatě z věty Definice 4 Říkáme, že funkce f ( ) je spojitá v intervalu ( ab, ) D f, jestliže je spojitá v každém bodě intervalu ( ab, ) 4
Věta 4 Jestliže je f ( ) základní elementární funkce a interval I D, pak je f( ) spojitá v intervalu I Důkaz: Vyplývá z definice základních elementárních funkcí, viz část 5 f Poznámky Patříli krajní body intervalu < ab, > do D a f( ) = f( a ), resp f a f ( ) = f( b), pak říkáme, že je f ( ) spojitá v bodě a zprava, resp v bodě b zleva b Z věty 4 vyplývá, že součet, součin, podíl a složení spojitých funkcí je funkce spojitá Většinu it lze tedy vypočítat přímým dosazením, tj ( ) = ( ), f f 0 0 D f 4 Využijemeli znalostí o počítání s nevlastními body, můžeme většinu it vyřešit také dosazením; získámeli některý z výrazů uvedených v poslední poznámce za větou, je třeba funkci vhodným způsobem upravit 0 Řešené úlohy Příklad ln, 0 7 = =, = e = 0, 4 ln =, 5 e =, 0 6 0 =, proto funkci upravíme: 0 0 = = = = 0 0 ( ) 0 ( ) 0 44
Poznámky Bez důkazu uvedeme ity některých funkcí, které budeme používat: sin, 0 = důkaz viz [, část II], příklad 0, str 8, ( ) = e, důkaz viz [4, část II], věta 557, str 446 a věta 59 na str 477, ( ) =, důkaz viz [4, část II], příklad 58, str 477, e a e = ln a, tj =, důkaz viz [4, část II], příklad 56, str 485 0 0 Výklad Vlastnosti spojitých funkcí můžeme využít při řešení nerovnic Z předchozích úvah zřejmě vyplývá: Jeli funkce f ( ) spojitá na intervalu I, pro všechna I platí f( ) 0 a eistujeli 0 I takové, že f( 0) > 0, resp f( 0) < 0, pak f( ) > 0, resp f( ) < 0 I pro všechna Nerovnici upravíme na tvar f( ) 0, nebo f( ) 0 Definiční obor > f D rozdělíme na podmnožiny, v nichž je f ( ) spojitá V těchto podmnožinách stanovíme nulové body funkce f ( ) Tím jsme rozdělili D f na části, v nichž je vždy zjistit znaménko funkce v jediném bodě z každé části D f f( ) > 0 nebo f( ) < 0 Stačí pak Řešené úlohy Příklad Řešte nerovnici 7 4 45
Řešení: Nerovnici upravíme na tvar f( ) 0 7 4 5 4 5 ( 5)( ) 0 0 0 f( ) = 0 4 4 4 ( )( 4) Body nespojitosti funkce f ( ) jsou =, = 4 Nulové body funkce f ( ) jsou = 5, =, 4 obr 6 4 5 R Obr 6 Množinu R jsme rozdělili na pět částí: (, 4),( 4, ><,,),(,5 ><, 5, ) V každé části zvolíme libovolný bod 0 a určíme znaménko f( ) : f( 5) > 0, f( ) < 0, f(0) > 0, f() < 0, f(6) > 0 0 Platí tedy, že f( ) 0 pro (, 4) <,) < 5, ) a tedy 7 4 ve sjednocení uvedených intervalů Kontrolní otázky Je každá posloupnost konvergentní? ano, b) ne Kolik má posloupnost it? nejvýše jednu, b) alespoň jednu, c) žádnou Jaká je podmínka pro jednostranné ity v bodě 0, platíli rovnají se číslu a, b) jedna může být nevlastní, c) není podmínka f () = a, a R? 0 4 Lze funkci dodefinovat tak, aby v bodě 0, ve kterém není definována, byla spojitá? Co musí platit? ano, eistence vlastní ity v bodě 0, b) ano, eistence jedné nevlastní jednostranné ity, c) nelze 46
5 Má funkce Zdůvodněte! y = v bodě 0 = 0 itu? Řešte na základě znalosti grafu funkce ano, eistují jednostranné ity v bodě 0 = 0, b) ne, jednostranné ity se sobě nerovnají π π 6 Funkce y= t g je na intervalu (, ) spojitá Je na tomto intervalu ohraničená? ano, b) ne 7 Funkce y= s in je spojitá pro R Je spojitá také funkce y = sin(sin )? ne, R, b) ano, R y = Odpovědi na kontrolní otázky b); ; ; 4 ; 5 b); 6 b); 7 b Úlohy k samostatnému řešení Vypočtěte: sin 0, b) sin 4 0 sin 5, c) sin 0, 5 0 sin, e) tg k 0, f) sin 4 sin 7 0 sin Vypočtěte: cos 0, b) cos cos 0, c) 0 sin 5, sin 0 ( ), e) sin 0, f) sin 0 Vypočtěte: 4, b), c) 4, 47
5, e) ( ), f) ( 4) 0 0, g) 0 e a, h) 0 k a, i) 0 b 4 Pro která je funkce f() spojitá? 4 f ( ) = 5, b) f( ) =, c) 5 f( ) = 5 6 f( ) = 6,, e) f ( ) = ln( ), f) f( ) = arcsin( ) 5 Pro která není funkce f() spojitá? f( ) = 9, b) sin( ) f( ) =, c) f( ) = arctg, f( ) =, e) tg e f( ) =, f) e f( ) = 6 Funkce f() není spojitá pro = 0 Lze rozšířit definici funkce přidáním funkční hodnoty f(0) tak, aby byla v bodě = 0 spojitá? f( ) ( ) 4 =, b) sin cos f( ) =, c) f( ) =, f( ) =, e) f( ) =, f) tg f( ) = 48
Výsledky úloh k samostatnému řešení ; b) 4 5 ; c) 4 ; 5 ; e) k; f) ; b) ; c) 5 ; 4; e) ; f) e; 4 4 b) e ; c) e ; e; e) e ; f) e ; g) ; h) ln ; i) c) (,, ) ; > < { ; ; 0} R ; e) (, ) k a ln a b 4 R; b) { } R ; ( ) ; f) <, > 5, ; π b) = ; c) = 0 ; = k, k Z; e) = 0 ; f) spojitá 6 ano, f (0) = 4; b) ano, f (0) = ; c) ne; ano, f (0) = ; e) ano, f (0) = ; f) ne Kontrolní test 4 n 7n n Určete itu: n 5(n )(n 5), 5 b) 0, c) sin 4 Vypočtěte 0, b) 4, c) 8 Vypočtěte ( 4) 0 4 4 e, b) e, c) neeistuje 4 Vypočtěte ity funkce y =,, b),, c), 9 v bodech 0 =, 0 = 5 Vypočtěte n n ( ) n n 0 e, b) e, c) e 6 Vypočtěte cot g 0 tg 49
0, b), c) 7 Určete, pro která je funkce f( ) spojitá: y = arccos( ) <,4>, b) <,>, c) R 8 Určete, pro která není funkce f( ) spojitá: 5 f() = tg 4 π = 4, = (k ), 4 π b) = 4, = k, c) = 4 9 Lze rozšířit definici funkce bodě spojitá? ne, b) ano, f (0) = 0 cos f() = v bodě nespojitosti tak, aby pak byla v tomto sin Výsledky testu c); c); b); 4 c); 5 b); 6 b); 7 ; 8 ; 9 b) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 6 případech, pokračujte další kapitolou V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu znovu 50