Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 8-9 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6
Funkce více proměnných Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6
Definice Necht M R n, M. Funkcí n proměnných je zobrazení f : M R. Množinu M nazýváme definičním oborem funkce f a značíme D f. Oborem hodnot nazýváme množinu všech hodnot, kterých funkce nabývá. používáme zápis: kde X = [x,...,x n ] y = f(x,...,x n ) nebo y = f(x), X je nezávislá proměnná, argument; y je závislá proměnná, funkční hodnota často se používá značení podle abecedy : u = f(x,y,z) každému argumentu přísluší jedna funkční hodnota není-li definiční obor zadán, pak jím rozumíme množinu, kde existuje funkční hodnota daného výrazu Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 3 / 6
Příklady Určete a nakreslete definiční obory funkcí daných výrazy: z = ln(x+) 4 x y z = y sinx z = arcsin(x +y) u = arcsinx +arcsiny +arcsinz D f = { [x,y] R x > x +y < 4 } D f = {[x,y] R (y x k Z kπ,(k + )π ) (y x } k Z (k )π,kπ ) D f = { [x,y] R y x y x } D f = { [x,y] R x y z } Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 4 / 6
Definice Grafem funkce z = f(x,y) nazýváme množinu: G f = {[x,y,f(x,y)] R 3 [x,y] D f } uvažujeme zde pouze funkce dvou proměnných (proč?) D f R, G f R 3 graf představuje plochu v R 3 Pomůcky pro vyšetřováni grafu počítač průměty řezů do půdorysny (roviny xy), neboli vrstevnice průměty řezů do nárysny (roviny yz) průměty řezů do bokorysny (roviny xz) Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 5 / 6
Grafy funkcí: z = 6 x y (kulová plocha) z = xy (sedlová plocha) z = x +y (kuželová plocha) 4 3.8 3.6 3.4 3. 3.8 4 3 3 4 3.5.5.5 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 6 / 6
Podrobně pro z = 6 x y D f = { [x,y] R x +y 6 }, z,4 vrstevnice: za z voĺıme parametr k,4 k = 6 x y x +y = 6 k nárysna: za x voĺıme parametr k 4,4 z = 6 k y y +z = 6 k,z bokorysna: za y voĺıme parametr k 4,4 z = 6 x k x +z = 6 k,z kružnice půlkružnice půlkružnice Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 7 / 6
Limita Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 8 / 6
Intuitivní představa Limita je číselná hodnota, ke které se bĺıží funkční hodnoty, když se hodnoty argumentu přibližují k danému bodu (který nemusí patřit do D f ). Zapisujeme: [x,y] [x,y ] f(x,y) = a Jaké nastávají případy? ita existuje jako funkční hodnota ita existuje jako funkční hodnota upraveného výrazu ita neexistuje 4 3.8 3.6 3.4 3. 3 4 3.8 3.6 3.4 3. 3 5 5 5.8 [x,y] [,] 6 x y = 4 [x,y] [,].8 (x + y ) 6 x y x + y = 4 [x,y] [,] xy 5 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 9 / 6
Definice (potřebujeme pojem okoĺı bodu) Necht P R je daný bod. Okoĺı bodu P je otevřený kruh se středem v P označený O(P). Prstencové okoĺı bodu P je okoĺı, z něhož vyjmeme bod P: O (P) = O(P)\{P}. δ-okoĺı bodu P je otevřený kruh o poloměru δ: O δ (P) = {Q R Q P < δ}. Prstencové δ-okoĺı bodu P je Oδ (P)\{P}. Limitu má smysl zavádět v bodě, který do definičního oboru D f patřit nemusí, ale musí být k němu dostatečně bĺızko. Definice Necht U R je daná množina. Bod P se nazývá hromadným bodem množiny U, jestliže každé jeho prstencové okoĺı O (P) má s množinou U neprázdný průnik. Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6
Definice Řekneme, že funkce y = f(x) má v hromadném bodě definičního oboru P itu a R, jestliže ke každému ε > existuje δ > takové, že pro každé X O δ (P) D f platí f(x) a < ε. Zapsáno jinak: f(x) = a X P ( ε > ) ( δ > ) ( X O δ (P) D f ) : f(x) a < ε Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6
Výpočet ity podle definice se ita počítá zřídka obvykle upravujeme algebraický výraz vyjadřující funkci a snažíme se vypočítat funkční hodnotu, která musí mít smysl Tři příklady x +y [x,y] [,4] x +y [x,y] [,] xy +x +y + xy +y +x + [x,y] [,] xy x +y Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6
Nedefinované výrazy nejčastěji jako nedefinovaný výraz dostaneme: / některé další možnosti: a/,, Proč je / nedefinovaný výraz? x x x = = x x x x + x x x = x = x x x = x + x = + x x = x x = x x = x x neexistuje Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 3 / 6
Spojitost Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 4 / 6
Definice Řekneme, že funkce y = f(x) je spojitá v bodě P D f, jestliže platí: f(x) = f(p) X P Funkce je spojitá, je-li spojitá v každém bodě definičního oboru. o spojitosti funkce rozhodujeme podle výše uvedené definice využíváme znalost spojitosti u elementárních funkcí jedné proměnné z = sin(x +3y) x je spojitá funkce v hromadných bodech definičního oboru, které do něj nepatří, lze danou funkci někdy spojitě dodefinovat její itou; to vlastně děláme při výpočtu it (viz hý příklad na str. 9) příklad funkce, kterou nelze spojitě dodefinovat: z = xy Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 5 / 6 5 5 5 5
Shrnutí funkce, její definiční obor a graf Zdroj ita funkce a spojitost funkce některé výpočty it, neexistence ity skripta Matematika II str. 56 Dvě hezké a spojité funkce nakonec.5.8.6.4..5 z = xe x y z = e x y Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 6 / 6