Transformace souřadnic

Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17

Minulá přednáška 1 ineární zobrazení. 2 Výpočet souřadnic vzhledem k bázi je lineární zobrazení. 3 Matice libovolného lineárního zobrazení mezi lineárními prostory konečné dimense vzhledem k pevně zvoleným bázím. Dnešní přednáška 1 v jedné bázi na souřadnice ve druhé bázi. Jde opět o matici jistého lineárního zobrazení. 2 Uvidíme, že pro stále více problémů je třeba se naučit řešit maticové soustavy. a a Řadu příkladů tedy v této přednášce nedopočítáme až do konce. Příští přednáška 1 Koncepčně čistý a geometricky jasný způsob řešení soustav lineárních rovnic, maticových rovnic, atd. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 2/17

Připomenutí (výpočet matice lineárního zobrazení) At f : 1 2 je lineární zobrazení, at B = ( b 1,..., b s ) a C = ( c 1,..., c r ) jsou uspořádané báze prostorů 1 a 2. Potom matice A f má r řádků a s sloupců a j-tý sloupec matice A f je tvořen souřadnicemi coord C (f( b j )), zapsanými do sloupce. e j j-tý sloupec A f = coord C (f( b j )) bj F s coord B 1 x A f x f F r 2 coord C f( b j ) Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 3/17

Definice (matice transformace souřadnic) At B = ( b 1,..., b n ) a C = ( c 1,..., c n ) jsou uspořádané báze prostoru. Matici a T B C, která splňuje e j j-tý sloupec T B C = coord C ( b j ) bj F n coord B x T B C x F n id coord C bj říkáme matice transformace souřadnic z báze B do báze C (také: matice transformace souřadnic v bázi B na souřadnice v bázi C). a Všimněte si značení: v dolním indexu T B C je šipka s patkou (bázi B posíláme na bázi C). Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 4/17

Poznámky (základní vlastnosti matice transformace souřadnic) 1 Platí T B C coord B ( x) = coord C ( x), pro každý vektor x v. To plyne přímo z definice matice T B C : F n coord B x T B C x F n id coord C 2 Matice T B C je vždy regulární. Platí (T B C ) 1 = T C B. To plyne z toho, že id : je isomorfismus. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 5/17

Poznámky (základní vlastnosti matice transformace, pokrač.) 3 Platí T B B = E n. To je triviální: F n x x F n coord B id coord B 4 Platí T B D = T C D T B C. To plyne z vlastností matice složeného zobrazení: x T C D T B C x F n x T B C x F n x T C D x F n coord B coord C coord D id id id Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 6/17

Příklad (přepočet souřadnic vzhledem k jiné bázi) V prostoru R 3 [x] nad R máme uspořádané báze B = (x 3, x 2, x, 1) a C = ((x 1) 3, (x 1) 2, x 1, 1). Pro polynom p(x) = 3x 2 + 6x + 3 z R 3 [x] hledáme coord C (p(x)). Víme, že coord C (p(x)) = T B C coord B (p(x)). 0 Protože coord B (p(x)) = 3 6, stačí tedy znáta matici T B C. 3 1 1 0 0 0 T B C = (T C B ) 1 = 3 1 0 0 3 2 1 0 1 1 1 1 a Uvidíme později, že pro nalezení matice (T C B ) 1 lze využít blokový tvar Gaussovy eliminace: (T C B E n) (E n (T C B ) 1 ) Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 7/17

Příklad (přepočet souřadnic vzhledem k jiné bázi) Jsou dány tři konečné báze B, C a D prostoru. Spočtěte coord B (4 x + 12 y + 3 z), pokud znáte coord B ( x), coord C ( y) a coord D ( z). coord B (4 x + 12 y + 3 z) = 4 coord B ( x) + 12 coord B ( y) + 3 coord B ( z) = 4 coord B ( x) + 12 T C B coord C ( y) + 3 T D B coord D ( z). Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 8/17

Poznámka (konceptuální výpočet T B C v prostoru F n ) At B = (b 1,..., b n ) a C = (c 1,..., c n ) jsou libovolné báze prostoru F n. Připomenutí: kanonická (také: standardní) báze K n = (e 1,..., e n ) prostoru F n. 1 Je snadné nalézt matice T B Kn a T C Kn. 1 Do j-tého sloupce T B Kn napíšeme souřadnice b j v kanonické bázi K n. 2 Do j-tého sloupce T C Kn napíšeme souřadnice c j v kanonické bázi K n. 2 T B C = T Kn C T B Kn = (T C Kn ) 1 T B Kn. Stačí tedy vyřešit a maticovou rovnici T C Kn X = T B Kn. a Uvidíme později, že pro nalezení matice (T C Kn ) 1 T B Kn blokový tvar Gaussovy eliminace: lze využít (T C Kn T B Kn ) (E n (T C Kn ) 1 T B Kn ) Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 9/17

Příklad (nalezení báze, známe-li matici transformace) 1 2 2 B = ( 1, 1, 1 ) je báze lineárního prostoru R 3. Tedy 2 2 1 1 2 2 T B K3 = 1 1 1, kde K 3 je kanonická báze R 3. 2 2 1 c 11 c 12 Nalezněte bázi C = ( c 21, c 22, c 23 ) lineárního prostoru c 31 c 32 c 33 4 3 1 R 3 tak, aby platila rovnost T B C = 11 4 1. 2 10 1 c 13 Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 10/17

Příklad (pokrač.) Protože C je báze a protože K 3 je kanonická báze, víme, že platí: c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 = T C K3 c 23 c 32 c 33 Protože platí T C K3 = T B K3 T C B = T B K3 (T B C ) 1, dosadíme a spočítáme c 11 c 12 c 13 1 2 2 4 3 1 c 21 c 22 c 23 = 1 1 1 11 4 1 c 31 c 32 c 33 2 2 1 2 10 1 1 Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 11/17

Věta (změna matice zobrazení při změně bází) At f : 1 2 je lineární zobrazení, dim( 1 ) = n, dim( 2 ) = m. At B a B jsou báze prostoru 1 a at C a C jsou báze prostoru 2. Jestliže A f je matice f vzhledem k B a C, pak součin T C C A f T B B je matice f vzhledem k B a C. Důkaz. x T C C A f T B B x F n x T B B x F n x A f x coord B coord B 1 id 1 f F m x T C C x F m coord C 2 id 2 coord C f Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 12/17

Výpočet matice lineárního zobrazení f : 1 2 vzhledem k libovolným bázím At B = ( b 1,..., b n ) je báze 1 a C = ( c 1,..., c m ) je báze prostoru 2. Předpokládejme, že matice A f zobrazení f : 1 2 vzhledem k jistým bázím easy n = ( d 1,..., d n ) a easy m = ( k 1,..., k m ) prostorů 1 a 2 se snadno určí. 1 Matice transformací souřadnic T B easy n a T C easy m se také určí snadno: 1 Do j-tého sloupce matice T B easy n napíšeme souřadnice vektoru b j vzhledem k bázi easy n. 2 Do j-tého sloupce matice T C easy m napíšeme souřadnice vektoru c j vzhledem k bázi easy m. 2 Platí: T easy m C = (T C easy m ) 1. 3 Součin matic T easy m C A f T B easy n je matice zobrazení f vzhledem k bázím B a C. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 13/17

Příklad (matice zobrazení vzhledem k nestandardní bázi) Nalezněte matici A zobrazení der : R 3 [x] R 3 [x] vzhledem k bázi C = (x 3 + 3x 2, 3x 2 + 4x 23, x 1, 42). Víme, že der má následující matici vzhledem k B = (x 3, x 2, x, 1): Platí: 0 0 0 0 A der = 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 T C B = 3 3 0 0 0 4 1 0 0 23 1 42 Tedy: A = T B C A der T C B = (T C B ) 1 A der T C B. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 14/17

Závěrečné poznámky k transformaci souřadnic 1 Jakoukoli čvercovou regulární matici T typu n n nad F lze považovat za matici transformace souřadnic T B Kn, kde K n je kanonická báze prostoru F n a báze B je tvořena sloupci matice T. 2 Je-li A f matice zobrazení f : 1 2 vzhledem k bázím B a C, pak matice zobrazení f vzhledem k nějakým bázím B a C má tvar S A f T, pro nějaké regulární matice S a T. Speciální případ: 1 = 2, B = C a B = C. Pak matice A f přejde na matici tvaru T 1 A f T, pro nějakou regulární matici T. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 15/17

Poznámky (pokrač.) 3 Řekneme, že dvě matice A a B typu n n nad F jsou si podobné (značení: A B), pokud platí rovnost B = T 1 A T, pro nějakou regulární matici T. Podobné matice jsou tedy ty, které popisují stejné lineární zobrazení, každá matice jej vyjadřuje v jiné bázi. To využijeme při hledání vlastních hodnot lineárních zobrazení (později). Příklad (Připomenutí příkladu z přednášky 29. 10. 2015) ineární zobrazení f : R 2 R 2 je dáno hodnotami ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f( ) = 2 a f( ) = 1 1 1 1 3 Zobrazení f tedy: 1 2 ( ) 1 1 Prodlužuje 2 měřítko v ose druhého a čtvrtého kvadrantu. Zkracuje 3 měřítko v ose prvního a třetího kvadrantu. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 16/17

Příklad (pokrač.) ( ) ( ) 1 1 Vzhledem k nekanonické bázi B = (, ) lineárního 1 1 prostoru R 2 má zobrazení f matici ( ) 2 0 A f = 1 0 3 Vzhledem ke kanonické bázi K 2 lineárního prostoru R 2 má zobrazení f matici a ( 7 B f = 6 5 ) 6 Platí: A f B f. Matice A f je přehlednějsí než matice B f (matice A f vypovídá okamžitě o geometrické povaze zobrazení f). a Přednáška 29. 10. 2015. 5 6 7 6 Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 17/17