kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže pro každé x I existuje F (x) a platí F (x) = f(x). Věta (Rovnost až na konstantu). Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I. Pak existuje c R takové, že F (x) = G(x) + c pro každé x I. Věta (Linearita neurčitého integrálu). Necht f má na otevřeném intervalu I primitivní funkci F, funkce g má na I primitivní funkci G a α, β R. Potom funkce αf +βg je primitivní funkcí k αf + βg na I. Věta 4 (první věta o substituci). Necht a, b, α, β R, a < b, α < β. Necht F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht ϕ je funkce definovaná na intervalu (α, β) s hodnotami v (a, b), která má v každém bodě (α, β) vlastní derivaci. Pak f(ϕ(t))ϕ (t)dt = C F (ϕ(t)), t (α, β). Hinty Příklady. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = x (b) f(x) = x x > 0 x dx = x dx = x4 4 + c x x / dx = / + c = x + c Matematika B, LS 07/8
(c) f(x) = x x dx = x 0 x dx = x + c = x + c (d) f(x) = x dx = ln x + c x x 0 (e) f(x) = ( + sin x + cos x) Sledujte výpočet ( + sin x + cos x) dx = x cos x + sin x + C. (f) f(x) = 7 x + sin x + x 7 x + sin x 7x5/ dx = + x 5/ cos x arctan x + c (g) f(x) = cos x ex cos x ex dx = tanx e x + c x π + kπ, k Z (h) f(x) = + x + x + + x + x + x + + x = arcsin x + arctan x + x + x + c x (, ) (i) f(x) = x x x x dx = x5/ 5/ x/ / + c x > 0 Matematika B, LS 07/8
(j) f(x) = x + 4x + x x + 4x + x dx = x + 4 + x dx = x + 4x + ln x + c x 0 (k) f(x) = ( x)( x)( x) Roznásobením ( x)( x)( x) dx = (l) f(x) = x + x Sledujte výpočet ( 6x+x 6x ) dx = x x + x x4 +C. ( ) x + x ( dx = + x dx = x / + x /) dx = x/ x / + x/ / +C. x > 0 (m) f(x) = x + A Víme, že primitivní funkce k funkci x je ln x + C. Tedy primitivní funkce k funkci ln ax + b + C. Odtud vyplývá, že (položte a =, b = A) x A ax+b je a dx = ln x + A + C. x + A. Dokažte, že pokud F (x) = f(x), potom ( a F (ax + b) + C) = f(ax + b), pokud a 0. Plyne z Věty o aritmetice derivací a derivace složené funkce.. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = cos(x) cos x dx = sin x + c Matematika B, LS 07/8
(b) f(x) = sin(x π) sin(x π) dx = cos(x π) + c (c) f(x) = e 5 x (d) f(x) = + 4x + 4x dx = (e) f(x) = 4x e 5 x dx = e5 x + c + (x) dx = arctan x + c 4x = ln 4x + c 4 x 4 (f) f(x) = (x + ) 7 (g) f(x) = e x + 7 x (x + ) 7 dx = 6 (x + 7)8 + c e x + 7 x dx = ex + 7 ln x + c (h) f(x) = (e x + e x ) Pomocí lineární substituce y = x, resp. y = x dostaneme (e x + e x ) dx C = e x e x Matematika B, LS 07/8 4
(i) f(x) = ( x ) Tento příklad substituovat nelze, je třeba roznásobit. ( x ) dx = (7 9x + x 4 x 6 ) dx = 7x x + 5 x5 x7 7 + C. (j) f(x) = (sin 5x sin 5α) Pomocí lineární substituce y = 5x dostaneme (sin 5x sin 5α) dx = cos 5x x sin 5α + c, 5, nebot sin 5α je konstantní funkce (nezávislá na proměnné x). (k) f(x) = + (x + 7)5 x x + (x + 7)5 dx = ln x + 8 (x + 7)6 + c x (l) f(x) = sin ( x + π ) 4 Pomocí lineární substituce y = x + π 4 dostaneme sin ( x + π ) dx = C ( cotg x + π ) 4 4 x + π 4 kπ, tedy x k π π 8, k Z (m) f(x) = x dx = x x (, ), tedy x (, ). ( dx = arcsin ( x) + c x) 4. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = ex e x + + 4 (b) f(x) = cos x 4 (x ) Matematika B, LS 07/8 5
(c) f(x) = ( x) x > 0 ( x) dx = x + x dx = x 4 x + x + c (d) f(x) = tan x Sledujte výpočet sin tg x cos ( ) x dx = cos x dx = x cos x dx = cos x dx = tg x x+c. x π + kπ, k Z x + x Sledujte výpočet (e) f(x) = x + x dx = ( + x ) + x dx = ( ) + x dx = x arctan x+c. (f) f(x) = x + x Sledujte výpočet x + x ( x dx = + 4 x dx = + 4 ) ( x dx = 4 ) x dx = x ln + x x + C. x ± (g) f(x) = ( x + x ) Sledujte výpočet ( x + x ) dx = (4 x + 6 x + 9 x ) dx = 4x ln 4 + 6x ln 6 + 9x ln 9 + C. (h) f(x) = + x Výraz převedeme na tvar a poté užijeme substituci y = cx. +c x + x dx = C = arctan x = 6 arctan + ( x ) dx x Matematika B, LS 07/8 6
(i) f(x) = cotg x Sledujte výpočet cos cotg x sin ( ) x dx = sin x dx = x sin x dx = sin x dx = cotg x x + C. x kπ, k Z (j) f(x) = 5x Protože je y dy = y, platí 5x dx C = 5 5x = 5 5x x < /5 ( ) a (k) f(x) = x + a x + a x, a R Sledujte výpočet ( ) a x + a x + a x dx = a ln x a x a x + C. x 0 5. Najděte takovou funkci, aby f (x) = 6x( x) a f(0) =. 6x( x) dx = x + x + c. Ježto máme f(0) =, tak = 0 + 0 + c = c. Hledaná funkce je tedy f(x) = x + x +,. 6. Najděte chyby (a) x e x dx = x e x + c (b) Integrál součinu není součin integrálů, stejně jako u derivací. x dx = x dx = x arcsin x + c x x x nelze vytknout před integrál, to můžeme jen u konstanty. Matematika B, LS 07/8 7