. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin + C [7.] d = tg + C cos pro >, n pro pro [8.] d = cotg + C pro sin [9.] d = arcsin + C [.] d = arctg + C + π ( k + ), k Z kπ, k Z pro (, ) a [.] a d = + C ln a [.] e d = e + C pro a >, a [.] f ( ) d = ln f ( ) + C, f ( ) f( ) d [4.] = arctg + C, a> a + a a d [5.] = arcsin + C a a [6.] f ( a + b) d = F( a + b) + C, a a Metoda per partes : pro ( aa, ), a> ) v ( ) d = u( ) v( ) u ( u ( ) v( ) d, případně u ( ) v( ) d= u( ) v( ) u( ) v ( ) d Jarmila oležalová
.. v obdélníku Riemannův dvojrozměrný nebo také dvojný integrál je obecně definován pro funkci dvou proměnných z= f(, ). Výpočet Riemannova dvojrozměrného integrálu je jednoduchý, je-li integrační oblastí obdélník {(, ): a, b, c, d } = < > < >, jehož stran jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami a funkce z= f(, ) je v tomto obdélníku spojitá. Pak platí b d d b f (, ) dd = d f (, ) d = d f (, ) d. () a c c a Ve vztahu () je nutno odlišovat dvojrozměrný nebo také dvojný integrál f (, ) dd b d od integrálu dvojnásobného d f (, ) d nebo d f (, ) d d c (a) a b a c. (b) vpočítáme převedením na integrál dvojnásobný. V dvojnásobném integrálu počítáme obecně nejprve vnitřní integrál (v zápisu je vpravo) a teprve pak integrál vnější (v zápisu je vlevo). Praktický výpočet provádíme dvojnásobnou integrací funkcí jedné proměnné, při čemž druhou proměnnou považujeme za konstantu podobně jako při praktickém výpočtu parciálních derivací. v obdélníku {(, ): a, b, c, d } = < > < > snadno vpočítáme pro funkce, které lze napsat jako součin dvou funkcí jedné proměnné: f(, ) f( ). f( ). = Pak zřejmě platí: b d = a c f ( ). f ( ) dd f ( ) d f ( ) d. (c) Příklad... Vpočtěte dvojrozměrný integrál { } + A = e dd, = (, ) : <, >, <, >. Jarmila oležalová
Řešení:. Podle vztahu (a): + e A = d e d = d e e d = e d = 6 ( ) ( ) = e e e d = e e e d e e e = = = e ( e ) ( e ) = e ( e )( e ), 6. podle vztahu (b): + A = d e d = d e e d = e e d = ( ) ( ) = e e d = e e d e e = = 6 = ( e )( e e ) = e ( e )( e ), 6. podle vztahu (c): + A = e dd = e e dd = e d e d = = e e = e ( e )( e ). 6 Nelze-li funkci f(, ) rozložit na součin dvou funkcí jedné proměnné f( ). f( ), pak při integraci musíme postupovat stejně jako v prvním nebo druhém způsobu řešení integrálu A, tj. podle vztahů (a) nebo (b). ( + + ) Příklad... Vpočtěte B = dd = { < > < > }, (, ) :,,,. Řešení: Protože integrand ( + + ) nelze rozložit na součin dvou funkcí jedné proměnné, použijeme vztah (a): B = d d = ( ) d + + d = ( + + ) ( + + ) =. d = (( 5) ( ) + + ) d = ( ) 5 d = + + Jarmila oležalová
= [ ln + 5 ln + ] = (ln 8 ln 6 ln 6 + ln 4) = ln = ln 9. 6 8 Mohli bchom použít rovněž vztah (b). Poznámk. Pokud se zdá přímé integrování užitím vztahu [6] při integraci substituci: f ( a + b) d = F( a + b) obtížné, lze užít a B = d d + + = t, =, t = + =,, 5 ( ) d = dt = t = + = + + + 5 + 5 dt 9 = ln. d = d d t = = 5 8 + t + + +. Obecně nezáleží na pořadí integrace, ted platí vztah (a, b). V některých případech ale daný dvojrozměrný integrál může být snadno řešitelný jedním způsobem, druhý způsob však může být komplikovaný v závislosti na tvaru integrované funkce. Příklad... Vpočtěte integrál C = dd = { < > < > }, (, ) :,,,. Řešení:. Použijeme vztah (b): + C = d d = d = d = + + + d = = [ ln + ] = ln ln = ln +.. Použijeme vztah (a): C = d d = d = d = ln ln ln. Je zřejmé, že další výpočet integrálu je pracný, proto je vhodnější postup podle (b). Příklad k procvičení:. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku užitím vztahu (a) nebo (b): a) + dd = { < > < > } ( ), (, ) :,,,, Jarmila oležalová 4
b) dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,,,, c) + dd = { < > < > } ( ), (, ) :,,,, ( ), (, ) :,,,, d) + dd = { < > < > } e) dd = { < > < > }, (, ) :,,,, π π π f) cos( + ) dd, = (, ) : <, >, <, >. 4 4 4. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku užitím vztahu (c): a) dd = { < > < > }, (, ):,,,, b) dd = { < > < > } +, (, ) :,,,, + c) e dd = { < > < > }, (, ) :,,,, d) + dd = { < > < > } ln( ), (, ) :,,,, π e) sin dd, = (, ) : <, >, <, >. Výsledk:. a) 7; b) 6; c) 4; d) ( 9 ) ; e) 5 ; f).. a) 4; b) π ; c) e ; d) ln ; e)... v obecné uzavřené oblasti Abchom mohli vpočítat dvojrozměrný integrál v uzavřené oblasti, musíme znát integrační meze. Musíme ted nejprve oblast analtick vjádřit. Jarmila oležalová 5
Oblast normální vzhledem k ose (obr. ) obecně popisují nerovnice =g () d =h () =h () =g () a b Obr. c Obr. a b, a b g( ) g( ),, kde funkce = g( ), = g( ) jsou spojité v < ab>., Meze proměnné vjádříme číselně (nebo pomocí konstant), meze proměnné pomocí funkcí proměnné. Teprve pak můžeme dvojrozměrný integrál v uzavřené oblasti převést na integrál dvojnásobný, ve kterém vnější integrál vžd musí mít konstantní (číselné) meze, protože dvojný integrál je integrál určitý a výsledkem musí být konstanta (číslo): b g ( ) f (, ) dd = d f (, ) d, a g ( ) (a) Oblast normální vzhledem k ose (obr. ) obecně popisují nerovnice c d, c d h( ) h( ),, kde funkce = h( ), = h( ) jsou spojité v < c, d>. Meze proměnné vjádříme číselně (nebo pomocí konstant), meze proměnné pomocí funkcí proměnné. d h ( ) f (, ) dd = d f (, ) d. (b) c h ( ) Poznámka Přechod od zápisu dvojnásobného integrálu ve tvaru (a) do tvaru (b), respektive naopak nazýváme záměna pořadí integrace. Ve vztazích (a), (b) vžd integrační meze vnějšího integrálu musí být konstantní (číselné), integrační meze vnitřního integrálu mohou být funkce jedné Jarmila oležalová 6
proměnné. Nejdříve počítáme v dvojnásobných integrálech (a), (b) zásadně vnitřní integrál s proměnnými mezemi a teprve pak vnější integrál s mezemi konstantními. Význam dvojných integrálů: určuje pro f( >, ) objem tělesa, jehož dolní podstavou je oblast, které je shora ohraničeno funkcí z= f(, ). Příklad... Určete nerovnice pro převedení dvojrozměrného integrálu f (, ) dd, kde f (, ) dd je trojúhelník o vrcholech (,), (6,), (, 4), na dvojnásobný. Řešení: a) Nejprve vjádříme jako oblast normální vzhledem k ose. Je zřejmé, že oblast ohraničíme ve směru os zleva a zprava přímkami =, = 6, viz obr.. Ve směru os oblast ohraničíme zdola osou, která má rovnici = a shora přímkou + =, kterou převedeme na tvar 6 4 Oblast zapíšeme ve tvaru: : 6, 4 = 4. a podle (a) platí: 4 6 f (, ) dd = d f (, ) d. = (,4) =- +4 = (6,) Obr. b) Nní vjádříme jako oblast normální vzhledem k ose. Je zřejmé, že oblast ohraničíme ve směru os zdola a shora přímkami =, = 4. Ve směru os oblast ohraničíme zleva osou, která má rovnici =, a zprava přímkou + =, kterou převedeme na tvar 6 4 = 6. Jarmila oležalová 7
Oblast zapíšeme ve tvaru: a podle (b) platí: : 4, 6 6 4 f (, ) dd = d f (, ) d. Příklad... Určete integrační meze pro f (, ) dd, kde je ΔABC, jehož stran jsou dán rovnicemi =, = + 4, = 6. Řešení: a) Nejprve vjádříme jako oblast normální vzhledem k ose. Pokud ohraničíme oblast ve směru os přímkami =, = 5, pak není shora hraničena jedinou křivkou a je nutno rozdělit ji na oblasti, přímkou =, viz obr. 4. Nerovnice pro oblasti a mají pak tvar: :, ( <, > ), : 5, ( <, 5 > ), + 4, ( <, + 4 > ), + 6, ( <, + 6 > ). =+6 =-4 (,5) C =-+6 =6- A (,) B = (-,) (,) (5,) Obr. 4 Podle vztahu (a) pak platí: + 4 5 6 f (, ) dd = f (, ) dd + f (, ) dd = d f (, ) d + d f (, ) d. b) Nní zapíšeme jako oblast normální vzhledem k ose. Ohraničíme oblast ve směru os přímkami =, = 5. Proměnnou vjádříme ze zadání příkladu jako funkci proměnné, tj. = 4, = 6. Nerovnice pro oblast pak mají tvar: : 5, ( <, 5 > ), 4 6, ( < 4, 6 > ). Jarmila oležalová 8
Podle vztahu (b) dostáváme 5 6 f (, ) dd = d f (, ) d. 4 Je zřejmé, že druhé řešení je jednodušší, neboť vede k řešení jediného dvojnásobného integrálu. Příklad... Stanovte nerovnice určující oblast =. Řešení: a) Nejprve určíme průsečík křivek, která je ohraničena křivkami = a = a =, viz obr. 5. Vřešením soustav těchto dvou rovnic dostaneme postupně 4 =, =, ( ) =. Reálné kořen ted jsou =, =. Oblast zapíšeme jako oblast normální vzhledem k ose. Proto ji ohraničíme ve směru os přímkami =, =. Křivka, která ohraničuje shora, má rovnici =. Křivka, která ohraničuje zdola, má rovnici =. Nerovnice pro oblast mají tvar: :,. b) Podobně určíme oblast jako oblast normální vzhledem k ose : Obr. 5 :,. Příklad k procvičení:. Určete integrační meze pro f (, ) dd jednodušším z obou způsobů, jestliže je a) čtřúhelník o vrcholech (,), (6, ), (6, ), (,5), b) čtřúhelník o vrcholech (,5), (,), (6, ), (6, 7), c) čtřúhelník o stranách =, =, =, =, d) trojúhelník o stranách + =, =, 4 =.. Určete integrační meze pro f (, ) dd a) ohraničena křivkou + = 4, oběma způsob, jestliže je Jarmila oležalová 9
b) ohraničena čarami =, =, = (, ). Výsledk:. a) 5 5 6; + + ; b) 6; + + 4 ; 4 4 4 c), ; d) 5 4, +. a), 4 4 nebo, 4 4 ; b) :,, :, nebo :,, :,. Vlastní výpočet dvojrozměrných integrálů si objasníme na příkladech. Příklad..4. Vpočtěte dd, je-li oblast ohraničena čarami =, = a =, ( ). Řešení: Zakreslíme oblast, viz obr. 6. Řešením soustav rovnic =, = dostaneme postupně, 4, 4, ( 4),, 4,,. = = = = = = = = Přímka = a křivka = (část parabol v I. kvadrantu) se ted pro protínají v bodě (4, ). Obr. 6 Oblast splňuje požadavk kladené na oblasti obou tpů. Vjádříme ji jako oblast normální vzhledem k ose. Jarmila oležalová
: 4,. Nní můžeme integrál vřešit: 4 4 4 4 4 dd = d d = d d = d = d = 4 4 4 64 56 8 6 = d = = =. 8 6 6 6 6 Proveďte sami záměnu pořadí integrace (oblast zapište jako oblast normální vzhledem k ose ). Příklad..5. Vpočtěte =, = + a =. ( ) dd, je-li oblast ohraničena přímkami Řešení: (-,) = (,) =- =- Obr. 7 Z obr. 7 je zřejmé, že jednodušší bude vjádřit oblast jako oblast normální vzhledem k ose. Při zápisu jako oblast normální vzhledem k ose, bchom oblast museli rozdělit na dvě podoblasti přímkou =, podobně jako v příkladu... :,. Integrál převedeme na dvojrozměrný integrál podle vztahu (b): Jarmila oležalová
( ) dd d ( ) d = = d = 4 68 = (( + ) ( + )) d = ( ) d == =. Příklad k procvičení: Vpočtěte dvojrozměrné integrál v oblasti : a) (5 ) dd, je Δ ABC, A = (,), B = (,), C = (,), b) dd, je dána nerovnicí + 4, c) ( ) dd, je ohraničena přímkami =, =, + =, d) e) dd, je dána nerovnicemi + 4 4,,, dd, je ohraničená čarami =, =. Výsledk: a) ; b) ; c) ; d) ; e)... Transformace v dvojrozměrném integrálu vojrozměrné integrál, jejichž integrační oblastí je kruh, případně část kruhu, lze jednoduše vřešit transformací do polárních souřadnic. Kartézské souřadnice, bodu nahradíme polárními souřadnicemi ρϕ,, v nichž ρ znamená (-a,) φ ρ (,) (a,) vzdálenost bodu o souřadnicích (, ) od počátku soustav souřadnic a ϕ označuje orientovaný úhel, měřený od kladného směru os po průvodič bodu (, ) v kladném smslu, viz obr. 8. Obr. 8 Jarmila oležalová
Transformační rovnice při přechodu z kartézských souřadnic do polárních souřadnic mají tvar = ρcos ϕ, = ρsinϕ. Součin diferenciálů dd v dvojrozměrném integrálu nahradíme výrazem Jdρ dϕ, v němž výraz J ρ ϕ cosϕ ρsinϕ = J( ρϕ, ) = = = ρ sinϕ ρcosϕ ρ ϕ nazýváme jakobián transformace. Pro transformaci dvojrozměrného integrálu do polárních souřadnic platí f (, ) dd = f ( ρcos ϕρ, sin ϕρ ) dρ dϕ. () Oblast je obrazem oblasti v polárních souřadnicích. Například kruh se středem v počátku a poloměrem a, : {(, ): a } stran a a π, : {( ρϕ, ) : ρ (, a, ϕ, π) } Příklad... +, se zobrazí na obdélník o délkách > <. Proveďte transformaci do polárních souřadnic a vpočítejte integrál dd, : + a,, a >. Řešení: Oblast tvoří horní polovina kruhu se středem v počátku a poloměrem a (souřadnice je nezáporná v prvním a druhém kvadrantu). Pro každý bod (, ) oblasti při transformaci do polárních souřadnic platí < ρ a, ϕ < π, viz obr. 9. Uvedené nerovnice určují oblast, integrační meze obou proměnných jsou konstantní, proto integrujeme na obdélníku a dosazením podle () dostaneme (-a,) (a,) Obr. 9 Jarmila oležalová
a π a ρ π dd = ρsinϕρ d ρdϕ = ρ d ρ sinϕ dϕ = [ cosϕ] = * a a = [ ( ) ( ) ] =. Příklad... Proveďte transformaci do polárních souřadnic a vpočítejte integrál dd, : + 4, + 9,,. Řešení: Oblast je ohraničena dvěma soustřednými kružnicemi (o poloměru a =, a = ), přímkou = (která je osou prvního a třetího kvadrantu a svírá ted s kladným směrem os úhel π ϕ = ) a osou, viz obr.. 4 Y = (,) Pro oblast π π ϕ, : 4 ρ. Obr. v polárních souřadnicích platí Je zřejmé, že integrace v polárních souřadnicích () je jednodušší než v kartézských souřadnicích, protože nní integrujeme na obdélníku. ρcosϕρdρdϕ= cosϕdϕ ρ dρ= [ sinϕ] = π. * Příklad... π π π 4 Vpočtěte dvojrozměrný integrál ln( + ) dd, : + e. + 4 ρ 9 Jarmila oležalová 4
Řešení: Oblast je mezikruží ohraničené kružnicemi + = a + = e. Užijeme proto transformaci do polárních souřadnic (). Pro transformovanou oblast platí nerovnice : ρ e, ϕ < π. * e π ln( ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ) ln( ρ (cos ϕ+ sin ϕ)) ρ dρ dϕ = ρ dρ dϕ = ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ ρ (cos ϕ+ sin ϕ) e π e π e ln ρ ln ρ ln ρ π = dρ dϕ dρ dϕ [ ϕ] ρ = ρ = = π = π ln e = π( ln e) =. Při řešení jsme použili vztah ln ρ = ln ρ a cos ϕ + sin ϕ =. Vnější integrál jsme vřešili substitucí ln ρ = t, d ρ = dt. ρ Příklad..4. Vpočtěte dvojrozměrný integrál 4 dd, je-li integrační oblast ohraničena křivkou 9 4 Řešení: Rovnici hranice oblasti upravíme na tvar 4 + 9 = 6. + =, ze kterého je vidět, že jde 9 4 o elipsu se středem v počátku a poloosami o délkách a =, b=, viz obr.. V takovém případě ke zjednodušení výpočtu s výhodou používáme tzv. zobecněné polární souřadnice, které mají obecně tvar = aρcos ϕ, = bρsinϕ. (4) Y (,) Obr. Jarmila oležalová 5
Pro jakobián transformace snadno odvodíme vztah ρ ϕ acosϕ aρsinϕ J = J ( ρϕ, ) = = = abρ. bsinϕ bρcosϕ ρ ϕ V našem případě platí (pro a =, b= ): = ρcos ϕ, = ρsin ϕ, J =.ρ = 6 ρ. Z obr. je zřejmé, že platí ϕ < π. Meze pro ρ zjistíme dosazením transformačních rovnic do analtického vjádření hranice oblasti : 4(ρcos ϕ) + 9(ρsin ϕ) = 6, odtud po úpravě dostaneme =, = ( > ). Proto ρ ρ ρ platí < ρ. Transformovaná oblast * ϕ < π, : < ρ. Zadaný integrál nní snadno vřešíme. * * ted představuje obdélník: (ρcos ϕ) (ρsin ϕ) 4 dd = 4 6ρ dρ dϕ 9 4 = 9 4 π (4 ρ ) = 4 ρ 6ρ dρ dϕ = 6 dϕ 4 ρ ρ dρ = 6. π.( ) = * = 4 π (8 ). Integrál v proměnné ρ jsme vřešili substitucí 4 ρ = t, ρ dρ = dt, ρ dρ = dt. Příklad k procvičení: Vpočtěte dané dvojrozměrné integrál v oblasti transformací do polárních souřadnic: a) b) ( ) dd, : +, ( + ) dd, : ( 4) + 6, c) d) dd, : +,,, ( + ) e dd, :, + 9, Jarmila oležalová 6
e) sin + dd, : π + 4 π. Výsledk: a) π ; b) 84π ; c) 6 π ; d) π 9 ( e ) ; e) 6π..4. Aplikace dvojrozměrného integrálu.4.. Objem válcovitého tělesa nad oblastí, Objem válcovitého tělesa nad oblastí, které je shora, resp. zdola ohraničeno plochou z= f(, ), je dán vztahem V = f (, ) dd. (5) Příklad.4.. Vpočtěte objem tělesa ohraničeného plochami + =, z =, =, =, z =. Řešení: Rovina z = je rovina podstav daného tělesa. = (,4) =- +4 = (6,) Obr. Rovin =, =, + = protínají rovinu z = v přímkách =, =, + =, které určují hranice oblasti. Přímku + = převedeme na úsekový tvar + =. Odtud je zřejmé, že tato přímka protíná osu 6 4 v bodě (6,) a osu v bodě (,4), viz obr.. Plocha z = ohraničuje těleso shora. pro všechn bod (., ) Obvkle je třeba zjistit, zda průniková čára této ploch s rovinou z = neprotíná oblast v jejích Jarmila oležalová 7
vnitřních bodech. Položíme ted z = a dostaneme hraniční přímk oblasti. Integrační oblast zapíšeme jako oblast normální vzhledem k ose. : 6, 4. Podle vztahu (5) vpočítáme: 4 6 6 4 6 V = dd = (4 ) d d = d d = 6 = 6 4 (4 ) = ( ) = ( )( 56) = 6. 6 4 6 Při výpočtu integrálu lze použít substituci Příklad k procvičení:. Vpočtěte objem tělesa ohraničeného plochami: a) z =, + + z = 6, =, + =, b) + z = 6, + =, =, =, z =, =, z toho =, a to je rovnice 4 = t, d = dt, d = dt. c) d) e) z =, z = +, =, =, = 6, z =, z = +, =, =, + =, =, z =, + z =.. Vpočtěte objem tělesa ohraničeného danými plochami užitím transformace do polárních souřadnic (): a) b) z,z ( = = je průnik tělesa a rovin z = ), + + z = 4, + = (část vně válce), c) z =, z =, + =, d) z =, + =, z = +, e) z =, + =, z =. Výsledk:. a) 4; b) 6 5 ; c) ; d) ; e) 6 5.. a) π 4 ; b) 4 π ; c) ; d) 9 ; e) 5 π. Jarmila oležalová 8
.4.. Obsah rovinné oblasti Pro obsah rovinné oblasti platí vztah P = dd. (6) Příklad.4.. Vpočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami =, = 4. Řešení: Hranice rovinné oblasti tvoří dvě parabol, viz obr.. Abchom získali souřadnice (,4) = jejich průsečíků, vřešíme příslušnou soustavu rovnic: = 4, = 4, =, =±, ted, (,) P(,), P(,). Integrační oblast zapíšeme jako oblast normální (-,) (,) =4- vzhledem k ose. :, 4. Obr. 4 4 [ ] (4 ) 4 P = d d = d = d = = 4 4 6 = 4 + 4 =. Příklad.4.. Odvoďte vzorec pro výpočet plošného obsahu elips. Řešení: Ab bl výpočet snadný, umístíme střed elips do počátku soustav souřadnic, délk jejích poloos označíme a, b, ( a >, b> ). Rovnice takové elips má tvar + =. a b Výpočet provedeme v zobecněných polárních souřadnicích (4): = aρcos ϕ, = bρsin ϕ, J = abρ. Je zřejmé, že pro celou elipsu platí ϕ < π, dosazením transformačních rovnic do ( aρcos ϕ) ( bρsin ϕ) rovnice elips určíme meze pro ρ : + =, ρ =, ρ =. Protože a b * v počátku soustav souřadnic platí ρ =, jsou hranice transformované oblasti určen nerovnicemi: ϕ < π, < ρ. osazením do vztahu (6) získáme Jarmila oležalová 9
π π ρ P = dd = abρ d ρ dϕ = ab dϕ ρ d ρ = ab[ ϕ] ab. π. πab. = = * Příklad k procvičení: Vpočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené čarami: a) =, = 5, =, b) c) =, =, =, =, d) =, = 7, 4+ 7 =, 4+ 4 =, e) =, = sin, = cos,. Výsledk: a) ; b) 6 ; c) ; d) 7; e)..4.. Obsah ploch Budeme-li určovat obsah části ploch z= f(, ), která je ohraničena průnikovou křivkou této ploch s válcovou plochou, která má povrchové přímk rovnoběžné s osou z a řídící křivku v hranici elementární oblasti, pak platí S = + ( z ) + ( z ) dd. (7) Příklad.4.5. Vpočtěte obsah ploch + + z = 4, která je ohraničena rovinami =, =, =, =, viz obr. 4. z Řešení: Z rovnice ploch vjádříme z = 4, z =, z =. Oblast je podle zadání čtverec určený nerovnicemi:,. Podle vztahu (7) platí: = = = = S = + ( ) + ( ) dd = d d = = [ ] [ ] = 4 Obr. 4 Jarmila oležalová
Příklad k procvičení: Určete obsah částí ploch: a) 6+ + z = ohraničené rovinami =, =, z =, b) c) z = ohraničené rovinami =, =, =, = 6, z = ohraničené rovinami =, =, =, = 4, d) z = ohraničené válcovou plochou + = 4, e) z + = ohraničené válcovou plochou + =. 6 Výsledk: a) 4; b) 6; c) ; d) (5 5 ) π ; e) 4 π..4.4. Fzikální aplikace Jestliže je v hmotné rovinné oblasti dána hustota v jejím libovolném bodě (, ) funkcí σ (, ), pak hmotnost oblasti je určena vztahem m = σ (, ) dd, (8) statický moment oblasti vzhledem k ose, resp. je určen vztahem S = σ (, ) dd, resp. S = σ (, ) dd, (9) souřadnice těžiště T = ( ξη, ) hmotné oblasti jsou S S =, η =, () m m moment setrvačnosti oblasti při rotaci kolem os, resp., resp. z je I = σ (, ) dd, resp. I = σ (, ) dd, resp. Iz = I + I = ( + ) σ (, ) dd. () Jarmila oležalová
Příklad.4.4. Vpočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =, =, =, =, jestliže její hustota je dána funkcí σ =. ( + + ) Řešení: Je stejné jako řešení integrálu B v příkladu.. v kapitole.: 9 m = ln. 8 Příklad.4.5. Vpočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami =, =, =, = vzhledem k ose, je-li hustota dána funkcí σ =. Řešení: Platí σ (, ) = =, a proto úloha vede k řešení integrálu C v příkladu.. v kapitole.: S = ln. Příklad.4.6. Vpočtěte moment setrvačnosti čtverce ohraničeného přímkami =, =, =, =, který rotuje kolem os, je-li hustota dána funkcí σ =. Řešení: Protože σ (, ) = =, úloha vede opět k řešení integrálu C v příkladu.. v kapitole.: I = ln. Příklad.4.7. Vpočtěte souřadnice těžiště T homogenní oblasti, která je ohraničena kružnicí ( ) + =, jestliže hustota σ (, ) = pro všechn bod (, ). Řešení: Uvědomíme-li si, že střed S (, ) homogenního kruhu je středem smetrie dané oblasti, hned můžeme určit S(, ) T(, ). Příklad lze vřešit transformací do polárních souřadnic. Příklad k procvičení:. Určete hmotnost oblasti při daném rozložení hustot: a) je ohraničena přímkami =, =, =, =, hustota v bodě P je přímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu P od bodu (,), b) je ohraničena čarami =, = 4, =, hustota je dána funkcí σ =. Jarmila oležalová
. Vpočtěte statický moment homogenní rovinné oblasti, je-li σ =, a) je obdélník o délkách stran a=, b= vzhledem ke straně a, b) je půlkruh o poloměru r = 4 vzhledem k jeho průměru.. Vpočtěte souřadnice těžiště oblasti, kde σ (, ) =, ohraničené čarami: a) b) c) =, =, =, + =, =, = 4, =, π d) = sin, =, =, 4 4. Vpočtěte moment setrvačnosti oblasti, kde σ (, ) =, ohraničené a) čarami b) čarami =, = při rotaci kolem os, = +, =, = při rotaci kolem os, c) stranami Δ ABC, A = (, ), B = (, ), C = (,) při rotaci kolem os, d) přímkami =, =, = při rotaci kolem os. 5 8 k ; b).. a) ; b) 64 Výsledk:. a) (4 π)( + ) ( π )( + ) d) (, ) 4 6.. a) (, ) 5 ; b) 8 (, ); c) 5. 4. a) 8 ; b) ; c) 4 ; d) 7 96. 4 (, ) 5 ; Jarmila oležalová