Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8
3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. /8
Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 3/8
Eponenciální funkce. e = ep() := ++! + 3 3! +... = + 4 3 n=0 n n!.5 0.5 0 0.5.5 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 4/8
Logaritmická funkce. y 0 ln := ep 3 4 5 6 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 5/8
Konstantní funkce. f() := c, kde c R.5 y f() = 0.5 3 0 3 0.5 V případě, že c = 0, mluvíme o nulové funkci. Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 6/8
Mocninné funkce s přirozeným eponentem n N. 3 f() = n :=... }{{} n - krát f() = f() = f() = 3 4 3 3 3 3.5 0.5 0.5.5 3 0 3 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 7/8
Mocninné funkce se záporným celým eponentem n, kde n N. f() = y 4 3 4 3 0 3 4 f() = n := n =... y 4 3 f() = 3 3 0 3 4 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 8/8
Funkce n- tá odmocnina, kde n N je sudé. Funkci n-tá odmocnina, kde n N je sudé, definujme jako funkci inverzní k funkci f() := n, Df = 0, + ). Tzn. (zapsáno symbolicky a ne zcela korektně).5 n := ( n 0,+ ) ) 0.5 f() = = 0 3 4 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 9/8
Funkce n- tá odmocnina, kde n N \ {} je liché. Funkci n-tá odmocnina, kde n N \ {} je liché, definujme jako funkci inverzní k funkci f() := n. Tzn. (zapsáno symbolicky a ne zcela korektně) f() = 3 n := ( n R ).5 0.5 6 4 0.5 4 6.5 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 0/8
Mocninné funkce s reálným eponentem r R \ Z. 4 3 f() = 5. 0.8 0.6 f() = r := e r ln f() = 5 0.4 0. 0 0.5.5 0 0.5.5 Navíc definujme R. 0 := pro každé Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. /8
... na vysvětlenou. Poznámka. Lze ukázat, že ( ) p,q Z, q )( R + : p q = e p q ln() = q p. Prohlédneme-li si výše uvedené tvrzení, nabízí se otázka: Proč tedy nedefinujeme pro takováto p a q, je-li navíc p sudé, p q předpisem p q := q p i pro záporná? Odpověd je jasná: Protože taková definice by nebyla korektní; dostali bychom: = ( ) = ( ) = ( ) = =. Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. /8
Problém 5. Dokažte tvrzení: a, b R \ Q : a b Q. ( bod) Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 3/8
Goniometrické funkce (sinus, kosinus). sin := 3 3! + 5 5! = + n=0 ( ) n n+ (n+)! 6 4 4 6 cos :=! + 4 4! = + n=0 ( ) n n (n)! 6 4 0 4 6 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 4/8
Goniometrické funkce (tangens, kotangens). tg := sin cos y 6 4 6 4 0 4 6 cotg := cos sin y 6 4 6 4 0 4 6 4 6 4 6 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 5/8
Cyklometrické funkce (arkussinus, arkuskosinus). arcsin := (sin π, π ).5 0.5 arccos := ( cos 0,π ) 3.5 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 0.6 0.8 0.5.5 0.5.5 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 6/8
Problém 6. Znázorněte grafy funkcí definovaných předpisy f () := sin(arcsin); f () := arcsin (sin); f 3 () := sin( arccos ); f 4 () := arccos (sin). ( bod) Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 7/8
Cyklometrické funkce (arkustangens, arkuskotangens). arctg := (tg ( π, π )) 0.5 4 3 0 3 4 0.5 arccotg := (cotg (0,π) ).5.5 0.5 4 3 0 3 4 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 8/8
Hyperbolické funkce (sinus hyperbolický, kosinus hyperbolický). sinh := e e 3 0 cosh := e + e y 3.5 3.5.5 0.5 0 3 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 9/8
Hyperbolické funkce (tangens hyperbolický). tgh := sinh cosh = e e e + e 0.5 0.5 0 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 0/8
Hyperbolické funkce (kotangens hyperbolický). cotgh := cosh sinh = e + e e e y 4 3 4 0 4 3 4 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. /8
Hyperbolometrické funkce (argument sinu hyperbolického). arg sinh := (sinh).5 0.5 3 0 3 0.5.5 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. /8
Hyperbolometrické funkce (argument kosinu hyperbolického)..5 arg cosh := (cosh 0,+ ) ) 0.5 0 3 4 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 3/8
Hyperbolometrické funkce (argument tangenty hyperbolické). arg tgh := (tgh ) y 0.8 0.4 0 0. 0.4 0.6 0.8 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 4/8
Hyperbolometrické funkce (argument kotangenty hyperbolické). arg cotgh := (cotgh ) 4 3 y 4 3 0 3 4 3 4 Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 5/8
Elementární funkce. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 6/8
Definice. Elementárními funkcemi nazýváme funkce, které lze vytvořit ze základních ch funkcí pomocí konečného počtu algebraických operací (tj. operací +,,, :) a skládání funkcí. Elementární funkce. Příklady. Funkce f() = a := e ln a, kde a R +, je funkcí. Funkce inverzní k funkci a, kde a R + \ {}, je funkcí (log a = ln ln a ). sgn není funkcí. = je funkcí. Každý reálný polynom, tj. funkce definovaná předpisem f() := a n n + a n n +... + a + a 0, kde a i R pro každé i {0,,..., n}, je funkcí. Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 7/8
Cvičení. Dokažte následující tvrzení:, : arcsin + arccos = π, Elementární funkce. R : arctg + arccotg = π, R : cosh sinh =, R : arg sinh = ln( + + ),, + ) : arg cosh = ln( + ), (, ) : arg tgh = ln +, R \, : arg cotgh = ln +, u, v R : cosh(u + v) = cosh(u) cosh(v) + sinh(u) sinh(v), u, v R : sinh(u + v) = sinh(u) cosh(v) + cosh(u) sinh(v). Matematická analýza ve Vesmíru. 3. Elementární funkce - p. 8/8