[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

Podobné dokumenty
Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

14. cvičení z Matematické analýzy 2

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Úvodní informace. 17. února 2018

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

VEKTOROVÁ POLE Otázky

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

Parametrické rovnice křivky

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

11. cvičení z Matematické analýzy 2

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

1. Přímka a její části

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

14. cvičení z Matematické analýzy 2

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

Základní topologické pojmy:

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Křivkový integrál vektorového pole

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

12. Křivkové integrály

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0].

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5. cvičení z Matematiky 2

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Petr Hasil

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

Plošný integrál funkce

Extrémy funkce dvou proměnných

Limita ve vlastním bodě

11. cvičení z Matematické analýzy 2

19 Eukleidovský bodový prostor

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

Analytická geometrie lineárních útvarů

Funkce zadané implicitně

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Transkript:

4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch x + y = 1, z = xy od počátečního bodu A = [1, y A, z A přes bod B = [x B, 1, z B do koncového bodu C = [ 1, y C, z C. [nezadané souřadnice bodů A, B, C snadno spočítáte z rovnic ploch, stačí projekce oblouku ABC do roviny xy, parametrizace lehká: x = cos t, y = sin t z =, t 0, π, (proč?) vyjde: π + 3 4. Spočítejte práci vektorového pole F = x i + z j + e xy k podél křivky, která je dána jako uzavřená orientovaná křivka ABC tvořená oblouky na ploše z = 1 x pro x 0, y 0, z 0, které leží postupně v rovinách y = 0, z = 0, y = x. Orientace je dána pořadím bodů A = [0, 0, 1, B = [1, 0, 0, C = [1, 1, 0. [nakreslete si obrázek v prostoru R 3 (parab. válec proťatý 3 rovinami); ihned uvidíte = 1 3, parametrizací 1,, 3 (není obtížná) a součtem 3 integrálů (polynomy a substituce) vyjde: 38 15 + e 4.3 Spočítejte práci silového pole F = xy i y j které působí při pohybu hmotného bodu po kladně orientované uzavřené křivce + tvořené oblouky na křivkách y = x, y = x. [obrázek = 1 je snadný, parametrizací 1, a součtem dvou integrálů snadno vyjde: 3 0 4.4 Spočítejte práci vektoru F = (e x y + z) i + ye z j + x k podél křivky : x = ln t, y = t, z = t, která je orientovaná z počátečního bodu A = [0, 1, 1 do koncového bodu B = [ln, 4,. [obrázek nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: 31 5 + 8(e + e) + ln. (e ln t = t) 4.5 Určete hodnotu integrálu 4xydx + xdy dz, kde : r(t) = sin t i + sin(t) j + e t k, t 0, π. [přímým dosazením do integrálu a rozepsáním sin(t) =..., cos(t) =... vyjde: π 1 3 e π 4.6 Spočítejte integrál ydx xdy, kde x + : + y a b [parametrizace elipsy, ihned vyjde: πab = 1, kde a > 0, b > 0 jsou konstanty. 4.7 Spočítejte práci vektrového pole F = (x + y) i + x j podél kladně orientované kružnice + se středem v počátku a poloměrem r. [také lehký příklad, parametrizace kruřnice, vyjde: πr 4.8 Spočítejte práci vykonanou vektorem síly F = (3x + y ) i + (4xy 3y ) j po křivce : x + y = 1 od počátečního bodu A = [1, 0 do koncového bodu B = [0, 1. [obr. a parametizace kružnice jednoduché, obvyklými goniometrickými substitucemi vyjde: 1

4. Nezávislost na integrační cestě Ověřte podmínky nezávisloti na integrační cestě v daném potenciálovém poli F = (P, Q) resp. F = (P, Q, R), najděte potenciál V a pro zadané body A, B případně interval parametru t spočítejte práci konanou při pohybu bodu z počátečního bodu A do koncového bodu B. 4.9 F = (1 xy y ) i + (1 xy x ) j, A = [0,, B = [1, 0. [ V (x, y) = x x y y x + y + c, W = 1 4.10 xz dx + y 3 dy + x zdz, A = [ 1, 1,, B = [ 4,, 1. [ V (x, y, z) x z + y4 4 + c, W = 39 4, spočítejte si tak0 integrací po orientované úsečce AB! 4.11 F = y 1+x y 4 i + xy 1+x y 4 j, : r(t) = t i + t j, t 0, 1. [V (x, y) = arctg(xy ) + c, W = π 4, tento příklad si spočítejte více způsoby vychází velice jednoduše integrací a) po zadané křivce gamma (subst. t 5 = u) b) orientované úsečce AB (A = [0, 0, B = [1, 1) c) lomené orientované křivce = AC CB, kde C = [1, 0 4.1 F = (x + yz) i + (y + xz) j + (z + xy) k, A = [1,, 3, B = [0, 0, 0. [V (x, y, z) = x +y +z + xyz + c, W = 13 4.13 F = xy i + x j 1 z k, : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t π, π. [V (x, y, z) = x y + 1 z +c, W = 1 π (komplikovaný vypočet, když počítáme přímým výpočtem po křivce ) 4.14 F = e x yz i + (1 + e x z) j + e x z k, : r(t) = t i + (t 1) j 3t k, A = [1, 0, 3, B = [ 1,, 3. [V (x, y, z) = yz e x + y + c, W = 6 e (spočítejte si také přímým dosazením) 4.15 F = 1 z i + 1 z j x+y z k, : r(t) = t i 3t j + t 3 k, t 1,. [V (x, y, z) = x+y z + c, W = 7 4, (velice pěkně vyjde i bez výpočtu V přímým dosazením) 4.16 F = (3x y z 4 ) i + x 3 y j 8xz 3 k, spočítejte kmenovou funkci V. [V (x, y, z) = x 3 y xz 4 + c 4.17 F = y i + x j + z k, A = [0, 0, 0, B = [1, 1,. [V (x, y, z) = xy + z + c, W = 5 4.18 F = 1 y i + y x y j, A = [1, 1, B = [ 6, 3. (předpokládáme, že y 0). [V (x, y) = x y + y + c, W = 1

4.19 F = cos(y) i x sin(y) j, A = [1, π 6, B = [, π 4. [V (x, y) = x cos(y) + c, W = frac1 4.0 Zjistěte, zda výraz (x cos y y sin x) dx + (y cos x x sin y) dy je totálním diferenciálem a určete potenciál V. [ tedy opět ověříme podmínky nezávislosti a spočítáme V (x, y) = x cos y + y cos x + c 4.1 F = (yz y + z + 3) i + (xz x + 1) j + (xy + x + z) k, A = [0, 1,, B = [3,, 5. [ V (x, y, z) = xyz xy + xz + 3x + y + z + c, W = 70 4. F = (3x + y ) i + (4xy 3y ) j, : x + y = 1 A = [1, 0 do konc B = [0, 1. [ V (x, y) = x 3 + xy y 3 + c, W =, (spočítejte si také přímou integrací po ) 3

4.3 Greenova věta Ověřte podmínky použitelnosti Greenovy věty a užijte ji k výpočtu následujícího integrálu (cirkulace vektorového pole F ) po zadané křivce : 4.3 (x + y) dx (x y) dy, kde je záporně orientovaná křivka tvořená obloukem grafu funkce y = sin x a úsečkou na ose x pro x 0, π. [obrázek i výpočet dvojného integrálu jsou jednoduché (per partes), vyjde: 4π 4.4 F = (1 x ) i + x (1 + y ) j, + : r(t) = 3 cos t i + 3 sin t j, t 0, π. [obrázek i výpočet dvojného integrálu je snadný (transformace do polárních souřadnic), bez problémů vyjde: 117 4 π, zkuste si také spočítat přímým výpočtem bez Greenovy věty - vychází to pěkně 4.5 F = (xy + x + y) i + (xy + x y) j, + : x + y = y. 4.6 [parametrizace posunuté kružnice (polární souřadnice), v intergrandu je rozdíl dvou funkcí a rozdělíteli si integrál na dva, bude druhý z nich nulový (proč?), pak už hned vyjde π 8 + (e x sin y 16y) dx + (e x cos y 16) dy, kde + je kladně orientovaná hranice oblasti D = {[x, y; x + y = ax, x 0, y 0}, kde a > 0 je konstanta. 4.7 4.8 [opět posunutá kružnice, polárními souřadnicemi s posunem, nebo bez posunu do počátku, vyjde okamžitě πa (výsledek lze také uhodnout, protože integrand je konstanta) y dx x dy, kde + je kladně orientovaná kružnice se středem S = [1, 1 a poloměrem r = 1. [polárními souřadnicemi nutně s posunem do počátku x = 1 + ρ cos ϕ, konst. meze ρ, ϕ; vyjde snadno y = 1 + ρ sin ϕ 4π (vychází pěkně i přímým výpočtem bez použití Greenovy věty) ( x y ) dx + ( x + y ) dy, kde je záporně orientovaná křivka tvořená půlkružnicí y = r x a úsečkou na ose x. 4.9 4.30 [ obyčejné polární souřadnice s konstantními mezemi, bez problémů vyjde 4 3 r3 ( ) 6x cos y y 3 dx + ( x 3 3x sin y ) dy, kde + je kladně orientovaná kružnice x + y = 1. [také obyčejné polární souřadnice s konstantními mezemi, velice jednoduchý integrál, výsledek 3π (bez použití Greenovy věty vychází nepěkně) (x + y) dx (x y) dy, kde + je kladně orientovaná křivka tvořená obloukem paraboly y = x a úsečkou na přímce y = x. [bez problémů ihned vyjde 1 3 4.31 F = 1 y i 1 x j, + je trojúhelník ABC s vrcholy A = [1, 1, B = [, 1, C = [,. [také jednoduchý příklad bez transformace do polárních souřadnic, vyjde 1 4

4.3 ( xy + x ) dx + x ydy, kde + je kladně orientovaná hranice oblasti D = {[x, y; 0 x y 1}. [snadné s Greenovou větou i bez Greenovy věty, integrací polynomu vyjde 1 1 4.33 F = (1 + xy)e xy i + x (1 + e xy ) j, + obdélník ABCD s vrcholy A = [0, 0, B = [, 0, C = [, 1, D = [0, 1. [integrand vychází velice jednoduše, lehce vyjde: 4 4.34 F = x arctan y i + 1 1+y j, + je trojúhelník KLM s vrcholy K = [ 1, 0, L = [0, 0, M = [0, 1. [těžší příklad: nejdříve substituce x + 1 = t potom per partes u = arctg t, problémů vyjde 1 (1 ln ) v = t 1; pak už bez Obrácenou Greenovou větou spočítejte obsah rovinného obrazce D: 4.35 D = {[x, y R ; x y x}. [parametrizace + = 1 snadná, bez problémů vyjde 1 6 (bez Greenovy věty ješte kratší) 4.36 D = {[x, y R ; y ln x, x + 1 y 1}. [také nutný obrázek, parametrizace + = 1 3 není obtížná, vyjde e 3 4.37 D = {[x, y R ; e x y e π, x 0}. (Pozor: e π je konstanta!) [opět parametrizace + = 1 3, užitím per partes vyjde e π (π 1) + 1 (bez Greenovy věty je výpočet kratší zkuste si spočítat) 5