Pavel Burda Jarmila Doležalová

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory s převažujícími distančními prvy pro předměty teoreticého záladu studia. Tento projet je spolufinancován Evropsým sociálním fondem a státním rozpočtem Česé republiy ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

ISBN 80-48-1195-

OBSAH Úvod... 6 POKYNY KE STUDIU... 7 1. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL... 10 1.1. Dvojrozměrný integrál v obdélníu... 10 Kontrolní otázy... 0 Kontrolní test... Shrnutí lece... 4 1.. Dvojrozměrný integrál v obecné uzavřené oblasti... 5 Kontrolní otázy... 8 Kontrolní test... 40 Shrnutí lece... 4 1.. Transformace v dvojrozměrném integrálu... 44 Kontrolní otázy... 54 Kontrolní test... 56 Shrnutí lece... 58 1.4. Apliace dvojrozměrného integrálu... 59 1.4.1 Objem tělesa... 59 1.4.. Obsah rovinné oblasti normální vzhledem ose, resp. y... 6 1.4.. Obsah plochy... 67 1.4.4. Fyziální apliace... 70 Kontrolní otázy... 74 Kontrolní test... 76 Shrnutí lece... 77. TROJROZMĚRNÝ (TROJNÝ) INTEGRÁL... 78.1. Trojrozměrný integrál v vádru... 78 Kontrolní otázy... 84 Kontrolní test... 86 Shrnutí lece... 88.. Trojrozměrný integrál v obecné uzavřené oblasti... 89 Kontrolní otázy... 96 Kontrolní test... 98 Shrnutí lece... 100. Transformace v trojrozměrném integrálu... 10..1. Transformace do válcových souřadnic... 10... Transformace do sféricých souřadnic... 106 Kontrolní otázy... 110 Kontrolní test... 11 Shrnutí lece... 114

.4. Apliace trojrozměrného integrálu... 114.4.1. Objem tělesa... 115.4. Fyziální apliace... 118 Kontrolní otázy... 15 Kontrolní test... 17 Shrnutí lece... 19. VEKTOROVÁ ANALÝZA... 10.1. Vetorová funce... 10 Kontrolní otázy... 140 Kontrolní test... 14 Shrnutí lece... 145.. Salární pole... 146 Kontrolní otázy... 15 Kontrolní test... 154 Shrnutí lece... 156.. Vetorové pole... 158 Kontrolní otázy... 164 Kontrolní test... 165 Shrnutí lece... 167.4. Operace druhého řádu... 168 Shrnutí lece... 17 4. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL... 17 4.1. Křiva a její orientace... 17 Kontrolní otázy... 179 Kontrolní test... 181 Shrnutí lece... 18 4.. Zavedení řivového integrálu... 185 Shrnutí lece... 187 4.. Výpočet a vlastnosti řivových integrálů... 188 Kontrolní otázy... 05 Kontrolní test... 07 Shrnutí lece... 09 4.4. Greenova věta... 10 Kontrolní otázy... 14 Kontrolní test... 16 Shrnutí lece... 18 4.5. Nezávislost řivového integrálu na integrační cestě... 0 Kontrolní otázy... 8 Kontrolní test... 0 Shrnutí lece...

4.6. Apliace řivového integrálu... 4 4.6.1. Obsah válcové plochy... 5 4.6.. Déla řivy... 7 4.6.. Obsah rovinné oblasti... 8 4.6.4. Práce síly po řivce... 40 4.6.5. Cirulace vetorového pole... 4 4.6.6. Hmotnost oblouu řivy... 46 4.6.7. Staticé momenty a souřadnice těžiště řivy... 48 4.6.8. Momenty setrvačnosti řivy... 50 Kontrolní otázy... 51 Kontrolní test... 5 Shrnutí lece... 55 5. PLOŠNÝ INTEGRÁL... 56 5.1. Plocha a její orientace... 56 Kontrolní otázy... 59 Shrnutí lece... 61 5.. Zavedení plošného integrálu... 61 Shrnutí lece... 6 5.. Výpočet a vlastnosti plošných integrálů... 64 Kontrolní otázy... 75 Kontrolní test... 78 Shrnutí lece... 80 5.4. Gauss-Ostrogradsého věta, Stoesova věta... 80 Kontrolní otázy... 86 Kontrolní test... 88 Shrnutí lece... 90 5.5. Apliace plošného integrálu... 91 5.5.1. Obsah plochy... 9 5.5.. Objem tělesa... 94 5.5.. Hmotnost plochy... 96 5.5.4. Staticé momenty a souřadnice těžiště plochy... 98 5.5.5. Momenty setrvačnosti plochy... 01 5.5.6. To vetorového pole plochou... 0 Kontrolní otázy... 04 Kontrolní test... 06 Shrnutí lece... 08 Literatura... 09

Úvod STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projetu, terý uspěl v rámci první výzvy Operačního programu Rozvoj lidsých zdrojů. Projet je spolufinancován státním rozpočtem ČR a Evropsým sociálním fondem. Partnery projetu jsou Regionální střediso výchovy a vzdělávání, s.r.o. v Mostě, Univerzita obrany v Brně a Technicá univerzita v Liberci. Projet byl zahájen 5.1.006 a bude uončen 4.1.008. Cílem projetu je zpracování studijních materiálů z matematiy, desriptivní geometrie, fyziy a chemie ta, aby umožnily především samostatné studium a tím minimalizovaly počet ontatních hodin s učitelem. Je zřejmé, že vytvořené tety jsou určeny studentům všech forem studia. Studenti ombinované a distanční formy studia je využijí samostudiu, studenti v prezenční formě si mohou doplnit zísané vědomosti. Všem studentům tety pomohou při procvičení a ověření zísaných vědomostí. Nezanedbatelným cílem projetu je umožnit zvýšení valifiace široému spetru osob, teré nemohly ve studiu na vysoé šole z různých důvodů (sociálních, rodinných, politicých) poračovat bezprostředně po maturitě. V rámci projetu jsou vytvořeny jedna standardní učební tety v tištěné podobě, oncipované pro samostatné studium, jedna e-learningové studijní materiály, přístupné prostřednictvím internetu. Součástí výstupů je rovněž bana testových úloh pro jednotlivé předměty, na níž si studenti ověří, do jaé míry zvládli prostudované učivo. Bližší informace o projetu můžete najít na adrese http://www.studopory.vsb.cz/. Přejeme vám mnoho úspěchů při studiu a budeme mít radost, poud vám předložený tet pomůže při studiu a bude se vám líbit. Protože nido není neomylný, mohou se i v tomto tetu objevit nejasnosti a chyby. Předem se za ně omlouváme a budeme vám vděčni, poud nás na ně upozorníte. ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY - 6 -

Poyny e studiu POKYNY KE STUDIU V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou struturu aždé apitoly tetu, terá by vám měla pomoci rychlejší orientaci při studiu. Pro zvýraznění jednotlivých částí tetu jsou používány iony a barevné odlišení, jejichž význam nyní objasníme. Průvodce studiem vás stručně seznámí s obsahem dané apitoly a s její motivací. Slouží taé instruci, ja poračovat dál po vyřešení ontrolních otáze nebo ontrolních tetů. Cíle vás seznámí s učivem, teré v dané apitole poznáte a teré byste po jejím prostudování měli umět. Předpoládané znalosti shrnují stručně učivo, teré byste měli znát ještě dříve než apitolu začnete studovat. Jsou nezbytným předpoladem pro úspěšné zvládnutí následující apitoly. Výlad označuje samotný výlad učiva dané apitoly, terý je členěn způsobem obvylým v matematice na definice, věty, případně důazy. Definice 1.1.1. Zavádí záladní pojmy v dané apitole. Věta 1.1.1. Uvádí záladní vlastnosti pojmů zavedených v dané apitole. Důaz: Vychází z předpoladů věty a doazuje tvrzení uvedené ve větě. - 7 -

Poyny e studiu Poznáma neformálně omentuje vyládanou látu.. Řešené úlohy označují vzorové přílady, teré ilustrují probrané učivo. Přílad Uvádí zadání příladu. Řešení: Uvádí podrobné řešení zadaného příladu. Úlohy samostatnému řešení obsahují zadání příladů procvičení probraného učiva. Úlohy označené patří obtížnějším a jsou určeny zájemcům o hlubší pochopení tématu. Výsledy úloh samostatnému řešení obsahují správné výsledy předchozích příladů, slouží e ontrole správnosti řešení. Kontrolní otázy obsahují soubor otáze probranému učivu včetně něolia odpovědí, z nichž je vždy alespoň jedna správná. Odpovědi na ontrolní otázy uvádějí správné odpovědi na ontrolní otázy. Kontrolní test obsahuje soubor příladů probranému učivu. Výsledy testu uvádějí správné odpovědi na přílady ontrolního testu. - 8 -

Poyny e studiu Shrnutí lece obsahuje stručný přehled učiva, teré by měl student po prostudování příslušné apitoly zvládnout. Literatura obsahuje seznam nih, teré byly použity při tvorbě příslušného tetu a na teré byly případně uvedeny odazy hlubšímu prostudování tématu. Pitogram, terý upozorňuje na důležité vztahy nebo vlastnosti, teré je nezbytné si zapamatovat. Označuje přílad (řešený nebo samostatnému řešení), terý je obtížnější a slouží proto hlubšímu studiu. Tato podbarvený tet je určen hlubšímu studiu daného problému, obvyle není předmětem zoušy. - 9 -

Dvojrozměrný integrál 1. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL Průvodce studiem V prvním ročníu jste se seznámili s integrálním počtem funce jedné proměnné. Poznali jste pojem primitivní funce a její vztah neurčitému integrálu, záladní metody výpočtu neurčitého integrálu. Metodou dělení intervalu byl zaveden Riemannův určitý integrál a pomocí Newton Leibnizovy věty jste se jej naučili počítat. V závěru jste se zabývali využitím integrálního počtu v matematice a fyzice. Stejně jao jsme v prvním ročníu rozšířili pojmy diferenciálního počtu funce jedné proměnné na funce dvou a více proměnných, zavedeme i pojem integrálního počtu funcí dvou proměnných na záladě analogií s integrálním počtem funce jedné proměnné. Zísáme ta pojem dvojrozměrný integrál, terý uvedl v roce 1769 jao první švýcarsý matemati Leonhard Euler. Naučíme se dvojrozměrný integrál počítat a uážeme si jeho využití v matematice a fyzice. Cíle V první apitole zavedeme dvojrozměrný integrál v obdélníu a obecné rovinné oblasti a naučíme se metody jeho výpočtu. Uážeme si taé využití dvojrozměrného integrálu v geometrii a fyzice. Předpoládané znalosti Integrační metody (záladní integrační vzorce, metoda integrace substitucí, metoda per partes), výpočet určitého integrálu (Newton Leibnizova věta). Analyticá geometrie lineárních útvarů (obecná rovnice přímy, její směrnicový a úseový tvar, parametricé rovnice přímy) a vadraticých útvarů v rovině (uželosečy). 1.1. Dvojrozměrný integrál v obdélníu Průvodce studiem Z prvního ročníu si jistě pamatujete, že jednoduchý určitý integrál byl definován pro funci jedné proměnné y = f( ), přičemž integrační oblast tvořil uzavřený interval < ab, >. 10-10 -

Dvojrozměrný integrál V této apitole zavedeme analogicy Riemannův dvojrozměrný integrál, terý je obecně definován pro funci dvou proměnných z = f (, y). Výpočet Riemannova dvojrozměrného integrálu je jednoduchý, je-li integrační oblastí obdélní, jehož strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Cíle Cílem této apitoly je objasnit pojem Riemannova dvojrozměrného integrálu v obdélníu a uázat způsob jeho výpočtu. Předpoládané znalosti K výpočtu jaéhooliv integrálu je zcela nezbytné znát záladní integrační vzorce. Abychom je měli neustále dispozici, připomeneme si je v následujících řádcích. [1.] 0d = C [.] 1d = + C n+ 1 n [.] d = + C n + 1 1 [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C pro > 0, n 1 pro 0 [6.] cos d = sin + C 1 [7.] d = tg + C cos 1 [8.] d = cotg + C sin 1 [9.] d = arcsin + C 1 1 [10.] d = arctg + C 1+ [11.] [1.] 11-11 - π pro ( + 1), Z pro π, Z pro ( 1,1) a a d= + C pro a > 0, a 1 ln a ed= e + C

Dvojrozměrný integrál f ( ) [1.] d = ln f ( ) + C f ( ) d 1 [14.] = arctg + C a + a a d [15.] = arcsin + C a a pro f( ) 0 pro a > 0 pro ( a, a) 1 [16.] f ( a + b) d = F( a + b) + C pro a 0 a Výlad Pojem Riemannova dvojrozměrného integrálu funce dvou proměnných v obdélníu je analogicý pojmu Riemannova určitého integrálu funce jedné proměnné v uzavřeném intervalu. Pro naše potřeby bude postačující omezit se při výladu pojmu dvojrozměrného integrálu na taové funce z = f (, y), teré jsou v obdélníu D = {( y, ): < ab, >, } y < c, d >, jehož strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic, spojité a ohraničené, viz obr. 1. z f(ξ i,η j) z=f(,y) i-1 a 0 c b i y j-1 y j (ξ i,η j) D ij D d y Obr. 1 Rozdělíme intervaly < a, b >, resp. < c, d > posloupnostmi bodů a = 0 < 1< <... < m = b, resp. c= y0 < y1< y <... < yn = d na intervaly < i 1, i >, i= 1,, K, m, resp. < yj-1, yj >, j = 1,, K, n. Označíme veliosti dílčích intervalů i = i i 1, yj = yj yj 1. Rovnoběžy s osou y vedené body i a rovnoběžy s osou vedené body y j rozdělí obdélní D na m.n obdélníů, teré označíme D ij,viz obr. 1. Pro jejich obsah platí D ij = i. y j. Nyní v aždém obdélníu D ij zvolíme 1-1 -

Dvojrozměrný integrál bod ( ξ, η ) a určíme příslušnou funční hodnotu z = f( ξ, η ). Vytvoříme součiny i j f ( ξi, η j). Dij = f( ξi, η j ). i. y j, teré pro funce f (, y) 0 v obdélníu D znamenají i j objemy hranolů o záladně Utvoříme nyní součty D ij a výšce ( i, j) m n i= 1 j= 1 f ξ η. f ( ξi, η j) i. yj. Pro f (, y ) 0 v obdélníu D se jedná o objem tělesa složeného z hranolů nad všemi obdélníy D ij o příslušných výšách ( i, j). f ξ η Definice 1.1.1. Jestliže pro m, n a i 0, y j 0 pro všechna i = 1,,, j = 1,, eistuje m n lim f ( ξi, η j) i. m, n i= 1 j= 1 Δi 0, Δyj 0 y j, (1) nazveme ji dvojrozměrným (dvojným) integrálem funce f (, y ) v obdélníu D a označíme f (, y) ddy. () D Poznáma Pro funce f (, y) 0 v obdélníu D znamená vztah () objem tělesa S ohraničeného rovinami z = 0, = a, = b, y = c, y =d a plochou z = f (, y), viz obr. 1. Věta 1.1.1. (Dirichletova) Nechť je dán obdélní D {( y, ): ab,, y cd, } spojitá v obdélníu D, pa = < > < >. Jestliže f (, y ) je funce b d d b f (, y) ddy = f (, y) dy d = f (, y) d dy. D a c c a () Tuto důležitou větu, podle teré je možno převést výpočet dvojrozměrného integrálu na dvojnásobnou integraci integrálů funcí jedné proměnné, nebudeme doazovat. Můžeme se 1-1 -

Dvojrozměrný integrál vša opřít o následující geometricou interpretaci pro f (, y) 0 v D. Ja bylo řečeno, dvojrozměrný integrál f (, y) ddy znamená objem V(S) tělesa S. Platí zřejmě taé d V( S) = A( y) dy, c D de A( y) je oblast, terá vznine řezem tělesa S rovinou olmou ose y vedenou bodem y, viz obr.. Uvažujme, ja lze sečíst tato vznilé oblasti A( y ). Pro aždé pevné y < c, d > b je f (, y ) funcí proměnné a pro obsah A( y ) platí A( y) = f(, y) d. z a z=f(,y) a b 0 D c A(y) y d y Dosadíme do vztahu pro V( S ) a dostaneme V( S) = f(, y) d dy. c a Podobnou úvahu můžeme provést pro roviny olmé ose. Dostaneme d b b d V( S) = f(, y) d dy = f(, y) dy d= f(, y) ddy. c a a c D d b Obr. Poznámy 1. Ve vztahu () je nutno odlišovat dvojrozměrný nebo taé dvojný integrál f (, y) ddy b d d b od integrálu dvojnásobného f (, y) dy d = f (, y) d dy. a c c a D 14-14 -

Dvojrozměrný integrál. Ve vztahu () počítáme nejprve integrál v závorce, terý nazýváme vnitřní integrál a teprve pa integrál mimo závoru, terý se nazývá vnější integrál.. Dvojnásobné integrály ve vztahu () obvyle pro větší přehlednost zapisujeme ve tvaru b d b d f(, y) dy d = d f(, y) dy, a c a c (a) d b d b f (, y) d dy = dy f (, y) d. (a) c a c a Praticý výpočet provádíme tedy dvojnásobnou integrací funcí jedné proměnné, při čemž druhou proměnnou považujeme za onstantu podobně jao při praticém výpočtu parciálních derivací, viz [], [7], [9]. Z definice součtů ve vztahu (1) přímo vyplývá: Věta 1.1.. (Vlastnosti dvojného integrálu na obdélníu D) 1. cf (, y) ddy = c f (, y) ddy, D D f ( y, ) + gy (, ) ddy= f( yddy, ) + gyddy (, ),. ( ) D D D. f (, y) ddy = f (, y) ddy + f (, y) ddy, D D D 1 de f ( y, ), gy (, ) funce jsou spojité v D, c R a D1, D jsou obdélníy, teré vzninou z obdélníu D jeho rozdělením přímou rovnoběžnou s osou, resp. s osou y. Řešené úlohy Přílad 1.1.1. Vypočtěte dvojrozměrný integrál + y { < > }. A = e ddy, D = (, y): < 0,1 >, y 1, D Řešení: 1. Podle vztahu (a): 1 1 1 y + y y e A = d e dy = d e e dy = e d = 0 1 0 1 0 1 15-15 -

Dvojrozměrný integrál 1 1 1 1 6 1 1 1 1 = e e e d= e ( e 1) e d= e ( e 1) e = 0 0 0 1 1 1 = e ( e 1) ( e 1) = e ( e 1)( e 1), 6. podle vztahu (b): 1 1 y y y 1 + A = dy e d = dy e e d = e e dy = 1 0 1 0 1 0 1 y 1 1 1 y 1 1 y = e e dy = ( e 1) e dy ( e 1) e = = 1 1 1 1 1 6 1 1 = ( e 1)( e e ) = e ( e 1)( e 1). 6 Úlohy samostatnému řešení 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníu D užitím vztahu (a) nebo (b): > a) + ddy D= { y < > y < } D ( ), (, ) : 0,1, 0,, > b) y ddy D = { y < > y < } D ( 4 ), (, ): 1,, 1,1, c) ( + y ) ddy, D = {(, y): <,0 >, y < 1,> }, D 1 d) ( + y) ddyd, = {( y, ): < 0,1 >, y < 0,> }, D D ( y + 1) > e) ddy D = { y < > y < } y, (, ) : 0,1, 0,1, { } f) ye ddy, D = (, y): < 0,ln >, y < 0,1>, D g) 1 ddy, D = {(, y): < 0,1 >, y <,> }, D h) π π π cos( + y) ddy, D = (, y) : <, >, y < 0,, 4 4 4 > D 16-16 -

Dvojrozměrný integrál i) + y y+ ddy D = { y < > y < > } D ( 4), (, ) : 0,, 0,, j) D π y cos( y ) ddy, D = (, y) : < 0, >, y < 0,, > ) π sin( + y) ddy, D= (, y) : < 0, π >, y <, π, 4 > D ddy, (, ):,4, 1, >, D ( + y) l) D = { y < > y < } m) ddy D = { y < > y < } D y >, (, ) : 0,1, 0,1, (1 + + y ) { } y n) ye ddy, D = (, y): < 0,1 >, y < 0,>, D 1 D ( + y+ 1) > o) ddy D = { y < > y < }, (, ) : 0,1, 0,1. Výsledy úloh samostatnému řešení 1. a) 7; b) 16; c) 14; d) (1 9 ) ; e) 1 ln; f) 1 (1 ln ) ; g) 1 15 ; h) 1; i) ; j) π ; 16 ) 0; l) 5 ln ; m) 4 + ln ; n) ; o) 1 + 4 ln. Výlad Snadno lze dvojrozměrný integrál v obdélníu D = {( y, ): < ab, >, y < cd, > } vypočítat pro funce, teré lze napsat jao součin dvou funcí jedné proměnné: f ( y, ) = f( ). f( y). Pa zřejmě platí 1 f ( ). f ( y) ddy= f ( ) d f ( y) dy. (c) 1 1 D a c b d 17-17 -

Dvojrozměrný integrál Řešené úlohy Přílad 1.1.. Vypočtěte integrál A z příladu 1.1.1 užitím vztahu (c). Řešení: 1 + y y y = A = e ddy = e e ddy= e d e dy D D 1 1 1 y 1 = e e e ( e 1)( e 1 = 0 ). 1 6 0 1 Úlohy samostatnému řešení. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníu D užitím vztahu (c): a) yddy D = { y < > y < } > D, (, ): 0,, 1,, b) ddy D = { y < > y < } D 1 y > +, (, ) : 0,1, 0,1, + y c) ye ddy, D = {(, y) : < 0,1 >, y < 0,1 > }, D d) ln(1 + ) y ddy, D = {(, y) : < 0,1 >, y < 0,1 > }, D e) π sin y ddy, D = (, y) : < 1, >, y < 0,, > D f) yddy, D je čtverec o vrcholech (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), D g) y ddy, Dje obdélní o vrcholech (0,0), ( a,0), ( ab, ), (0, b), 0 < a< b. D Výsledy úloh samostatnému řešení. a) 4; b) π ; c) e 1 ; d) ln 1 ; e) 1 ; f) 1 ; g) 4. 9 ab 18-18 -

Dvojrozměrný integrál Výlad Nelze-li funci f (, y ) rozložit v součin dvou funcí jedné proměnné f1( ). f( y ), pa při integraci budeme postupovat stejně jao v prvním nebo druhém způsobu řešení integrálu A, tj. podle vztahů (a) nebo (b). Řešené úlohy 1 D ( + y+ 1). Přílad 1.1.. Vypočtěte B = ddy, D = {(, y): < 1, >, y < 1,> } Řešení: Použijeme vztah (a): 1 B = d dy = d ( + y + 1) dy 1 1( + y+ 1) 1 1 = 1 1 ( y 1) + + 1 =. d = (( 5) 1 ( ) 1 1 1 1 + + ) d 1 1 = ( ) 5 d = + + 1 1 1 1 [ ] 1 1 1 9 = ln + 5 ln + = (ln 8 ln 6 ln 6 + ln 4) = ln = ln. 1 6 8 Poznámy 1. Poud se zdá přímé integrování užitím vztahu při integraci substituci: 1 f ( a + b) d = F( a + b) obtížné, lze užít a 1 B = d dy + y+ 1 = t, y = 1, t = + = =,, 5 1 1( + y+ 1) dy = dt y = t = + + 5 + 5 1 dt 1 1 1 1 1 1 9 = ln. d = d d t = = + 5 + 8 1 + t 1 + 1. Obecně nezáleží na pořadí integrace, tedy platí vztahy (a, b). V něterých případech ale daný dvojrozměrný integrál může být snadno řešitelný jedním způsobem, druhý způsob vša může být ompliovaný v závislosti na tvaru integrované funce. 19-19 -

Dvojrozměrný integrál Řešené úlohy y Přílad 1.1.4. Vypočtěte integrál =, = {(, ): < 0,1 >, < 1, } > C ddy D y y. D Řešení: 1. Použijeme vztah (b): 1 1 y+ 1 y 1 0 C = dy d = dy = dy y+ 1 y+ 1 y+ 1 = 1 0 1 0 1 dy = = [ ln y + 1 ] = ln ln = ln y + 1 1 1. 1 1 1 y y. Použijeme vztah (a): C = d dy = d = d ln = ln ln K. 0 1 0 1 0 Další výpočet výše uvedeného integrálu je pracný. Kontrolní otázy 1. Jaá musí být funce f (, y, ) abychom ji mohli integrovat v obdélníu D? a) ladná, b) spojitá a ohraničená, c) monotónní, d) periodicá.. Jaý geometricý útvar určuje množina bodů {(, y): a, b, y a, b } a) Kruh, b) čtverec, c) obdélní, d) parabolu.. Jaou polohu má obdélní D {( y, ): ab,, y cd, } Oy? a) Libovolnou, b) jeho strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic, < > < >? = < > < > v souřadnicovém systému c) jeden vrchol obdélnía musí být v počátu soustavy souřadnic a jeho strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic, d) jeden vrchol obdélnía musí být v počátu soustavy souřadnic. 4. Který z následujících výrazů je zápisem dvojrozměrného integrálu? b d a) 1 a c f ( d ) f ( ydy ), b) f (, y) d dy c a d b, 0-0 -

Dvojrozměrný integrál b d ). c) d f (, y) dy, d) f (, y ddy a c 5. Který z následujících výrazů je zápisem dvojnásobného integrálu? f ( ). f ( y) ddy, b) f (, y) d dy c a a) 1 D b d D d b, ). c) d f (, y) dy, d) f (, y ddy a c D 6. Jaé je obecně pořadí výpočtu jednotlivých integrálů v dvojnásobném integrálu funce f (, y? ) a) Nejprve počítáme vnější integrál, pa teprve vnitřní, b) na pořadí nezáleží, c) nejprve počítáme vnitřní integrál, pa teprve vnější, d) oba integrály počítáme současně. 7. Jaý tvar musí mít funce f (, y, ) abychom mohli v obdélníu D integrovat současně oba integrály (podle proměnné i y)? a) f1( y, ). f( y ), b) f1( ). f(, y ), c) f1( ). f( y ), d) f1( ) + f( y). 8. Jaý geometricý význam má f (, y) ddy pro f (, y) 0? D a) Obsah oblasti D, b) obvod oblasti D, c) objem tělesa, jehož spodní podstavou je obdélní D, teré je shora ohraničeno funcí z = f (, y), d) povrch tělesa, jehož spodní podstavou je obdélní D, teré je shora ohraničeno funcí z = f (, y). Odpovědi na ontrolní otázy 1. b);. b);. b); 4. d); 5. b, c); 6. c); 7. c); 8. c). 1-1 -

Dvojrozměrný integrál Průvodce studiem Poud jste správně odpověděli nejméně v šesti případech, poračujte další apitolou. V opačném případě je nutno prostudovat apitolu 1.1 znovu. Kontrolní test >. 1. Vypočítejte integrál ddy, D = {(, y): < 1, >, y <,4 } D a) 1, b), c), d) 4... Vypočítejte integrál yddy, D = {(, y): < 0,1 >, y < 0,> } D a) 1, b), c), d) 4. >.. Vypočítejte integrál ( + y) ddy, D = {(, y): < 0,1 >, y < 0, } D a) 1, b), c), d) 4.. 4. Vypočítejte integrál yddy, D = {(, y): < 0,1 >, y < 0,9> } D a) 11, b) 1, c) 1, d) 14. 5. Vypočítejte integrál sin sin y ddy, D = {(, y) : < 0, π >, y < 0, π > } a). D π π, b), 4 4 c) 4π, d) 4 π. + y 6. Vypočítejte integrál e ddy, D = {(, y) : < 0,1 >, y < 0,1 > }. D a) e, b) e 1, c) ( e 1), d) e + 1. - -

Dvojrozměrný integrál 7. Vypočítejte integrál ddy, D = {(, y) : < 0,1 >, y < 0,1> } π a), 1 D y. + 1 b), 1 c) 1 π, d) 1 π. 8. Vypočítejte integrál ( + ) ddy, D = {(, y): < 0,1 >, y < 0, > } a) π +, 4 π 1 1. D y + 1 b) π + 4, 1 c) 1π + 4, d) 1 π. π 9. Vypočítejte integrál sin( + y) ddy, D= (, y) : < 0, π >, y < 0, >. D π π a) 1, b) +, 1 1 c) π, d) π. { } 10. Vypočítejte integrál ( + y ) ddy, D = (, y): < 0,1 >, y < 0,. a) > D 10, b) 15, 4 c) 4 15, d). 10 Výsledy testu 1. d);. a);. c); 4. b); 5. b); 6. c); 7. a); 8. b); 9. d); 10. a). Průvodce studiem Poud jste správně odpověděli nejméně v osmi případech, poračujte další apitolou. V opačném případě je potřeba prostudovat apitolu 1.1 znovu. - -

Dvojrozměrný integrál Shrnutí lece Dvojrozměrný nebo taé dvojný integrál f (, y) ddy {(, ):,,, } funce (, ) D f y v obdélníu D = y < ab> y < cd> vypočítáme převedením na integrál dvojnásobný b d d f (, y) dy nebo dy f (, y) d, tedy dvojnásobnou integrací funcí jedné proměnné. a c d c b a Důležitým předpoladem pro výpočet příladů bylo zopaování záladních integračních metod. 4-4 -

Dvojrozměrný integrál 1.. Dvojrozměrný integrál v obecné uzavřené oblasti Průvodce studiem V předchozí apitole jsme se naučili počítat dvojrozměrný integrál, jestliže obor integrace byl jednoduchý geometricý útvar - obdélní, jehož strany byly rovnoběžné s osami souřadnic. Nyní rozšíříme své znalosti dvojrozměrného integrálu na případy, dy obor integrace tvoří obecná rovinná oblast. Naučíme se vyjádřit hranice oblasti v taovém tvaru, aby mohly být použity jao integrační meze. Cíle Cílem této apitoly je objasnit pojem Riemannova dvojrozměrného integrálu v obecné uzavřené oblasti a uázat způsob jeho výpočtu. Předpoládané znalosti Opět budeme potřebovat znalost záladních integračních metod. K vyjádření integračního oboru je třeba zopaovat analyticou geometrii v rovině, především rovnice přímy a uželoseče. Výlad V úvodu poznamenejme, že množinu bodů v rovině (v prostoru), ve teré lze aždé dva body spojit čarou, jejíž všechny body leží v množině, nazýváme souvislou. Souvislá otevřená množina se nazývá oblast. Obsahuje-li oblast všechny své hromadné body, viz [], [8], nazývá se uzavřenou. Rozšíříme nyní Riemannovu definici dvojrozměrného integrálu funce f (, y ) v obdélníu D na uzavřenou oblast. Vnoříme taovou oblast do obdélníu D, tj. D, viz obr., a definujeme novou funci f * ( y, ) předpisem Pa platí * f(, y) pro (, y), f (, y) = 0 pro ( y, ) D\. * f (, y) ddy = f (, y) ddy. D - 5 -

Dvojrozměrný integrál z z=f(,y) 0 D y z=0 Obr. Nyní je dvojrozměrný integrál v oblasti definován pomocí dvojrozměrného integrálu v obdélníu. Problém s nespojitostí funce f * ( y, ) v obdélníu D lze odstranit zobecněním definice Riemannova integrálu, viz [9]. Věta 1..1. (Vlastnosti dvojrozměrného integrálu v oblasti ) 1. c f (, y) ddy = c f (, y) ddy,. ( ) f (, y) + g(, y) ddy = f (, y) ddy + g(, y) ddy,. f (, y) ddy = f (, y) ddy + f (, y) ddy, 1 de funce f ( y, ), gy (, ) jsou spojité v, c R a oblasti 1, vzninou z oblasti jejím rozdělením přímou rovnoběžnou s osou, resp. s osou y. Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z definice Riemannova dvojrozměrného integrálu v obdélníu (Definice 1.1.1) a z předcházející úvahy. Při studiu se dále omezíme pouze na oblasti definované následujícím způsobem: - 6 -

Dvojrozměrný integrál Definice 1..1. a) Oblast I. typu (tzv. normální vzhledem ose ) je ohraničena přímami = a, = b, de a b, a spojitými řivami y = g1( ), y = g( ), de g ( ) g ( ) pro < ab, >, viz obr. 4. 1 b) Oblast II. typu (tzv. normální vzhledem ose y) je ohraničena přímami y = c, y = d, de c d, a spojitými řivami = h1( y), = h( y), de h ( y) h ( y), pro y < c, d >, viz obr. 5. 1 y y y=g () d =h (y) 1 =h (y) y=g () 1 a b Obr. 4 c Obr. 5 Užitím následující věty lze vypočítat dvojrozměrné integrály v oblastech obou typů. Věta 1..1. (Fubiniova) (a) Jestliže je funce f (, y ) spojitá v oblasti I. typu, pa platí b g ( ) f (, y) ddy = d f (, y) dy. (4a) a g1 ( ) (b) Jestliže je funce f (, y ) spojitá v oblasti II. typu, pa platí d h ( y) f (, y) ddy = dy f (, y) d. (4b) c h1 ( y ) - 7 -

Dvojrozměrný integrál Větu nebudeme doazovat. Geometricou představu si vša můžeme pro funce f (, y) 0 v oblasti vytvořit obdobně jao v úvaze za větou 1.1.1. Poznáma Přechod od zápisu dvojnásobného integrálu ve tvaru (4a) do tvaru (4b), respetive naopa, nazýváme záměna pořadí integrace. f (, y ) ddy určuje pro f (, y ) > 0 objem tělesa, jehož dolní podstavou je oblast teré je shora ohraničeno funcí z = f (, y). a Ve vztazích (4a), (4b) vždy pár integračních mezí vnějšího integrálu musí být onstantní, pár integračních mezí vnitřního integrálu mohou být funce jedné proměnné. Nejdříve počítáme v dvojnásobných integrálech (4a), (4b) zásadně vnitřní integrál s proměnnými mezemi a teprve pa vnější integrál s mezemi onstantními. Oblastí, pro niž jsou oba páry mezí onstantní, je vždy jen obdélní (čtverec), jehož strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic, y, viz apitola 1.1. V následujících příladech se omezíme pouze na nalezení integračních mezí. Řešené úlohy Přílad 1..1. Určete nerovnice pro převedení dvojrozměrného integrálu f (, y) ddy, de je trojúhelní o vrcholech (0,0), ( a,0), (0, a), a > 0, na dvojnásobný. Řešení: a) Nejprve vyjádříme jao oblast I. typu, normální vzhledem ose. Je zřejmé, že oblast ohraničíme zleva a zprava přímami = 0, = a, viz obr. 6. y a +y=a 0 a Obr. 6-8 -

Dvojrozměrný integrál Ve směru osy y oblast ohraničíme zdola osou, terá má rovnici přímou + y= a, jejíž rovnici převedeme na tvar y = a. y = 0, a shora Oblast zapíšeme ve tvaru: : 0 a, ( < 0, a > ), 0 y a, ( y < 0, a >). b) Nyní vyjádříme jao oblast II. typu, normální vzhledem ose y. Je zřejmé, že oblast ohraničíme zdola a shora přímami y = 0, y = a. Ve směru osy oblast ohraničíme zleva osou y, terá má rovnici = 0, a zprava přímou + y= a, jejíž rovnici převedeme na tvar = a y. Oblast zapíšeme ve tvaru: : 0 y a, ( y < 0, a > ), 0 a y, ( < 0, a y > ). Přílad 1... Určete integrační meze pro f ( yddy, ),de je ΔABC, jehož strany jsou dány rovnicemi y = 1, y = + 4, y = 6. Řešení: a) Nejprve vyjádříme jao oblast I. typu, normální vzhledem ose. Poud ohraničíme oblast přímami =, = 5, pa není shora ohraničena jedinou řivou a je proto nutno rozdělit ji na oblasti 1, přímou = 1, viz obr. 7. Nerovnice pro oblasti a mají pa tvar: 1 : 1, ( <,1 > ), :1 5, ( < 1,5 > ), 1 1 y + 4,( y < 1, + 4 > ), 1 y + 6, ( y < 1, + 6>). y y=+4 =y-4 (0,5) C y=-+6 =6-y A 1 (0,1) B y=1 (-,0) 0 (1,0) (5,0) Obr. 7-9 -

Dvojrozměrný integrál Podle vlastnosti a vztahu (4a) pa platí: 1 1 + 4 5 6 f (, y) ddy = f (, y) ddy + f (, y) ddy = d f (, y) dy + d f (, y) dy. 1 1 1 b) Nyní zapíšeme jao oblast II. typu, normální vzhledem ose y. Ohraničíme oblast přímami y = 1, y = 5. Proměnnou vyjádříme ze zadání příladu jao funci proměnné y, tj. = y 4, = 6 y. Nerovnice pro oblast pa mají tvar: : 1 y 5, ( y < 1,5 > ), y 4 6 y, ( < y 4,6 y> ). Podle vztahu (4b) dostáváme 5 6 y f (, y) ddy = dy f (, y) d. 1 y 4 Je zřejmé, že druhé řešení je jednodušší, neboť vede řešení jediného dvojnásobného integrálu. Přílad 1... Určete nerovnice pro převedení dvojrozměrného integrálu f (, y) ddy, de je čtyřúhelní o vrcholech (0,0), (1, ), (,1), (, ), na dvojnásobný. Řešení: Určíme rovnice stran čtyřúhelnía (obr. 8): y p 1 (1,) 1 (0,0) p (,1) p Řešení: p1 : y =, p : 1 5 y = +, p : y = 8, p4 : y =. (,-) p 4 Obr. 8-0 -

Dvojrozměrný integrál Rozdělením oblasti oblasti. K rozdělení užijeme napřílad příme rovnoběžami s osou y, resp. s osou dostaneme vždy tři = 1 a =, tj. rovnoběže s osou y. Vyjádříme tedy 1,, jao oblasti I. typu, normální vzhledem ose. Dostaneme: 1: 0 1, : 1, :, 1 5 1 5 y, y +, 8 y +. Podle vlastnosti a vztahu (4a) pa platí: 1 5 1 5 + + 1 f (, y) ddy = d f (, y) dy + d f (, y) dy + d f (, y) dy. 0 1 8 Přílad 1..4. Stanovte nerovnice určující oblast, terá je ohraničena řivami y = a y =. Řešení: a) Nejprve určíme průsečíy řive o rovnicích y = a y =, viz obr. 9. Vyřešením soustavy dvou rovnic y =, y = dostaneme postupně 4 =, = 0, ( 1) = 0. Reálné ořeny tedy jsou = 0, = 1. Oblast ohraničíme přímami y 1 zapíšeme jao oblast I. typu, normální vzhledem ose. Proto ji = 0, = 1. Křiva, terá ohraničuje shora, má rovnici =. Křiva, terá ohraničuje zdola, má rovnici y =. y =0 =1 y= =y 0 Obr. 9-1 -

Dvojrozměrný integrál Nerovnice pro oblast mají tvar: : 0 1, y. b) Podobně určíme oblast jao oblast II. typu, normální vzhledem ose y. : 0 y 1, y y. Přílad 1..5. Zaměňte pořadí integrace pro integrál 4 + 4 d 0 4 f (, y) dy. Řešení: Oblast je zapsána jao oblast I. typu, normální vzhledem ose : : 0 4, 4 y + 4. y =4 (0,5) =- 6y-y -5 S y=5 =+ 6y-y -5 (0,1) 0 (4,0) y=1 Obr. 10 Po umocnění horní i dolní proměnné meze (pro y) a po úpravě dostaneme ( y ) = 4. Další úpravou (doplněním na čtverec) ( y ) = 4+ 4 + 4 = ( ) + 4 lze tento vztah převést na tvar ( ) + ( y ) = 4, což je rovnice ružnice o středu S = (,) a poloměru r =. Přímy = 0, = 4 jsou tečnami oblasti a jedná se tedy o integraci v celém ruhu, viz obr. 10. - -

Dvojrozměrný integrál Vedeme nyní tečny dané ružnici rovnoběžné s osou, tj. přímy y = 1, y = 5 a zísáme nerovnice 1 y 5. Z rovnice ružnice vyjádříme proměnnou a dostaneme rovnice půlružnic = 6y y 5, resp. = + 6y y 5, teré ohraničují oblast zleva, resp. zprava. Oblast zapíšeme jao oblast II. typu, normální vzhledem ose y, tato: : 1 y 5 6y y 5 + 6y y 5. Platí: 4 + 4 5 + 6y y 5 d f (, y) dy = dy f (, y) d. 0 1 4 6y y 5 Poznáma Je zřejmé, že vyjádření integračních mezí pro ruh je v artézsých souřadnicích ompliované. Později si uážeme jednodušší způsob pro určení mezí v případě, dy integrační oblastí je ruh. Úlohy samostatnému řešení 1. Určete integrační meze pro f (, y) ddy jednodušším z obou způsobů, jestliže je a) čtyřúhelní o vrcholech (,1), (6, ), (6, ), (,5), b) čtyřúhelní o vrcholech (,5), (,1), (6, ), (6,7), c) čtyřúhelní o stranách = 1, =, y =, y =, d) trojúhelní o stranách + y = 0, y = 1, 4= 0, e) trojúhelní o stranách y = 0, y =, y =, f) lichoběžní s vrcholy (1,1), (,1), (,), (1,), g) rovnoběžní s vrcholy (0,1), (1, ), (1, 6), (0, 4).. Určete integrační meze pro f (, y) ddy oběma způsoby, jestliže je a) ohraničena řivou + y = 4, b) ohraničena čarami y = 1 a + y = 9, přičemž obsahuje bod (0,0), - -

Dvojrozměrný integrál c) ohraničena čarami 1 y =, y =, y = ( 0, y 0).. Zaměňte pořadí integrace: 4 a) dy f (, y) d, f) 1 1 d f (, y) dy + d f (, y) dy, 0 0 1 0 6 b) d f (, y) dy, g) 0 1 1 y dy 0 0 f (, y) d, c) 1 d f (, y) dy, h) 0 0 0 d f (, y) dy, d) 1 1 1 0 d f (, y) dy, i) dy y e 0 1 f (, y) d, e) 1 1 y dy f (, y) d, j) 0 1 y 1 4 d 1 4 f (, y) dy. 1. a) Výsledy úloh samostatnému řešení 5 1 6; + y + ; b) 4 4 5 1 6; + y + 4; 4 c) 1, y ; d) 5 4, 1 + y 1; e) y 0, y y+ ; f) 1 y, 1 4 y; g) 0 1, + 1 y + 4.. a), 4 y 4 nebo y, 4 y 4 y ; b) y + y + 1 :, 9 9, :, 1 1, y :, 9 y 9 nebo 1 : 5 y 1, 1 9 y, : 5 y 1, 9 y y 1, y y y : 1 1, 9 9, 4 :1 y 5, 9 y y 1, 5 :1 y 5, y 1 9 y ; - 4 -

Dvojrozměrný integrál 1 1 :0 1, y, :1, y nebo c) 1 1 1 1:0 y 1, y y, :1 y, y. y 4. a) d f (, y) dy ; b) 1 4 y/ 6 6 y dy f (, y) d + dy f (, y) d ; c) 0 0 4 0 1 y dy f (, y) d ; 0 y d) 1 1 y dy f (, y) d ; e) 0 1 y 0 1 1 1 d f (, y) dy + d f (, y) dy ; f) 1 0 0 0 1 y dy f (, y) d ; 0 y 1 1 g) d f (, y) dy ; h) 0 0 0 dy f (, y) d ; i) d f (, y) dy ; j) y e 1 ln 1 y 1 dy f (, y) d. 1 1 y Vlastní výpočet dvojrozměrných integrálů si objasníme na příladech. Řešené úlohy Přílad 1..6. Vypočtěte yddy, je-li oblast ohraničena čarami 1 y =, y = a =,( ). Řešení: Zareslíme oblast, viz obr. 11. Řešením soustavy rovnic 1 y =, y = dostaneme postupně 1, 4, 4 0, ( 4) 0, 1 0, 4, 1 0, = = = = = = y = y =. Obr. 11-5 -

Dvojrozměrný integrál 1 Příma y = a řiva y = (část paraboly v I. vadrantu) se tedy pro protínají v bodě (4,). Oblast splňuje požadavy ladené na oblasti obou typů. Vyjádříme ji jao oblast I. typu, normální vzhledem ose. : 4, y. Nyní můžeme integrál vyřešit: 4 4 4 4 y y ddy= d ydy= d ydy= d= d 8 4 4 64 56 8 16 11 = = =. 6 6 6 6 = Proveďte sami záměnu pořadí integrace (oblast zapište jao oblast II. typu, normální vzhledem ose y). Přílad 1..7. Vypočtěte ( ), y ddy je-li oblast ohraničena přímami y = 1, y = 1+ a y=. Řešení: y (-,) y= (,) =1-y =y-1 1 0 Obr. 1 Z obr. 1 je zřejmé, že jednodušší bude vyjádřit oblast jao oblast II. typu, normální vzhledem ose y. Při zápisu jao oblast I. typu, normální vzhledem ose, bychom oblast museli rozdělit na dvě podoblasti přímou = 0, podobně jao v příladu 1... - 6 -

Dvojrozměrný integrál : 1 y, 1 y y 1. Integrál převedeme na dvojrozměrný integrál podle vztahu (4b): y 1 y 1 ( y ) ddy = dy ( y ) d = y dy = 1 1 y 1 1 y 4 y y 68 = ((1 y+ y y ) (1 y+ y )) dy = (y y ) dy = =. 1 1 1 Úlohy samostatnému řešení 4. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v oblasti : a) b) (5 y) ddy, je Δ ABC, A= (0,0), B= (,0), C = (0,1), y ddy, je dána nerovnicí + y 4, = c) ( y) ddy, je ohraničena přímami y = 0, y =, + y, d) e) y ddy, je dána nerovnicemi + 4y 4, 0, y 0, y ddy, je ohraničena čarami y =, =, f) ddy, je dána nerovnicemi 1 y, y g) h) y e ddy, je ohraničena čarami y =, = 0, y = 1, y =, ye ddy, je dána nerovnicemi y y +, i) y 1 ddy, je dána nerovnicemi, y 4, y, j) ( + y ) ddy, je dána nerovnicemi y, 1, y 0, - 7 -

Dvojrozměrný integrál ) ddy, je ohraničena čarami = + sin y, = 0, y = 0, y = π, l) cos( + y) ddy, je dána nerovnicemi y, 0, y π, m) n) o) p) 6 y ddy, je ohraničena čarami y= 0, =, y=, π π cos( y) ddy, je ohraničena čarami = 1, =, y =, y, = 16 ddy, je ohraničena čarami y=, y=, = 8, 1 (1 + y ) ddy, je ohraničena čarami y =, y = 4, = 0, ( 0), (zvažte pořadí integrace), q) r) ( y) ddy, : + y 1, 1 ddy, je Δ ABC, A = (0,0), B = (1,1), C = (0,1), 1+ s) y ddy, je ohraničena čarami y =, y = 6, y = 0, t) ( 1) ddy, je ohraničena čarami y =, y =. Výsledy úloh samostatnému řešení 4. a) ; b) 0; c) ; d) 1 ; e) 0; f) ln ; g) 4 e ; h) ) π ; l) ; m) ; n) ; o) 576; p) 1 ( 17 1) ; q) 0; r) π 1 5 e 4 + e; i) 15 ; j) 64 π 1 50 ln ; s) 4 1 ; ; t) 1. Kontrolní otázy 1. Uzavřená oblast je oblast v rovině nebo prostoru, terá a) je souvislá, - 8 -

Dvojrozměrný integrál b) je souvislá a obsahuje všechny svoje hromadné body, c) obsahuje všechny svoje hromadné body, d) obsahuje všechny svoje izolované body.. Která z následujících množin je uzavřená oblast? a) Kruh bez svého středu, b) čtverec bez vrcholů, c) ruh, d) parabola.. Která z následujících oblastí je zapsána jao oblast I. typu, normální vzhledem ose? a) : 0 y, 0 y, b) : 0, 0 y, c) : 0 y, 0 y, d) : 0, 0 y + y =. 4. Která z následujících oblastí je zapsána jao oblast II. typu, normální vzhledem ose y? a) : 0 y, 0 y, b) : 0, 0 y, c) : 0 y, 0 y, d) : 0, 0 y + y = d h y ( ) 5. Záměna pořadí integrace v dy f (, y) d znamená řešit tento integrál ve tvaru c h y 1( ) d h y ( ) a) d f (, y) dy, b) c h y 1( ) h ( y) d f (, y) d dy, h y c 1( ) h y d ( ) c) d f (, y) dy, d) d f (, y) dy. h y c 1( ) b g ( ) a g 6. Převést dvojrozměrný integrál f (, y) ddy, přičemž oblast je I. typu, normální 1( ) vzhledem ose, na dvojnásobný, znamená zapsat jej ve tvaru d h y ( ) a) dy f (, y) d, b) c h y 1( ) d h ( y) f (, y) dy d, c h y 1( ) b g ( ) c) d f (, y) dy, d) a g 1( ) b g ( ) f (, y) d dy. a g 1( ) - 9 -

Dvojrozměrný integrál 7. Který z následujících výrazů je správným zápisem dvojnásobného integrálu na oblasti I. typu?, b) ( + yddy ), a) yddy b g ( ) c) d ydy, d) a g 1( ) d h ( ) ydy + d. c h 1( ) 8. Jaý geometricý význam má a) Obsah oblasti, ( + y ) ddy? b) obvod oblasti, c) objem tělesa, jehož spodní podstavou je oblast, teré je shora ohraničeno funcí z = + y, d) povrch tělesa, jehož spodní podstavou je oblast, teré je shora ohraničeno funcí z = + y. Odpovědi na ontrolní otázy 1. b);. c);. b); 4. a); 5. d); 6. c); 7. c); 8. c). Průvodce studiem Poud jste správně odpověděli nejméně v šesti případech, poračujte další apitolou. V opačném případě je potřeba prostudovat apitolu 1. znovu. Kontrolní test 1. Zaměňte pořadí integrace v integrálu d ydy. 0 0 a) yd dy, b) 0 0 y c) ydy d, d) 0 0 ydy d, 0 0 y d ydy. 0 0-40 -

. Vypočítejte integrál ddy, = {(, y): + y = } 4. a) 4π, b) 4, Dvojrozměrný integrál c) 1, d) π. 4. Vypočítejte integrál ddy, je-li oblast ohraničena čarami 0, y 0, y 1 a) 6, b) 1 6, = = + =. c) 1, d). 4. Vypočítejte integrál yddy, je-li oblast ohraničena čarami = 0, y = 0, + y = 1. a) 6, b) 1 6, c) 1, d). 5. Vypočítejte integrál ddy, je-li oblast ohraničena čarami = 0, y = 1, + y = 1. a) 1, b), c), d) 4. 6. Vypočítejte integrál ddy, y je-li oblast ohraničena čarami =, y =, y = 1. a) 9, b) 9, 4 c) 4, 9 d) 4. 7. Vypočítejte integrál ( + yddy ), je-li oblast ohraničena čarami y =, = y. a), b) 140, c), 140 d) 140. - 41 -

Dvojrozměrný integrál 8. Vypočítejte integrál ( + y ) ddy, je-li oblast ohraničena čarami = 0, y = 0, + y = 1. a) 9, b) 1, 4 c) 1, 6 d) 4. 9. Vypočítejte integrál y ddy, je-li oblast ohraničena čarami = 0, y = 0, + y = 1. a) 8, b) 4, c) 1 d). 10. Vypočítejte integrál a) (4 y ) ddy, je-li oblast ohraničena čarami 56 7, b) 56, 1 y =, y =. c) 56 1, d) 156. 1 Výsledy testu 1. c);. a);. b); 4. b); 5. a); 6. b); 7. c); 8. c); 9. d); 10. b). Průvodce studiem Poud jste správně odpověděli nejméně v osmi případech, poračujte další apitolou. V opačném případě je potřeba prostudovat apitolu 1. znovu. Shrnutí lece V této apitole jste se naučili vypočítat dvojrozměrný integrál v uzavřené oblasti. Oblast je určení mezí nutno zapsat jao oblast I. typu, normální vzhledem ose, terou obecně popisují nerovnice vzhledem ose y, terou obecně popisují nerovnice a b, g ( ) y g ( ), nebo jao oblast II. typu, normální 1 c y d, h ( y) h ( y). Teprve pa 1-4 -

Dvojrozměrný integrál můžeme dvojrozměrný integrál v uzavřené oblasti převést na integrál dvojnásobný, ve terém vnější integrál vždy musí mít onstantní meze: b g ( ) f (, y) ddy = d f (, y) dy, a g 1( ) d h ( y) f (, y) ddy = dy f (, y) d. c h y 1( ) Důležitým předpoladem pro výpočet úloh je opět znalost záladních integračních metod. Navíc je nutno zopaovat si pro určení integračních mezí analyticou geometrii v rovině (rovnice přímy a rovnice uželoseče). - 4 -

Dvojrozměrný integrál 1.. Transformace v dvojrozměrném integrálu Průvodce studiem V příladu 1..5 jsme uázali, že vyjádření integrační oblasti, terou tvoří ruh nebo jeho část, je v artézsých souřadnicích obtížné. Použijeme-li v taovém případě řešení polární souřadnice, stává se vyjádření oboru integrace mnohem snadnějším a rovněž výpočet dvojnásobného integrálu se obvyle značně zjednoduší. Cíle V této apitole se naučíme počítat dvojrozměrné integrály v případech, dy integrační oblastí je ruh nebo jeho část, případně elipsa nebo její část. Předpoládané znalosti Stejně jao v předchozích apitolách budeme potřebovat znalost záladních integračních metod. K vyjádření integračního oboru je zapotřebí tentorát zopaovat zejména rovnice přímy, ružnice a elipsy. Použijeme vše, co jsme se naučili v předchozích apitolách. Výlad Dvojrozměrné integrály, jejichž integrační oblastí je ruh, případně část ruhu, lze jednoduše vyřešit transformací do polárních souřadnic. y (-a,0) 0 φ ρ X(,y) P(,0) (a,0) Obr. 1-44 -

Dvojrozměrný integrál Kartézsé souřadnice, y bodu nahradíme polárními souřadnicemi ρ, ϕ, v nichž ρ znamená vzdálenost bodu o souřadnicích (, y ) od počátu soustavy souřadnic ( ρ 0 ) a ϕ označuje orientovaný úhel, měřený od ladné části osy po průvodič bodu (, y ) v ladném smyslu, viz obr. 1. Transformační rovnice odvodíme v prvním vadrantu z trojúhelnía OPX (viz obr. 1), v němž platí: y cos ϕ =, sinϕ ρ = ρ. Odtud pro ρ 0 platí = ρ cos ϕ, y = ρsin ϕ. Platnost posledních dvou rovnic lze doázat i ve zbývajících vadrantech. Transformační rovnice při přechodu z artézsých souřadnic do polárních souřadnic mají tvar = ρ cos ϕ, y = ρsinϕ. (5) Součin diferenciálů ddy v dvojrozměrném integrálu nahradíme výrazem Jdρ dϕ, v němž se výraz J ρ ϕ = J( ρ, ϕ) = = y y ρ ϕ cosϕ ρsinϕ = ρ sinϕ ρcosϕ nazývá jaobián transformace. Pro dvojrozměrný integrál pa platí f (, y) ddy = f ( ρ cos ϕ, ρsin ϕ) ρ dϕ dρ. Oblast je obrazem oblasti v polárních souřadnicích. Napřílad ruh se středem v počátu a poloměrem { } ρ a π, : {( ρ, ϕ): ρ (0, a >, ϕ < 0, π) } a, : (, y): + y a, se zobrazí na obdélní o délách stran. Poznáma Transformace do polárních souřadnic je speciálním případem zobrazení oblasti, terý pro zájemce o bližší pochopení uvádíme dále. do oblasti - 45 -

Dvojrozměrný integrál Transformace v dvojrozměrném integrálu, terou zavedeme obecně rovnicemi = urs (,) y= vrs (,), de r, s jsou nové proměnné, (6) zobrazí uzavřenou oblast do množiny, terá nemusí být nutně oblastí. Jestliže aždým dvěma různým bodům A = ( r1, s1), B = ( r, s) z oblasti jsou rovnicemi (6) přiřazeny opět dva různé body A= ( 1, y1), B= (, y) množiny, mluvíme o prostém neboli injetivním zobrazení oblasti na množinu, resp. do množiny podle toho, zda všechny body z množiny mají, resp. nemají vzor v oblasti. Prosté zobrazení oblasti na množinu se nazývá vzájemně jednoznačné nebo bijetivní. Jsou-li přitom funce urs (,), vrs (,) spojité na oblasti, mluvíme o spojitém zobrazení obou množin. Mají-li tyto funce na oblasti o diferenciabilním zobrazení. Přitom se determinant tvaru spojité parciální derivace prvního řádu, mluvíme u u r s Juv (, ) = v v r s (7) nazývá jaobián tohoto zobrazení. Lze doázat, že je-li v něterém bodě P0 = ( r0, v0) jaobián J 0, pa zobrazení určitého oolí bodu P 0 do oblasti je prosté. Věta 1..1. 1. Nechť se vnitře oblasti zobrazí pomocí rovnic = urs (,), y= vrs (,) vzájemně jednoznačně na oblast, zatímco zobrazení hraniční řivy oblasti prosté. nemusí být. Nechť funce f (, y ) je spojitá a ohraničená na uzavřené oblasti a funce urs (,), vrs (,) mají spojité parciální derivace prvního řádu na oblasti, v níž leží oblast i se svou hraniční řivou. - 46 -

Dvojrozměrný integrál. Nechť všude uvnitř oblasti je jaobián zobrazení nenulový, tj. (, ) 0. Juv Pa platí f (, y) ddy = f ( u( r, s), v( r, s)) J ( u, v) drds. (8) * Důaz uvedené věty nebudeme uvádět. Vysvětlíme jen, proč je ddy nahrazeno výrazem Juv (, ) drds. y P P 4 P 1 0 P Obr. 14 oblasti Transformací = urs (,), y= vrs (,) se oblast zobrazí na oblast. Element drds přejde v element oblasti, viz obr. 14. Pro tuto oblast s vrcholy P = (, y ), i = 1,,, 4, platí 1 = ur (,). s Podle věty o střední hodnotě diferenciálního i i i počtu (Lagrangeovy), viz [], [8], dostaneme u( r + dr, s) u( r, s) = u ( r + dr r), odtud pa = u( r + dr, s) = u( r, s) + ur dr. Podobně = urs (, + ds) = urs (,) + uds s, y1 = vrs (,), y = v( r+ dr, s) = v( r, s) + v dr a y = v( r, s+ ds) = v( r, s) + v ds. Obsah Δ oblasti r můžeme pro velmi malé přírůsty dr, ds s r určit jao dvojnásobe obsahu trojúhelnía o vrcholech P, P, P. Obsah Δ určíme jao objem rovnoběžnostěnu se čtyřúhelníovou 1 podstavou P1 = 1 y1 P = y P = y P4 = 4 y4 (,,0), (,,0), (,,0), (,,0) a vrcholem horní podstavy P1 = ( 1, y1,1), tj. výšou v = 1. Užijeme vlastnosti smíšeného uuuur uuuur uuuur součinu vetorů PP 1, PP 1, PP 1 1a dostaneme - 47 -

Dvojrozměrný integrál 1 y y1 0 uuuur uuuur uuuur PP ( PP PP ) = y y 0 = ( )( y y ) ( )( y y )= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 = ( y y ) ( y y) + ( y y) = 1 1 1 1 1 y 1 u v 1 u v 1 1 = 1 y = 1 u+ u dr v+ v dr = 0 u dr v dr 1 y 1 u+ uds v+ vds 0 uds vds r r r r s s s s = Poznáma ur us = drds = J ( u, v ) drds v v r s Je tedy Δ = Juv (, ) drds. Předchozí úvahu lze využít při transformaci do polárních souřadnic ve dvojrozměrném integrálu a při transformacích do cylindricých a sféricých souřadnic v trojrozměrném integrálu. Ja v transformaci do polárních souřadnic ta v transformacích do cylindricých a sféricých souřadnic nastávají problémy s jednoznačností zobrazení na hranicích oblastí,. Může se stát, že po transformaci nebude oblast uzavřená, a proto intervaly pro ohraničení proměnných nebudou vždy uzavřené. Pro výpočet zadaných integrálů vša tato sutečnost nemá praticý význam. Řešené úlohy Přílad 1..1. Proveďte transformaci do polárních souřadnic a vypočítejte integrál yddy, : + y a, y 0. Řešení: Oblast tvoří horní polovina ruhu se středem v počátu a poloměrem (souřadnice y je nezáporná v prvním a druhém vadrantu). Pro aždý bod (, y ) oblasti při transformaci do polárních souřadnic platí 0 < ρ a, 0 ϕ < π, viz obr. 15. Uvedené nerovnice určují oblast, integrační meze obou proměnných jsou onstantní, proto integrujeme na obdélníu a dosazením podle (5) dostaneme a - 48 -

Dvojrozměrný integrál y (-a,0) 0 (a,0) Obr. 15 π yddy = ρsinϕ ρ dρ dϕ = ρ dρ sinϕ dϕ = [ cosϕ] = 0 * a a = [ ( 1) ( 1) ] =. a π 0 0 0 ρ Přílad 1... Určete nerovnice pro polární souřadnice, je-li oblast ohraničena ružnicí + y = a. Řešení: Rovnici ružnice nejprve upravíme doplněním na čtverec: a + y = 0, ( a + a ) + y = 0 + a, ( a) + y = a. To je rovnice ružnice se středem S = ( a,0) a poloměrem a, terá celá leží v prvním a čtvrtém vadrantu, tedy π π ϕ, viz obr. 16. ρ Z vlastností zaresleného pravoúhlého trojúhelnía plyne cos ϕ =, ρ = a cosϕ, a tj. déla ρ se mění v závislosti na úhlu ϕ. Meze pro proměnnou ρ lze určit rovněž dosazením transformačních rovnic (5) do hranice oblasti : + y = a, ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ = aρcos ϕ, ρ (cos ϕ+ sin ϕ) = aρcos ϕ, ρ = aρcos ϕ, ρ aρcosϕ = 0, ρ( ρ acos ϕ) = 0 a odtud ρ1 = 0, ρ = a cos ϕ. a Oblast je určena nerovnicemi - 49 -

Dvojrozměrný integrál π π ϕ, : 0< ρ a cos ϕ. y ρ φ 0 (a,0) (a,0) Obr. 16 Přílad 1... Určete nerovnice pro polární souřadnice, je-li oblast ohraničena ružnicí + y = ay. Řešení: Rovnici ružnice nejprve upravíme doplněním na čtverec: + y ay = 0, + ( y ay+ a ) = 0 + a, + ( y a) = a. To je rovnice ružnice se středem S = (0, a) a poloměrem a, terá celá leží v prvním a druhém vadrantu, tedy 0 ϕ π, viz obr. 17. y ρ ϕ X 0 Obr. 17 ρ Z vlastností pravoúhlého trojúhelnía plyne sin ϕ =, ρ = a sinϕ, tj. déla ρ a se opět mění v závislosti na úhlu ϕ. - 50 -

Dvojrozměrný integrál Meze pro proměnnou ρ lze určit rovněž dosazením transformačních rovnic (5) do hranice oblasti : + y = ay, ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ = aρsin ϕ, ρ (cos ϕ+ sin ϕ) = aρsin ϕ, ρ = aρsin ϕ, ρ aρsinϕ = 0, ρ( ρ asin ϕ) = 0 a odtud ρ1 = 0, ρ = a sin ϕ. Oblast je určena nerovnicemi * 0 ϕ π, : 0< ρ a sin ϕ. Přílad 1..4. Proveďte transformaci do polárních souřadnic a vypočítejte integrál ddy, : + y 4, + y 9, y, 0. Řešení: Oblast je ohraničena dvěma soustřednými ružnicemi (o poloměru a =, a = ), přímou y = (terá je osou prvního a třetího vadrantu a svírá tedy 1 s ladným směrem osy úhel y Y π ϕ = ) a osou y, viz obr. 18. 4 y= 0 (,0) Pro oblast π π ϕ, : 4 ρ. v polárních souřadnicích platí Obr. 18 Je zřejmé, že integrace v polárních souřadnicích (5) je jednodušší než v artézsých souřadnicích, protože nyní integrujeme na obdélníu. - 51 -

Dvojrozměrný integrál ρcosϕ ρ dρ dϕ = cosϕdϕ ρ dρ = [ sinϕ] = 1 π. * π π Přílad 1..5. Vypočtěte dvojrozměrný integrál π 4 ln( + y ) ddy, :1 + y e + y. 4 ρ 19 Řešení: Oblast je meziruží ohraničené ružnicemi + y = 1 a + y = e. Užijeme proto transformaci do polárních souřadnic (5). Pro transformovanou oblast platí nerovnice :1 ρ e, 0 ϕ < π. * e π ln( ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ) ln( ρ (cos ϕ+ sin ϕ)) ρ dρ dϕ = ρ dρ dϕ = ρ cos ϕ ρ sin ϕ ρ (cos ϕ sin ϕ) e + 1 0 + π e π ln ρ ln ρ ln ρ π = dρ dϕ dρ dϕ [ ϕ] ρ = = = ρ 0 1 0 1 0 1 1 π = π ln e = π( ln e) =. Při řešení jsme použili vztah e ln ρ = ln ρ. Vnější integrál jsme vyřešili substitucí 1 ln ρ = t, dρ = dt. ρ Přílad 1..6. Vypočtěte dvojrozměrný integrál y 4 ddy, je-li integrační oblast ohraničena řivou 4 + 9y = 6. 9 4 Řešení: Rovnici hranice oblasti upravíme na tvar y + = 1, ze terého je vidět, 9 4 že jde o elipsu se středem v počátu a poloosami o délách a =, b =, viz obr. 19. V taovém případě e zjednodušení výpočtu s výhodou používáme tzv. zobecněné polární souřadnice, teré mají obecně tvar = aρ cos ϕ, y = bρsinϕ. (9) - 5 -

Dvojrozměrný integrál Y 0 (,0) Obr. 19 Pro jaobián transformace snadno odvodíme vztah ρ ϕ acosϕ aρsinϕ J = J( ρ, ϕ) = = = abρ. y y bsinϕ bρcosϕ ρ ϕ V našem případě platí (pro a =, b= ): = ρ cos ϕ, y = ρsin ϕ, J =.ρ = 6 ρ. Z obr. 19 je zřejmé, že platí 0 ϕ < π. Meze pro ρ zjistíme dosazením transformačních rovnic do analyticého vyjádření hranice oblasti. 4(ρcos ϕ) + 9(ρsin ϕ) = 6, odtud po úpravě dostaneme ρ = 1, ρ = 1 ( ρ > 0). Proto platí 0< ρ 1. Transformovaná oblast * 0 ϕ < π, : 0< ρ 1. Zadaný integrál nyní snadno vyřešíme. * * tedy představuje obdélní: y (ρcos ϕ) (ρsin ϕ) 4 ddy = 4 6ρ dρ dϕ 9 4 = 9 4 π 1 1 (4 ρ ) = 4 ρ 6ρ dρ dϕ = 6 dϕ 4 ρ ρ dρ = 6. π.( ) = 0 0 = 4 π (8 ). Integrál v proměnné ρ jsme vyřešili substitucí 1 4 ρ = t, ρ dρ = dt, ρ dρ = dt. 1 0-5 -

Dvojrozměrný integrál Úlohy samostatnému řešení 1. Vypočtěte dané dvojrozměrné integrály v oblasti transformací do polárních souřadnic: a) b) c) d) (1 y) ddy, : + y, ( + y ) ddy, :( 4) + y 16, 1 y ddy, : + y 1, 0, y 0, 4 y ddy, : + y, ( + y ) e) e ddy, : 0, + y 9, f) 1 y ddy, : 0, y 0, + y 1, 1+ + y g) h) i) sin + y ddy, : π + y 4 π, arctg y ddy, : + y 1, 0, y 0, 1 y 1+ + ddy, : + y 4, y 0, y, j) + y ddy, :( 1) + y 1, y 0. Výsledy úloh samostatnému řešení 1. a) π ; b) 84π ; c) 1 6 π ; d) 8 ( 4) 9 π ; e) π 9 π (1 e ) ; f) ( π ) ; g) 6π ; h) 8 π i) ln 5 ; j) 16. 8 9 π ; 16 Kontrolní otázy 1. Polární souřadnice s výhodou používáme v případě, dy integrační oblastí dvojného integrálu je: a) Obdélní, b) ruh, - 54 -