STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6
OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí hodot reálého čísl... 6.5. Početí operce v N, Q, R... 7.6. Výrzy... 7.7. Mohočley početí operce s imi... 8.8. Vzorce mociy... 8.9. Rozkld výrzů... 9.. Lomeé výrzy početí operce s imi... 9. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY..... Lieárí fukce, kosttí fukce..... Lieárí rovice..... Lieárí erovice..... Rovice erovice s bsolutí hodotou....5. Soustv lieárích erovic....6. Soustv lieárích rovic o více ezámých... 6. ODMOCNINY A MOCNINY... 9.. té odmociy ezáporého čísl... 9.. Počítáí s odmocimi... 9.. Usměrňováí zlomků..... Mociy s rcioálím mocitelem.... KVADRATICKÉ FUNKCE, KVADRATICKÁ ROVNICE A NEROVNICE..... Kvdrtická fce, grf..... Kvdrtická rovice, diskrimit...
.. Vzorec pro kořey kvdrtické rovice... 5.. Vzthy mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice... 6.5. Kvdrtické erovice... 7.6. Grfické řešeí... 8 5. FUNKCE... 5.. Fukce rostoucí klesjící... 5.. Nepřímá úměrost... 5.. Mocié fukce... 5.. Epoeciálí fukce... 5.5. Epoeciálí rovice... 5.6. Iverzí fukce... 5.7. Logritmické fukce... 5.8. Logritmus... 5.9. Věty pro počítáí s logritmy... 5 5.. Logritmické rovice... 6 5.. Přirozeé dekdické logritmy... 8 6. GONIMETRIE A TRIGONOMETRIE... 6.. Úhel jeho velikost... 6.. Defiice goiometrických fukcí... 6.. Určováí hodot goiometrických fukcí... 6.. Grfy goiometrických fukcí... 6.5. Vlstosti goiometrických fukcí... 6.6. Goiometrické rovice... 6.7. Siová vět... 6 6.8. Kosiová vět... 7 7. KOMBINATORIKA... 5 7.. Zákldí kombitorické prvidlo... 5 7.. Vrice... 5
7.. Permutce... 5 7.. Kombice... 5 7.5. Vlstosti kombičích čísel... 55 7.6. Biomická vět... 57 8. PLANIMETRIE... 59 8.. Podobost trojúhelíků... 59 8.. Pythgorov vět... 6 8.. Euklidovy věty... 6 8.. Obshy obvody roviých obrzců... 6 8.5. Délk kružice její části (kruhový oblouk)... 6 8.6. Obsh kruhu jeho částí... 6 9. KOMPLEXNÍ ČÍSLA... 66 9.. Zvedeí kompleích čísel... 66 9.. Početí operce s kompleími čísly... 66 9.. Goiometrický tvr kompleího čísl... 67 9.. Moivreov vět... 68. STEREOMETRIE... 69.. Vzájemá poloh bodů, přímek rovi... 69.. Povrchy objemy krychle, kvádru válce... 7. POSLOUPNOSTI... 7.. Pojem poslouposti... 7.. Aritmetická posloupost... 75.. Geometrická posloupost... 78.. Užití ritmetických geometrických posloupostí... 8. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ... 85.. Vzdáleost dvou bodů... 85.. Souřdice středu úsečky... 85
.. Vektor, velikost vektoru... 86.. Sčítáí odčítáí vektorů... 87.5. Násobeí vektoru sklárem... 88.6. Lieárí závislost ezávislost vektorů... 88.7. Sklárí souči, odchylk kolmost vektorů... 89.8. Prmetrické vyjádřeí přímky... 9.9. Obecá rovice přímky... 9.. Směricový tvr rovice přímky... 9.. Vzájemá poloh dvou přímek... 9. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KVADRATICKÝCH ÚTVARŮ V ROVINĚ... 9.. Kružice... 9.. Vzájemá poloh přímky kružice... 9.. Elips... 95.. Hyperbol... 97.5. Vzájemá poloh přímky hyperboly... 98.6. Prbol... 99.7. Vzájemá poloh přímky prboly...
.. Zákldí možiové pojmy Moži soubor ějkých prvků. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA Podmoži moži A je podmožiou možiy B ( A B ), jestliže kždý prvek možiy A je zároveň prvkem možiy B. Kždá moži je podmožiou sebe sm. ( A A ) Prázdá moži emá žádý prvek Prázdá moži je podmožiou kždé možiy. Rovost moži možiy A,B se rovjí obshují-li tytéž prky (A B) Doplěk možiy je -li A podmožiou možiy B, pk doplěk možiy Á obshuje Všechy prvky možiy B, které eptří do možiy A. Pozámk: Rozlišit pojmy být prvkem být podmožiou je prvek možiy {,, } {} je podmožiou možiy {,, } Průik moži - je moži všech prvků, které jsou obsžey v obou možiách zároveň Disjuktí možiy - jejich průik je prázdý. ( A B ) Sjedoceí moži - je moži všech prvků, které jsou obsžey v jedé z obou moži ( A B ) Rozdíl moži - je moži všech prvků možiy A, které ejsou prvky možiy B Cvičeí: ( A B ). A {,,5,7 } B {,,,5 } Zjistěte ) A B, b) A B, c) A B, d) všechy podmožiy A. Podmoži je celkem ) {,5}, b) {,,,,5,7}, c) {,7} d), {}, {}, {5}, {7}, {,}, {,5}, {,7}, {,5}, {,7}, {5,7}, {,,5}, {,,7} {,5,7}, {,5,7}, {,,5,7} N, kde je počet prvků možiy. 5
. Podik má 6 změstců. změstců eumí žádý cizí jzyk, umí ěmecky 5 glicky. Kolik lidí umí ob jzyky? [5].. Číselé možiy Čísl přirozeá...n Čísl celá čísl přirozeá, čísl k im opčá...z p Čísl rcioálí lze zpst ve tvru, kde p, q, jsou čísl celá q...q q Čísl ircioálí elze zpst ve tvru p q Čísl reálá čísl rcioálí čísl ircioálí...r Čísl kompleí bi, kde i je imgiárí jedotk...k Rcioálí čísl p r q s ps rq q. s p. q r s p. r q. s p r : q s ps qr.. Itervly Omezeý itervl v možiě R lze zázorit úsečkou číselé ose uzvřeý, polozvřeý otevřey echť,b jsou libovolá reálá čísl, < b, b (, b, b ) (, b) Neomezeý itervl - zky -, ) ( -, (, ) ( -, ).. Absolutí hodot reálého čísl Defiice : Absolutí hodot kždého reálého čísl je rov vzdáleostí tohoto čísl číselé ose od počátku pro je 6
pro < je - Vět.. Pro kždé R je. Pro kždé R je - Opčé číslo k reálému číslu je reálé číslo, pro ěž pltí Převráceé číslo k reálému číslu je reálé číslo pro ěž pltí..5. Početí operce v N, Q, R b b,. b b. } komuttiví záko (b c) ( b) c,.(b. c) (. b). c } socitiví záko ( b). c. c b. c } distributiví záko.. Vět: Je- li. b je lespoň jedo z čísel,b rovo..6. Výrzy Proměé jsou písme, která v zápisu zstupují čísl z určité číselé možiy. příkld: o π r V π r². v Kužel c b Kostty písme hrzující určitá čísl z určité číselé možiy. příkld: π Číselé výrzy -, π, Výrzy s proměou - ², 5y - z Lomeé výrzy proměá je ve jmeovteli, musíme udt podmíky, kdy má výrz smysl. příkld:, b b, b Mohočley: N N N.. mohočle tého stupě 7
.7. Mohočley početí operce s imi N N N mohočle tého stupě Sčítáí: sečteme čley, které mjí stejé zákldy stejé epoety ( b c) ( -b c ) -b b c Odčítáí: přičteme mohočle s opčými zméky ( b c) ( b -c) b c - b c c Násobeí: kždý čle prvího mohočleu ásobíme kždým čleem druhého mohočleu. ( b b). ( b) b b 6 b b Děleí: dělitel musí být růzý od uly ) Ob mohočley uspořádáme sestupě podle klesjících moci proměé ) Dělíme: ) prví čle dělece dělíme prvím čleem dělitele. Získým podílem ásobíme všechy čley dělitele. Teto souči odečteme od dělece. b) Postup opkujeme ) Zkoušk: souči dělitele podílu děleec příkld: ( 7-5) : (- 7) 5 [ 7 ].8. Vzorce mociy (AB) A AB B (A-B) A -AB B A -B (A-B). (AB) (AB) A A B AB B (A-B) A - A B AB -B A B (AB) (A - AB B ) A - B (A-B) (A AB B ) Defiice: pro kždé reálé č. kždé celé kldé číslo je... (v součiu je čiitelů) Pro kždé reálé číslo je - moci, zákld, epoet (mocitel) r. s r s ( r ) s r.s 8
(.b).b r : s rs pro b b Defiice : pro kždé reálé číslo kždé celé záporé číslo m je m m m b.9. Rozkld výrzů b, b ) vytýkáí společého čiitele b 8 b b b. (b b 7 ) ) postupé vytýkáí 5by 5b y b 5b(y b) (y b) (yb). (5b ) ) pomocí vzorců 9 - b b (-b) ) kombice předešlých b - b 6 b ( - b ) b (-b).(b) h - (h -).(h ) (h-).(h).(h ) p -(p-r) [p-(p-r)].[p(p-r)] (r).(p-r) ebo p -(p -prr ) pr-r r.(p-r).. Lomeé výrzy početí operce s imi U lomeých výrzů je uté určit jejich defiičí obor, tj. obor hodot proměých,pro ěž má dý lomeý výrz smysl. 8 6 ( 5) ( 5) 9
- 5 5 5 Krátit lomeý výrz zmeá čittele i jmeovtele dělit týmž výrzem růzým od. Rozšířit lomeý výrz zmeá čittele i jmeovtele ásobit týmž výrzem růzým od uly. Př: 8 b rozšiřte výrzem růzým b b - b 8 b 8( b) ( b)( b) 8( b) b Sčítáí (odčítáí) lomeé výrzy se převedou společého jmeovtele sečtou (odečtou)se. Násobeí čittel čittelem, jmeovtel jmeovtelem Děleí ásobí se převráceou hodotou lomeého výrzu př: 8 5 6 9 př: p 7y py -7 p(- 7(y-) př: (-b).b (.).(-b) př: uspořádejte podle velikosti 5,,
. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A.. Lieárí fukce, kosttí fukce JEJICH SOUSTAVY Defiice: zobrzeí možiy A do možiy B je prvidlo, které kždému prvku A přiřzuje právě jede prvek b B. Defiice: fukce je kždé zobrzeí možiy A do možiy R, kde A je libovolá podmoži možiy R A defiičí obor fce Defiice: fukce je prvidlo, pomocí kterého je kždému reálému číslu A přiřzeo právě jedo reálé číslo y fce...f,g,h,. def. obor...d(f), D(g),D(h), Krtézská soustv souřdic y Kolmé přímky,y, s průsečíkem. A [ ] y o,, o - prví souřdice bodu A y - druhá souřdice bodu A Defiice: Grf fukce f ve zvoleé krtézské soustvě souřdic y se zývá moži všech bodů X[,f()], kde D(f) Defiice: Kosttí fce je kždá fce, vyjádřeá ve tvru y b, R kde b je reálé číslo. Defiice: Lieárí fce je kždá fce, vyjádřeé ve tvru y b, R, kde je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo Vět: Grfem kosttí fce je přímk rovoběžá s osou. Vět: Grfem lieárí fce je přímk růzoběžá s osou i s osou y. Vět: Přímk rovoběžá s osou y eí grfem žádé fce. Př: f : y - f : y Sestrojte grfy fukcí.
.. Lieárí rovice Defiice: rovice je lieárí, když ji lze ekvivletími úprvmi převést tvr b kde je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo. Ekvivletí úprvy:. K oběm strám rovice přičteme ( odečteme ) stejý výrz. Obě stry rovice ásobíme ( dělíme ) stejým výrzem růzým od uly Vět: Lieárí rovice b o ezámé R má právě jede koře - b Cvičeí: Řešte rovice v možiě Z ) 8 6 [7] 7 b),8,5 [emá řešeí, ] 8 c) [-].. Lieárí erovice l ( ) < p ( ) l ( ) l ( ) > p ( ) p ( ) l ( ) p ( ) - levá str erovic - prvá str erovic l ( ) p ( ) P moži všech řešeí erovic Ekvivletí úprvy.. K oběm strám erovice přičteme ( odečteme ) stejý výrz..) Obě stry erovice vyásobíme (vydělíme ) stejým výrzem, který je kldý b) Obě stry erovice vyásobíme ( vydělíme ) stejým záporým výrzem zk erovosti se změí v opčý. Defiice: Nerovice je lieárí, když ji lze ekvivlet. úprvmi převést jede z tvrů. b< b> b b, přitom je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo. př: u u 9 u 5 6 u P, )
Zkoušk př: Řešte pro y N (č.přirozeá) y-6, y- 6, y- 6, y->6 př: Řešte pro z R (č.reálá) z 6 z (z-)<5(z) 5 (6-z)-(,5z) 5,5z.. Rovice erovice s bsolutí hodotou př: Sestrojte grf fce g:y, R pro pltí - pltí grf g : y -, (-, př: Určete všech R, pro která jsou hodoty fce m: y, R meší ebo rovy číslu 5. Řešeí: Sestrojíme grf fce m: Zjistíme pro která R je: ) - b) -( ) - Fce m se skládá z grfů fcí m : y -, (-, Hledáme R, pro která je m ( ) 5. Tuto podmíku splňuje R -, 7 m : y -,, ) g : y,, ) Př: 5 ) - b) - - - -, ) - (-,
- 5-5 7 (-,7 - -, ) P, 7 P -, P P P,7,,7 Cvičeí: P -,7 Př: Sestrojte grfy fcí: f : y R f : y R f : y R f : y R f 5: y - f 6: y R R -{} př: 6 7 <5 5 7 8 > 9 5 př: < 9 5 6 př: 7 5.5. Soustv lieárích erovic př: ) 5 7 < b) 8 5 5 < 7 8 8 - < 6-5 8 6 > - 8 5
6 8 P, ) P (, 5 P P P 6 8 P ( -, 5 Př: ( ).(5 -) > R ) > zároveň 5 - > ) < zároveň 5 < ) > 5 - > > - > -5 5 < P (, ) P (-, 5 ) P P P ( 5 5, ) (-, ) (, b) < 5 > P (- < P P (- > 5 ) 5, ) P ( ), 5, ) ( ), P ( P P ) (P P ) P (, 5 ) P (, 5 ) 5
Cvičeí:.př. Řešte soustvy erovic ) u - > b) 7u > 6- u 6 u 5 <6 7u > u - d) 6 c) ( u ) ( 5 u) u u 5 5 u 7 5,5 u 6 ( u ) u 6 ( u).př ) ( 6- ). ( 5 ) b) ( ). ( 7 - ) >.př: ) c) (uprvit ) 9 b) 5.6. Soustv lieárích rovic o více ezámých př: Njděte všechy uspořádé dvojice [, y ] reálého čísl pro které pltí: y - y - 5 zároveň Průsečík přímek y - y - 5 je bod A [, ], tz., y Početě: - 5 y.- 6 y A: Metod doszovcí :. Jedu rovice převedeme tvr y b (ebo cy d). Do druhé rovice dosdíme z y výrz b ( ebo z výrz cy d) vyřešíme ji - ezámá (y). Dosdíme číslo z (y) do kterékoliv rovice vypočteme y () 6
B: Metod sčítcí (dičí) y 8 5y - /.(-) y 8-5y 9 y 5y 89 8 7y 7 6 y. Kždou rovici soustvy vyásobíme vhodým číslem růzým od uly tk, by koeficiety u ebo u y byly opčá čísl.. Levé i prvé stry sečteme získáme tím rovici o jedé ezámé.. Jko u předešlého. C: Metod srovávcí ( komprčí) y - y 5 5, y 5 5. Z obou rovic vyjádříme ezámou. Dosdíme vyřešíme. Dosdíme vyřešíme pro druhou ezámou Cvičeí: y 5 y př: 5 y y [ 7 9, y - 7 ] př: ) y 7 b) y 5 c) y y -6 - y y 7
př: 5.(y ) - ( -) 7.( y ) 5( [, y ] Cvičeí: y 5z -7 y z - y 6z 6 [, y, z ] 8
.. té odmociy ezáporého čísl. ODMOCNINY A MOCNINY Defiice: -tá odmoci ( N ) z ezáporého reálého čísl (, R) je tkové ezáporé číslo (, R) pro která pltí zápis: př: 8 8 odmocěec (zákld odmociy) odmocitel 6 6 5 př: Kdy má výrz smysl?, 5. b -. b ) ) b b.. Počítáí s odmocimi Pro, b m,, p - celá kldá ). b. b ) b b b m m ) ( ) m m. ) p mp 5) př:. 5 5. 5. > 9
b.. b b > Defiice: částečé odmocňováí je úprv odmociy do tvru součiu, jehož jedím čiitelem je odmoci co ejmešího odmocěce. ) 8 ) b ) y b y. y. z ) 8 y z 8 př: 7 8 b b > 7 5. y y > b > y > př: ( ) 8 5 ( ) 6 5 ( ) př: 5 >.. Usměrňováí zlomků je odstrňováí odmociy ze jmeovtele rozšířeím zlomku. Npř: rozšíříme rozšíříme 5 rozšíříme 5 5 rozšíříme 5.. Mociy s rcioálím mocitelem mociy s celočíselým mocitelem již záme m m celé, kldé
Defiice: pro kždé kldé reálé číslo, celé číslo m kldé přirozeé číslo je m m - zákld mociy m - mocitel př: ( ) 5 5 5 podmíky: >,, - př: ( ) ( ) ( ) ( ) :. př: 6 podmík >
. KVADRATICKÉ FUNKCE, KVADRATICKÁ ROVNICE A.. Kvdrtická fce, grf NEROVNICE Užití: M: S π.r, S : s gt v t - dráh vrhu svislého vzhůru F P RI výko odpor. (itezit) defiice: Kvdrtická fce se zývá kždá fce y b c, R kde je reálé číslo růzé od uly b, c jsou libovolá reálá čísl b c b c - kvdrtický trojčle - kvdrtický čle - lieárí čle - bsolutí čle Grf: Př: Nrýsujte grf fce h : y př: g : y h : y g y h : : y Vět: Grf kždé kvdrtické fce souřdice y. y je souměrý podle osy y krtézské soustvy Vět: Grf kždé kvdrtické fce y prochází bodem [,]. Vět: Je-li >, pk kvdrtická fce y bývá pro ejmeší hodoty, je-li <, bývá kvdrtická fce y pro ejvětší hodoty. Vět: Grf kždé kvdrtické fce y b c lze získt posuutím grfu kvdrtické fce y Vět: Grf kvdrtické fce prboly. y b c se zývá prbol, bod [ ] se zývá vrchol y,
Vět: Vrchol prboly, která je grfem kvdrtické fce y b c, má souřdice b, y c b př: Určete vrchol prboly, která je grfem kvdrtické fce y, b, c b b y c V [-, -]. př: Určete souřdice vrcholu prboly, které jsou grfem kvdrtické fce. ) y b) y 6 5, 5 c) y V [,] V [,5, ] V[-,] Postup při sestrojováí grfů kvdrtických fcí: ) Určíme souřdice y, vrcholu prboly ) Vypíšeme ěkolik dlších dvojic ) Sestrojíme v y (krtézské soustvy souřdic) obrzy uspořádých dvojic získých v ) Sestrojíme prbolu (prbol je souměrá podle přímky, která je rovoběžá s osou y prochází bodem [ y ], Vět: Grf kvdrtické fce je souměrý podle přímky, která je rovoběžá s osou y prochází bodem [ y ]., Vět: Kvdrtická fce y b c, bývá pro ) ejmeší hodotu y - jestliže > b) ejvětší hodotu y - jestliže < Cvičeí rýsujte grfy fukcí: Př: y,5 V [,,5] y V [,-] y y y,5
y 7 y,5,5 y.. Kvdrtická rovice, diskrimit Defiice: Kvdrtická rovice o jedé ezámé se zývá kždá tková rovice, kterou lze ekvivletími úprvmi převést tvr b c kde je reálé číslo růzé od uly, b, c libovolá reálá čísl. př:,5 (,5 ) - souči dvou čísel je rove ule, jestliže jedo z čísel je rovo. (,5 ) 6 P {, 6 } př: A B ( A B)(. A B) ( )(. ) př: P {-, } > P př: ( ) ( ) je-li ( ) je-li P {} ( ) >
Cvičeí: př: ( )( ) ( 5 )( 5) ( )( 5) př: př: v 9 v 7 př: ( u ) ( u 5).. Vzorec pro kořey kvdrtické rovice b c Diskrimit kvdrtické rovice D b c kořey: b b D D Vět: pro možiy P všech kořeů kvdrtické rovice b c o ezámé R pltí: ) Je-li diskrimit D <, pk P ) Je-li diskrimit D, pk b P ) Je-li diskrimit D >, pk b P D b, D př: 6 5, b 6, c 5 D < P př: 6,5, b 6, c, 5 D, 5 P {, 5} 5
př: 6, b 6, c D P {, } ZKOUŠKY!!!!.. Vzthy mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice. Vět: Jsou-li, kořey kvdrtické rovice b c o ezámé R, pk pro ě pltí: b. Obráceá vět: c. Vět: Nechť je reálé číslo růzé od uly, b, c libovolá reálá čísl. Čísl,, pro která pltí b, rovice b c o ezámé R. c. jsou kořey kvdrtické. Vět: jsou-li,, kořey kvdrtické rovice b c o ezámé R, pk ( )( ) pltí b c př: 7 b ( 7) 7. c rozepíšeme: 7 7 6 5 - -9..6. P {, } 6
př: Rozložte kvdrtický trojčle souči lieárích čiitelů., b, c 5, ± Podle věty : b c ( )(. ).. 5.5. Kvdrtické erovice Defiice: Kvdrtickou erovicí o jedé ezámé se zývá kždá erovice, kterou lze ekvivletími úprvmi převést jede z tvrů: b c > b c b c < b c př : 9 6 ) Vyřešíme kvdrtickou rovici 6, ) Nyí vezmeme pomoc zlosti o průběhu kvdrtické fukce m : y 6, tedy >, grfem je prbol, jejíž vrchol zobrzuje ejmeší hodotu fukce. Této prbole přísluší body [,], [-,] Řešeí je tedy P (,, ) př:,5, 5 <, 5, b, c, 5,5,5 D < Rovice emá řešeí Prbol emá žádé společé body s osou. 7
Mohou stt tyto přípdy: ) Celá prbol leží pod osou b) Prbol leží d osou K určeí jedoho z těchto dvou přípdů stčí dosdit do zdáí z libovolé reálé číslo zjistit, zd hodot trojčleu je kldá ebo záporá. Npř:,5,5, 5 pro všech R je,5, 5> Ale řešíme,5, 5< P - moži řešeí je prázdá.6. Grfické řešeí př: > - 5> Řešíme kvdrtickou rovici 5, b, c 5 D b c 9 ± 7, 5 podle věty : 5.( 5) Místo původí erovice řešíme tedy:. ( 5) > /.. ( 5) < ) > zároveň 5 < > zároveň < 5, P P ( ) P,5,,5, 5 P ( ) 8
) < zároveň 5 > < zároveň > 5 P, P P, (, ) P ( 5, ) 5 ( P P ) ( P ), 5 P P, 5 př.: ( k - ).( k ) ) k zároveň k k zároveň k P, ) P, ) P P, ), ), ) ) k zároveň k Cvičeí: k zároveň k P (, zároveň P (, P (, (, (, P ( P P ) P ) (, P, ) ( P ). 6 9 > ) 5 6 5. - 5 ) 5 < 9
5. FUNKCE 5.. Fukce rostoucí klesjící Defiice: Nechť M je podmožiou možiy R všech reálých čísel. Fukce f se zývá Jik: kždá moži uspořádých dvojic [ y] MR pltí: ke kždému R eistuje právě jedo R, (krtézský souči) pro kterou y tk, že [ y] f Defiice: Fce je prvidlo,pomocí kterého je kždému reálému číslu přiřzeo právě jedo Pltí věty: reálé číslo y. ) Kosttí fukce y b eí i rostoucí i klesjící. Grfem je přímk rovoběžá s osou. ) Lieárí fce y b je: ) pro kždé > rostoucí b) pro kždé < klesjící ) Kvdrtická fce y b c b ) pro > rostoucí v itervlu, ) je: b klesjící v itervlu (, b b) pro < rostoucí v itervlu (-, 5.. Nepřímá úměrost b klesjící v itervlu, ) k Defiice: Nepřímá úměrost se zývá kždá fukce, reálé číslo růzé od uly. Grfem epřímé úměrosti je hyperbol. y R { },,kde k je libovolé
Pltí věty: k ) Fukce y, je: ) pro kždé k > klesjící v itervlech (-,), (, ), hyperbol je v I. III. kvdrtu. b) pro kždé k < rostoucí v itervlech (-,), (, ), je hyperbol ve II. IV. kvdrtu. k ) Obor fukčích hodot fukce y, je pro kždé k rove R { }. 5.. Mocié fukce Opkováí: celé kldé číslo, celé záporé číslo,... Záme: y, y, y pro Rozděleí: ) b) c) ) y R, y R { } y R { } y R, celé kldé číslo, celé záporé celé kldé číslo Vět: Pro kždé liché celé kldé číslo je fce možiou všech reálých čísel. Pro kždé sudé celé kldé číslo je fce y rostoucí její obor hodot je y klesjící v itervlu (-, rostoucí v itervlu, ), její obor hodot je itervl, ) b) y R { } y le Je to grf kosttí fukce s výjimkou bodu pro. c) y R { } y záme y, celé záporé y epřímá úměrost y smozřejmě y y
Vět: Pro kždé záporé celé číslo sudé je fukce y rostoucí v itervlu (-,), klesjící v itervlu (, ), obor hodot je moži R. Pro kždé záporé celé číslo liché je fukce,(, ). Obor hodot je moži { } (-,) R. y klesjící v itervlech Cvičeí: y,5 y 5 y y y, y 6 5.. Epoeciálí fukce Defiice: Nechť je kldé reálé číslo růzé od. Epoeciálí fukce o zákldu se zývá fukce y R př: y Vět: y. Obor hodot fukce y je pro kždé >,, itervl (, ).. Fce y je pro kždé > rostoucí, pro kždé (,) klesjící.. V bodě je hodot fce y pro kždé > rovo.. ) Pro kždé > pltí: je-li <, pk <, je-li >, pk >. b) Pro kždé (,) pltí:je-li < pk je-li >, pk >, <, Cvičeí: y y, 5 y y y ( ) y., 5 ( ) 5.5. Epoeciálí rovice vyskytují se zde mociy s ezámou v epoetu. Vět: Pro všech reálá čísl, y pro kždé kldé reálé číslo pltí: je-li y pk je y.
př: 5 5 5 5- - --8 př: 8 5 - ( 5 ) -(5-) 9,5 Cvičeí: 5,,5 6 9 6 5 5, 5 5 8 65 5 ( 6) (,5), 5 5.5,,,, 5.6. Iverzí fukce př: Nrýsujte iverzí fukci k fukci y - y - u iverzí fukce y y
V tbulce totéž - y - 5.7. Logritmické fukce Defiice: Nechť je kldé reálé číslo růzé od, f epoeciálí fukce o zákldu (tj: y ) Logritmická fukce o zákldu se zývá tková fukce g pro kterou pltí: [ d, c] g právě tehdy, když [ c d] f,. Vět: Grf fukce g je souměrě sdružeý s grfem fukce f podle osy.. kvdrtu krtézské soustvy souřdic. y log Čteme logritmus při zákldu je iverzí k epoeciálí fukci y Vět: ) Defiičí obor logritmické fukce itervlu (, ) ) Obor hodot logritmické fukce možiě R všech reálých čísel y log je pro kždé R { } y log je pro kždé R { } rove rove ) Fukce y log je ) pro kždé > rostoucí b) pro kždé (,) klesjící ) log 5) ) pro > : je-li <, pk log < je-li >, pk log > b) pro (,): je-li <, pk log > je-li >, pk log < př: log < log log,6 5 log,6 5.8. Logritmus Defiice: Logritmus o zákldu je tkové číslo y pro ěž pltí: umocíme-li jím číslo, dosteme, přitom R { }, log y právě když y R
Vět:. pro kždé R { },. pro kždé R { } R pltí: log pltí: ) log b) log př: ) log 7 9 ) log 6 t t 6 6 ) log ) log př: log,, 5,, 9 log př: - dle. věty log - dle. věty př: log 5 5 log 8 log 8-5.9. Věty pro počítáí s logritmy ) log (. y) log log y Logritmus součiu dvou kldých čísel je rove součtu logritmů jedotlivých čiitelů. ) log log log y y Logritmus podílu kldých čísel je rove rozdílu logritmů dělece dělitele (v tomto pořdí) y ) log y. log Logritmus mociy kldého čísl je rove součiu epoetu logritmu zákldu mociy. př: log,5 6 log,5 log,56. log,5 log 6 6. př:.log 5.log log log log (. ) log ( 6 ) 6 6 6 6 6 6 5 5
př: log log 5 log, log,, 8 log 7 log 7 log 55 log5 log,5,5 log 9 Pozámk c ( m. ) m c log m log log Logritmus kždého kldého čísl m o zákldu lze psát ve tvru součtu log m, kde m, ) celého čísl c. Je zřejmé, že log m,) 5.. Logritmické rovice Vět. Pro kždé kldé reálé číslo růzé od jedé pro všech kldá reálá čísl, y pltí: je-li log log y, pk y. př: ( ) log ( ) log log log log log 5 5 5 9 zkoušk 8 Pozámk ukázt, je-li místo log 5 př: log ( ),5. ( log ) 7 7 7 log ( ) log7 log ( ) 7 6
ebo, 5 Zkoušk: ( ).log (,5 ).log ( 5) L!!!,5 7 7 ( ) > >, číslo,5 eí kořeem rovice Moži kořeů rovice je prázdá. Rovice jde uprvit i jik:.log ( ),5. př: ( ) log log substituce y y log y 7 log 7. log ( ). 7 7 log -!! Nemá řešeí y, ) log b) log - zkoušk Moži všech kořeů P {, } 7
př:.. 9.9 ( 9 ) 8. log log, 5 8,5 př: log,5.log log,5 log,5 log, 5 7 -,5.log,5 [, 7 ( ) log ( ) log log ( ) 5 log ( ) 9 ( y ) log ( y ) log ( y ) log 7 7 7 log ( y ) log ( y ) 6 log 5 log ( ).log log substituce ( ) log y log5 5,,. log log,5. log log,5 log,5 log ejdříve logritmovt 5 5,,,, 5.. Přirozeé dekdické logritmy Hledá se tkové číslo e, by grf epoeciálí fukce III. kvdrtu jediý společý bod. e &,78 Eulerovo číslo y e měl s osou I. A 8
Logritmickou fci při zákldu e zčíme hovoříme o přirozeém logritmu y log e obvykle l Je-li zákld dekdický logritmus l &, log e &, l &,.log log &,. l Vět: Pro kždé kldé reálé číslo pro všech kldá čísl log log y log z z y y, z růzá od jedé pltí: př: Vypočtěte log 5 je-li: ) log &,, log 5 &,699 b) l 5 &, 69 l &, 69 log 5,699 ) log 5 &, log, l 5,69 b) log 5 &, l,69 9
6.. Úhel jeho velikost 6. GONIMETRIE A TRIGONOMETRIE stupňová mír - plý úhel : 6 oblouková mír 6 π rd rd & 57 7 5 - rd (rdiá) α.π 8 α.8 π převod stupě rdiáy převod rdiáy stupě Vět: Zobrzeí U možiy R do jedotkové kružice je dáo:. Kždému reálému číslu, ) přiřdíme bod K k, pro který pltí: π π ) Úhel JOK je částí úhlu JOJ jko svou část ( pro, ) π ebo obshuje úhel JOJ jko svou část (pro, )) π b) Délk oblouku JK je rov, vzhledem k tomu že k je jedotková kružice, je zároveň číselou hodotou velikosti úhlu JOK v obloukové míře.. Je-li R,π ), jdeme ejprve tkové, ) tkové m Z, pro ěž pltí m. π. π Potom přiřdíme číslu stejý bod K, jký je přiřze číslu. 6.. Defiice goiometrických fukcí Defiice: Fce sius se zývá fce, které ptří právě všechy uspořádé dvojice [, yk ], kde R y si Defiice: Fce kosius se zývá fce, které ptří právě všechy uspořádé dvojice [, k ], kde R y cos Defiice: Fce tges se zývá fce dá rovicí si y cos
Defiice: Fce kotges se zývá fce dá rovicí cos y si 6.. Určováí hodot goiometrických fukcí ) Tbulky - je ve stupích (rdiáy uto převést) ) Klkulčk ) Grficky - je ve stupích (rdiáy uto převést) př: si 6 cos6 cos. π π př: tg cot g př: cot g tg6 př: si 5 π si π.π si π 6 6 6 př: cos ( 7 ) dle vzorce 7. π 6,5π 8 cos (-7 )cos(-6,5π ) cos je periodická s periodou π cos ( 6,5π ) cos π.π cos π 6.. Grfy goiometrických fukcí ) y si,,5, -6,8 -,7 -, -,57,,57,,7 6,8 7,85 9,,,57, 5,7 7,8 8,85 -,5 -,
b) y cos,,5, -6,8 -,7 -, -,57,,57,,7 6,8 7,85 9,,,57, 5,7 7,8 8,85 -,5 -, Cvičeí: př: Grf y si y si π 6.5. Vlstosti goiometrických fukcí sius kosius Defiičí obor obou fukcí je moži všech reálých čísel tj. Obor fukčích hodot obou fukcí je itervl, (, ). Vět: pro kždé R pro kždé m Z pltí: si ( mπ ) si cos ( mπ cos, π π π, π, π π, π sius - - kosius - - sius rostoucí klesjící klesjící rostoucí kosius klesjící klesjící rostoucí rostoucí tges kotges si cos cos si π ( m ).
Defiičí obor fce tges je moži všech reálých čísel růzých od π mπ kde m je libovolé celé číslo. π mπ Jik: mimo lichých ásobků čísl π Defiičí obor fce kotges je moži všech reálých čísel růzých od m je libovolé celé číslo. Obor fukčích hodot je moži R tj. (-, ) Vět: Pro kždé z defiičího oboru fce tges (kotges) pro kždé je tg ( mπ ) tg cotg ( mπ ) cot g m. π, m Z Dlší vlstosti: ) si( ) si cos( ) cos } R ) R π ( m ) tg( ) tg } m Z ) R mπ π ) (, ) 6.6. Goiometrické rovice př: si, 5 Řešeí ejdříve v,π ) π 6 cotg(- ) cot g ( π ) si( π ) si( ) ( π ) cos( π ) cos( ) si si π cos cos π 5 π period je π 6
Řešeí: π mπ 6 m Z 5 π mπ 6 m Z př: cot g -,8 Řešíme v itervlu (,8 ) cot g -,8 - cot g cot g,8 přitom (,9 ) 8 pltí: 8 - period 8 řešeí: m.8 m Z př: cos( ), 86 y y y substituce cos y & 8 8 y cos y, 86 cos y,86 cos 9 y y y 9 8 period π 6 Řešeí: 9 m.6 m Z 8 m.6 př: cos substituce : cos y y 7 cos 7 y D ( 7 ).. 5
cos cos,5 y y,5 evyhovuje cos řešeí: π mπ 5 π mπ m Z Vzorce: ) si cos ) tg. cot g m. π m Z ) si ( y) si cos y si y. cos ) si( y) si cos y si y. cos 5) cos( y) cos cos y si. si y 6) cos ( y) cos.cos y si. si y 7) si si cos 8) cos cos si 9) si cos ) cos cos y y ) si si y.si.cos y y ) si si y.cos.si y y ) cos cos y.cos.cos y y ) cos cos y si.si 5
6.7. Siová vět Užití pro hledáí velikostí str úhlů v libovolém trojúhelíku. Vět: Nechť ABC je libovolý trojúhelík, jehož vitří úhly mjí velkost α, β, χ stry délky Pk pltí:, b, c. b c siα si β si χ Jik: Poměr délky stry hodoty siu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelíku kosttí. Užití: ) je-li dá délk jedé stry velikosti dvou vitřích úhlů b) jsou-li dáy délky dvou str velikost vitřího úhlu proti jedé z ich. př: Trojúhelík ABC, dáo: α,85, β,68, c 5, m Řešeí: v kždém trojúhelíku je součet vitřích úhlů rove π. Úhly jsou zdáy v rdiáech. Úhel ABC χ π α β π,85,68 &,65, 65 c siα c. siα si χ si χ,78 5,.,999,9m b si β,6 b.,9. b, m siα si β siα,78 př: Trojúhelík ABC dáo: χ 7, b 8,5m, c, 8m Určete osttí úhly stry trojúhelíku. úhel ABC β b c b 8,5 si β.si χ.si 7 si β &, 75 si β si χ c,8 β (, 8 ) β 8 β β evyhovuje, eboť β χ β 8 α 8 β χ 8 α 59 8 7 59 6
c siα,8587 : c.,8. 9, 76 siα si χ si χ,95 9, 76m Vět: Pro obsh S trojúhelíku, jehož stry mjí délku pltí:, b, c vitří úhly α, β, χ S bsi χ csi β bcsiα př: Trojúhelík ABC: 5,m, α 6, β 8 S? S b.si χ b si β si 8,657 b. 5,. 5,. & 7, si β siα siα si 6,89 χ β χ 79 b 7, m 8 α 8 6 8 79 S b.si χ 5,.7,.si 79 7,6.,986 & S Obsh trojúhelíku je,6 6.8. Kosiová vět m.,6m Vět: Nechť ABC je libovolý trojúhelík, jehož vitří úhly mjí velikost α, β, χ stry délky Pk pltí: ) b, b, c. c bc cosα b) b c c cos β c) c b b.cos χ Užití: ) jsou-li dáy délky všech tří str máme určit úhly b) jsou-li dáy délky dvou str velikost úhlu jimi sevřeého 7
př: Trojúhelík ABC, 6,9m, b,m, c, m Určit úhly α, β, χ z Kosiové věty b cosα c bc, b c, 6,9.,., bc cosα,78 úhel β cos α,78 α α 8 α 7 z kosiové věty: b c c cos β c cos β, cos β β & b c 5 6,9,.,.6,9,95 χ 8 χ 8 χ 7 5 α β 7 α 7, β 5, χ 7 5 7 5 5 př: Trojúhelík ABC, 5, m, b,75m, χ 6 c?, α?, β? c: c b c.cos χ c 5,,75.5,.,75. cos6 7, c 8, m β pomocí siové věty: b c si β si χ 8
b si β si χ c si β β 6 β,75.si 6 8, 9,65 evyhovuje β χ 8 β 6 proti větší strě leží větší úhel α 8 β χ 8 α 7 6 6 7 c 8,m, β 6, α 7 9
7.. Zákldí kombitorické prvidlo 7. KOMBINATORIKA Vět: počet všech uspořádých dvojic, jejichž prví čle lze vybrt právě způsoby jejichž druhý čle lze po výběru prvího čleu vybrt právě způsoby, je rove.. Vět (zobecěí): Počet všech upořádých k -tic, jejichž. čle lze vybrt právě způsoby,. čle po výběru. čleu právě způsoby td., ž ( k ) ho čleu právě k způsoby, je rove.....k. k tý čle po výběru př: Z měst A do měst B vedou cesty, z měst B do měst C vedou cesty. Určete počet růzých cest, které vedou z A do C procházející přitom městem B. Řešeí: A B...,,, B C..., b Vypíšeme dvojice: [, ], [, ], [, ],[, ], A C 8 cest tké. 8 [,b ], [,b ] [,b ], [,b ] př: Kolik dvojjzyčých slovíků je třeb vydt, by byl zjiště možost překldu z RJ, AJ, NJ FJ do kždého z ich. Dvojice [R,A], [R,NJ], [R,F], [A,R], [A,N], [A,F], [N,R], [N,A], [N,F], [F,R], [F,A], [F,N], dvojic jik. př: Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápisu se kždá číslice vyskytuje ejvýše jedou. Uspořádé dvojice (lze vypst). čle z 9 cifer ( elze použít ). čle z 9 cifer (přibyl cifr ). čle z 8 cifer 9. 9. 8 68 trojciferých čísel dé vlstosti 7.. Vrice defiice: Vrice k té třídy z prvků je kždá uspořádá k tice sestveá z těchto prvků tk, že kždý je v í obsže ejvýše jedou.dbá se pořdí prvků. 5
k pokud < k vrice k té prvků eeistuje př: Npište vrice třetí třídy z prvků,5,7,9 [,5,7]. [,5,9] [,7,9].. ( ) [5,7,9] pro počet vricí třetí třídy ze prvků pltí: V.. možostí Vět: Počet V k ( ) všech vricí k té třídy z prvků pltí: V k ( ) ( )(. )... ( k ) 7.. Permutce Při sestvováí vricí k té třídy z prvků dostáváme uspořádé k tice, které v přípdě k < se liší umístěím jedotlivých prvků s tím, že obshují růzé prvky. př: Vrice třetí třídy ze prvků,,, [,,], [,,] liší se uspořádáím (umístěím) [,,], [,,] eobshuje tytéž prvky V přípdě k k tice se liší pouze uspořádáím kždý prvek je zde právě jedou. Defiice: Permutce z prvků je kždá vrice P ( ) - permutce z prvků. je to vrice V k ( ) ( )(. )... ( k ) le P k té třídy z těchto prvků. ( ) V ( ). ( )(. )... to zmeá ( ). ( )(. )... P teto souči zčíme! (čteme fktoriál ) té třídy z těchto prvků. Defiice: Pro kždé celé kldé číslo je!.... ( )( ). Pro je! Vět: Pro počet všech permutcí z prvků pltí P( )! 5
Př: Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápise je kždá z číslic,,,,7 Řešeí: musí tm být všechy cifry jedá se o počet všech permutcí z prvků, le žádá esmí zčít ulou. Počet všech permutcí z 5 prvků P ( 5 ) 5! Počet všech permutcí, které mjí. místě ulu P ( )! Výsledek: P ( ) P( ) 5!! 96 5 5! 5...!... Př.: N schůzi mluví pět řečíků. Řešeí: ) P ( ) 5! 5 b) Pořdí AB hrdíme X ) Kolik je možostí pořdí jejich proslovů b) Kolik je možostí, že B mluví ihed po A c) Kolik je možostí, že B mluví po A př: [C,D,A,B,E,], [A,B,E,D,C].. [C,D,X,E], [X,E,D,C].. tj.permutce ze prvků P ( )! c) Ke kždému proslovu, kdy B mluví po A eistuje pořdí, kdy A mluví po B [ C,A,B,D,E ] - [ C,B,D,E ] [ A,E,D,C,B ] - [ B,E,D,C,A ] tj. vyhovuje je polovi P( 5 ) 5! 6 Uvědomit si: ( )! ( ).! př: Zjedodušte: ( )! ( )! ( )!! ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ) ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ) - ( ) 5