22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená: a) f(, ) = 2 + 3. Řešení: Funkce je definována pro všechn hodnot a, ted = R 2. Množina R 2 má všechn své bod vnitřní, je ted otevřená. Vnější a hraniční bod nemá, je ted zároveň uzavřená. b) f(, ) = 2 + 2. Řešení: Funkce je definována pro všechn hodnot, kde je jmenovatel zlomku nenulový. To je všude, kromě bodu(, ). Je ted = R 2 {(, )}. Množina má pouze vnitřní bod, je ted otevřená. Hraničním bodem je jediný bod a sice bod (, ). c) f(, ) = +. Řešení: Funkce je definována všude, kde je jmenovatel nenulový. Je ted = {(, ); }. Množina má pouze vnitřní bod, je ted otevřená. Hraničními bod jsou bod přímk {(, ); = }. d) f(, ) = 2. Řešení: Funkce je definována všude, kde je výraz pod odmocninou nezáporný. Je ted = {(, ); 2 }. Vnitřními bod jsou bod množin {(, ); 2 }. Hraničními bod jsou bod parabol {(, ); = 2 } a vnějšími bod jsou bod množin {(, ); < 2 }. Množina obsahuje všechn své hraniční bod, je ted uzavřená. e) f(, ) =. Řešení: Vjádříme si funkci pomocí eponenciální funkce ve tvaru f(, ) = e ln. Funkce je definována všude, kde je definován eponent. To znamená, že = {(, ); > }. Množina má pouze vnitřní bod, je ted otevřená. Hranicí je přímka {(, ); = }. f) f(, ) = arcsin +. Řešení: Funkce je definována v bodech, kde a kde je +. Je ted + + > >
a + + < <. Ted = {(, ); (, ) (, ), (( ) ( ))}. Vnitřní bod jsou bod množin {(, ); ( > < ) ( < > )}. Hraniční bod jsou bod přímek {(, ); = = }. Množina není ted ani otevřená ani uzavřená. 2. Určete definiční obor, vrstenice grafu a obor hodnot Hf funkce: a) f(, ) = 2 + 2. Řešení: Je = R 2 a funkce f nabývá pouze nezáporných hodnot. Pro její hladin dostaneme podmínku: 2 + 2 = k, k. Hladinou je ted kružnice se středem v bodě (, ) a poloměrem r = k, která pro k = splývá s počátkem. Je ted Hf =, ) a funkce f má v bodě (, ) minimum f(, ) =. b) f(, ) = +. Řešení: Je = R 2 a funkce nabývá nezáporných hodnot. Pro hladin dostaneme rovnice + = k, k. Z vjádření vplývá, že hladina je množina souměrná vzhledem k osám a, ted i vzhledem k počátku. Stačí najít řešení v jednom kvadrantu, např. pro,. Podmínce vhovují bod úsečk, která je částí přímk + = k. Hladinou je tudíž čtverec s vrchol v bodech (k, ), (, k), ( k, ) a (, k). Pro k = dostaneme bod (, ). Obor hodnot funkce f je Hf =, ). c) f(, ) = e. Řešení: Funkce je definována v celem R 2. Protože je eponenciální funkce kladná, dostaneme pro hladin rovnice e = k, k > = ln k ted = ln k, k a =, k =. 2
Protože mají rovnice řešení pro všechn hodnot k >, je obor hodnot Hf = (, ). d) f(, ) = sin ( + ). Řešení: Funkce je definována v celém R 2. Funkce sinus nabývá hodnot z intervalu, a tudíž pro hladin dostaneme rovnice sin ( + ) = k, k. Hladinou je soustava rovnoběžných přímek: k = : + = π 2 + 2nπ, n Z; k = : + = π 2 + 2nπ, n Z; < k < : + = arcsin k + 2nπ, + = π arcsin k + 2nπ, n Z. Oborem hodnot je interval,. e) f(, ) = arctg. Řešení: Funkce arkustangens je definovaná v R a ted je = {(, ); }. Protože je oborem hodnot funkce arkustangens interval ( π 2, π 2 ), dostaneme pro hladin funkce f rovnice arctg = k, π 2 < k < π 2 = tg k,. Hladinami jsou přímk, které tvoří svazek procházející počátkem, ze kterých je vnechán bod (, ). Oborem hodnot funkce f je interval Hf = ( π 2, π 2 ). f) f(, ) = 2 + 3. Řešení: Funkce f je definována v R 2 a vzorec pro výpočet funkční hodnot neobsahuje proměnnou. Tato skutečnost se projeví tak, že jsou hladinami přímk, které jsou rovnoběžné s osou. Pro hladin dostaneme rovnice 2 + 3 = k 2 = k 3 = ± k 3, k 3. Graf funkce f dostaneme tak, že graf funkce z = 2 + 3, který nakreslíme v rovině (, z) posouváme ve směru os. Dostaneme plochu, které se říká válcová. Limita a spojitost funkce 3. Vpočtěte itu funkce v daném bodě, případně rozhodněte, kde je funkce spojitá: 3
a) (,) (, 2) 2 ; Řešení: Funkce f(, ) = 2 je definována a spojitá v R 2. jejíita je ted rovna funkční hodnotě a tudíž b) (,) (,) (,) (, 2) 2 = f(, 2) = 2. ( 2) = 2. + ; Řešení: Daná funkce je definovaná pro (, ) R 2, pro která platí. Definičním oborem je část rovin mezi hperbolami =, ze které jsou vnechán os. Na této množině je funkce spojitá a bod (, ) je hromadným bodem definičního oboru. Pro itu v tomto bodě dostaneme (,) (,) + = = (,) (,) ( + + ) ( + )( + + ) = = (,) (,) ( + + ) + = (,) (,) ( + + ) = 2. c) (,) (,2) sin () ; Řešení: Daná funkce je spojitá na svém definičním oboru, = {(, ); }, což je rovina s vnechanou osou. Bod (, 2) je ted hromadným bodem definičního oboru a pro itu v tomto bodě dostaneme (,) (,2) sin () = ( ) ( (,) (,2) = = (,) (,2) (,) (,2) sin () = sin () ) = 2. = 2. Při výpočtu jsme použili větu o itě součinu a známé it funkce sinus. d) (,) (,) 2 + 2; Řešení: Funkce je definována a spojitá v R 2 {(, )}. Bod (, ) je hromadným bodem definičního oboru a ted můžeme itu počítat. Po dosazení dostaneme neurčitý výraz. K výpočtu použijeme metod funkce 4
jedné proměnné. Budeme počítat itu po přímkách procházejících počátkem. Nutnou podmínkou eistence it je, že jsou všechn it stejné. Je ted (,) (,) = = k, = 2 + 2 2 k 2 + k 2 2 = k + k 2. Protože je tato ita závislá na směru, ze kterého itu počítáme, ita funkce neeistuje. e) (,) (,) 2 2 + 2; Řešení: Funkce je definována a spojitá v R 2 {(, )}. Bod (, ) je hromadným bodem definičního oboru a ted můžeme itu počítat. Po dosazení dostaneme neurčitý výraz. Při výpočtu budeme počítat it po po přímkách jako v předchozí úloze. Je ted (,) (,) 2 = = k, = 2 + 2 3 k 2 + k 2 2 = k + k 2 =. Protože je tato ita nezávisí na směru, ze kterého itu počítáme, může ita funkce eistovat a pokud ano bude rovna. Limitu ověříme pomocí odhadu funkce pomocí výrazů jejíchž itu známe. Je ( ± ) 2 2 ± 2 + 2 2 + 2 ±2 Je ted Protože je =, je f(, ) = (,) (,) 2 + 2 2. 2 2 + 2 ted počítaná ita eistuje a je rovna nule. 2 =, 2 + 2 2. 5
Obrázk k příkladům a 2 a b c d k = k = e f 2 a 2 b k = k < k > k > k < k = k = k > 3 2 c 2 d 2 e 2 f k = 3 k > 3 Neřešené úloh. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená: a) f(, ) =. [ = {(, ); }. Množina je otevřená. Hranicí je přímka {(, ); = }.] b) f(, ) = 2 + 2. [ = R 2. je současně otevřená i uzavřená.] c) f(, ) = +. [ = {(, ); + >, }. není ani otevřená ani uzavřená.] d) f(, ) = +. [ = {(, ); }. je otevřená.] e) f(, ) = ln ( + ). [ = {(, ); + > }. je otevřená.] 2. Určete definiční obor, hladin a obor hodnot Hf funkce: 6
( a) f(, ) = ln ). 2 + 2 [ = {(, ); (, ) (, )}; Hf = R. Rovnice hladin 2 + 2 = e 2k, k R.] b) f(, ) =. [ = {(, ); > }; Hf = (, ). Rovnice hladin = k, k >.] 2 c) f(, ) = e (2 + 2). [ = R 2 ; Hf = (,. Rovnice hladin 2 + 2 = ln k, < k.] d) f(, ) = 4 2 + 9 2. [ = R 2 ; Hf =, ). Rovnice hladin 4 2 + 9 2 = + k, k.] e) f(, ) = 9 2 4 2. [ = {(, ); 9 2 + 4 2 }; Hf =,. Rovnice hladin jsou 9 2 + 4 2 = k 2, k.] f) f(, ) = +. [ = {(, ); + }; Hf = R. Rovnice hladin = k( + ),.] Obrázk k úlohám a 2 a b c d < k < k = k = k = e 2 a 2 b 2 c k > k = k = k = 2 d 2 e 7