Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0 Úloh k samostatnému řešení Definiční obor Úloh k samostatnému řešení Konstantní funkce Výklad Lineární funkce Úloh k samostatnému řešení Kvadratické funkce Úloh k samostatnému řešení 0 7 Lineární lomená funkce 7 Nepřímá úměrnost 7 Lineární lomená funkce Úloh k samostatnému řešení 8 Mocninné funkce 9 Eponenciální funkce Úloh k samostatnému řešení 8 0 Logaritmická funkce 9 Goniometrické funkce Velikost úhlu oblouková a stupňová míra sinus, kosinus, tangens a kotangens Úloh k samostatnému řešení 7 Goniometrické vzorce 7 Úloh k samostatnému řešení 7 Výsledk úloh k samostatnému řešení 7 Klíč k řešení úloh 7 Kontrolní otázk 8 Kontrolní test 8 Výsledk testu 8-9 -
Základ matematik FUNKCE Průvodce studiem Kapitola je rozdělena do devíti menších celků a t jsou ještě dále rozdělen na menší oddíl V každém oddíle je nejdříve vsvětlena teorie, jsou zaveden nové pojm a vzorce Pak následují Řešené úloh V Úlohách k samostatnému řešení si prověříte získané vědomosti K těmto úlohám jsou na konci kapitol uveden výsledk a pro t, kteří b si s úlohami nevěděli rad, také nápověda Na samý závěr se otestujete, jak jste zvládli tuto kapitolugraf v tetu bl vtvořen pomocí programu Matematika Hodně zdaru při studiu Cíle Seznámíte se s elementárními funkcemi, poznáte jejich definiční obor a obor hodnot, budete umět nakreslit jejich graf Budete umět určit vlastnosti funkcí Graf elementárních funkcí, s nimiž budete pracovat, jsou vkreslen na úvodním obrázku Předpokládané znalosti Umíte řešit nerovnice metodou nulových bodů, kterou si můžete zopakovat v kapitole, a také umíte pracovat s kartézskou soustavou souřadnic O v rovině =e = =cos =ln =sin - - - 0 - - - - 0 -
Základ matematik Výklad f na množině A R je předpis, který každému číslu z množin A přiřadí právě jedno reálné číslo Množina A se nazývá definiční obor funkce Označení D( f ), D f Obor hodnot funkce z definičního oboru funkce Označení H( f ), H f f je množina všech f tak, že = f ( ) = f ( ) je funkční předpis vjadřující závislost na R, ke kterým eistuje aspoň jedno je nezávisle proměnná, nebo také používáme označení argument, vbíráme ji z D( f ) je závisle proměnná, H ( f ) Hodnotu funkce f v bodě 0 v 0 označíme ( ) f = a nazývá se funkční hodnota funkce f o o Řešené úloh Příklad Zapište funkci, která vjadřuje závislost a) obvodu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce a jeho odvěsn, b) obvodu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce c jeho přepon Řešení: a) přepona c = a, obvod trojúhelníku o = a + c = a + a = a( + ), o = ( + )a, a (0, ) b) c = a a = c c, o = a + c = + c = c( + ), o = ( + ) c, c (0, ) - -
Základ matematik Výklad Graf funkce f ve zvolené soustavě souřadnic O je množina všech bodů X [, f ( )], kde patří do definičního oboru funkce f Ve skutečnosti nakreslíme (načrtneme) jen část grafu na zvoleném intervalu I D( f ) Řešené úloh Příklad Rozhodněte, která z množin bodů na uvedeném obrázku je grafem funkce Svá tvrzení zdůvodněte a) - - - - 0 - Řešení: Toto je graf funkce, každému přísluší jediné Každá přímka rovnoběžná s osou danou množinu bodů protne nejvýše v jednom bodě b) - - - 0 - - - Řešení: V tomto případě se o graf funkce nejedná, pro =, nacházíme dvě hodnot Tato situace je stejná pro všechna (, ) protne danou množinu bodů ve dvou různých bodech, každá přímka rovnoběžná s osou - -
Základ matematik Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Výklad f se nazývá ohraničená shora na množině M, eistuje-li takové číslo h, že pro všechna M je f ( ) h f se nazývá ohraničená zdola na množině M, eistuje-li takové číslo d, že pro všechna M je f ( ) d f je ohraničená na množině M, je-li v ní ohraničená shora i zdola V opačném případě se funkce f nazývá neohraničená na množině M Geometrický význam ohraničenosti funkce Je-li funkce = f () na množině M D( f ) ohraničená shora, leží její graf pro každé číslo M stále pod přímkou = h nebo na ní Je-li funkce = f () na množině M D( f ) ohraničená zdola, leží její graf pro každé číslo M stále nad přímkou = d nebo na ní M Je-li funkce = f () na množině M D( f ) ohraničená, leží její graf pro každé číslo stále mezi přímkami = h a = d nebo na nich Věta f je na množině M R ohraničená, právě kdž eistuje taková konstanta K 0, že pro M platí f ( ) K Řešená úloha Příklad Dokažte, že funkce = je pro všechna R ohraničená ( + ) Řešení: Protože pro R platí nerovnost ( ± ) 0 neboli dostáváme odtud + Podle vět je daná funkce ohraničená, +, Platí ted pro R : + + - - K =
Základ matematik Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Výklad Je dána funkce f a interval I, který je částí jejího definičního oboru ( I D( f )) f se nazývá rostoucí na intervalu I, právě kdž pro všechna Je-li < ( ) f ( ), pak f < f se nazývá klesající na intervalu I, právě kdž pro všechna Je-li, pak f > f < ( ) ( ) f se nazývá neklesající na intervalu I, právě kdž pro všechna Je-li < ( ) f ( ), pak f f se nazývá nerostoucí na intervalu I, právě kdž pro všechna Je-li, pak f f < ( ) ( ),, I platí: I platí:,, I platí: I platí: Tto funkce na I se souhrnně nazývají monotónní funkce na I D( f ), rostoucí a klesající funkce na I se souhrnně nazývají rze monotónní funkce na I D( f ) Z definice je zřejmé, že každá rostoucí funkce je zároveň neklesající na I a každá klesající funkce je zároveň nerostoucí na I Řešené úloh Příklad Z grafu rozhodněte, kde je funkce rostoucí a kde klesající = - - - - - - 0 - - Řešení: je rostoucí na intervalech (, ) a (,0) klesá, na intervalech ( ) 0, a (, ) - -
Základ matematik Příklad Která z funkcí f, f je rostoucí a která klesající na D( f )? = - - - 0 - - - 0 - - - =- - - - - Řešení: Definiční obor obou funkcí D ( f ) = R Z grafů těchto funkcí lze včíst, že rostou-li hodnot proměnné, rostou hodnot funkce a klesají hodnot funkce f Pro libovolná f < dostaneme:, R, pro která platí <, >, f ) < f ( ), f ) > f ( ) ( ( Pro ilustraci zvolíme čísla =, a dosadíme do nerovnic funkčních hodnot = < > je příkladem rostoucí funkce a f je příkladem klesající funkce na R f - -
Základ matematik Prostá funkce Výklad se nazývá prostá, právě kdž pro všechna D( f ) Je-li, pak f f ( ) ( ) Řešené úloh Příklad Z grafu rozhodněte, zda je funkce prostá, platí: 9 =sin+ - -9 - - 0 9 - - -9 Řešení: není prostá, pro různá eistují stejné funkční hodnot Příklad Z grafu rozhodněte, zda je funkce prostá =arctg - - - 0 - Řešení: je prostá, platí podle definice, že pro je f ( ) f ( ) rostoucí nebo klesající na celém definičním oboru je prostá - -
Základ matematik Sudá a lichá funkce Výklad f se nazývá sudá, právě kdž zároveň platí: Pro každé D( f ) je také D( f ) Pro každé D( f ) je f ( ) = f ( ) Graf sudé funkce je souměrný podle os f se nazývá lichá, právě kdž zároveň platí: Pro každé D( f ) je také D( f ) Pro každé D( f ) je f ( ) = f ( ) Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustav souřadnic O Není-li splněna ani jedna z uvedených podmínek, není funkce ani sudá ani lichá Řešené úloh Příklad Z grafu určete, zda je funkce lichá nebo sudá na intervalu (-, ) =sin +cos - - - - - 0 - - Řešení: je sudá, její graf je souměrný podle os - 7 -
Základ matematik Příklad Z části grafu určete, zda je funkce lichá nebo sudá na D( f ) = R {0} = sin +cos - - - - 0 - - - - Řešení: je na D( f ) lichá, její graf je souměrný podle počátku Příklad 7 Z grafu určete, zda je v intervalu (-, ) funkce lichá nebo sudá =sin+cos - - - - - - 0 - - Řešení: není ani sudá ani lichá Příklad 8 Rozhodněte, zda je funkce sudá či lichá: = Řešení: D( f ) = R {0}, D( f ) ( ) D( f ) ( ) f ( ) = ( ) = = f ( ) ( ) = je sudá - 8 -
Základ matematik Periodická funkce Výklad se nazývá periodická, právě kdž eistuje takové číslo p > 0, že pro každé k Z platí následující podmínk: Je-li D( f ), pak kp D( f ) + a platí f ( kp) = f ( ) + Číslo p se nazývá perioda funkce f Pokud v množině čísel p eistuje nejmenší kladné číslo, pak tuto periodu základní (primitivní) periodou funkce f p > 0 nazýváme Graf periodické funkce se pravidelně (periodick) opakuje po intervalech, jejichž délka je rovna základní periodě p Nejvýznamnější periodické funkce jsou goniometrické funkce (kap ) Řešené úloh Příklad 9 Z grafu periodické funkce odhadněte její primitivní periodu =cos+sin - - - - - 0 7 8 9 - - Řešení: Primitivní perioda je zřejmě p = - 9 -
Základ matematik Inverzní funkce Výklad Inverzní funkce k prosté funkci f () je f, která každému H ( f ) přiřadí právě to ( ) D( f ), pro které je f = Označení proměnných můžeme volit libovolně, a protože je obvklé značit závisle proměnnou a nezávisle proměnnou, zaměňujeme označení proměnných Důsledkem toho je, že D ( f ) = H ( f ) (a H ( f ) = D( f ) ) Proto graf obou funkcí jsou souměrné podle os I a III kvadrantu = Platí také, že inverzní funkce k rostoucí funkci je také rostoucí a inverzní funkce ke klesající funkci je klesající Řešené úloh Příklad 0 Dokažte, že funkce f : = +, R, je rostoucí ( a ted prostá) Určete funkci k ní inverzní f Řešení: Je zřejmé, že oborem hodnot H ( f ) = R f je rostoucí, neboť pro, R platí: je-li <, pak je + < +, takže f ( ) < f ( ) je rostoucí, ted prostá, a proto k ní eistuje funkce inverzní f, která je také rostoucí Její funkční předpis určíme tak, že z rovnice = + vjádříme : =, R a po záměně proměnných máme funkční předpis pro funkci inverzní =+ = f : =, D( f ) = H ( f ) = R - - - 0 = - - - = - - - 0 -
Základ matematik Příklad Dokažte, že funkce f : = +, < 0, ), je rostoucí ( a ted prostá) Určete funkci k ní inverzní f Řešení: Je zřejmé, že oborem hodnot H ( f ) =<, ) f je rostoucí, neboť pro, R platí: je-li <, pak je + < +, takže f ( ) < f ( ) je rostoucí, ted prostá, a proto k ní eistuje funkce inverzní f, která je také rostoucí Její funkční předpis určíme tak, že z rovnice = + vjádříme : = ( ), <, ) Po záměně proměnných máme funkční předpis pro inverzní funkci f : = ( ), D( f ) =<, ), H ( f ) =< 0, ) = + =(-) = - - 0 7 - - Úloh k samostatnému řešení Rozhodněte, zda je funkce sudá či lichá: a) + =, b) d) ln, e) =, c) ( cos sin ) =, e e = =, f) ( sin ) g) = + e + e =, - -
Základ matematik Definiční obor D Výklad Funkci f považujeme za definovanou, je-li známo pravidlo, kterým je každému číslu přiřazena příslušná jediná hodnota f ( ) H, tj je-li dán předpis, kterým je toto přiřazení jednoznačně určeno Tento předpis může být vjádřen tabelárně (příslušnou tabulkou), grafick nebo analtick Tabelární způsob definování funkce se vsktuje v technických vědách velmi často, zvláště hledáme-li eperimentálně funkční závislost mezi dvěma uvažovanými veličinami Výhodou tohoto vjádření je to, že z něho můžeme včíst hodnot funkce v tabelovaných hodnotách argumentu Jeho velkou nevýhodou však je, že obvkle neobsahuje hodnot funkce ve všech potřebných hodnotách argumentu Dalším nedostatkem tabelárního vjádření je i to, že si při něm nemůžeme učinit bližší představu o povaze funkční závislosti mezi argumentem a závisle proměnnou Proto se obvkle snažíme vjádřit tuto závislost grafick nebo (přibližným) analtickým vzorcem Výhodou grafického způsobu zadání funkce je názornost, neboť podle grafu funkce si obvkle uděláme jasnou představu o povaze funkční závislosti Jeho nevýhodou je, že vjadřuje funkční hodnot jen přibližně a nedovoluje všetřovat vlastnosti funkcí metodami matematické analýz Analtický způsob definování funkce (funkčním předpisem) je nejvýznamnějším způsobem vjádření funkce Jeho předností je, že použitím metod matematické analýz můžeme zkoumat vlastnosti uvažované funkce Určitým nedostatkem analtického vjádření je, že postrádá názornost grafického vjádření Proto často používáme k snadnějšímu a názornějšímu výkladu vlastností uvažované funkce i jejího grafického, popř tabelárního vjádření Je-li funkce zadaná funkčním předpisem = f () a není-li zároveň uveden definiční obor funkce, pak se jim rozumí nejširší možný obor, v němž má výraz Ve funkčním předpisu nás budou zajímat následující možnosti: f () smsl Je-li ve funkčním předpisu zlomek, jmenovatel musí být různý od nul Je-li ve funkčním předpisu odmocnina se sudým odmocnitelem, výraz pod odmocninou musí být větší nebo roven nule (nezáporný) Je-li ve funkčním předpisu logaritmus, jeho argument musí být větší než nula (kladný) - -
Základ matematik Je-li ve funkčním předpisu tangens, nenulový sin tg =, musí být jmenovatel, ted cos cos, Je-li ve funkčním předpisu kotangens, sin, nenulový cos cotg =, musí být jmenovatel, ted sin Řešené úloh Příklad Určete definiční obor funkce = Řešení: 0 ( )( + ) 0, (, ) (,) ( ) D ( f ) =, nebo zápis D ( f ) = R {, } Příklad Určete definiční obor funkce + 0 = + Řešení: + 0 0 + 0 + druhá podmínka platí vžd a také + > 0 vžd platí Stačí ted vřešit nerovnici +0 0 0 ) D ( f ) = 0, Příklad Určete definiční obor funkce = log( ) Řešení: > 0 > D ( f ) =, - -
Základ matematik Příklad Určete definiční obor funkce = tg( ) Řešení: cos( ) 0 + k + + k :, takže + k, k Z D( f ) = R { + k } pro k Z Příklad Určete definiční obor funkce = cotg( ) Řešení: sin( ) 0 k + + k, takže k + D ( f ) = R { + k} pro k Z Úloh k samostatnému řešení Určete definiční obor funkce: a) = ln, b) = ln ln, c) 9 =, + + d) = cotg, e) + =, f) = ln( ) Konstantní funkce Výklad Konstantní funkce je každá funkce na množině R, která je dána předpisem = c Definičním oborem jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je roven konstantě c Grafem je přímka rovnoběžná s osou procházející bodem [ 0, c], funkce není prostá - -
Základ matematik Lineární funkce Výklad Lineární funkce je každá funkce na množině R, která je dána předpisem = a + b, a 0, a, b R, a,b konstant Definičním oborem a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla Grafem lineární funkce je přímka různoběžná s osou Každá přímka, která není rovnoběžná s osami, je grafem nějaké lineární funkce K sestrojení grafu nám ted stačí různé bod a > 0 funkce je rostoucí na R, je prostá a < 0 funkce je klesající na R, je prostá b = 0, = a přímá úměrnost graf funkce prochází počátkem soustav souřadnic Příklad užití lineární funkce ve fzice: Přímá úměrnost mezi zrchlením a hmotného bodu o konstantní hmotnosti m a velikosti působící síl F, F = ma Řešená úloha Příklad Nakreslete graf funkce = Řešení: Nejprve najdeme dva různé bod grafu funkce: Všimněte si, v zadání funkce je b =, tzn graf protíná osu v bodě [ 0, ] Další bod grafu zjistíme dosazením =, pak = Bod [ 0, ] a [, ] spojíme a výsledná přímka je grafem dané funkce = - - 0 - Úloh k samostatnému řešení Nakreslete graf lineární funkce: a) = a + pro a =,,,,,, b) = + b pro b =,,,,, - -
Základ matematik Kvadratické funkce Výklad Kvadratickou funkcí rozumíme každou funkci na množině předpisem = a + b + c, kde a R { 0} ; b, c R R, která je dána Definičním oborem jsou všechna reálná čísla Obor hodnot se liší podle zadání Grafem kvadratické funkce je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou Řešené úloh Příklad Nakreslete graf funkce = Řešení: Vrchol parabol je bod V [ 0,0] parabol je osa Další bod si můžeme určit tabulkou, osa parabol je v ose a vrcholová tečna 0 8 = - - - 0 Výklad Všechn parabol, které mají k souřadnicovým osám a =, mají stejný tvar, liší se pouze umístěním vzhledem Graf funkcí a) + c, b) = ( k) se nakreslí na základě posunutí grafu funkce = = (výchozí parabola) ve směru a) os tak, že vrchol V [ 0, 0] přejde do vrcholu V [ 0, c], b) os tak, že vrchol V [ 0, 0] přejde do vrcholu V [k, 0] - -
Základ matematik Podívejme se nní na graf funkcí, které mají různé hodnot a a) =, b) =, c) =, d) =, e) =, e) =, g) =, h) = 0 Pokud je a > 0, je parabola otevřená ve směru kladné poloos, pokud je a < 0, je parabola otevřená ve směru záporné poloos Je-li a >, pak se parabola zúží vzhledem k parabole = Je-li a <, pak se parabola rozšíří Tto skutečnosti můžeme pozorovat na následujícím ilustračním obrázku 0 - - - - - 0 - - - - - - - = a + b + funkce na intervalu minimum Je-li V [, ] V V c není prostá na svém definičním oboru (, ) klesá a na (, ) V a < 0, pak funkce na intervalu (, ) má funkce maimum V D ( f ) = R Je-li a > 0, pak [ V roste Ve vrcholu V, ] V má funkce roste a na (, ) V klesá Ve vrcholu V Při kreslení grafů kvadratických funkcí můžeme nejprve upravit výraz doplněním na druhou mocninu dvojčlenu a přepsat funkční předpis do tvaru = a( + 0 ) 0 a + b + c Z tohoto zápisu kvadratické funkce určíme snadno souřadnice vrcholu V 0, ] [ 0-7 -
Základ matematik Řešené úloh Příklad Nakreslete graf funkce = Řešení: Ze zápisu funkce včteme souřadnice vrcholu [ 0, ] V Protože je a =, posuneme graf funkce = o jednotku ve směru záporné poloos Průsečík grafu s osou vpočítáme z rovnice = 0 =, = 0 8 = - - - - 0 - Příklad Nakreslete graf funkce = + Řešení: Pomocí průsečíků s osou Vřešíme ted rovnici 0 = + Kořen jsou =, = 0 Protože parabola je souměrná podle své os, která je kolmá k ose, jsou bod = 0, = také podle této os souměrné a osa parabol je osa úsečk Její rovnice je = Vrchol parabol na této ose leží a jeho první souřadnice je ted = Druhou souřadnici vpočteme dosazením = do rovnice V parabol = +, = posuneme graf parabol měl vrchol v bodě V, Vrchol má souřadnice [, ] V [ ] V V Protože a =, = tak, ab na ose procházel bod =, = a 0-8 -
Základ matematik Doplněním na druhou mocninu dvojčlenu získáme souřadnice vrcholu parabol Funkční předpis převedeme na tvar = + + = ( + ), souřadnice vrcholu jsou V [, ] Protože je a =, posuneme graf funkce o jednotk ve směru záporné poloos a o jednotk ve směru záporné = poloos 8 = + - - - 0 - - Příklad Nakreslete graf funkce = Řešení: Zápis funkce upravíme na tvar ( = + ) = ( ), ze zápisu kvadratické funkce = ( ) 8 určíme souřadnice vrcholu, V [, 8] Průsečík s osou zjistíme vřešením rovnice 0 =, její kořen jsou =, = Průsečík s osou je [ 0, ] Protože je a =, posuneme graf funkce = o 8 jednotek ve směru záporné poloos a o jednotku ve směru kladné poloos 8 = -- - - - - 0 7 8 9 0 - - - -8-9 -
Základ matematik Příklad Nakreslete graf funkce = + Řešení: Zápis kvadratické funkce upravíme na tvar 9 9 9 9 = ( + ) = ( ) +, vrchol V [, ] Protože je a =, posuneme graf funkce = o, jednotek ve směru kladné poloos a o, jednotk ve směru kladné poloos Vřešením rovnice 0 = + zjistíme průsečík s osou, kořen jsou =, = 0 - - - 0 7 8 - - - =- + -8-0 Úloh k samostatnému řešení Nakreslete graf funkce a) = +, b) = +, c) = + + 9 Nakreslete graf funkce a) = +, b) = Nakreslete graf funkce a) = +, b) = + 8 9-0 -
Základ matematik 7 Lineární lomená funkce Výklad Dříve, než se začneme zabývat lineární lomenou funkcí v obecném tvaru, zmíníme se krátce o funkci, která je jejím speciálním případem nepřímou úměrností 7 Nepřímá úměrnost Výklad Nepřímá úměrnost je každá funkce na množině R { 0} {} kde k R 0 Podíváme se podrobně na graf nepřímé úměrnosti pro k = daná ve tvaru k =, 0, 0, -0, -0, = 0, 0, 0 0, 0, 0 = - - - 0 - - - - Grafem je rovnoosá hperbola o středu S [0, 0], os souřadnicového sstému jsou její asmptot (hperbola se k těmto přímkám přibližuje, ale neprotne je ani se jich nedotkne) Graf nepřímé úměrnosti je souměrný podle počátku souřadnicového sstému a funkce je ted lichá - -
Základ matematik Jak se mění průběh grafu funkce v závislosti na konstantě k, je zachcen na následujícím obrázku Zvolíme pro k postupně hodnot: -, -,, a odpovídající graf nakreslíme do jednoho souřadnicového sstému = - = - - - - 0 - = - = - - Je-li k > 0, pak funkce na intervalu (,0) klesá a klesá také na intervalu ( 0, ) Větve hperbol se nacházejí v I a III kvadrantu Je-li - k < 0, pak funkce na intervalu (,0) roste a roste také na intervalu ( 0, ) Větve hperbol se nacházejí v II a IV kvadrantu Nemůžeme však říci, že funkce je rostoucí nebo klesající na celém definičním oboru! je prostá Eistuje k ní funkce inverzní, která má stejný zápis f = : k, D ( f ) = (, 0) (0, ) = H ( f ) Příklad užití nepřímé úměrnosti v matematice a ve fzice: Délka je nepřímo úměrná šířce obdélníka při konstantním obsahu S S = Zákon Bolův-Marriottův pro izometrický děj s ideálním plnem c p =, kde c je konstanta, V tlak p ideálního plnu je nepřímo úměrný jeho objemu V při konstantní teplotě T - -
Základ matematik 7 Lineární lomená funkce Výklad Lineární lomená funkce je každá funkce na množině a + b =, kde a, b, d R; c R {} 0 a ad bc 0 c + d R d c, daná předpisem Grafem každé lineární lomené funkce je rovnoosá hperbola, kterou získáme z grafu funkce k = pomocí posunutí tak, že nejprve funkční předpis lineární lomené funkce f převedeme k na tvar f: = + 0, bod [ 0, 0] se posune do bodu [ 0, 0 ], 0 asmptot procházejí středem S[ 0, 0 ] rovnoběžně se souřadnicovými osami Řešená úloha Příklad 7 Nakreslete graf funkce { } Řešení: D(f) = R Zadanou funkci upravíme na požadovaný tvar vdělením čitatele jmenovatelem, dostaneme = + + Střed má souřadnice [, ] S, rovnice asmptot jsou =, = a k = + = + = + + 7 - - - - - 0 7 - =- - - = - - Úloh k samostatnému řešení 7 Nakreslete graf funkce: a) =, b) =, c) + + =, d) = - -
Základ matematik 8 Mocninné funkce Výklad Mocninné funkce jsou definován předpisem = n, n N a = n N n, Jiný zápis pro druhou variantu = n, n Z ( Z značí celá záporná čísla) n =, n N, n sudé n liché 7 = 9 = = = = = - - - 0 - - - 0 - - - Definiční obor: R R Obor hodnot: 0, ) R sudá lichá Klesající na (, 0 ----- Rostoucí na 0, ) R Minimum: [, 0 0 ] nemá Maimum: nemá nemá Uvedené graf vužijte k náčrtku grafů: a) =, b) = +, c) = ( ) V úloze a) se graf funkce = posune o jednotku ve směru záporné poloos, b) graf funkce = se posune o jednotk ve směru kladné poloos, c) graf funkce = se posune o jednotku ve směru kladné poloos - -
Základ matematik =, n N n, n sudé n liché = = = = = - - - 0 - - 0 - = - - - Definiční obor: {} 0 Obor hodnot: (, R R {} 0 0 ) R {} 0 sudá lichá Klesající na (, (, 0 0 ) ), ( 0, ) Rostoucí na (, 0) ---- Minimum: nemá nemá Maimum: nemá nemá Uvedené graf vužijte k náčrtku grafů těchto funkcí: a) =, b) = ( ), c) = ( + ) V úloze a) graf funkce = se posune o jednotku ve směru záporné poloos b) graf funkce = se posune o jednotk ve směru kladné poloos c) graf funkce = se posune o jednotku ve směru záporné poloos Poznámka Obecně se definují mocninné funkce předpisem r = pro r R {0} - -
Základ matematik 9 Eponenciální funkce Výklad Eponenciální funkce o základu a je funkce na množině R daná předpisem = a, kde a > 0, a Eponenciální funkce o základu a = e je velmi důležitou funkcí matematické analýz Grafem eponenciální funkce je tzv eponenciální křivka ( krátce eponenciála) Každý graf eponenciální funkce o libovolném základě prochází bodem pro všechna a 0 : a 0 =, osa je asmptotou Eponenciální křivk následující obrázk a [0, ], protože platí = a, = pro totéž a jsou souměrně sdružené podle os, viz a > 0 < a < = =( ) - - - 0 - - - 0 - D + ( f ) = R, H ( f ) = R Je zdola ohraničená, shora není ohraničená Nemá v žádném bodě ani maimum ani minimum Funkční hodnota v bodě 0 je rovna je rostoucí, ted prostá je klesající, ted prostá - -
Základ matematik Je-li základem eponenciální funkce Eulerovo číslo e =, 78888, mluvíme o přirozené eponenciální funkci, = e =e - - - 0 Řešené úloh Příklad 9 Nakreslete graf eponenciální funkce: a) = e, b) = e, c) = e, d) = e +, e) = e, f) = e Řešení: a) b) =e =e - - - - 0 - - - 0 c) d) - =e =e + - - - 0 - - - - 0 - - 7 -
Základ matematik e) f) =e - - - - 0 - - - - 0 - =e - - Na ilustračním obrázku máte pro srovnání průběh všech funkcí z úlohvšimněte si posunutí základních grafů funkcí = e, = e e e e + e - + e - - - - 0 e - - Úloh k samostatnému řešení 8 Nakreslete graf funkce: a) = 0, b) =, c) = - 8 -
Základ matematik 0 Logaritmická funkce Výklad Logaritmická funkce o základu a je funkce inverzní k eponenciální funkci = a, kde a je libovolné kladné číslo různé od jedné, R + { } a a R resp D ( f ) = R Logaritmus čísla při základu a je takové číslo, pro které platí a =, ted = = log a a Nejčastěji používáme funkce: o základu o základu a =0, pak se logaritmus nazývá dekadický a značí se a = e, pak se logaritmus nazývá přirozený a značí se = log, = ln Pravidla pro počítání s logaritm: a ( ) log log log = +, log a a = log log, a a a n log = n log a a, log a a =, log 0 =, ln e =, log = 0, a 0 log =, ln = 0 Řešené úloh Příklad 0 Nakreslete graf funkce: a) = log, b) = log, c) = ln, d) = log /, e) = log 0, Řešení: Graf sestrojíme souměrně podle os I a III kvadrantu ke grafu funkce = a - 9 -
Základ matematik a) b) = = =log =0 = =log - - 0 - c) - - - 0 - - c) d) =ln - - 0 - - - 0 - - - - - - - =log / e) - - 0 - - - - =log /0-0 -
Základ matematik Výklad Srovnáme průběh funkcí = log, pro různá R + + a { }, R a a > 0 < a < =ln - - 0 - - - 0 - - - - - - - =log / je rostoucí, ted prostá ( 0, ), H( f R D ( f ) = ) = Je zdola i shora neohraničená Nemá v žádném bodě ani maimum ani minimum Funkční hodnota v bodě je rovna 0 je klesající, ted prostá Řešené úloh Příklad 0 Nakreslete graf funkce: a) = ln( + ), b) = log, c) = log, d) = log 0, Řešení: a) Argument logaritmické funkce musí být kladný, proto > a D( f ) = (, ) Posuneme graf funkce = ln o jednotku ve směru záporné poloos =ln(+) - 0 - - - - -
Základ matematik V ostatních příkladech budeme postupovat obdobně: b) dvojnásobný argument zrchlí průběh funkce 0, log -0,0 0 0, 0 0, 0 log 0 0, 0 0, 0 0, 90 =log =log 0 - - c) funkční hodnota se ztrojnásobí 0 - =log / - d) graf funkce = log 0, se posune o jednotk ve směru záporné poloos 0 - - =log 0 - - - - -
Základ matematik Goniometrické funkce Výklad Goniometrické funkce ostrého úhlu jste poznali již na základní škole, zavedli jste je jako poměr stran v pravoúhlém trojúhelníku Následující definice jsou speciálními případ obecné definice těchto funkcí Mějme ted pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a,b a přeponou c Pak definujeme: Sinus α je poměr délk odvěsn protilehlé k úhlu α a délk přepon pravoúhlého trojúhelníku a sin α = c Kosinus α je poměr délk odvěsn přilehlé k úhlu α a délk přepon pravoúhlého trojúhelníku b cos α = c Tangens α je poměr délek odvěsn protilehlé k úhlu α a odvěsn přilehlé k úhlu α pravoúhlého trojúhelníku a tgα = b Kotangens α je poměr délek odvěsn přilehlé k úhlu α a odvěsn protilehlé k úhlu α pravoúhlého trojúhelníku b cotgα = a B a c C b α A - -
Základ matematik Velikost úhlu oblouková a stupňová míra Středoškolská definice goniometrických funkcí se opírá především o pojem velikost úhlu, kterou udáváme buď v míře obloukové, nebo v míře stupňové Mějme libovolný orientovaný úhel AVB, který umístíme do kartézské soustav souřadnic tak, že vrchol V umístíme do jejího počátku O, počáteční rameno AV do os Sestrojme jednotkovou kružnici k se středem V, tj kružnici o poloměru Délka této kružnice je Obloukovou míru úhlu AVB definujeme jako délku oblouku jednotkové kružnice mezi průsečík ramen VA, VB a jednotkové kružnice Pokud délka tohoto oblouku má velikost, je velikost úhlu AVB rovna rad (radián) Na střední škole se většinou dávala přednost vjádření velikosti úhlu ve stupňové míře Jednotka stupňové mír zvaná úhlový stupeň je úhel rovnající se 90 pravého úhlu Kromě jednotk stupeň, značíme, používáme i menší jednotk: minuta (značíme ') pro šedesátinu stupně a vteřina ( značíme kružnici odpovídá úhel 0, přísluší oblouku délk radiánu přísluší úhel 0 0 = 7 0 7 Převodní vztah mezi stupni a radián dostaneme z přímé úměrnosti rad 0stupňů rad α stupňů α =, 80 80 α = '' ) pro jednu šedesátinu minut Protože celé úhel velikosti 0, takže jednomu sinus, kosinus, tangens a kotangens Goniometrické funkce reálné proměnné definujeme pomocí jednotkové kružnice V kartézské soustavě souřadnic sestrojíme kružnici se středem v počátku a o poloměru jedna Každému reálnému číslu můžeme přiřadit orientovaný úhel velikosti ( v obloukové míře), jehož počáteční rameno je kladná poloosa a vrchol je v počátku soustav souřadnic Průsečík koncového ramene s kružnicí označme M [, M M ] Nepřehlédněme podstatný fakt, že definičním oborem každé z goniometrických funkcí je podmnožina reálných čísel; ani jednou nebude řeč o stupních!! - -
Základ matematik sinus, kosinus, tangens a kotangens definujeme takto: α M M[ M, M ] sin = M, M cos M =, sin tg =, cos 0 cos cos cotg =, sin 0 sin = sin = cos - - 0 - - - 0 - v každém bodě Definiční obor R R Obor hodnot,, lichá sudá Základní perioda Rostoucí v každém intervalu + k, + k v každém intervalu + k, + k Klesající v každém intervalu + k, + k v každém intervalu 0 + k, + k shora i zdola ohraničená shora i zdola ohraničená Maimum v každém bodě v každém bodě k + = k Minimum v každém bodě k + = + k Písmeno k v tabulce označuje libovolné celé číslo - -
Základ matematik - - - - - 0 - =sin - - - - - - 0 - =cos - = tg = cotg - - - 0 - - - 0 - - - - - - - Definiční obor množina všech R { ( k + ) } pro k Z množina všech R { k } pro k Z Obor hodnot R R lichá lichá Základní perioda Rostoucí v každém intervalu + k, + k Klesající v každém intervalu ( 0 + k, + k ) shora i zdola neohraničená shora i zdola neohraničená Maimum neeistuje neeistuje Minimum neeistuje neeistuje - -
Základ matematik =tg - - - - - 0 - - - - - =cotg - - - - - 0 - - - - - Znaménko funkce I kvadrant II kvadrant III kvadrant IV kvadrant sin + + - - cos + - - + tg + - + - cotg + - + - Monotónnost I kvadrant II kvadrant III kvadrant IV kvadrant sin roste klesá klesá roste cos klesá klesá roste roste tg roste roste roste roste cotg klesá klesá klesá klesá - 7 -
Základ matematik Goniometrické funkce jsou periodické Platí: Pro každé k Z a pro každé R je cos( + k ) = cos sin( + k ) = sin Pro každé Pro každé k Z a pro každé R ( k + ) je tg( + k ) = tg k Z a pro každé R { k} je cotg( + k ) = cotg sinus je lichá, platí ted pro R sin( ) = sin kosinus je sudá, platí ted pro R cos( ) = cos tangens je lichá, platí ted pro R tg( ) = tg kotangens je lichá, platí ted pro R cotg( ) = cotg rad 0 sin 0 cos tg 0 cotg nedef 0-0 0-0 nedef 0 nedef 0 0 nedef 0 nedef nedef v tabulce značí, že hodnota není definována, bod nepatří definičnímu oboru Pro kteroukoliv goniometrickou funkci f platí rovnost: f ( ) = f ( ) = f ( + ) = f ( ) - 8 -
Základ matematik Řešené úloh Příklad Určete hodnot goniometrických funkcí f ( ) pro Řešení: = =, tj II kvadrant Vjádříme si ted = ve tvaru 0, kde 0 = 0, Znaménka hodnot goniometrických funkcí určíme podle tabulk sin = sin = sin = Znaménko funkce II kvadrant sin + cos - tg - cotg - cos = cos = cos = tg = tg = tg = cotg = cotg = cotg = Příklad Nakreslete graf funkce = cos + Řešení: Graf funkce = cos, jehož průběh známe, posuneme o ve směru záporné poloos - - - 0 7 - =cos() =cos( + ) - 9 -
Základ matematik Příklad Nakreslete graf funkce = sin Řešení: Budeme postupovat od jednoduššího grafu Tím je graf funkce = sin Nní sestrojíme graf funkce = sin 0 0 0 0 Průběh grafu se dvakrát zrchlí, perioda se zkrátí na polovinu =sin - - 0 7 8 - =sin Příklad Nakreslete graf funkce = sin Řešení: Graf funkce = sin se posune o jednotku ve směru záporné poloos =sin - - - - - - 0 - =sin- - - 70 -
Základ matematik Příklad Nakreslete graf funkce = cos Řešení: Graf funkce = cos je výchozím grafem pro sestrojení grafu funkce = cos Funkční hodnot se zvětší dvakrát 0 0 0 - =cos 0 - - - - - - 0-0 - - =cos Při sestrojování grafů goniometrických funkcí vžd vcházíme ze základního grafu Jestliže se jedná o násobek funkce, tj = kf (), funkční hodnot se násobí Je-li k > graf se zvětšuje, je-li k (0, ) graf se smršťuje vzhledem k ose Příklad Nakreslete graf funkce = cos + + Řešení: Opět začínáme od grafu funkce = cos, ten posuneme o ve směru záporné poloos a sestrojíme tak graf funkce = cos +, ten pak posuneme o jednotku ve směru kladné poloos =cos( +)+ =cos - - - - - - 0 - =cos( +) - 7 -
Základ matematik Příklad 7 Nakreslete graf funkce = sin Řešení: Budeme postupovat od grafu funkce = sin, který posuneme o ve směru kladné poloos, máme graf funkce = sin vnásobíme a nní funkční hodnot =sin() - - - 0 7 8 9 0 - - =sin(- ) =sin(- ) - Příklad 8 Nakreslete graf funkce = tg( + ) Řešení: Nejdříve určíme definiční obor funkce: cos( + ) 0, odtud + k Graf funkce = tg posuneme o ve směru záporné poloos, přímk = + k jsou asmptot grafu funkce =tg =tg(+ ) - - - - 0 - - - - 7 -
Základ matematik Úloh k samostatnému řešení 9 Postupně zakreslete do téže soustav souřadnic graf těchto funkcí a) = sin, = sin, = 0,7sin, = 0,7sin +, b) = cos, = cos 0,, = cos 0, +, = cos 0,+ 0 Nakreslete graf funkce = 0, tg( + ) Goniometrické vzorce Výklad ( ) Pro každé D f platí: sin + cos =, tg cotg = Součtové vzorce: ( + ) = sin cos cos sin sin( ) = sin cos cos sin sin + cos tg ( + ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos + sin sin tg + tg tg tg ( + ) = tg( ) tg tg = + tg tg cotg cotg cotg + = cotg + cotg ( ) cotg cotg cotg + = cotg cotg ( ) Vzorce pro dvojnásobný argument: tg sin = sin cos tg = tg cos = cos sin Vzorce pro poloviční argument: cotg = cotg cotg cos + cos sin = cos = cos cos sin = cos = + Goniometrické vzorce používáme k úpravám výrazů, k důkazům platnosti rovnic a k řešení goniometrických rovnic (viz kap 7) - 7 -
Základ matematik Příklad 9 Určete pro která R mají dané výraz smsl a pak výraz zjednodušte: a) (sin + cos ) sin, b) tg cos, cos c) sin + cotg sin Řešení: a) Při úpravě použijeme dva vzorce: sin + cos =, sin = sin cos sin + sin cos + cos sin =, R sin b) Při úpravě použijeme vztah: tg =, sin = cos cos sin cos cos sin sin cos cos = = = cotg, k, k Z sin sin cos c) Při úpravě použijeme vztah: cotg =, cos = sin sin cos cos + sin = cos, k, k Z sin Příklad 0 Dokažte: a) cos( + ) + cos( + ) = 0, b) sin( + ) sin( ) = cos Řešení: a) K důkazu potřebujeme součtové vzorce, L = cos cos sin sin + cos cos sin sin = = cos sin + cos + sin = 0 = P b) L = sin cos + cos sin sin cos + cos sin = = 0 + cos 0 + cos = cos = P - 7 -
Základ matematik Úloh k samostatnému řešení Dokažte: a) cos + cos( + ) + cos( + ) = 0, b) sin( + ) + sin( ) = sin, c) cos = cos, d) + sin = (sin + cos ) Výsledk úloh k samostatnému řešení a) ani sudá, ani lichá; b) lichá; c) lichá; d) sudá; e) lichá; f) sudá; g) ani sudá, ani lichá k a) (, ), b) (, ), c) (, (,, d), k Z, e) ; f) (, 0) (, ) Klíč k řešení úloh a) D( f ) = R {}, číslo patří D( f ), není splněna podmínka, proto funkce není ANI SUDÁ, ANI LICHÁ b) D( f ) = R {0}, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) + ) = = = = f ( ) LICHÁ ( ) ( c) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) = ( cos( ) ( ) sin( ) ) = ( cos + ( sin ) ) = ( ) = f ( ) = sin cos LICHÁ - 7 -
Základ matematik d) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) = = ln = f ( ) ln SUDÁ e) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) e = e e + e ( ) ( ) e = e e + e = e ( e e ) = f ( ) + e LICHÁ f) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), ( ) ( ) sin( ) ) = ( + sin ) = ( sin ) f ( ) f ( ) = = SUDÁ g) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) = ( ) + ( ) = ANI SUDÁ ANI LICHÁ a) > 0 + +, (,) 0 - + - - b) ln > 0 > 0, ln > 0 > (, ) 9 c) 0 + + 0, (, (, + - + - - - cos k d) cotg =, sin 0 k, k Z sin e) 0, D ( f ) = R {} f) > 0 ( ) > 0 D( f ) = (, 0) (, ) + - + 0-7 -
Základ matematik a) Jedná se o různoběžk procházející bodem na ose = + =+ 0 =-+ =-+ =- =+ + - - - - 0-0 b) Jedná se o rovnoběžk, které vtínají na ose úsek b =- =+ =+ =- - - - - - 0 =+ =- - a) = ( ), V[, ], b) = ( ) +, V[, ] průsečík s osami jsou [ 0, ], [, 0], [, 0] průsečík s osou [0, ] = -+ 8 = -+ - - - 0 - - - - - - 0 7 - - 77 -
Základ matematik ( ) c) = +, V [, 0], průsečík s osou [0, 9] = ++9 - - - - - - 0 - a) = ( + ), V [, ], b) = ( ) 7, V[, 7], průsečík [ 0, 0], [, 0] průsečík s osou [ 0, ] = + 7-0 - - -7 - - - - - - 0 - - - - - -7 = -- a) 9 9 = + +, V [, ], b) = ( ), V[, ], průsečík [ 0, ],[, 0], [, 0] průsečík s osou [ 0, 9] =- -+ - 0 - =- +8-9 - - - 0 - - - - - - - - - - 78 -
Základ matematik 7 a) = = - + = = = + = + = + - - - - 0 - - - = [, ], S k =, průsečík [ 0, 0] b) = + = + + = = = = + + + + + = + + - - - - 0 - =- - [ ] S,, k =, průsečík [ 0, 0] - c) = = + + = = + = + = + - - - - 0 - - [ 0, ], S k =, průsečík s osou [, 0] - - 79 -
Základ matematik d) = - S[,0 ], k =, průsečík s osou [ 0, ] - - - - 0 7 - - - - = 8 a) b) c) =0 = =( ) - - 0 - - 0 - - 0 - - - 9 a) =0,7sin(- )+ =sin - 0 7 8 9 0 - - =sin(- ) =0,7sin(- ) - 80 -
Základ matematik b) =cos0, =cos - - 0 7 8 9 0 - - =cos(0,+ ) =cos(0,+ ) - 0 Určíme definiční obor: cos( + ) 0 odtud + k Pak = + k jsou rovnice asmptot grafu ( k Z) Budeme postupovat opět od nejjednoduššího grafu, jako v předchozích příkladech s funkcemi sinus a kosinus = tg = tg( + ) Graf = tg posuneme o ve směru záporné poloos = 0, tg( + ) Funkční hodnot vnásobíme 0, =tg(+ ) - - =tg - 0 - - =-0,tg(+ ) - 8 -
Základ matematik a) L = cos + cos cos sin sin + cos cos sin sin = = cos + cos sin + cos sin = 0 = P, b) L = sin cos + cos sin + sin cos cos sin = = sin + 0 sin 0 = sin = P, + cos c) L = = cos = P, d) P = sin + sin cos + cos = + sin = L Kontrolní otázk Jak je definována funkce? Jak poznáte, že je funkce sudá nebo lichá, znáte-li její funkční předpis? Jak poznáte, že je funkce sudá nebo lichá, znáte-li její graf? Kd je funkce rostoucí nebo klesající na definičním oboru funkce? Jakou funkci nazýváme prostou? Jak poznáte periodickou funkci, znáte-li její funkční předpis? 7 Na co všechno musíte brát ohled, určujete-li definiční obor funkce? 8 Jak poznáte lineární funkci? Jaký je její definiční obor, obor hodnot, vlastnosti a graf? 9 Jak poznáte kvadratickou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot,vlastnosti a graf? 0 Jak poznáte lineární lomenou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti? Načrtněte graf Jak poznáte mocninnou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti? Načrtněte graf Jak poznáte eponenciální funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti? Načrtněte graf Jak poznáte logaritmickou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti? Načrtněte graf Jaké goniometrické funkce znáte? Jaký je jejich definiční obor, obor hodnot a jaké mají vlastnosti? Načrtněte jejich graf Odpovědi najdete v tetu - 8 -
Základ matematik Kontrolní test Najděte definiční obor funkce ln ( ) a) ) 0,, b) (, ) = + :, c), ), d) (, ) Najděte definiční obor funkce = : a) (, ), b),, c),, d) (, ) Najděte definiční obor funkce + = : a) (, ), b) (,) (, ), c) (, ) (, ) Najděte definiční obor funkce = tg :, d), a) + k, b) R, c) + k, d) (,) Najděte definiční obor funkce = + : a) (,) (, ), b) (, ), c) R, d), Najděte definiční obor funkce = cotg : a) k, b) + k, c) R, d) 8 + k 7 Poznejte, která funkce je sudá a) = + 7, b) cos =, c) =, d) = sin 8 Poznejte, která funkce je lichá: a) = cos, b) = + 7, c) = sin, d) = Výsledk testu b), c), b), a), c), b), 7 b), 8 c) i d) - 8 -