PŘENESENÉ CHYBY FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ PŘENESENÉ CHYBY FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ Obsa Úvo - teorie... Derivace některýc jenoucýc funkcí... Příka - určení přenášené cb při určení objemu váce... Příka - určení přenášené cb při měření mouu pružnosti rátu ve smku... 3 Příka 3 - určení přenášené cb při měření toušťk kovové vrstv nanesené na ske... Příka - určení přenášené cb při měření mouu pružnosti z příčnýc kmitů tče... 5 Úvo - teorie Často potřebujeme určit veičinu z fzikánío zákona, tj. matematickéo vztau, který určuje její souvisost s někoika jinými fzikáními veičinami, které jsme získai přímým měřením. Napříka, při měření mouu pružnosti ve smku musíme nejříve přímo změřit éku a pooměr měřenéo rátu, motnost, pooměr zavěšenéo vácovéo těesa a periou torzníc kmitů. Heanou veičinu přímo neměříme, ae vpočítáme ji poe přísušnéo vzorce (fzikánío zákona). V přímo měřenýc veičinác se však vž vsktují cb měření, proto se musí i veičina vpočtená poe rovnice vznačovat určitou cbou měření. Takové cbě říkáme přenesená cba. Ukážeme jakým způsobem ze provést výpočet takové cb. Přepokáejme, že fzikání veičina X, kterou je nutno určit, je funkcí fzikáníc veičin a, b, c,... obsaženýc v aném vzorci, te X f ( a,b,c,... ). () Pravěpoobné cb veičin a, b, c,... označíme,,... Heaná pravěpoobná a, b c cba veičin X bue označena X. Její výpočet je třeba provést pomocí rovnice f f f X ( a) + ( b) + ( c) +..., () a b c ke vstupují parciání erivace funkce f (a,b,c,...) postupně poe proměnnýc a, b, c,... Parciání erivací rozumějte takovou erivaci funkce f, při které považujeme všecn ostatní proměnné, kromě té poe níž se erivuje, za konstantní. Ceá sožitost výpočtu pravěpoobné cb nepříméo měření X te spočívá ve správném stanovení přísušnýc erivací. Apikaci vztau () si procvičíme na někoika příkaec. Derivace některýc jenoucýc funkcí Nevíte ještě co je to erivace? Nevaí, snažte se erivace provést poe náseujícíc vzorců, ve kterýc c je konstanta a e je Euerovo číso. Výraz čteme erivace funkce f poe. Pave Scauer 006 - (5) - cba kakuátorem

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Funkce Derivace c 0 n c c c ( ) c (c > 0) c nc f e e n( ) sin cos cos sin tg cotg cos sin Příka - určení přenášené cb při určení objemu váce Máme určit objem V váce z naměřenéo průměru váce a jeo výšk, který je án vztaem V π. (3) Označíme-i pravěpoobné cb průměru váce, výšk váce, můžeme na zákaě vztau () stanovit pravěpoobnou cbu objemu váce V V V ( ) + ( V a po proveení parciáníc erivací ) () V ( π ) + ( π ). (5) Posení vzta ze výoně upravit rozšířením prvnío čenu po omocninou zomkem a ruéo čenu zomkem, takže bue Pave Scauer 006 - (5) - cba kakuátorem

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ ke vstupují objem V ( ) + ( π π ), (6), te V π a reativní cb průměru a výšk váečku V ( V ) + ( V ) V ( ) + ( ). (7) Ještě jenoušší pak bue výpočet reativní cb objemu váce + V ( ) ( ). (8) Jak je viět z rovnice (8), projeví se nepřesnost v měření průměru váce více, než nepřesnost v měření jeo výšk. Tento názor ze zevšeobecnit a říci, že veičin, jež se v určujícím vzorci vsktují s vššími mocninami než, je třeba měřit přesněji než ostatní, a to tím přesněji, čím ve všší mocnině se vsktují. Naopak snažit se zvýšit cekovou přesnost zpřesněním ostatníc veičin nemůže vést k cíi. Příka - určení přenášené cb při měření mouu pružnosti rátu ve smku Daším praktickým příkaem bue měření mouu pružnosti oceovéo rátu ve smku (torzi). K měření použijeme namickou metou torzníc kmitů, k na měřený rát zavěsíme vácové těeso, jeož osa spývá s osou rátu a necáme o torzně, (kroutivým pobem), kmitat na konci rátu. Pak bue eaný mou pružnosti ve smku měřenéo rátu určen vztaem π m R, (9) T r ke je éka rátu, r je pooměr jeo průřezu, m je motnost zavěšenéo těesa a R pooměr vácovéo zavěšenéo těesa. T je perioa torzníc kmitů. Pomocí obecné rovnice (), po proveení parciáníc erivací π mr T r π R, m T r m π mr, R T r R T - π mr 3 T r, - T, π m R - -, 5 r T r r ostaneme rovnici pro výpočet pravěpoobné cb měření mouu pružnosti rátu ve smku (0) Pave Scauer 006-3 (5) - cba kakuátorem

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ ( ) + m R T m R T r + ( ) + ( ) + ( ) ( ). () Přecoem na reativní cbu měření mouu pružnosti ve smku ostaneme + + m + ( R ) + (T ) (r ). () Přepokáejme, že měření jenotivýc veičin přinesa tto výsek: (73, ± 0,) cm m (,03 ± 0,00) kg R (,57 ± 0,0) cm T (5,833 ± 0,005) s r (0,505 ± 0,00) mm Dosazením o vztau () získáme pravěpoobnou cbu mouu pružnosti 7,93.0 7,93.0 0 0 0, ( 73, Výseek zapíšeme ve tvaru 0,00 ) + ( ) + (,03 0,0,57 0,00000 + 0,000003 + 0,00000 + 0,000003 + 0,0005 0,30.0 r 0,005 0,00 ) + ( ) + ( ) 5,833 0,505 (7,9 ± 0,).0 0 N.m -. (3) Reativní cbu napíšeme v procentec, 0 N.m 0, + 0,7 + 0,6 + 0,7 +,58,68 %. () Proveený výpočet cb ukáza, že mou pružnosti ve smku vje s pravěpoobnou reativní cbou,68 %, změříme-i zákaní veičin s uveenou přesností. Největší poí na této cbě má měření pooměru rátu, jeož reativní cba je praktick soná (,6 %), zatímco ostatní veičin přispě k výsené cbě mouu pružnosti jen nepatrně. Znovu pozorujeme, že veičin, které se ve vzorci vsktují ve všší mocnině, musíme měřit přesněji. Příka 3 - určení přenášené cb při měření toušťk kovové vrstv nanesené na ske Dáe si všimneme příkau, k eaná veičina je určena rozíem přímo měřenýc veičin. Mějme určit toušťku kovové vrstv nanesené na ske. Přímo jsou měřitené toušťka ska a toušťka ska s nanesenou vrstvou '. Tto toušťk jsme změřii mikrometrem s výsek,683 mm a ',7 mm, v obou přípaec s pravěpoobnou cbou měření 0,00 mm. Toušťku nanesené vrstv bueme eat jako (B.) t - (5) a pravěpoobnou cbu této toušťk určíme z obecnéo vztau () naezením parciáníc t t erivací a, takže -. Pave Scauer 006 - (5) - cba kakuátorem

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ t +, (6) ke ', a jsou pravěpoobné cb toušťek a. Numerick, s vužitím rovnic (5) a (6), ostaneme t (0,08 ± 0,003) mm. Výseek b určen s reativní cbou t %, te vemi nepřesně, přestože výcozí toušťk b změřen s vemi obrou přesností ' 0, %. Nevoně zvoená metoa měření snížia přesnost výseku stokrát. Příka - určení přenášené cb při měření mouu pružnosti z příčnýc kmitů tče Cbu nepřímýc měření se snažíme určit vž tím nejjenoušším způsobem. Např. u veičin, které jsou určen vztaem s převařujícím součinem a poíem veičin obsaženýc ve vzorci, áváme přenost výpočtu reativní cb a z ní teprve zjišťujeme pravěpoobnou absoutní cbu nepřímo měřené veičin. V přípaě, že se ve vzorci objevují také součt nebo rozí přímo měřenýc veičin, zaveeme substituce tak, ab tto aitivní čen b narazen novou proměnnou. Ve vzorci pro mou pružnosti z příčnýc kmitů tče 3 π m E 3 J ( T - T ) voíme substituci ( T - T ) a áe pracujeme se vztaem (7) m E π 3 J 3, (8) při jeož vužití ostaneme reativní cbu mouu pružnosti z příčnýc kmitů tče E m + ( 3 ) + +. (9) Reativní cbu substituce zjišťujeme přes výpočet absoutní cb J ( T T ) + ( T T) T T. (0) Pave Scauer 006-5 (5) - cba kakuátorem