říklad) Na obrázku níže je parabola, která je grafem jisté kadratické funkce f. Zjisti o této funkci VŠECHNO. Řešení: krok. Z obrázku yčteme několik bodů (uspořádaných dojic), které náleží funkci f. krok. omocí zjištěných bodů sestaíme předpis funkce f. krok. Určíme definiční obor funkce f. krok. Určíme souřadnice rcholu paraboly. Dále určíme interaly, na kterých je funkce f rostoucí resp. klesající. krok 5. Určíme maimum a minimum funkce, zapíšeme obor hodnot funkce f. krok 6. Určíme průsečíky grafu funkce f se souřadnicoými osami (, y ). krok 7.* Vypočítáme délku příslušné paraboly. Jak je idět, je toho poměrně dost, co můžeme o funkci f zjistit. Tak jdeme na to! krok. arabola na obrázku prochází body [ ; ], [ ; ], [; ], [; ]. To je dostatečná zásoba bodů pro další krok určení předpisu funkce. krok. V tomto kroku určíme předpis funkce f. Bez znalosti předpisu funkce jsme e šech dalších krocích (kromě pátého) namydlení. Obecný předpis kadratické funkce je y = a + b + c, kde číslo a je nenuloé. To je třeba znát. My teď pomocí ybraných bodů určíme konkrétní čísla a, b, c a to tak, že budeme souřadnice ybraných bodů postupně dosazoat do obecného předpisu funkce. rochází-li totiž graf funkce nějakým bodem, pak souřadnice tohoto bodu musejí yhooat ronici funkce. A máme štěstí! Graf funkce prochází bodem [; ] = y.
Dosadíme do předpisu funkce bod [; ]: a b c c = amatuj: Znáš-li průsečík grafu kadratické funkce s osou y, pak znáš automaticky i číslo c předpisu funkce y = a + b + c a platí: y = [; c]. ředpis funkce získal tuto podobu: y = a + b +. Zbýá určit čísla a, b. ozn. Číslo a je určitě záporné, neboť parabola je konkání, tj. připomíná kopeček ( našem případě spíš pořádný krpál). O čísle b íme zatím úpé prd. Dosadíme do předpisu funkce např. bod [ ; ]: a b a b a b Získali jsme jednu lineární ronici o dou neznámých a, b. To nestačí. Dosadíme do předpisu funkce bod [ ; ]: a b a b a b Získali jsme druhou lineární ronici o neznámých a, b. To stačí a můžeme to rozjet. a b a b a b / ( ) a b Ronice sečteme. a a = b = Číslo b jsme dopočítali např. z ronice a b. Tím je druhý krok hoto. ředpis funkce f na obrázku je: y = +. Bohužel tento předpis je prozatím neúpý, neboť neobsahuje definiční obor funkce f. To napraíme dalším kroku. krok. V tomto kroku určíme definiční obor funkce f, což je množina šech R, pro která je funkce f definoána. Z obrázku prao je zřejmé, že definičním oborem funkce f je polouzařený interal ;. Zbýá dopočítat krajní hodnoty a. ý černý knedlík na obrázku prao má souřadnice [ ; ]. Souřadnici získáme snadno z předpisu funkce f.
Dostali jsme kadratickou ronici o neznámé. Upraíme, yřešíme, dáme kafe. 6 a =, b =, c = 6 D 9 6 9 D, Nás ošem zajímá jen ten záporný ýsledek, tj.. Fajn. rázdný černý knedlík na obrázku nahoře má souřadnice [ ; 5]. Souřadnici získáme opět z předpisu funkce f. ozn. řísně zato bod [ ; 5] nenáleží funkci f. Nicméně počítat s ním přesto můžeme. 5 7 a =, b =, c = 7 D 9 7 9 56 D 65 65 65, Nás ošem zajímá jen ten kladný ýsledek, tj. 65. Definiční obor funkce f D f ; 65. Je to sice humus, ale to se stáá. Spráný a úpý předpis kadratické funkce f na obrázku tudíž ypadá takto: f : y ; ; 65 krok. Vrchol paraboly označíme V = [ ; y ]. rní souřadnici lze ypočítat ze zorce: Eistuje zorec i pro souřadnici y, ale ten se dá obejít. Čísla a, b zůstáají stejná. b a 9 9 9 9 y f 6 Vrchol paraboly V = 5 ;. 5 b. a
Funkce roste na interalu Funkce klesá na interalu ;, tj. na interalu ;. ;, tj. na interalu ; 65. krok 5. Vše potřebné k určení maima, minima popř. oboru hodnot funkce f už máme. Takže tohle bude rychloka. Minimum funkce f neeistuje. raý knedlík, který je na obrázku níž než ten leý, je totiž prázdný. Maimum funkce f je y =,5. Obor hodnot funkce f je tedy polouzařený interal 5;, 5. krok 6. růsečík s osou y už máme, je to bod y = [; ]. růsečíky s osou zjistíme tak, že do předpisu funkce dosadíme za y nulu. Jeden z nich už lastně taky máme, je to bod = [ ; ]. Tak ještě dopočítáme ten druhý. Vypadá to na jednu poloinu, ale kdo í? D 9 D 5 5 5 To je ten, který už známe. 5,5 Druhý průsečík grafu funkce f s osou má souřadnice = [,5; ]. oslední krok jsem do tohoto krátkého pojednání zařadil z jednoho prostého důodu. Neustále mi totiž někdo yčítá, jak je ta matematika strašně těžká. A že dáám do písemek samé těžké příklady a šelijaké habaďury a raždy a já neím co ještě. A já pořád kontruji trzením, že to není prada a že mám hlaě nastaený spolehliý filtr, přes který žádný těžší příklad do písemky či kamkoli jinam neprojde. Tak teď pro jednou ten filtr ypínám. krok 7. (yšší úroeň) Vypočítat délku části paraboly je celkem oříšek. Úkol abych tak řekl na půl cesty mezi ýpočtem délky kružnice (brnkačka) a ýpočtem délky elipsy (masakr). Vyjdeme ze známého zorce řešícího délku křiky obecně: d f d
Ve zorci jak idno figuruje deriace funkce (umocněná na druhou), což by až tak neadilo. Co ošem adí a hodně je ta odmocnina. Integroat odmocninu, pokud není e jmenoateli zlomku, je ětšinou suffering. Tak se do toho dáme. Nejdří určíme deriaci funkce f : y. To je snadné a měl by to zládnout i ten nejzabedněnější odpůrce matematiky z té nejproařenější VOŠ-ky pod sluncem. 6 9 f Umocníme na druhou. f řidáme jedničku a šoupneme to pod odmocninu. 6 f Nyní proedeme pár kosmetických úpra. 6 6 6 9 6 6 6 Vše nachystáno, můžeme začít integroat. řipomínám, že našem případě je: 65 d = 6 t dt d d Zaedeme prní substituci a zrušíme na chíli meze, abychom je nemuseli pořád přepočítáat jak paka. d = 6t t dt dt 6t dt 6 6 řiznáám, že už tuto chíli jsem byl koncích. Zkoušel jsem na ten integrál šelijaké fígle, leč bez ýsledku. Vhodnou substituci poradil až ysoce sofistikoaný program WOFRAM AHA.
tgu Zaedeme substituci: t dt du cos u tg u du du 6t dt 6 du tg u 6 cos u cos u cos u cos u cos sin cos u u u du cos u cos du u cos u du cos u u du Takže jsme se dostali až ke goniometrické funkci sekans. Úžasné. Integroat funkci sekans (neboli kosinus ) je poměrně snadné, problém je šak ta třetí mocnina. Naštěstí eistují tz. redukční formule, které redukují mocninu goniometrické funkce integrandu na nižší a tím pádem i snáze integroateější. Redukční formule pro funkci sekans ypadá takto: n a d a n n n n n a tga a d Upřímně smekám klobouk před borci, kteří dokážou něco takoého ododit. Každopádně našem případě platí: = u, a =, n =. u du u tgu u du To není ůbec špatný! Ale ten sekans budeme raději integroat zlášť. du Integrand rozšíříme ýrazem cos u, proedeme pár úpra a pak zaedeme další substituci. Snad nám nedojdou písmenka. u du du du cos u du d du d du oužijeme rozklad na parciáí zlomky (iz HIGHER EVE) d d A B = d d Koeficienty A, B určíme zakrýačkou. A = B =,5. d rní integrál: Druhý integrál: d A je tu poslední substituce. w dw d w dw d
d d d d = dw dw = w w w w A teď zpět k proměnné u. latí tedy: u du u tgu Nesmíme zapomenout še ydělit čtyřmi a pak přejdeme k proměnné t. tgu t t tgu u du u arctg t u tgu 6 u tgu 6 arctgt t 6 sin arctg t sin arctg t Na záěr zpět k proměnné a k mezím integrace. t d arctg 6 sin sin arctg arctg 65 Hustoles. Ani do toho nebudeme dosazoat horní a doí meze a následně je odečítat. Na tohle už zneužijeme Microsoft Ecel. Abych pradu řekl, byl jsem docela zěda, co z toho yleze. odle obrázku jsem to tipoal na číslo mezi 5 a 7. arctg. sčítanec čitatel jmenoatel. sčítanec součet d,656,79,,76,9995,765,,55 -,67 -,9 7,65-7,7,65,99 -,9-7, 6,69 Tip mi yšel! arabola na obrázku měří přibližně 6 (nějakých délkoých jednotek).