.. Goniometrické rovnice Předpoklady: 6, 7 Názvosloví: Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. g x = a, kde Základní goniometrická rovnice: každá rovnice zapsaná ve tvaru ( ) g ( x ) je jedna z goniometrických funkcí (sin, cos, tg, cotg), a R, x R. Základní řešení základní goniometrické rovnice: množina všech kořenů z intervalu 0; ). Důvod: Opakování úhlů po (trochu prázdný pojem, protože většina rovnic není základních a jejich kořeny se pak nemusejí opakovat po ). Př. : Vyřeš rovnici cos x =. Hledáme všechna x R, pro něž platí cos x = to už umíme (pomocí jednotkové kružnice nebo grafu odpovídající funkce). Z obrázku je vidět, že řešením jsou třetinové - x S x R úhly a. Základní řešení : ;. K = + k ; + k - Př. : Vyřeš rovnici sin x = 0. Stejné jako předchozí příklad.
- x S R Základní řešení : 0;. { 0 ; } K = + k + k Úspornější zápis: K = { 0 + k } - Př. : Vyřeš rovnici sin x =. - x S R Základní řešení : ;. K = + k ; + k - Př. : Vyřeš rovnici sin x = 0,6. -0,6 není tabulková hodnota úhel x můžeme určit pouze přibližně nebo jako hodnotu funkce arcsin. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arcsin ( 0, 6) 6 arcsin ( 0, 6) je tedy záporné číslo, které nepatří do intervalu 0; ) a není tedy základním řešením.
- S x x R arcsin(-0,6) Úhly x a x můžeme vyjádřit dvěma způsoby: - a) pomocí záporného úhlu arcsin ( 0, 6) x = + ( ) x = ( ) arcsin 0, 6 arcsin 0, 6 { arcsin ( 0, 6) ; arcsin ( 0, 6) } K = + k + + k b) pomocí kladného úhlu arcsin 0,6 x = arcsin 0, 6 x = + arcsin 0, 6 K = + arcsin 0,6 + k ; arcsin 0,6 + k { } Př. : Rozhodni, pro která a R má rovnice sin x = a řešení. - S x x x R - Z obrázku je zřejmé, že pro: a ( ;) má rovnice v intervalu 0; ) dvě řešení (červená čára). a = ± má rovnice v intervalu 0; ) jedno řešení (hnědá čára). a ( ; ) ( ; ) nemá rovnice v intervalu 0; ) žádné řešení (zelená čára).
Stejný závěr dostaneme pomocí grafu: - Rovnice sin x = a má řešení pro a ;. V dalších příkladech již nebudeme kreslit kružnice a budeme pokládat vyřešení základní goniometrické rovnice za samozřejmost. Př. 6: Vyřeš rovnici tg x =. Platí: tg =, funkce y = tg x je periodická s nejmenší periodou. K = + k Př. 7: Vyřeš rovnici tg x =. není tabulková hodnota funkce y = tg x, funkce y = tg x je periodická s nejmenší periodou. K = arctg + k { } Př. 8: Vyřeš rovnici ( sin x ) ( sin x ) =. Problém: sin x se nachází uvnitř složitějších výrazů, neznáme jeho hodnotu. Substituce: y = sin x. ( y ) ( y ) = y = y + y = y = y = sin x =
Základní řešení : ;, funkce y = sin x je periodická s nejmenší periodou. K = + k ; + k Př. 9: Vyřeš rovnici cos x + cos = sin 7 +. sin cos x 6 Problém: V rovnici se vyskytují hodnoty goniometrických funkcí neobsahujících x dosadíme za ně hodnoty: cos x + ( ) = +. cos x cos x = cos x Problém: V rovnici je cos x víckrát substituce. Substituce: y = cos x. y = / y podmínka: y 0 y y = y y = y = y = cos x = cos x = K = + k ; + k Př. 0: Petáková strana, cvičení b), d) Př. : Vyřeš rovnici sin x sin x 0 + =. Problém: V rovnici se vyskytují hodnoty goniometrických funkcí v druhé mocnině. substituce. Substituce: y = sin x y + y = 0
( ) b ± b ac ± ± y, = = = a + y = = y = = y = sin x = y = sin x = K = K = + k ; + k 6 6 K = + k ; + k 6 6 Př. : Petáková strana, cvičení 7 b) Př. : Vyřeš rovnici tg x =. Problém: Uvnitř tangens není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = x tg y = y = + k y = x = + k x = + k / : x = + k 8 K k = + 8 Př. : Vyřeš rovnici cos 0,x =. Problém: Uvnitř sinu není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = 0,x sin y = y = + k y = + k y = 0,x = + k y = 0,x = + k 6
0,x = + k / x = + k K = + k 0 K = + k ; + k 0,x = + k / 0 x = + k 0 K = + k Př. : Vyřeš rovnici sin x =. Problém: Uvnitř sinu není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = x sin y = y = + k y = + k y = x = + k y = x = + k x = + k / + x = + k / + x = + k / : x = + k / : x = + k x = + k K = + k K = + k K = + k ; + k Dodatek: Při použití substituce je nutné psát při návratu k původní proměnné hned všechna řešení i ta dosahovaná díky periodičnosti funkce x = + k. Pokud na periodu zapomeneme (šetřící studenti to často dělají, dojdeme ke špatnému výsledku). Špatný postup: x = / : x = K = + k. 7
Př. 6: Petáková strana, cvičení 6 b), d), h), i) Shrnutí: 8