4.3.1 Goniometrické rovnice

Podobné dokumenty
4.3.1 Goniometrické rovnice I

4.3.2 Goniometrické rovnice II

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce

4.3.2 Goniometrické nerovnice

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

4.3.3 Goniometrické nerovnice

( ) ( ) ( ) ( ) Základní goniometrické vzorce III. Předpoklady: 4301, 4305

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce

4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Goniometrické nerovnice I

Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

Vzorce pro poloviční úhel

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.

16. Goniometrické rovnice

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

Funkce kotangens

Goniometrické a hyperbolické funkce

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus II

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

Zadání. Goniometrie a trigonometrie

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Matematika pro všechny

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Funkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Funkce základní pojmy a vlastnosti

II. 3. Speciální integrační metody

Matematika 1 pro PEF PaE

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

Repetitorium z matematiky

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus I

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

2.9.4 Exponenciální rovnice I

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

Variace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory

Goniometrické rovnice

Kvadratické nerovnice Předpoklady: Př. 1: Úvaha: Pedagogická poznámka:

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Maturitní témata z matematiky

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

Teorie. Hinty. kunck6am

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek

2.7.3 Použití grafů základních mocninných funkcí

7.1.3 Vzdálenost bodů

Soustavy rovnic obsahující kvadratickou rovnici II

( ) ( ) ( ) ( ) Logaritmické rovnice III. Předpoklady: Př. 1: Vyřeš rovnici. Podmínky: Vnitřky logaritmů: x > 0.

Práce s kalkulátorem

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

I. 4. l Hospitalovo pravidlo

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

( ) Kvadratický trojčlen. Předpoklady: 2501, 2502, 2507, Kvadratický trojčlen je každý trojčlen, který je možné zapsat ve tvaru

[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Matematika 1. Matematika 1

Bakalářská matematika I

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

1. Písemka skupina A...

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

Transkript:

.. Goniometrické rovnice Předpoklady: 6, 7 Názvosloví: Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. g x = a, kde Základní goniometrická rovnice: každá rovnice zapsaná ve tvaru ( ) g ( x ) je jedna z goniometrických funkcí (sin, cos, tg, cotg), a R, x R. Základní řešení základní goniometrické rovnice: množina všech kořenů z intervalu 0; ). Důvod: Opakování úhlů po (trochu prázdný pojem, protože většina rovnic není základních a jejich kořeny se pak nemusejí opakovat po ). Př. : Vyřeš rovnici cos x =. Hledáme všechna x R, pro něž platí cos x = to už umíme (pomocí jednotkové kružnice nebo grafu odpovídající funkce). Z obrázku je vidět, že řešením jsou třetinové - x S x R úhly a. Základní řešení : ;. K = + k ; + k - Př. : Vyřeš rovnici sin x = 0. Stejné jako předchozí příklad.

- x S R Základní řešení : 0;. { 0 ; } K = + k + k Úspornější zápis: K = { 0 + k } - Př. : Vyřeš rovnici sin x =. - x S R Základní řešení : ;. K = + k ; + k - Př. : Vyřeš rovnici sin x = 0,6. -0,6 není tabulková hodnota úhel x můžeme určit pouze přibližně nebo jako hodnotu funkce arcsin. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arcsin ( 0, 6) 6 arcsin ( 0, 6) je tedy záporné číslo, které nepatří do intervalu 0; ) a není tedy základním řešením.

- S x x R arcsin(-0,6) Úhly x a x můžeme vyjádřit dvěma způsoby: - a) pomocí záporného úhlu arcsin ( 0, 6) x = + ( ) x = ( ) arcsin 0, 6 arcsin 0, 6 { arcsin ( 0, 6) ; arcsin ( 0, 6) } K = + k + + k b) pomocí kladného úhlu arcsin 0,6 x = arcsin 0, 6 x = + arcsin 0, 6 K = + arcsin 0,6 + k ; arcsin 0,6 + k { } Př. : Rozhodni, pro která a R má rovnice sin x = a řešení. - S x x x R - Z obrázku je zřejmé, že pro: a ( ;) má rovnice v intervalu 0; ) dvě řešení (červená čára). a = ± má rovnice v intervalu 0; ) jedno řešení (hnědá čára). a ( ; ) ( ; ) nemá rovnice v intervalu 0; ) žádné řešení (zelená čára).

Stejný závěr dostaneme pomocí grafu: - Rovnice sin x = a má řešení pro a ;. V dalších příkladech již nebudeme kreslit kružnice a budeme pokládat vyřešení základní goniometrické rovnice za samozřejmost. Př. 6: Vyřeš rovnici tg x =. Platí: tg =, funkce y = tg x je periodická s nejmenší periodou. K = + k Př. 7: Vyřeš rovnici tg x =. není tabulková hodnota funkce y = tg x, funkce y = tg x je periodická s nejmenší periodou. K = arctg + k { } Př. 8: Vyřeš rovnici ( sin x ) ( sin x ) =. Problém: sin x se nachází uvnitř složitějších výrazů, neznáme jeho hodnotu. Substituce: y = sin x. ( y ) ( y ) = y = y + y = y = y = sin x =

Základní řešení : ;, funkce y = sin x je periodická s nejmenší periodou. K = + k ; + k Př. 9: Vyřeš rovnici cos x + cos = sin 7 +. sin cos x 6 Problém: V rovnici se vyskytují hodnoty goniometrických funkcí neobsahujících x dosadíme za ně hodnoty: cos x + ( ) = +. cos x cos x = cos x Problém: V rovnici je cos x víckrát substituce. Substituce: y = cos x. y = / y podmínka: y 0 y y = y y = y = y = cos x = cos x = K = + k ; + k Př. 0: Petáková strana, cvičení b), d) Př. : Vyřeš rovnici sin x sin x 0 + =. Problém: V rovnici se vyskytují hodnoty goniometrických funkcí v druhé mocnině. substituce. Substituce: y = sin x y + y = 0

( ) b ± b ac ± ± y, = = = a + y = = y = = y = sin x = y = sin x = K = K = + k ; + k 6 6 K = + k ; + k 6 6 Př. : Petáková strana, cvičení 7 b) Př. : Vyřeš rovnici tg x =. Problém: Uvnitř tangens není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = x tg y = y = + k y = x = + k x = + k / : x = + k 8 K k = + 8 Př. : Vyřeš rovnici cos 0,x =. Problém: Uvnitř sinu není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = 0,x sin y = y = + k y = + k y = 0,x = + k y = 0,x = + k 6

0,x = + k / x = + k K = + k 0 K = + k ; + k 0,x = + k / 0 x = + k 0 K = + k Př. : Vyřeš rovnici sin x =. Problém: Uvnitř sinu není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = x sin y = y = + k y = + k y = x = + k y = x = + k x = + k / + x = + k / + x = + k / : x = + k / : x = + k x = + k K = + k K = + k K = + k ; + k Dodatek: Při použití substituce je nutné psát při návratu k původní proměnné hned všechna řešení i ta dosahovaná díky periodičnosti funkce x = + k. Pokud na periodu zapomeneme (šetřící studenti to často dělají, dojdeme ke špatnému výsledku). Špatný postup: x = / : x = K = + k. 7

Př. 6: Petáková strana, cvičení 6 b), d), h), i) Shrnutí: 8