MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ..07/..00/8.00) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz
MT MATEMATIKA Neurčitý integrál - CVIČENÍ na vzorec V.. 3 Řešení. 3 3+ 3+. 4 4 Řešení. 3 3 3 3 3. 5 Řešení. 5 5+ 4 5 5+ 4 4 4 4. 4 3 Řešení. 4 3 3 4 5. Řešení. 3 4 4 4 4 4 6. Řešení. na vzorec V7.. 6 Řešení. 6 6 ln6. ( 3) Řešení. ( ) ( 3 3) ln 3 3. Řešení. ln
MT MATEMATIKA Neurčitý integrál - CVIČENÍ 3 na vzorec V8. (čitatel je derivace jmenovatele). Řešení.. +5 V8 ln Řešení. derivace jmenovatele je, což potřebujeme mít v čitateli +5 3. 3 + P V8 ( +5) +5 ln +5 Řešení. 3 + derivace jmenovatele je 3, což potřebujeme mít v čitateli. nejdříve P - konstanta z čitatele před integrál 3 ln 3 + 4. 4 5 Řešení. 4 derivace jmenovatele je 54, což potřebujeme mít v čitateli 5 5. e e Řešení. e V8 e ln e 6. sin 4 cos Řešení. sin ln 4 cos 7. 3 7 3 + 5 4 P 5 ( 5 ) 5 4 5 V8 5 5 ln 5 3 P 3 ( 3 +) 3 V8 3 3 + 4 cos derivace jmenovatele je (4 cos) (4) (cos) (0) ( sin) sin, což potřebujeme mít v čitateli. v čitateli již sin máme, tedy použijeme přímo V8 Řešení. derivace jmenovatele je 3, což potřebujeme mít v čitateli 3 7 8. tg 3 P 3 (3 7) 3 Řešení. tg sin derivace jmenovatele je sin, což potřebujeme mít v čitateli cos 9. cotg 3 V8 3 7 3 ln 3 7 sin P cos sin V8 cos ln cos Řešení. cotg cos derivace jmenovatele je cos, což potřebujeme mít v čitateli. v čitateli již cos máme, tedy použijeme přímo V8 sin ln sin
MT MATEMATIKA Neurčitý integrál - CVIČENÍ 4 na vzorec V9. V9 je vždy nakombinovaný s dalším vzorcem!!!. e +6 Řešení. e +6 V9+V6 e+6. e 3 Řešení. e 3 V9+V6 3 e3 3. e Řešení. e e +0 V9+V6 e 4. sin(6 8) Řešení. sin(6 8) V9+V4 6 ( cos(6 8)) 5. cos Řešení. cos V9+V5 sin 6. 5 Řešení. 5 (5 ) V9+V (5 ) 3 5 3 7. (6+5) 8 Řešení. (6+5) 8 (6+5) 8 V9+V 6 8. 3 + Řešení. 3 + (+) 3 9. (7 3) 4 Řešení. (7 3) 4 V9+V (7 3) 5 7 5 0. cos 4 Řešení. V9+V cos 4 4 tg4 (6+5) 7 7 5 3 (5 ) 3 (+) 3 V9+V (+) 3 3 3 3 (+)
MT MATEMATIKA Neurčitý integrál - CVIČENÍ 5. sin (3 ) Řešení. V9+V0 sin (3 ) 3 ( cotg(3 )) na vzorce V - V5.. +4 Řešení. +4 V arctg. 9 Řešení. V3 9 3 ln 3+ 3 3. 5 Řešení. V4 5 arcsin 5 4. +5 Řešení. V5 ln +5 + +5
MT MATEMATIKA Neurčitý integrál - CVIČENÍ 6 na pravidlo P.. 9 +9 Řešení. 9 +9 P 9 + 9 V+V7+V 0 0 + 9 ln9. sin cos Řešení. sin cos P sin cos V4+V5 cos sin na pravidlo P.. 5 3 Řešení. 5 3 P 5 3 V 5 4 4. cos Řešení. cos P cos V5 sin na pravidla P - P.. 5sin 3 6+ Řešení. 5sin 3 6+ P 5sin 3 6+ P+P. 5 sin + 4 Řešení. 5 sin + 4 P 5 sin + 4 P+P 5 3. 3 3 5 8 3 5 sin 3 Řešení. 3 3 5 8 3 P 3 3 5 8 3 P+P 3 3 3 4 4 8 (8 3) 4 5 4 5 6+ V4+V 5 ( cos) 3 4 arctg 4 +4 V0+V3 sin 5 ( cotg)+4 ln 5 8 3 3 3 (8 3) 5 V+(V9+V)
MT MATEMATIKA Neurčitý integrál - CVIČENÍ 7.. (9 8+7) Řešení. (9 8+7) 9 8+ 7 9 3 3 8 +7. (3 4 3 +sin) Řešení. (3 4 3 +sin) 3 4 3 + sin 3 3 4 + sin 3 7 4 7 4 3. ( ) 3 Řešení. ( ) 3 3 4 3 4 4 4 5 5 4. ) ( Řešení. ) ( 5. 4+5 Řešení. 4+5 4 + 5 6. (+3) Řešení. (+3) 4 + 5 +( cos) 3 4 +5 3 4 + 5 5 5 +6+9 + 6 + 9 +6+ 9 + 6+ 9 +6+9 +6+9ln 4 3 3 +5 7. 5 3 Řešení. 5 3 8. 3+ 3 Řešení. 3+ 3 6 6 (5 3 ) 6 6 5 3 6 ln 5 3 3 + 3 3 + 3 3 + 5 3 3 + 5 3 3 9. 3 Řešení. 3 ( 3) 3 ln 3 0. + Řešení. + ln + neryze lomená funkce (čitatel a jmenovatel mají stejný stupeň) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem + 5 3 3ln + 3 3 + + V8 +
MT MATEMATIKA Neurčitý integrál - CVIČENÍ 8. +3 Řešení. neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem +3 3 +9 +3. 3 Řešení. 3 3. +4+5 3+9ln +3 neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem + Řešení. +4+5 +5 +0 4. 3 3 + + Řešení. 3 3 + + neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem +5+0ln neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem 3 3+ 4 4 + 3 3 +4 4 + 5. 6 3 Řešení. 6 3 6 3 6 3 3 ( 3 ) 6 3 3 3 ln 3 6. 4 ++ 4 Řešení. 4 ++ 4 4 +8 +73 4 3+ 9 +3 3+ 9 +3 +5+ 0 + 5+ 0 3 3+4 4 + 33 3 3 +4 4ln + neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem 4 +8+73ln 4 4+8+ 73 4 4+ 8+ 73 4 7. (tgotg) Řešení. (tgotg) tg+ cotg sin cos + cos sin sin cos +ln sin sin cos +ln sin ln cos +ln sin 8. cos (4+9) Řešení. cos (4+9) 4 tg(4+9) 9. ( +5 +5 ) ) Řešení. ( +5 +5 +5 +5 druhý integrál je neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem
MT MATEMATIKA Neurčitý integrál - CVIČENÍ 9 +5 + 5 ln +5 5 ln +5 5ln 0. 3 +8 Řešení. 3 jmenovatel musíme doplnit na čtverec +8. +3 Řešení. +3 (3+) V9+V (3+) 3. cotg Řešení. cotg cos sin sin sin cotg sin 3. 8 4+6 Řešení. 8 jmenovatel musíme doplnit na čtverec 4+6 4. ( 5 cos6 ) 3 (+4) 6 3 (+4) 6 3 6 (+4) V9+V3 3 4 ln 4+(+4) 4 (+4) 8 8 V9+V5 8 ( ) 4+6 ( ) + ln ( )+ ( ) + Řešení. ( 5 cos6 ) 5 cos6 V9+V7 5 5 ln cos6 V9+V5 5 5 ln 6 sin6