Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke grafu v bodě x 0, f x 0 je rovna derivaci f ' x 0, tečna v tomto bodě je kolmá k přímce p právě když x 0 je řešením rovnice f ' x tj. Tato rovnice je postupně ekvivalentní rovnicím 3 x x. 3 x x 3, x x, x x, x x 0. Rovnice w w 0 má kořeny a. Tedy x 0, x 0 ln. Hledaná tečna má proto rovnici y ln x ln, tj. x y 3ln0.6.5.4.3.. 0. 0.4 0.6 0.8.0.
M-- (-4).nb Příklad Integrál vypočteme metodou per partes: 5 x sin x x. 5 x sin x x u 5 x v' sin x u' 5 v cos x 5x cos x 0 cos x x 5 x cos x 0sin x C. Výsledek platí na celé množině R. Příklad 3 Integrál vypočteme substitucí ln x t: sin ln x cos 3ln x ln x x x. sin ln x cos 3ln x ln x x x ln x t x x t sin t cos 3 t t t cos t 3 sin 3 t 3 t3 C cos ln x 3 sin 3ln x 3 ln3 x C Výsledek platí na intervalu,. Příklad 4a Napište, v jakém tvaru je třeba hledat rozklad racionální funkce R x x 4 x 3 x x x 3 3 x x 3 x 9. na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího pravidla.
M-- (-4).nb 3 Rozklad je třeba hledat ve tvaru A x 3 3 A x 3 A 3 x 3 B x D x E x 3 x 9. C x D x E x 3 x 9 Pomocí zakrývacího pravidla lze přímo vypočítat koeficienty A, B a C. Příklad 4b 9 x 5 x x 4 x 5 x. Nejprve najdeme rozklad integrandu na jednoduché zlomky: 9 x 5 x x 4 x 5 A x B x C x D x 4 x 5, 9 x 5 A x 4 x 5 B x 3 4 x 5 x CxD x, x 0 : 5 5A x : 9 4A 5B x : 0 A 4B D x 3 : 0 B C A B. D5 C Tedy 9 x 5 x x 4 x 5 x x x x 5 x 4 x 5 x x ln x x 4 x 4 x 5 x 3 x x x ln x ln x 4 x 5 3arctg x C. Výsledek platí na intervalech, 0 a 0,.
4 M-- (-4).nb M-ZS-/ Příklad Najděte normálu grafu funkce f x x x 5 x 7, která je rovnoběžná s přímkou q :x3y0. Diskriminant rovnice x 5 x 7 0 je záporný, proto D f R. Normála n ke grafu je rovnoběžná s přímkou p právě tehdy, když k ní příslušná tečna t je na přímku p kolmá. Protože p má směrnici 3, tečna t je na přímku p kolmá právě když má směrnici k 3. Protože směrnice tečny ke grafu v bodě x 0, f x 0 je rovna derivaci f ' x 0, tečna v tomto bodě má směrnici k 3 právě když x 0 je řešením rovnice f ' x 3 tj. x 5 x 5 x 7 3 neboli x 5 Tato rovnice je v oboru x 5 0 postupně ekvivalentní rovnicím x 5 x 7 x 5 x 5x7, 4x 0 x 5 x 5 x 7, 3 x 5 x 8 0, x 5 x 6 0.. Poslední rovnice má kořeny x 3, x. Podmínku x 5 0 ale splňuje pouze x. Proto x 0 a hledaná normála má rovnici y 5 3 x, tj. x 3 y 9 0. 6.0 5.5 5.0 4.5.0.5.0.5 3.0
M-- (-4).nb 5 Příklad Integrál vypočteme metodou per partes: x 3 x x. x 3 x x u 3 x v' x u' 6 x v x 3x x x x x u x v' x u' v x 3x x 4 x x 4 x x 3x x 4 x x 48 x C x 3x x C. Výsledek platí na celé množině R. Příklad 3 Integrál vypočteme substitucí cos x t: sin x sin x sin x sin x sin x sin x t t cos x x. cos x x sin x t cos x x t t t 4 3 t3 ln t arctg t C 4 3 sin3 x ln sin x arctg sin x C. Výsledek platí na intervalech k, k, kde k Z. Příklad 4a Napište, v jakém tvaru je třeba hledat rozklad racionální funkce R x x 3 x x x x 9 x 5 x 8. na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího pravidla.
6 M-- (-4).nb Rozklad je třeba hledat ve tvaru A x A x B x 3 B x 3 C x 3 C x 3 D x E x 5 x 8 D x E x 5 x 8. Pomocí zakrývacího pravidla lze přímo vypočítat koeficienty A, B a C. Příklad 4b x 3 x x 8 x 7 x. Nejprve najdeme rozklad integrandu na jednoduché zlomky: x 3 x x 8 x 7 A x B x C x 8 x 7. (*) Nejprve najdeme zakrývací metodou koeficient A: A x 3 x 8 x 7 x 4 3 4 6 7 Potom obě strany rovnice (*) vynásobíme proměnnou x a přejdeme k limitě pro x. Nakonec do rovnice (*) dosadíme x 0. Postupně dostaneme Tedy 0 A B, B, 3 34 C, 3 7 C, C. 7 x 3 x x x 8 x 7 x x x 8 x 7 x ln x x 8 x 8 x 7 x 6 x 4 x ln x ln x 8 x 7 6arctg x 4 C. Výsledek platí na intervalech, a,.
M-- (-4).nb 7 M-ZS-/3 Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x 3 4 x x 6, která je kolmá na přímku p :xy0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke grafu v bodě x 0, f x 0 je rovna derivaci f ' x 0, tečna v tomto bodě je kolmá k přímce p právě když x 0 je řešením rovnice f ' x tj. x 4 x neboli 4 x 4 x. Tato rovnice je postupně ekvivalentní rovnicím 4 x 4 x, 6 x 4 x, 8 x x 0. Rovnice 8 w w 0 má kořeny a 4. Tedy x 0, x 0 ln. Hledaná tečna má proto rovnici y ln x ln, tj. x y 3ln0..7.6.5.4.3. 0.4 0.6 0.8.0.
8 M-- (-4).nb Příklad Integrál vypočteme metodou per partes: 3 5 x cos 5 x 3 5 x cos 5 x 3 x. 3 x u' 5 u 3 5 x v' cos 3 5 3 5 x sin 5 x 3 5 3 5 x sin 5 x Výsledek platí na celé množině R. Příklad 3 3 3 sin 5 x 3 9 5 cos 5 x 5 x 3 v 3 5 sin 5 x 3 3 x 3 C. Integrál vypočteme substitucí tg x t: 4 tg x sin tg x 3tg x cos x x. 4 tg x sin tg x tg x cos x x tg x t cos x x t 4 t sin t 3 t t t cos t t3 C tg x cos tg x tg3 x C Výsledek platí na intervalech k, k, kde k Z. Příklad 4a Napište, v jakém tvaru je třeba hledat rozklad racionální funkce R x x 3 x x x 3 x 4 x x 5. na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího
M-- (-4).nb 9 na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího pravidla. A x 3 A x A 3 x B x D x E x x 5. C x D x E x x 5 Pomocí zakrývacího pravidla lze přímo vypočítat koeficienty A, B a C. Příklad 4b 0 4 x x x 6 x 0 x. Nejprve najdeme rozklad integrandu na jednoduché zlomky: 0 4 x x x 6 x 0 A x B x C x D x 6 x 0, 0 4 x A x 6 x 0 B x 3 6 x 0 x CxD x, Tedy x 0 : x : x : x 3 : 0 0 A 4 6 A 0 B 0 A 6 B D 0 B C 0 4 x x x 6 x 0 x x ln x A B. D5 C x x x 5 x 6 x 0 x x 6 x 6 x 0 x x 3 x x ln x ln x 6 x 0 arctg x 3 C. Výsledek platí na intervalech,0 a 0,.
0 M-- (-4).nb M-ZS-/4 Příklad Najděte normálu grafu funkce f x 3 x ln 3 x 9 x, která je rovnoběžná s přímkou q :x3y0. Rovnice 3 x 9 x 0 má kořeny 9 05 6 a proto D f x :3x 9 x 0, 9 05 6, 9 05 6, 0.08 3.08, Normála n ke grafu je rovnoběžná s přímkoup právě tehdy, když k ní příslušná tečna t je na přímku p kolmá. Protože p má směrnici 3, tečna t je na přímku p kolmá právě když má směrnici k 3. Protože směrnice tečny ke grafu v bodě x 0, f x 0 je rovna derivaci f ' x 0, tečna v tomto bodě má směrnici k 3 právě když x 0 vyhovuje rovnici f ' x 3 tj. 3 6 x 9 3 x 9 x 3. Tato rovnice je v oboru 3 x 9 x 0 postupně ekvivalentní rovnicím 6 x 9 3 x 9 x 3, x 3 3 x 9 x, 4 x 6 3x 9x, 3 x 5 x 8 0. Poslední rovnice má kořeny x 8 3, x. Podmínku 3 x 9 x 0 ale splňuje pouze x. Hledaná normála má proto rovnici y ln0 x 3. 0.6 0.4 0..4..0 0.8 0.6 0.4 0.
M-- (-4).nb Příklad Integrál vypočteme metodou per partes: x3 3 x ln 3 x x x ln 3 x x Výsledek platí na intervalu 0,. Příklad 3 Integrál vypočteme substitucí x 3 t: x3 t x x ln 3 x x u ln 3 x u' x 3 x x x3 3 x x3 3sin 3 x 3 3 x x3 3sin 3 x 3 3 x x t x. v' x x 3 x ln 3 x v x3 3 x x 3 x. x 3 x t 3sin 3 t t x3 9 x C. t t cos 3 t ln t C x3 cos 3 x 3 ln x 3 C. Výsledek platí na intervalech,,,. Příklad 4a Napište, v jakém tvaru je třeba hledat rozklad racionální funkce R x x 4 x 3 x x x 4 x 5 x x 3. na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího pravidla. Rozklad je třeba hledat ve tvaru
M-- (-4).nb A x 4 A x 4 B x 5 B x 5 C x 5 C x 5 D x E x x 3 D x E x x 3. Pomocí zakrývacího pravidla lze přímo vypočítat koeficienty A, B a C. Příklad 4b 3 7 x x x 4 x 5 x. Nejprve najdeme rozklad integrandu na jednoduché zlomky: 3 7 x x x 4 x 5 A x B x C x 4 x 5. (*) Nejprve najdeme zakrývací metodou koeficient A: A 3 7 x x 4 x 5 x 37 45. Potom obě strany rovnice (*) vynásobíme proměnnou x a přejdeme k limitě pro x. Nakonec do rovnice (*) dosadíme x 0. Postupně dostaneme Tedy 0 A B, B, 3 5 C,35C, C. 5 3 7 x x x x 4 x 5 x x x 4 x 5 x ln x x 4 x 4 x 5 x 4 x x ln x ln x 4 x 5 4arctg x C. Výsledek platí na intervalech, a,.