Seriál Numerická mtemtik Numerické řešení nelineárních rovnic Cílem letošního seriálu je seznámit Tě s odvětvím mtemtiky, které se nzývá numerická mtemtik. Nebudeme zde budovt žádné velké mtemtické teorie, spíše se budeme snžit osvětlit si vše n příkldech. Zčneme drobnou poznámkou k četbě následujícího textu. Dnes se budeme zbývt řešením tzv. nelineárních rovnic. Zčínáme fyzikálním příkldem, který motivuje dlší povídání ukzuje,ženšezkoumánínenísmoúčelné.pokudnemášfyzikuvlásce, 1 můžeštento příkld bez obv přeskočit přejít přímo k mtemtické formulci úlohy. N porozumění dlšího textu to nemá vliv. Fyzikální motivce: Budeme řešit úlohu nznčenou n obrázku. Nádob válcového tvru o poloměru A r=0,400mvýšce h=2rbylnplněnvodoudo výšky h r 2 = r.lserovýpprsekvycházejícízbodu A n horním okrji nádoby má dopdnout do protějšíhobodu Bnokrjidn.Dokteréhobodu Xn X hldině vody jej musíme nmířit?(absolutní index lomuvodyprosvětlohe-nelseruje n 2 =1,331,bsolutníindexlomuprovzduchberemejko n 1 =1.) Průchod světl vodní hldinou v bodě X proběhnepodlezákonulomu: sin α sin β = n 2 r r = n.zvolme n 1 souřdnicovou soustvu tk, by svislá os y procházelbodem Avodorovnáos xbodem B.Vodo- 2r B rovná souřdnice bodu X musí splňovt rovnici sin 2 α=n 2 sin 2 x β, 2 r 2 +x 2 = n2 (2r x) 2 r 2 +(2r x) 2.Poúprvěsubstituci z= x r dostnemerovnici čtvrtého stupně (n 2 1)z 4 4(n 2 1)z 3 +5(n 2 1)z 2 4n 2 z+4n 2 =0, kdyždotétorovnicedosdímez n=1,331dostneme f(z)=0,771561z 4 3,086244z 3 +3,857805z 2 7,086244z+7,086244=0. Abychom tedy vyřešili nši úlohu, musíme njít řešení lgebrické rovnice čtvrtého stupně. U tkové rovnice již nemá vlného smyslu pokoušet se ji řešit přesně. Budeme se snžit nlézt její řešení přibližně, stčí nám ji totiž vyřešit s přesností, s jkou máme zdán fyzikální dt. Přesnější řešení by nám stejně k ničemu nebyl. Mtemtická formulce problému: Budeme hledt reálné kořeny rovnice f(x) = 0, kde xjereálnáproměnnáf(x)jevnějkémsmyslurozumnáfunkce.podfunkcí f simůžeš konkrétněpředstvitnpříkldpolynomčtvrtéhostupně f(x)= 4 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x+ 0, kterýnámdlfyzikálnímotivce.jinýmpříkldemfunkce f můžebýtprorovnici x = sin x+1předpis f(x)=sin x+1 x. 1 nebopokudjefyzikzdeuvedenáprotebemoctěžká
Poznámk: V ndpisu tohoto odstvečku hovoříme o řešení nelineárních rovnic. Rovnice lineární uvžujeme zvlášť. Řešení soustv lineárních rovnic je již jinou(n nšem povídání nezávislou) kpitolou numerické mtemtiky, proto je nezhrnujeme. Jednobodovéiterčnímetody:Podnázvem iterčnímetody seskrývjímetody,při kterýchkonstruujemepostupněposloupnostčísel x 0, x 1, x 2, x 3,...,kteréproximujípřesné řešenínšírovnice f(x)=0.přitommámezdánpředpisjkzeznáméhodnoty x i spočítt x i+1,tj.předpistvru x i+1 = F(x i ). Postupujemetk,ženejprvezvolímez x 0 počátečníodhdkořene,zobdrženéhovýsledku spočítáme x 1 = F(x 0 ),následněspočítáme x 2 = F(x 1 ), x 3 = F(x 2 )td. Odvození iterční metody: Jednobodových iterčních metod můžeme vymyslet smozřejmě spoustu. Nejnázornější postup je přepst si rovnici f(x) = 0 ekvivlentními úprvmi ntvr x=f(x)pkhlednýpředpisiterčnímetodyzvolímejko x k+1 = F(x k ). Příkld:Ukážemesiheuristické 2 odvozeníněkolikmetodprořešenírovnice x 2 =7,cožje vlstněhledánídruhéodmocninyzesedmi.hledámetedyřešenírovnice f(x)=x 2 7=0. Tutorovnicisimůžemepřepstdotvru x=f(x)npříkldtk,žekoběmstrnámnší rovnicepřičtemečíslo x,dostneme x=x+x 2 7,coždávávzoreček x k+1 = x k + x 2 k 7. Obecněji můžeme nejprve f(x) = 0 vynásobit nějkou konstntou c poté přičíst k oběm strnámčíslo x,dostneme x=x+c(x 2 7),coždáváprokždé cjinoumetodu x k+1 = x k + c(x 2 k 7).Konečněmůžemepostupovtúplnějinkpřepstsinširovnicintvr x= 1 2 (x+ 7 x ),zčehožmůžemezísktvzoreček x k+1= 1 2 (x k+ 7 ). x k Jk posuzovt vhodnost metody? Chyb metody: Kždá úprv rovnice f(x) = 0 ntvr x=f(x)námdávájinouiterčnímetodu.vpředcházejícímtextujsmeviděli,že vzorečků x k+1 = F(x k ),pomocíkterýchzpočátečníhoodhdu x 0 konstruujemeposloupnost x 1, x 2, x 3,...,lzezísktspoustu.Přirozenouotázkouvškje,jkpřesněprvkyposloupnosti x 0, x 1, x 2,... proximujípřesnéřešenínšíúlohy,kterébudemeoznčovt α,tj. f(α)=0. Není totiž vůbec jsné( tké to čsto není prvd), proč by měly prvky získné posloupnosti být blízko přesného řešení α. Definujmeprotochybu i-téitercevzthem ε i = α x i.jevidět,žečímmenšíbude chyb, tím bude metod lepší. Abychom mohli dát nšemu povídání přesný rámec, zstvíme seupojmůlimityderivce. Pojem limity derivce: N tomto místě bychom chtěli osvětlit jeden pomocný pojem pro dlší vysvětlování. Čtenáři obeznámení s limitmi derivcemi mohou příslušné odstvce přeskočit. Osttním ukážeme jen to potřebné, pro systemtické studium těchto pojmů doporučujeme npříkld středoškolské učebnice. Limit posloupnosti: Mějme posloupnost x 0, x 1, x 2,.... Řekneme, že číslo A je limitou této posloupnosti píšeme lim xn = A, pokud vzdálenosti xn A jsou čím n dálmenší,přesnějipokudprokždékldné εlibovolněmlénjdemepřirozenéčíslo n 0 2 Podslovem heuristické seskrýváoznčení,žeuvedené(intuitivní)odvozovánísezkládá více n názornosti nezodpovídá přirozené otázky(chyb metody, rychlost konvergence, viz dále), které by si mtemtik kldl.
tkové, že pro všechny členy nší posloupnosti s indexem větším než n 0, tj. pro členy x n0 +1, x n0 +2, x n0 +3,...,pltí x n A < ε,tj.jsoublížkanežje ε.pomocíkvntifikátorů můžeme definici limity přepst n tvr: lim xn= Aznmenátotéž,co n ( ε >0)( n 0 )( n > n 0 ) x n A < ε. Derivce funkce: Mějme funkci f(x) definovnou n intervlu(, b). K této funkci můžeme přiřditfunkci,kterounzývámederivcífunkce fznčíme f (x). N tomto místě není třeb psát, jkým způsobem derivci definujeme pro které funkce existuje.spokojímesesujištěním,žeexistujeprofunkce,kteréjsmezdeztímmělilzeji njít v tbulkách. Máme-lifunkci f,jejíderivci f,obědefinovnénnějkémintervlu(, b),nějký bod c (, b),pkjepřímk y= f(c)+f (c)(x c)tečnoukegrfufunkce fvbodě[c, f(c)]. Nkresli si obrázek. Derivce polynomu: Derivce zákldních funkcí, jejich součtů, součinů,..., můžeš nlézt v tbulkách. Zde si uvedeme jen vzoreček pro derivci polynomu. Pro je f(x)= nx n + n 1 x n 1 + n 2 x n 2 + + 2 x 2 + 1 x 1 + 0 f (x)=n nx n 1 +(n 1) n 1 x n 2 +(n 2) n 2 x n 3 + +2 2 x 1 + 1. Konvergence metody:definujeme,žeiterčnímetod x k+1 = F(x k )jekonvergentní, pokud lim k x k= α,kde αjepřesnéřešenírovnice f(x)=0. Tím jsme přesně definovli, kdy metod konverguje, tj. kdy prvky posloupnosti v jistém smyslu proximují přesné řešení α. Pro prktické účely se hodí, když o metodě víme nejenom, žekonverguje,lemámeodhdnutouichybu k-téiterce ε k.ktomunámmůžeposloužit následující vět. Větokonvergenciodhduchyby: 3 Nechť Fjefunkcedefinovnánintervlu(A, B)nechťmántomtointervluiderivci. Nechť(, b)jeintervlobsženýiskrjnímibodyvintervlu(a, B)nechťv(, b)pltí nerovnost F (x) q <1,kde qjevhodnákonstnt.nechťpřesnéřešení αrovnice f(x)=0 ležívintervlu(, b)nechťpltí 4 F(α)=α.Zvolmepočátečníodhdkořene αjko x 0 (, b)pomocívzorečku x k+1 = F(x k )zkonstruujmeposloupnost x 0, x 1, x 2,... Pkpltí lim k x k= α,tj.nšemetodjekonvergentní.nvícproodhdchybypltí 3 Tutovětuuvádímebezdůkzu,pokročilejšíčtenářsijimůžezkusitdokáztsám.Hlvní myšlenkou důkzu je využít větu o střední hodnotě, která říká, z výše užitých předpokldů n funkci F,žeprolibovolnébody x, y (, b)existujebod c (x, y),tkový,že F(x) F(y)= F (c) (x y). 4 Funkci F jsmevždykonstruovlitk,by(lespoňnintervlu(, b))řešenírovnice f(x)=0bylotkéřešenímrovnice F(x)=x.
ε k = x k α q k x 0 α. Příkld: Ukážeme si plikci předcházející věty n vyšetření konvergence chyby jedné metody pro výpočet druhé odmocniny ze sedmi(viz příkld dříve). Máme tedy dnou funkci f(x)=x 2 7=0uvžujmemetodupříslušnoufunkci F(x)=x 1 4 (x2 7),tj.metodu x k+1 = x k 1 4 (x2 k 7). Funkce F je polynom, tkže je definovná má derivci pro všechn reálná čísl. Intervl (A, B)protomůžemebrátjko(,+ ).Jelikožpltí2 2 =4,3 2 =9,tk 7určitěleží vintervlu(2,3).zintervl(, b)zkusmeprotovzítintervl(2,3).nynísispočítámderivci funkce F,dlevýšeuvedenéhovzorceproderivcipolynomudostáváme: F (x)=1 1 2 x.n intervlu(2,3)pltí,že F (x) 1 2 <1.Tj.zvolíme-li q= 1 2,budememítsplněnyvšechny předpokldy věty. Tudížprolibovolné x 0 (2,3)budouitercekonvergovt,chyb k-téitercejeodhdnut 5 jko ε k = x k 7 `1 k x0 7. 2 Uvědomíme-li si nyní, že počáteční odhd x 0 i 7 leží v intervlu (2,3), můžeme výrz x 0 7 odhdnoutdélkouintervlu(2,3),cožječíslo3 2=1.Celkemtedymámepro chybu k téiterceodhd ε k `1 k 2. Jk dlouho počítt? Nším cílem je většinou spočítt řešení s jistou přesností. Chceme-li 1 npříkld výsledek s chybou menší než 1000,jedobrévědět,kterýčlenvnámisestrojené posloupnosti x 0, x 1, x 2, x 3,... jižstkovoupřesnostíproximujevýsledek. Předcházející příkld nám dává přímo odhd chyby. V tkovém přípdě již máme v podsttěvyhráno.chceme-linjíttkové x k,by x k 7 < 1 1000,pkstčízjistit,prokterá kjeodhdchyby `1 k 2 < 1 1000.Sndnonhlédneme,žekzručeníposlednínerovnostinám stčíjiž k=10.tj.stčíspočítt10itercímámejistotu,ženášvýsledekmápoždovnou přesnost. Metodtečen:Nzávěrnšehopovídánísezmínímeojednédobrémetodě,kterásenzývámetodtečen.Jedánpředpisem x k+1 = x k f(x k) f (x k ) nlezneupltněníprotkové funkce, které mjí ve zkoumném intervlu nenulovou derivci. Této metodě se říká metod tečen(tké Newtonov-Rphsonov), neboť její ide je následující: Pro dnou i tou iterci x i konstruujemetečnukegrfufunkce f vbodě[x i, f(x i )].Průsečíktétotečnyspřímkou xoznčímejko x i+1.nkreslisiobrázekzkussisámodvoditdlepopsnéhopostupu předpistétometody x k+1 = x k f(x k) f (x k ). Vícebodové iterční metody: Čtenář si zjisté dokáže předstvit i metody, při kterých k + 1. iterci nepočítáme jen pomocí k té iterce, le i itercí předcházejících, tj. máme vzorečektypu x k+1 = G(x k, x k 1, x k 2,...),kde Gjefunkce j proměnných.kjejímu užitímusímezdt jprvníchodhdů x 0, x 1, x 2,..., x j 1.Můžemerovněžkonstruovt dvě posloupnosti proximující přesné řešení nší úlohy, jedn bude kořen odhdovt shor druhá zdol. Tkovými metodmi jsou npříkld metod regul flsi(někdy se nzývá metod sečen) metod půlení intervlů. Filosofie těchto metod je jednoduchá. V kždém 5 αjepřesnéřešenínšírovnice,tj. 7.
krokumámevždydvodhdykořene α,dejmetomučísl x i y i,tkové,ženšefunkce má v těchto odhdech opčné znménko. Pk následující iterci spočítáme u metody půlení intervlůjkostředintervlu(x i, y i ),umetodyregulflsijkoprůsečíkpřímkyprocházející body[x i, f(x i )],[y i, f(y i )]sosou x.z x i+1 y i+1 vezmemespočítnýbodtenzbodů x i, y i,byopětfunkce f mělvbodech x i+1, y i+1 opčnéznménko.nkreslisiobrázek odvoďpříslušnévzorce.smozřejmě,pokudnstnepřípd f(x i )=0nebo f(y i )=0, nemusíme dále počítt, neboť jsme kořen právě nšli. Aproximce funkcí, interpolce V dlším povídání se budeme zbývt proximcí funkcí. Jedná se o problém, jk proximovt dnou funkci f(x) pomocí funkce nějkého speciálního tvru. Tkový problém řeší experimentátoři z mnoh vědních disciplín. Většinou dostnou výsledky v podobném tvru, jko v následující motivci. Obchodní motivce: Ve městě Kocourkov stávl hypermrket jeho vedoucí Libor zpozorovl, že denní tržby v obchodě závisejí n venkovní teplotě. Několik dní jev pozorovl výsledky si zpsl do tbulky: teplot [ve o C] 5 0 5 10 20 25 tržb[v mil. korun] 0.3 0.5 1 2 5 11 N dlší den se chtěl pečlivě připrvit, tk bedlivě sledovl předpověď počsí, by mohl odhdnout tržbu. Ve zprávách se všk dozvěděl, že má být 15 o C, což v tbulce nebylo. Liborek posmutněl, co teď? Mtemtická formulce problému: Nechť f(x) je funkce, kterou chceme proximovt pomocítřídyfunkcí 6 {g n(x), n=0, 1,... }Předpokládejme,ženšifunkci f(x)budeme proximovtjkotzv.lineárníkombincifunkcí g n(x),tj.vetvru f(x) 0 g 0 (x)+ 1 g 1 (x)+ + mg m(x)=g(x), ( ) kde i, i=0,1,..., mjsoukonstnty.ústřednímbodemproblémuproximcejekritérium provolbukonstnt i.otomvškždále. Funkci f(x)můžememítzdnoubuďjenvněkterýchbodech x 1,..., x p(tj.tbulkou jkovmotivčnímpříkldu,body x 1,..., x p pknzývámeuzlyproximce),nebon nějkém intervlu(, b). Pro jednoduchost se budeme zbývt jen prvním přípdem, kdy známe funkční hodnoty pouze v konečně mnoh bodech. Nyní rozlišíme dv typy proximcí: interpolčníproximce:konstntyjsouvolenytk,ževbodech x i, i=1,..., psouhlsí hodnotyproximčnífunkce 7 g(x)shodnotmifunkce f(x). 6 g n(x)jsouvětšinounějkéjednoduché,speciálníznáméfunkce vnšempovídání to budou polynomy. 7 Tvrfunkce g(x)jeuvedenvevzthu( ).
proximce metodou nejmenších čtverců neboli proximce v průměru: Účelem je minimlizovtsoučetčtvercůrozdílůmezi f(x)g(x)vbodech x i, i=1,..., p,tj.chceme minimlizovt výrz: (f(x 1 ) g(x 1 )) 2 +(f(x 2 ) g(x 2 )) 2 +(f(x 3 ) g(x 3 )) 2 + +(f(x p) g(x p)) 2. Poznámk: Situce může být mnohem složitější. Předně, pokud máme funkci f(x) zdnou n nějkém intervlu(, b)( proximcí se snžíme njít její vhodné přiblížení pomocí jednodušších funkcí),použijemedlšírozšířenýtypproximce tzv.čebyševovuproximci. T se snží o minimlizci mximální hodnoty chyby f(x) g(x) n intervlu(, b). Tto myšlenk nás v konečném důsledku vede k tzv. Čebyševovým polynomům. S nimi se mohli nši strší řešitelé seznámit v 8. sérii ročníku 1997/1998. Čebyševův polynom nbývá v bsolutní hodnotě nejmenší mximální hodnoty mezi všemi polynomy stejného stupně nstejnéhokoeficientuučlenu x n. Umetodynejmenšíchčtvercůlzevobecnémpřípděuvžovtkždýčlen(f(x i ) g(x i )) 2 s jinou váhou. Těmito zobecněními se nebudeme dále zbývt, ve zbytku dnešního povídání se změříme n první typ proximce interpolci. Lgrngeovinterpolce:Nechťmámedányfunkčníhodnoty f(x i )vtbulkovýchbodech (uzlech) x i, i=1,..., p.tutofunkcibudemeproximovtfunkcí g,kteránbývávtbulkových bodech stejné hodnoty jko funkce f(x) která je polynom. Funkci g(x) tedy budeme hledt ve tvru(srovnej s tvrem( )) g(x)=f(x 0 )g 0 (x)+f(x 1 )g 1 (x)+f(x 2 )g 2 (x)+ +f(x p)g p(x), kdefunkce g i (x)jsoupolynomy. Definujeme chybu proximce jko funkci E(x) splňující E(x)=f(x) g(x). ( ) Nším cílem je zřídit, by E(x i )=0,pro i=1,..., p. Dále bychom chtěli njít vyjádření pro chybu E(x), které nám umožní přibližně určit chybu prohodnotyrgumentu x x i, i=1,..., p,tj.prohodnoty,prokterébychomchtělinši interpolci užívt. Obecnéurčenípolynomů g i (x)jesndné.protožechceme,bychybvtbulkovýchbodechbylnezávislenfunkci f(x)nulová,vímez( ),žemusíbýt g i (x i )=1, pro i= 1,..., pg i (x j )=0vždy,když i j.jelikož g i (x)jepolynom,obshuječinitele protože g i (x i )=1,můžemepsát (x x 1 ) (x x 2 ) (x x i 1 ) (x x i+1 ) (x x p) g i (x)= (x x 1) (x x 2 ) (x x i 1 ) (x x i+1 ) (x x p) (x i x 1 ) (x i x 2 ) (x i x i 1 ) (x i x i+1 ) (x i x p).
Vyšší derivce: V minulém dílu seriálu jsme se zmínili o pojmu derivce funkce. Řekli jsme si,žekdnéfunkci h(x)lzevpřípdě,žejenějkýmzpůsobemrozumná,přiřditfunkci h (x),kterounzvemederivcífunkce h(x).kdyžteďnleznemederivcifunkce h (x),dostnemefunkci(h ) (x),kterouzkráceněznčíme h (x)nebo h (2) (x)nzývámedruháderivce funkce h(x). Derivcí druhé derivce dostneme třetí derivci, td. Obecně n-násobným derivovánímfunkce h(x)dostneme n-touderivcifunkce h(x),kterouznčíme h (n) (x). V minulém odstvci jsme jen chtěli uvést pojem n-té derivce, který se vyskytuje v následující psáži o chybě Lgrngeovy interpolce. Čtenáře, který by se chtěl s vyššími derivcemi seznámit blíže, odkzujeme n jiné texty. Zdůrzněme zde jen, že ne kždá funkce má derivci ikdyřjimá,nemusíbýtdefinovánnstejnémnožinějkopůvodnífunkce.druhouderivciopětnemákždáfunkce,kterámáprvníderivcipod.pro pěkné funkcelzederivci nlézt v tbulkách, npříkld pro polynom můžeš spočítt n-tou derivci, použiješ-li n-krát vzoreček z minulého dílu seriálu. Chyb Lgrngeovy interpolce: Vzth pro chybu Lgrngeovy interpolce zde uvedeme bezdůkzu: 8 Mějmenějkýbod x,prokterýchcemeurčitvelikostchyby E(x).Oznčme nejmenšíintervl,kterýobshuje xspolusnímvšechnybody x 1, x 2,..., x p,jkointervl c, d.pkexistujetkovýbod ξ (c, d),žeprochybulgrngeovyproximcepltí: E(x)=(x x 1 ) (x x 2 ) (x x p) f(p) (ξ) p! (hodnotbodu ξjevškzávislán x.prorůzná xmohoubýtodpovídjící ξrůzná). Užití interpolce: Interpolce nám nemusí sloužit jen k určení hodnot funkce mimo body, kde hodnotu známe(to se hodilo hlvně před nástupem počítčů, kdy byly mnohé funkce dány jen tbulkově výpočet mimo tyto body byl čsto nejrychlejší pomocí interpolce), le jetovpodsttězákldnípilířproodvozenímnohmetodvjinýchoblstechmtemtiky. 9 Některé tkové plikce si ještě ukážeme. Interpolcesekvidistntními 10 uzly:nynísebudemezbývtpřípdem,kdytbulkové body x 1,..., x pjsouodsebevzdálenyvždyostejnoudélku h >0,tj.pltí x j+1 x j = h, pro j=1,..., p 1. Diference vpřed: Mějme funkci f, bod x z jejího definičního oboru. Definujme k-tou diferencivpředskrokem hvbodě xfunkce fpomocírekurentníhopředpisu k h f(x)= k 1 h f(x+h) k 1 h f(x), kde z nultou diferenci vpřed bereme přímo funkční hodnotu 0 h f(x)=f(x). 8 Čtenářznlýzákldůmtemtickénlýzysemůžeodůkzpokusitsám.Npovímemu, že se využije tzv. Rollov vět. 9 Prozdtnějšíčtenářepoznmenáváme,žesejednáorůznémetodynumerickéhoderivování, numerické kvdrtury, numerického integrování diferenciálních rovnic,... 10 Přívlstkemekvidistntnísevyjdřuje,žetbulkovébodyjsouodsebestejněvzdáleny.
Tedy npříkld 1 hf(x)=f(x+h) f(x), 2 h f(x)= 1 h f(x+h) 1 hf(x)=f(x+2h) 2f(x+h)+f(x). Obecně můžeme k-tou diferenci vyjádřit nerekurentně ve tvru kx k h f(x)= ( 1) k j k f(x+jh). j j=0 Ověření tohoto vzthu ponecháváme do 5. úlohy seriálové série. Jk by čtenáře mohlo npdnout, existují též zpětné diference( centrální diference), le o nich se zde již nebudeme zmiňovt. O diferencích zde píšeme proto, že se pomocí nich djí pro ekvidistntní tbulkové hodnoty zpisovt interpolční vzorce. Jko příkld si uvedeme tzv. Newtonův vzorec pro interpolci vpřed m m m m f(x 1 + hm)=f(x 1 )+ 1 h 1 f(x 1)+ 2 h 2 f(x 1)+ 3 h 3 f(x 1)+ + p h p f(x 1), kde m N 0 symbolem `m znčímepro j j mobvyklékombinčníčíslo,pro j > m pokládáme `m =0.Lskvýčtenářsámnhlédnesouvislosttohotovzorcesevzthempro j Lgrngeovu interpolci. Pomůckou Ti může být vzth dokzovný v 5. úloze seriálové série. Jedn plikce interpolce, inverzní interpolce: N závěr si ukážeme jednu plikci interpolce n řešení nelineárních rovnic, které jsme vyšetřovli v prvním dílu seriálu. Mějme tedy funkci y = f(x), jejíž kořen(nebo kořeny) chceme njít předpokládejme, že známe jejíhodnotyvřděbodů,tkžemáme x x 1 x 2 x 3... x p y= f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 )... f(x p) Předpokládejmedále,že f(x)mávintervlu x 1, x p inverznífunkci,kterouoznčíme g, tj. x = g(y). Nlezení hodnoty g(0) je tedy ekvivlentní s nlezením kořene funkce f(x). Abychom hodnotu g(0) přibližně určili, npíšeme si předcházející tbulku ve tvru y f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 )... f(x p) x=g(y) x 1 x 2 x 3... x p Nyní je již postup nsndě provedeme interpolci tkto získné funkce g v tbulkových bodech f(x 1 ),..., f(x p),kde x 1,..., x pjsoufunkčníhodnotyvtěchtobodechdostneme kýženou proximci kořene funkce f, jko proximci hodnoty y(0). Uvedený postup si můžeš vyzkoušet při řešení 6. úlohy seriálové série.
Numerická kvdrtur V závěrečném povídání seriálu se budeme zbývt numerickým výpočtem obshů ploch pod grfem funkce. Budeme mít zdnou funkci f(x), pro jednoduchost kldnou spojitou n intervlu, b, nším cílem bude spočítt obsh plochy ohrničené osou x, přímkmí x=, x=bgrfemfunkce f(x)(vizvyšrfovnáplochnobrázku). Velikost této plochy oznčujeme symbolem f(x) dx nzývámeurčitýmintegrálemfunkce fnintervlu, b. Obecně, máme-li libovolnou spojitou funkci n intervlu, b, definujeme určitý integrál zfunkce fnintervlu, b jkoobshplochyvpoloroviněndosou x,kterájeohrničen grfemfunkce f,osou xpřímkmi x=, x=b,odkteréodečtemeobshplochyvpolorovině podosou xohrničenégrfemfunkce f,osou xpřímkmi x=, x=b.prokldnéfunkce f zde smozřejmě nedostáváme žádný rozpor s předchozí definicí. S pojmem integrálu se setkáme skutečně n kždém rohu(ve fyzice, technice, chemii, biologii,... ), příkld z fyziky uvádí následující motivce. Fyzikální motivce: Liborek tlčí svůj vozík ze silnice do gráže. Jelikož je silnice nerovná, působí během svého pochodu n vozík různou silou, která je ve vzdálenosti x metrů od silnice rovná 7 x 2+x Newtonu.Jkoupráciběhemsvé5metrůdlouhécestyvykonl? Zdenámfyzikpřímoříká,žehlednáprácejerovnobshuplochypodgrfemfunkce f(x) = 7 x 2+x nintervlu 0,5,tj. W = R b 7 x 2+x dx.nyníovšemvyvstávámtemtická otázk, jk dnou plochu spočítt. Mtemtická teorie integrálu: Existuje spoust metod, jk integrály počítt přesně, bohužel všk tyto metody nepokryjí všechny funkce, které se v plikcích vyskytují. Nším
cílem bude ukázt si, jk se djí integrály počítt přibližně. Dříve než tk učiníme, npíšeme si několik zákldních vlstností integrálu: R b f(x)+g(x)dx=r b f(x)dx+r b g(x)dx,kde f, gjsoufunkcemjícíintegrálnintervlu (, b),tj.integrálzesoučtufunkcíjerovensoučtuintegrálůztěchtofunkcí,cožnenínic překvpivého. R c f(x)dx=r b f(x)dx+r c b f(x)dx,kde f jefunkcemjícíintegrálnintervlu, b c (, b),tj.plochpodgrfemfunkce fvintervlu, b jerovnsoučtuplochpodgrfem tétofunkcevintervlech, c c, b. R b k f(x)dx=k R b f(x)dx,kde kjereálnákonstnt,tj.konstntulzevytýktpřed integrál. Integrál z polynomu: Není nším cílem zde budovt teorii přesného výpočtu integrálu, k tomu čtenáře odkzujeme n literturu o mtemtické nlýze integrálním počtu, pro nše účely si zde jen uvedeme vzoreček pro integrál z polynomu f(x)=c nx n + c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + +c 2 x 2 + c 1 x 1 + c 0. Zvedeme-li si pro polynom f(x) tzv. primitivní funkci předpisem pltí F(x)= cn n+1 xn+1 + c n 1 n xn + c n 2 n 2 xn 1 + + c 2 3 x3 + c 1 2 x2 + c 0 x, f(x)dx=f(b) F(). Uzvřené Newtonovy-Cotesovy kvdrturní vzorce: Nechť n je přirozené číslo, uvžujmeintervl, b.budemehledtpřibližnouhodnotuintegrálu R b f(x)dxvetvru nx H j f(+jh), j=0 kde h= b n, tj.vintervlu, b vezmeme n+1bodů, +h, +2h, +3h,..., +(n 1)h, +nh=b, sečtemefunkčníhodnotyvtěchtobodechpřenásobenékonstntmi H j, j =0,..., n. Integrál R b f(x)dxmůžemetedyvyjádřitvetvru nx f(x)dx= H j f(+jh)+e(f), j=0 ( ) kde E(f) je chyb nšeho vzorce(rozdíl přesné přibližné hodnoty). Je jsné, že vzoreček bude mít prktického užitku, pokud chyb E(f) bude mlá. Zbývánámsmozřejměještěurčitvelikostkoeficientů H j, j=0,..., n.njejichvolbě smozřejmě bude záviset chyb metody.
Oznčmeprojednoduchost x j = +jh, j=0,..., n,pksimůžemevzth( )přepst do tvru nx f(x)dx= H j f(x j )+E(f). ( ) j=0 Koeficienty H j, j=0,..., n,budemepřitomvolittk,byvzoreček( )bylpřesnýpro polynomy stupně nejvýše n. Dostneme pk tzv. uzvřené Newtonovy-Cotesovy vzorce. Vzorceprokoeficienty H j, j=0,..., n:koeficienty H j, j=0,..., n,chcemevolittk, by vzoreček( ) byl přesný pro polynomy stupně nejvýše n, proto uvžujme Lgrngeovu interpolciprofunkci f(x)vbodech x j, j=0,..., n.zminuléhodíluseriáluvíme,žepltí kde f(x)=f(x 0 )g 0 (x)+f(x 1 )g 1 (x)+f(x 2 )g 2 (x)+ +f(x n)g n(x)+e(x), (#) g i (x)= (x x 0) (x x 1 ) (x x i 1 ) (x x i+1 ) (x x n) (x i x 0 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 ) (x i x i+1 ) (x i x n) chybproximce E(x)sedávyjádřitvetvru E(x)=(x x 0 ) (x x 1 ) (x x n) f(n+1) (ξ), (n+1)! kde ξ (, b).z(#)sndnovidíme,že(využívámejentěchvlstnostíintegrálu,kteréjsme uvedli v seriálu, tk se následujících úprv nemusíš bát, i když se s pojmem integrálu setkáváš poprvé) f(x)dx= f(x 0 )g 0 (x)+f(x 1 )g 1 (x)+f(x 2 )g 2 (x)+ +f(x ) g n(x)dx+ E(x) dx, což po drobné úprvě dává vzth nx «f(x)dx= g j (x)dx f(x j )+ E(x) dx, j=0 cožjevškvzorečektvru( ),kdyžzkoeficienty H j, j=0,..., n,chybu E(f)vezmeme čísl H j = g j (x)dx, j=0,..., n, E(f)= E(x)dx. (##) Chyb kvdrturních vzorců: Vzoreček(##) udávl chybu E(f) ve tvru E(f)= E(x) dx.
Čtenář, který je hlouběji obeznámen z pojmem integrálu, si může zkusit dokázt, že pro sudé nexistujetkové ω (, b),že E(f)= f(n+2) (ω) (n+2)! proliché nexistujezsetkové ω (, b),že E(f)= f(n+1) (ω) (n+1)! x (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n)dx, (%) (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n)dx. (%%) Koeficienty pro uzvřené Newtonovy-Cotesovy kvdrturní vzorce: V předcházejícím odstvci jsme nšli vzoreček pro výpočet chyby uzvřených Newtonových-Cotesových vzorců,nynísepodíváme,jkčíselněspočíttkoeficienty H j, j=0,..., n. Nechť n=1,pkchcemespočíttkoeficienty H 0 H 1.Zevzorečku(##)vidíme,žepltí Z x b b H 0 = b dx, H x 1= b dx. S využitím vzorečku pro integrál z polynomu uvedeného n zčátku tohoto dílu seriálu dostneme H 0 = H 1 = b,tj.pro n=1máuzvřenýnewtonův-cotesůvkvdrturnívzorec 2 tvr f(x)dx= b (f()+f(b))+e(f), 2 což je tzv. lichoběžníkové prvidlo. Obdobněpro n=2můžemeodvodittzv.simpsonovoprvidlovetvru f(x)dx= b 6 f()+4 f +b 2 ««+ f(b) + E(f). Uzvřený Newtonův-Cotesův vzorec pro n = 3 si můžeš obdobným způsobem zkusit odvodit v 8. úloze seriálové série. Otevřené kvdrturní vzorce: Čtenáře by mohlo npdnout, že kromě Newtonových-Cotesových kvdrturních vzorců by mohly existovt i vzorce otevřené. Je tomu skutečně tk, jsou to kvdrturní vzorce tvru n 1 X f(x)dx= H j f(x j )+E(f), j=1 tj. n rozdíl od uzvřených vzorců nebereme v úvhu hodnoty funkce f v krjních bodech intervlu, b, kde H j jsou volen tk, že tento vzorec je přesný pro polynomy stupně nejvýše n 2(vpřípděsudého njsoupřesnépropolynomyždostupně n 1).Chybu těchto vzorců lze opět vyjádřit pomocí vzthů nlogických vzorcům(%),(%%).(čtenář,
který je hlouběji obeznámen s pojmem integrálu, si může zkusit tyto vzorce odvodit, jko 9. úlohu seriálové série.) Složené kvdrturní vzorce: Myšlenk složených kvdrturních vzorců je jednoduchá. N intervlu, b uvžujme m+1bodů(mjepřirozené) y 0 =, y 1,...,y m 1, y m= b,pk můžeme dle zákldních vlstností integrálu psát Z y1 Z y2 Z y3 Z ym f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx+ + f(x)dx. y 0 y 1 y 2 y m 1 Nynínkždémzintervlů(y i 1, y i ), i=1,..., m,můžemepoužítjedenzodvozených ( jednoduchých )kvdrturníchvzorcůdostnemesloženýkvdrturnívzorec. Uvžujmenyní n=1rozdělmeintervl, b n mpodintervlůdélky h= b m,tj. vpředcházejícímbereme y i = +ih, i=0,..., m.použijeme-linynívkždémzintervlů(y i 1, y i ), i=1,..., m,uzvřenýnewtonův-cotesůvvzorecpro n=1,dostneme lichoběžníkové prvidlo: 1 f(x)dx h 2 f()+f(+h)+f(+2h)+ Chyb je pk dná výrzem +f(+(m 2)h)+f(+(m 1)h)+ 1 2 f(+mh). (b )3 E(f)= 12m 2 f (ω)= (b )h2 f (ω), 12 kde ω (, b). Rozdělíme-lisi(pro msudé)intervl, b n m 2(b ) podintervlůdélky 2 m použijeme-li n kždém podintervlu uzvřený Newtonův-Cotesův vzorec pro n = 2, dostneme Simpsonovo prvidlo ve tvru f(x)dx h 3 (f()+4f(+h)+2f(+2h)+4f(+3h)+2f(+4h)+ +4f(+(m 3)h)+2f(+(m 2)h)+4f(+(m 1)h)+f(b)), kde h= b m.chybjedánvýrzem (b )5 (b E(f)= 180m 4 f(4) )h4 (ω)= f (4) (ω). 180 Vidíme, že(z předpokldu omezenosti čtvrté derivce funkce f) lze udělt chybu libovolně mlou. Stčí zvolit dosttečně velké m, tzn. stčí rozdělit intervl, b n dosttečně mnoho podintervlů. Stejný výsledek(z předpokldu omezenosti druhé derivce funkce f) dostneme i pro lichoběžníkové prvidlo.
Závěr: V letošním seriálu jsme se zbývli některými elementy numerické mtemtiky. Mohl sis všimnout, že je to t část mtemtiky, která nstupuje v okmžiku, když chceme zjistit číselné výsledky příkldů vzešlých z různých odvětví prxe. Je to proto důležitá část mtemtiky. Výsledky uvádí sice pouze přibližně, le to není důvod nd ní ohrnovt nos. Málokterý příkld z prxe má totiž přesný výsledek. Nvíc, má-li úloh přesný výsledek rovný npříkld číslu π,stálesitotočísločlověkpředstvíjenjko3,14mlýkousek. Řešíme-li složitější úlohy z prxe(fyzikální, technické,...) mohou být neznámými rovnic složitější mtemtické objekty než jen čísl npříkld funkce, množiny v prostoru,..., numerická mtemtik i v tomto přípdě rozvinul bezpočet metod, jk úlohy řešit. Pokud chceme tyto problémy řešit tk, bychom dostli výsledky uspokojující lidi z prxe, již se bez prostředků této prtie mtemtiky neobejdeme. Nezslouží si proto žádné opovržení, vždyť pomáhá stvět mosty, letdl, turbíny, vlky, ut, domy, ponorky,...