Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě trojky Funkce f 1 a f tedy nejsou definované pro = 3 Nás by však ještě zajímalo, jakých hodnot budou obě funkce nabývat pro blízké číslu 3 (z obou stran) Než se pustíme do výpočtu jednostranných it, neodpustím si jednu malou tabulku, která mnohé napoví =,9,99,999,9999 3 3,0001 3,001 3,01 3,1 hodnoty funkce f 1 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,000 6,00 6,0 6, f -58-598 -5998-59998 nelze 6000 600 60 6 Už z této tabulky je patrné, že chování obou funkcí se v blízkosti bodu = 3 zásadně liší Zatímco funkce f 1 nepřípustnou trojku jen jakoby přeskočí či ještě lépe vynechá, funkce f se nám v blízkém okolí bodu = 3 dočista pomátla z mínus hausnumera skočí rovnou do plus hausnumera (fundovaný čtenář odpustí) A to jsem se ještě krotil! Sami si můžete zkusit určit hodnotu f např pro = 3,0000000000000001 To je panečku číslíčko Abychom ještě lépe pochopili, cože se to tam u té trojky vlastně děje, vypočítáme si u každé funkce tzv jednostranné ity Začneme funkcí f 1 6 ( 3) 6 3 3 3 3 3 Limita pro jdoucí k číslu 3 zleva je tedy rovna číslu 6 6 ( 3) 6 3 3 3 3 3 Totéž platí i pro itu jdoucí k číslu 3 zprava Co to znamená? Přesně to, co naznačovala už samotná tabulka Funkce f 1 se v podstatě chová úplně stejně jako lineární funkce y = s tím rozdílem, že bod = 3, kde není definována, přeskočí (vynechá) Grafem funkce f 1 je tedy přímka y = bez jednoho bodu (tuto skutečnost ošéfujeme prázdným kolečkem v bodě = 3, viz obrázek 1)
obr 1 Nyní se zaměříme na funkci f Při určování jednostranných it funkce f v bodě = 3 nepotřebujeme znát žádné matematické kejkle, postačí zdravý selský rozum Ten říká: Dělíme-li něco na stále menší a menší kousíčky, bude těchto kousíčků stále víc a víc 6 3 3 n m č z nmčz = nekonečně malé číslo záporné Limita pro jdoucí k číslu 3 zleva je tedy rovna Takovou itu zveme nevlastní 6 3 3 n m č k nmčk = nekonečně malé číslo kladné Funkce f má pro jdoucí k číslu 3 zprava nevlastní itu rovnu Z výpočtu jednostranných it funkce f v bodě = 3 (a určitě už i z tabulky) je jasné, že sestrojíme-li v kartézské soustavě souřadnic v bodě = 3 přímku rovnoběžnou s osou y, bude se graf funkce f k této přímce pro jdoucí k číslu 3 zleva i zprava stále více přimykat (viz obrázek ) Přímku s těmito vlastnostmi zveme asymptotou bez směrnice (svislou asymptotou) funkce f (jelikož není grafem žádné lineární funkce a nemá směrnici) Pozn K eistenci asymptoty bez směrnice funkce v daném bodě stačí, má-li funkce v tomto bodě jen jednu nevlastní itu (např jen zprava viz příklad 1) Přitom funkce může i nemusí být v daném bodě definována (ale rozhodně nemůže být v tomto bodě spojitá teda aspoň myslím)
obr Závěr: Funkce f 1 nemá asymptotu bez směrnice, funkce f má asymptotu bez směrnice danou rovnicí = 3 sin Př1) Určete asymptoty bez směrnice funkcí f : y ln( 1) a g : y Funkce f se nazývá logaritmická Je definována pro všechna 1; a na celém svém definičním oboru je spojitá Jediným možným bodem, kde by mohla mít asymptotu bez směrnice, je tudíž bod = 1 Těžko budeme vyšetřovat itu této funkce pro jdoucí k mínus jedné zleva, ale jak víme, k eistenci asymptoty bez směrnice funkce v daném bodě stačí jen jedna nevlastní ita v tomto bodě, takže vyšetříme itu pro jdoucí k mínus jedné zprava Ta je podle definice logaritmu rovna Závěr: Funkce f : y ln( 1) má asymptotu bez směrnice danou rovnicí = 1 (viz obrázek 3) = 1 obr 3
Funkce g je definována pro všechna reálná čísla kromě nuly a na obou intervalech ; 0 a 0 ; je spojitá Má-li mít asymptotu bez směrnice, pak jedině v bodě = 0 Vyšetříme tedy jednostranné ity funkce g v tomto bodě Využijeme při tom dvou vět o itách funkcí i jedné známé ity sin sin 0 1 0 0 0 sin sin 0 1 0 0 0 Ani jedna z těchto it není nevlastní Závěr: Funkce g nemá asymptotu bez směrnice (viz obrázek 4) obr 4 Asymptota se směrnicí 1 Vodorovná asymptota Vraťme se k funkci f : y z prvního příkladu Obrázek, na kterém je znázorněn graf 3 této funkce, dává tušit, že např pokles hodnot funkce f pro nebude až do mínus nekonečna, ale že zřejmě eistuje jistá mez (ita), pod kterou se hodnoty funkce pro jdoucí do nekonečna nedostanou Jinými slovy zřejmě bude eistovat přímka rovnoběžná s osou, ke které se bude graf funkce f pro jdoucí do nekonečna stále více přimykat
(v našem případě seshora) Přímku s těmito vlastnostmi zveme vodorovnou asymptotou funkce f a je to speciální případ asymptoty se směrnicí, kdy směrnice je rovna nule (připomínám, že směrnice přímky je rovna číslu tg φ, kde φ je směrový úhel přímky tj úhel, který svírá přímka s kladnou poloosou ) Zbývá otázka, jak vodorovnou asymptotu určit To není nic těžkého, už předchozí odstavec napověděl Stačí vyšetřit ity funkce pro a pro Při jejich výpočtu použijeme: 1) jeden starý známý fígl (a sice vydělení čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou neznámé v našem případě je to 1 ), 1 ) jednu známou itu 0, 3) věty o itách funkcí Pro dostaneme stejný výsledek 3 3 1 0 Závěr: Funkce f má vodorovnou asymptotu danou rovnicí y = (viz obrázek 5) obr 5 Šikmá asymptota Prohlédněte si pozorně ještě jednou obrázek 4 Nic? Nevadí, trochu vám pomůžu
obr 6 y sin Pořád nic? Nechme teď stranou úvahy o tom, že graf funkce g : y na obrázku 6 vypadá jak užovka na placáku, a zkusme si do stejného obrázku doplnit přímku y = obr 7
Chápeme-li asymptotu se směrnicí funkce jako přímku, ke které se daná funkce pro resp pro stále více přimyká, pak z obrázku 7 je evidentní, že přímka y = musí být sin asymptotou funkce g : y A vůbec přitom nevadí, že ji párkrát (ve skutečnosti nekonečně mnohokrát) protne Otázkou je, jak danou asymptotu najít, aniž bychom museli pracně vykreslovat hromady grafů či hádat z křišťálové koule Návod poskytne následující věta: Věta: Přímka y = k + q je asymptotou se směrnicí funkce f pro (resp ) právě tehdy, když eistují vlastní ity: f ( ) k f ( ) k q resp f ( ) k f ( ) k q sin Takže hledáme-li šikmou asymptotu funkce g : y (o rovnici y = k + q), pak musíme logicky nejdříve zjistit směrnici asymptoty k Budeme postupovat podle výše uvedené věty sin sin k 1 1 0 1 Pro dostaneme stejný výsledek Tedy k = 1, což souhlasí s naší hypotézou Nyní určíme posunutí asymptoty po ose y, neboli číslo q sin sin q 1 0 Pro dostaneme opět stejný výsledek, tedy q = 0, což potvrdilo naši hypotézu A nyní již můžeme směle prohlásit: sin Funkce g : y má šikmou asymptotu danou rovnicí y = Pozn Jiný postup, jak by se podle mého skromného názoru dala určit směrnice šikmé asymptoty, vychází z předpokladu, že šikmou asymptotu lze chápat jako tečnu ke grafu funkce f() v bodě = (resp = ) Jelikož derivace funkce v daném bodě je zároveň směrnicí tečny ke grafu funkce v tomto bodě, stačilo by určit obecnou derivaci f () a pak vypočítat f ( ) resp f ( ) Tento postup jsem však zatím nikde neviděl, takže bez záruky Nicméně pro náš konkrétní příklad platí, neboť: cos sin cos sin g ( ) 1 1 cos sin k 1 1 0 0 1 a pro zrovna tak
5 3 arctg Př) Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce h ( ) 1 Postup: 1) Určíme svislé asymptoty ) Určíme vodorovné asymptoty 3) Určíme šikmé asymptoty Na závěr vykreslíme graf se všemi nalezenými asymptotami ad1) Funkce není definována pro = 1 Vyšetříme jednostranné ity 5 3 arctg 5 3 arctg( 1) arctg( 1) 1 1 n m č z n m č z 5 3 arctg 5 3 arctg( 1) arctg( 1) 1 1 n m č k n m č k Obě ity jsou nevlastní, funkce h() má svislou asymptotu danou rovnicí = 1 ad) Určíme ity funkce v nevlastních bodech (tedy pro a pro ) 5 3 arctg 1 Vysvětlení: V čitateli zlomku se nachází polynom vyššího stupně než ve jmenovateli, proto ita musí být nevlastní Při dosazení záporného čísla nekonečně vzdáleného od počátku soustavy souřadnic (trochu neobratná formulace, nicméně napsat nekonečně velkého záporného čísla je asi hloupost) je čitatel kladný a jmenovatel záporný 5 3 arctg Vysvětlení analogické 1 Závěr: Funkce h() nemá vodorovnou asymptotu ad3) Nechť eistuje šikmá asymptota o rovnici y = k + q 5 3 arctg 1 5 3 0 0 0 arctg k 1 0 Pozn Čitatel i jmenovatel jsme vydělili výrazem Pro dostaneme stejný výsledek 5 3 arctg 5 3 arctg q 1 1 5 3 arctg 3 3 arctg = 1 1 3 3 3 arctg 3 arctg 3 0 = 3 1 1 1 0 Pro je celý postup stejný až na závěr 1 =
3 0 5 3 arctg q 1 1 0 3 Závěr: Funkce h() má šikmé asymptoty dané rovnicemi: y = + 3 π pro y = + 3 + π pro A na úplný závěr slibovaný graf obr 8