Základ matematik pro FEK. přednáška Blanka Šedivá KMA imní semestr /7 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Příklad ekonomických vtahů ve formě funkcí více proměnných I Poptávková funkce s konstantní elasticitou ve tvaru q = k p a pa b, kde ávislá veličina je objem boží q a neávislé veličin jsou cen p a p a dále důchod. Koeficient k, a, a a b jsou pak pevně daná reálná čísla vjadřující tvar poptávkové funkce. Vtah určující hodnotu investice A a dobu t, pokud je náma výše úrokové sab r a frekvence připisování úroků n. Pak le hodnotu investice určit například podle vtahu ( P(A, r, n, t) = A + r ) n t. n Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Příklad ekonomických vtahů ve formě funkcí více proměnných II Produkční funkce, které mohou mít například následující tvar q = a + a lineární produkční funkce q = k b b Cobb Douglasova produkční funkce { } q = min c, c input-output produkční funkce q = k ( c + c a ) b a produkční funkce s konstantní elasticitou substituce Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Funkce více proměnných Definice: funkce n proměnných Je-li každé uspořádané n tici reálných čísel [,,..., n ] množin M R n přiřaeno funkčním předpisem f právě jedno reálné číslo, říkáme, že funkce f je funkce n reálných proměnných a píšeme = f (,,..., n ) f : R n R f : [,,..., n ] Množinu M naýváme definičním oborem a načíme D(f ). V případě reálné funkce dvou proměnných používáme též načení = f (, ). Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Funkce dvou proměnných Definice: Funkce dvou proměnných f : = f (, ),... argument funkce, neávislá proměnná definiční obor funkce D(f ) R... funkční hodnota, ávislá proměnná obor hodnot funkce H(f ) R (, ) f (, ) (, ) f (, ) = f (, ) (, ) D(f ) H(f ) Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 5 /
Graf funkce { Pro funkci f je naveme grafem funkce množinu n + roměrných bodů [,,..., n, ] R n+ : [,,..., n] D(f ) a = f (,,..., } n). Je řejmé, že komplení viualiace funkce více proměnných má smsl poue pro n =. V tomto případě je grafem funkce dvou proměnných plocha. Graf funkcí f (, ) = + a f (, ) = + Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Vrstevnice a ře Vrstevnicí funkce = f (, ) s konstantou c R naveme množinu {[, ] D(f ) : f (, ) = c, kde c je konstanta.}. Řeem funkcí = f (, ) ve smslu os s konstantou c R naveme množinu {[, ] : = f (c, ), kde c je konstanta.}. Řeem funkcí = f (, ) ve smslu os s konstantou c R naveme množinu {[, ] : = f (, c), kde c je konstanta.}. Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 7 /
Grafické vjádření vrstevnic funkce f (, ) = + + Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 8 /
Vrstevnice a ře funkce f (, ) = Vrstevnice Ře Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 9 /
Ře funkce f (, ) = ve smslu os Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Ře funkce f (, ) = ve smslu os Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Vdálenost bodů v prostoru R Definice: Eukleidovská vdálenost Uvažujme dva bod, v množině R n, pak vdálenost (metrika) dvou bodů v prostoru R n je ρ(, ) = ( ) + ( ) + + ( n n ). Tato vdálenost se naývá Eukleidovskou vdáleností. maimová vdálenost (metrika) ρ (, ) = součtová metrikou ma {,,..., n n } i=,,...,n ρ (, ) = + + + n n. Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Grafické vjádření růných vdáleností vdálenost bodů A = [, ] a A = [, 5] ρ(a, B) = ( ) + ( 5) = 9 + = 5 ρ (A, B) = ma {, 5 } = ma {, } = ρ (A, B) = + 5 = + = 7 5 B A 5 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Okoĺı bodu Definice Pro bod R n naveme jeho ε okoĺı množinu všech bodů, které jsou od bodu vdálen nejvýše ε a toto ε okoĺı bodu načíme U(, ε). Matematick apsáno U(, ε) = { R n : ρ(, ) < ε}. ρe = ( ) + ( ) ρ = ma {, } ρ = + Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Klasifikace bodů a množin v prostoru R n Definice: Bod R n naýváme vnitřním bodem množin M, pokud U(, ε) M. vnějším bodem množin M, pokud U(, ε) M =. hraničním bodem množin M, pokud pro U(, ε) M je neprádná a ároveň U(, ε) (R n M) je neprádná. Hraniční bod množin může, ale nemusí být součástí této množin. hraniční bod hraniční bod (součást množin) otevřená množina vnitřní bod uavřená množina vnější bod Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 5 /
Lineární funkce jsou funkce ve tvaru f (, ) = a + a Definičním oborem takovýchto funkcí jsou všechna čísla prostoru R Grafem funkce f (, ) = a + b nakloněná rovina. Vrstevnice i ře jsou přímk. f(, ) = + vrstevnice Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Funkce ve tvaru f (, ) = c a a f(, ) = vrstevnice f(, ) = vrstevnice 5 5 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 7 /
Funkce ve tvaru f (, ) = c a a f(, ) = vrstevnice f(, ) = vrstevnice 5 5 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 8 /
Kvadratické form Q(, ) = a + a + a, positivně definitní, pokud pro všechn, platí Q(, ) >, positivně semidefinitní, pokud pro všechn, platí Q(, ), negativně definitní, pokud pro všechn, platí Q(, ) <, negativně semidefinitní, pokud pro všechn, platí Q(, ), indefinitní, pokud eistují, a, tak, že platí Q(, ) > a Q(, ) <. Přehled růných kvadrik le nalét například http://en.wikipedia.org/wiki/quadric Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 9 /
Positivně a negativně definitní kvadratické forma Positivně definitní: f (, ) = + f(, ) = + vrstevnice Negativně definitní: f (, ) = f(, ) = ( + ) vrstevnice Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Positivně a negativně semidefinitní kvadratické forma Positivně semidefinitní: f (, ) = ( + ) f(, ) = + vrstevnice 5 Negativně semidefinitní: f (, ) = ( + ) f(, ) = + vrstevnice 5 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Indefinitní kvadratické forma Indefinitní: f (, ) = vrstevnice f(, ) = Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /
Některé další graf funkcí f(, ) = + f(, ) = f(, ) = + 5 5 f(, ) = ( + )/( ) f(, ) = e cos f(, ) = sin cos 5.5 5 5 5 5 5 5 5 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 /