Simulační modely úrokových měr

Transkript

1 Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jakub Merl Simulační modely úrokových měr Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Oddělení finanční a pojisné maemaiky Vedoucí práce Doc. RNDr. Jan Hur, CSc. Sudijní program: MATEMATIKA - finanční maemaika 2006

2 Na omo mísě bych rád poděkoval Doc. RNDr. Janu Hurovi, CSc. za rpělivos a cenné rady při vedení bakalářské práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samosaně a výhradně s použiím ciovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 3. kvěna 2006 Jakub Merl - -

3 Obsah Úvod...4. Úroková míra Popis modelů Modely Diskreizace Vašíčkova modelu Odhad neznámých Popis da a princip použií modelu Popis meod výpoču v sysému Mahemaica Výpočy v programu Mahemaica Lineární rend Kvadraický rend Závěr...26 Lieraura...27 Příloha

4 Název práce: Simulační modely úrokových měr Auor: Jakub Merl Kaedra (usav): Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Jan Hur, CSc. vedoucího: hur@karlin.mff.cuni.cz Absrak: V předložené práci sudujeme simulační modely úrokových měr. Demonsrujeme simulace na úrokových mírách amerických sáních pokladničních poukázek a London InerBank Offered Rae (LIBOR). V první čási je pojednáno o úrokové míře a jejím významu. Ve druhé uvádíme různé ypy jednofakorových modelů, z nichž se zaměřujeme nejvíce na Vašíčkův model. Popisujeme diskreizaci modelu a odhad neznámých. Další čási práce obsahují popis posupů aplikace Vašíčkova modelu v sysému Mahemaica a výsledky prakické čási simulace úrokových měr. Klíčová slova: simulace, úroková míra, Vašíčkův model, Mahemaica Tile: Simulaion Models of Ineres Raes Auhor: Jakub Merl Deparmen: Deparmen and Probabiliy and Mahemaical Saisics Supervisor: Doc. RNDr. Jan Hur, CSc. Supervisor s address: hur@karlin.mff.cuni.cz Absrac: In he presen work we sudy simulaion models of ineres raes. We illusrae simulaion on ineres raes of reasury bills and London InerBank Offered Rae (LIBOR). The firs chaper inroduces he ineres rae and is imporance. In he second chaper we deal wih differen ypes of one facor shor-rae models, especially we are ineresed in he Vasicek model. We describe discreizaion of a model and esimaion of he unknown. Nex chapers focus on descripion of he mehod of he Vasicek model in he program Mahemaica and resoluion of pracical par of simulaion of ineres raes. Keywords: simulaion, ineres rae, Vasicek model, Mahemaica - 3 -

5 Úvod Tao se práce zabývá simulačními modely úrokových měr. Jak se v dalších kapiolách dozvíme, úroková míra je jedním z fakorů, kerý hýbe finančním svěem. V závislosi na její velikosi a mnoha jiných vlasnosech, keré si ukážeme, se denně rozhoduje nespočené množsví obchodů. Je velmi důležié umě odhadnou její chování, a ak se rozhodnou ve správnou chvíli pro en spravný krok. Teno problém řešilo a bude řeši vždy spousa lidí přes odborníky až po úplné začáečníky. Snad každý z nás se vyskyne v živoě před siuací, kdy bude muse zhodnoi, zda bude invesova při dané hodnoící úrokové míře či nikoli. Rozhodování je oázkou dosupnosi informací, čím více informací máme o daném problému, ím je pro nás rozhodování jednodušší. A ak je o i s úrokovou mírou. Pokud budeme vědě, jak se chová, naše rozhodování bude o o snazší. Právě proo se budeme zabýva analýzou srukury úrokových měr. Konkréním cílem éo práce je dosažení modelu, kerý dokáže danou míru nejlépe popsa. K omuo využiji Vašíčkův model, kerý bude v práci důkladně rozebrán. Dále zmíníme i jiné modely, aby měl čenář ucelenou předsavu o om, kam si Vašíčkův model zařadi a jaké výhody či nevýhody nám poskyuje

6 . Úroková míra Než se budeme věnova samonému modelování úrokových měr, měli bychom si vyjasni pojem úroková míra. Přesože eno pojem není klíčový pro samoné modelování v éo práci, měli bychom přesně vědě, co je úroková míra, co znamená, kdy se používá a jak ji můžeme využí. Úroková míra je chápána jako procenní vyjádření úroku z jisiny (jisina je nesplacená čás dluhu). Teno výrok nám oho příliš neříká - víme, že úroková míra je jakési procenní vyjádření úroku. Nuně nám však vyvsane na mysli oázka, co je edy úrok. Úrok vyjadřuje v podsaě cenu peněz. Ten, kdo půjčuje věřiel, musí odloži současnou spořebu ve prospěch spořeby budoucí. A za uo službu požaduje výnos, finanční odměnu, od oho, komu půjčuje edy dlužníkovi. Pro dlužníka je ao čáska nákladem, za kerou získá možnos spořeby v současné době, již by si jinak nemohl dovoli. V budoucnu však musí splai půjčenou čásku navýšenou o úrok. Ať se podíváme na jakýkoli z finančních rhů (peněžní, kapiálový či úvěrový), na každém z nich se sekáme s ímo jednoduchým schémaem směny peněz. Odehrává se na rhu každou veřinou a je na něm založena drivá věšina obchodů. Neměli bychom však zapomenou, že ao forma půjčování fungovala ješě dávno před ím, než exisovaly peníze ak, jak je známe dnes. Pochopielně s rozvojem moderních echnologií a druhů finančních akiv se oo základní schéma rozvíjí, avšak podsaa zůsává sále sejná. A o je jen jeden z důvodů, proč bychom měli sudova chování éo míry. Abychom ješě lépe pochopili úrokovou míru, uveďme si jednoduchý vzorec, kerý ji vyjadřuje: IR = R. ( ) F 0 IR je nominální úroková míra vyjádřená deseinným číslem, časo se však udává v procenech. R je placený úrok a F 0 je jisina. Z hlediska eorie úrokových měr exisuje několik způsobů, jak můžeme vysvěli chování úrokové míry. Jelikož je ao práce zaměřena na modelování, bude nás spíše zajíma maemaický model, než eoreické popisování chování úrokové míry

7 Proo se omuo émau nebudeme příliš věnova. Aby však zvídavý čenář nebyl ochuzen, uveďme názvy ěcho eorií: Neoklasická eorie úrokové míry, Teorie zápůjčních fondů, Teorie preference likvidiy a v neposlední řadě Teorie očekávání. Jelikož jsme si již uvědomili, že je rozdíl mezi cenou peněz v současné době a v době budoucí, musí exisova maemaické vyjádření, keré yo dvě hodnoy dává dohromady. A právě spojujícím článkem ěcho dvou veličin je úroková míra. Uveďme známé vzahy pro současnou a budoucí hodnou oku plaeb: CF PV =, FV = CF + + ( i) ( i). ( 2 ) V ěcho vzazích si můžeme povšimnou úrokové míry vysupující pod proměnnou i. Je vidě, že na rozdíl od oků peněz CF, keré jsou závislé na čase, je úroková míra sále konsanní. S pevnou úrokovou mírou se na rhu obvykle pokáme jen velmi málo. Teoreicky o můžeme zajisi pomocí podmínek ve smlouvách nebo jinými podobnými způsoby. Konsanní úroková sazba může bý nahrazena proměnlivou a vzorce se nemusejí nikerak měni. Pomocí současné hodnoy můžeme například rozhodova o výnosnosi konkréního projeku. Na jejím základě rozhodneme, zda je účelné realizova daný projek. Pokud je současná hodnoa věší než nula, je výhodné invesova a naopak. Pochopielně závisí i na dalších fakorech, jako je například riziko nebo délka projeku. Tím jsme si ukázali jedno z dalších základních a velmi jednoduchých použií úrokové míry. Úrokovou míru ovlivňuje mnoho fakorů, například míra rizika nesplacení, očekávaná míra inflace, zásoba peněz v ekonomice a mnoho jiných. Jak přesně a do jaké míry působí na velikos úrokové míry, bychom se opě mohli dozvědě z výše uvedených eorií. Podobně jako rozdíl mezi současnou a budoucí hodnoou, rozlišujeme současnou úrokovou míru a úrokovou míru budoucí. Pojmy, keré souvisí s ímo časovým rozlišením, jsou spoová a forwardová úroková míra. Rovnice uvedená níže udává vzah mezi ěmio mírami: T ( ) = ( + s )( + f )...( + f ) st 2 T +. ( 3 ) T Teno vzorec vychází ze složeného úročení. Na levé sraně rovnice je uvedena spoová míra, kerá vyjadřuje, na kolik se zhodnoí akivum od současnosi do - 6 -

8 času T. Na pravé sraně pak vysupuje sazba forwardová, kerá ukazuje vždy zhodnocení za určié časové období v budoucnu. Ukázali jsme si jen zlomek oho, co úroková míra předsavuje. Nicméně i neznalému čenáři by o mělo sači k pochopení pojmu úroková míra a uvědomění si, jak je pro finanční rh důležiá. Kdo zná chování úrokové míry, je ve značné výhodě a dokáže se na rhu pohybova daleko lépe než i osaní. Abychom v éo výhodě byli, musíme ji umě předvída, a proo se budeme věnova modelování ěcho měr

9 2. Popis modelů Nejprve začněme eoreickým úvodem, kerý by nás měl zasvěi do problemaiky modelování. V éo čási uvedeme nejznámější druhy modelů okamžié spoové míry a konkréně popíšeme jeden z nich, kerý v dalších čásech aplikujeme na časové řady úrokových měr. 2.. Modely Hned na začáku uvedeme vzah, ze kerého budou vycháze všechny modely zde zmíněné. Pomocí ohoo vzorce dokážeme popsa jedny z nejjednodušších modelů, keré jsou aké nazývány modely jednofakorovými: dr = µ ( r) d + σ ( r) dz. ( 4 ) Vhodnou volbou funkcí µ a σ získáme řadu užiečných modelů. Uveďme si edy někeré z nich. Rendleman-Barerův model Teno model je z roku 980 a paří mezi základní jednofakorové modely. Dynamika úrokové sazby Rendleman-Barerova modelu je vyjádřena rovnicí ( 4 ) po dosazení ěcho hodno: µ ( r) = µ r σ ( r) = σ r. ( 5 ) Model pracuje s konsanním rendem a konsanní volailiou. Jeho nedosakem je, že v něm chybí vlasnos označovaná jako mean reversion (inveribila procesu). To znamená, že pokud se modelovaná úroková míra začne odchylova od průměrných hodno, eno model na uo skuečnos nebere ohled. Proo při modelování úrokových sazeb není příliš vhodný a použijeme další model, kerý již na uo skuečnos reaguje. Vašíckův model Model je pojmenován po jeho auorovi Oldřichu Vašíčkovi a byl publikován v roce 977 [2]. Model je založen na principu Ornsein-Uhlebenckově procesu

10 Dynamiku úrokové sazby, jako v předchozím případě, dosaneme dosazením do ( 4 ) za proměnné µ a σ z ( 6 ). µ ( ) = a( b r) σ ( r) = σ r. ( 6 ) Jak jsme již naznačili, eno model obsahuje vlasnos mean reversion. To znamená, že pokud se podíváme na rozdíl v závorce, na první pohled zjisíme, že pokud bude úroková míra věší než b, rozdíl je záporný a úroková míra bude lačena směrem dolů. Pokud omu bude naopak, úroková míra bude míři nahoru. Jedná se edy o směřování k průměru a je nuné poznamena, že uo vlasnos mají právě úrokové míry. Úroková míra odpovídá normálnímu rozdělení. Nevýhodou ěcho dvou modelů je skuečnos, že modelovaná úroková míra může dosahova záporných hodno. Cox-Ingresoll-Rossův model (CIR) µ ( r) = a( b r) σ ( r) = σ r. ( 7 ) Teno model je z roku 985 a podobně jako Vašíčkův model obsahuje mean reversion. Má však jednu značnou výhodu. Oproi předchozímu modelu nedosahuje úroková míra záporných hodno pro kladné hodnoy a a b. Důvodem je o, že při přiblížení úrokové míry k nule, je vliv náhodné složky skoro eliminován (při dosažení nuly zcela úplně). Pak má již na velikos úrokové míry vliv pouze hodnoa součinu koeficienů a a b. Jelikož jsou obě hodnoy kladné, i velikos úrokové míry bude kladná. Rozdělení úrokové míry v závislosi na čase je necenrální chí kvadrá. Ho-Leeův model Teno model pochází z roku 986 a uvažuje časově závislé paramery. Podobně jako první model neobsahuje inveribilu, nicméně příomnos časově závislé proměnné nahrazuje eno nedosaek. µ ( ) = θ ( ) σ ( r) = σ r. ( 8 ) - 9 -

11 Hull-Whieův model Model pochází z roku 990 a podobně jako předchozí model uvažuje časově závislý paramer, ale navíc podobně jako Vašíčkův model obsahuje mean reversion. Tedy ješě lépe může vysihnou úrokovou míru. µ ( ) = ( θ ( ) a r) σ ( r) = σ r. ( 9 ) Uvedli jsme si nejznámější základní jednofakorové modely. Shrňme si ješě jednou jejich vlasnosi pomocí přehledné abulky, ve keré vyjádříme dynamiku úrokové míry, možnos záporné úrokové míry a rozdělení, kerému úroková míra odpovídá. Model V dr Dynamika r > 0 r ~ = a( b r ) d + σ dz Ne N CIR HL HW dr = a( b r ) d + σ r dz Ano NC χ 2 dr = θ ( ) d + σ dz Ano N dr = ( θ ( ) a r ) d + σ dz Ano N Tabulka Porovnání modelů, [ ] Pro analýzu a modelování jsme si vybrali Vašíčkův model. Proo se na něj podívejme podrobněji. Ukažme si diskreizaci modelu a odhad paramerů za pomoci lineární regrese Diskreizace Vašíčkova modelu Z předchozí podkapioly víme, jak vypadá rovnice Vašíčkova modelu. dr = a( b r ) d + σ dz ( 0 ) Vzorec převedeme na diskréní verzi. r ( b r ) + ( z z ) + rr = a σ + ( ) Vzorec ješě dále upravíme. Bude nás zajíma závislos úrokové míry v čase + na úrokové míře v čase. Navíc si rovnici můžeme zjednoduši ím, že si - 0 -

12 uvědomíme, že budeme mí k dispozici daa, v kerých bude délka časového kroku jeden den, a edy změna času bude rovna jedné =. Ovšem v rovnici se skrývá ješě jedna neznámá, o keré jsme zaím vůbec nemluvili. V ( 0 ) je o dz a v rovnici ( ) je o rozdíl z v čase + a. Za neznámou z se skrývá Wienerův proces (označovaný jako W()), což je náhodný proces se spojiým časem (uvažuje se kladné ) a počáeční hodnoou W(0) = 0. Nás však bude zajíma jeho přírůsek, neboť en se ve Vašíčkově modelu vyskyuje. Obecně je přírůsek Wienerova procesu W() W(s) gausovský se sřední hodnoou 0 a rozpylem ( - s). Pokud si znovu uvědomíme, že časová změna pro naše daa bude jeden den, rozpyl Wienerova procesu bude roven jedné. Tímo způsobem si vysačíme s posloupnosí nezávislých sejně rozdělených {ε } s rozdělením N(0,). Upravená rovnice pak vypadá ímo způsobem: r + = a b + ( a) r + σ ε. ( 2 ) Podařilo se nám vyjádři rovnici v diskréním varu a nyní pořebujeme odhadnou paramery a a b Odhad neznámých V éo čási odvodíme neznámé v rovnici ( 2 ). K omuo účelu použijeme meodu nejmenších čverců. Na rozdíl od knihy [], kde byla použia meoda maximální věrohodnosi. Pokud se podíváme na rovnici ( 2 ), uvidíme, že se jedná o závislos, kerou lze vyjádři ímo vzahem. r = β + α + σ ε + r ( 3 ) Na první pohled je jasné, že paramery α, β můžeme klasicky vyjádři pomocí lineární regrese. Odvozené vzorce pro yo paramery vypadají následovně. n n r r = ˆ α = n n 2 r = n r r = = n 2 r n = n 2 n n n n n r = = β ( 4 ) r r r r r r ˆ = = = = = = αˆ n n 2 2 n n r r = = n - -

13 Nyní nám ješě zbývá odhadnou paramer sigma. Pokud již známe odhady paramerů α a β, odhadnuá daa můžeme vyjádři ouo rovnicí: rˆ = ˆ β + ˆ α r, =,..., n. ( 5 ) Paramer sigma kvadrá pak můžeme vyjádři za pomocí vzorce ( 6 ), neboť se dá odhadnou pomocí rozpylu rozdílu původních a odhadovaných hodno. n [ ] [ ( ˆ )] 2 r rˆ = r β α r 2 ˆ σ = Var + ˆ ( 6 ) = n 2 Máme-li odhadnuy všechny paramery α, β i σ, je již snadné naléz hodnoy a a b v rovnici ( 2 ). Tedy paramer a je roven - α a b je roven β/a. Našli jsme koeficieny modelu a nyní se již můžeme věnova predikci úrokové míry

14 3. Popis da a princip použií modelu V předchozí kapiole jsme si ukázali, jak ve Vašíčkově modelu odhadujeme paramery. V éo kapiole si ukážeme, jak využí ohoo modelu k simulaci úrokové míry. Nejprve pár slov k výběru našich da. Vašíčkův model lze použí na mnoho ypů úrokových měr. K našemu modelování byly vybrány dvě časové řady. Jedna z nich je hodnoa úrokových sazeb T bills (reasury bills, americké pokladniční poukázky 6 měsíční). Sání pokladniční poukázky (dále jen SPP) jsou zpravidla krákodobé cenné papíry s pevně sanovenou jmenoviou hodnou, keré slouží ke kryí deficiu sáního rozpoču. Obvykle jsou emiované jako diskonované se splanosí do jednoho roku. Teno produk je nejlikvidnějším insrumenem na peněžním rhu a paří k akivně obchodovaným na sekundárním rhu. To je mimo jiné způsobeno jejich velkou bezrizikovosí, neboť sá je v drivé věšině případů nejdůvěryhodnějším akérem na rhu. Druhou časovou řadou jsou úrokové míry LIBOR (London InerBank Offered Rae), což by se v překladu dalo vyjádři jako londýnská mezibankovní nabídková sazba. Je o úroková sazba, za kerou si banky navzájem poskyují úvěry na londýnském mezibankovním rhu. Konkréně jde o arimeický průměr úrokových měr z depozi nad 0 mil. GBP, kerý je nabízen v hodin dopoledne londýnskými referenčními bankami londýnským clearingovým bankám. Obě dvě časové řady jsou dos odlišné. V úrokových sazbách amerických pokladničních poukázek se projevuje rosoucí rend, zaímco sazby LIBOR oscilují kolem průměrné hodnoy. Obě dvě řady se podařilo získa v dosaečné délce s frekvencí jednoho pracovního dne. Nyní se přesuňme od popisu k da k formulaci posupu použií Vašíčkova modelu. Jak již bylo několikrá řečeno, aplikujeme odhad paramerů na časovou řadu. Pokusíme se namodelova novou časovou řadu úrokových sazeb a porovnáme ji s původní časovou řadou. Pokud se ako namodelovaná řada nebude shodova s původní řadou, je pravděpodobné, že v daech byla skrya nějaká rendová složka, se kerou se model nedokáže vypořáda. Proo provedeme pomocí regrese odhad rendu, odečeme ho od původních da a znovu budeme opakova posup s aplikací Vašíčkova modelu. Tako vyvořená daa, ke kerým bude opě přičen odečený rend, by měla odpovída původním daům. Jesli omu ak bude v obou případech či jen - 3 -

15 v jednom, ukážou následující kapioly. Ovšem může se sá, že ani na jednu z vybraných řad nebude model fungova. Poom se nám buď nepodařilo odhadnou rend ve vybraných daech, anebo model není schopen zachyi konkréní chování daové řady

16 4. Popis meod výpoču v sysému Mahemaica Ješě než přisoupíme ke konkréním výpočům, čeká nás kapiola pojednávající o echnickém provedení pořebných výpočů. Ukažme si, jaký sofware budeme využíva, a aké popišme funkce, keré budou pořeba. Jelikož budeme zpracováva poměrně velké množsví da, byl zvolen sysém Mahemaica verze 5.2 od firmy WolframResearch. První verze programu byla uvedena v roce 988 a od é doby prošla mnoha inovacemi. Simulace byly vyvořeny ve verzi 5.2. Nicméně výpoče pravděpodobně funguje i ve sraších verzích, ale ao možnos nebyla esována. Nyní si ukážeme, jak eoreický posup nalezení paramerů provedeme v sysému Mahemaica. Zabudovaná funkce, kerá nalezne koeficieny regrese, se jmenuje Fi[daa, funs, vars]. Za proměnnou daa se dosadí Lis hodno, funs je Lis, kerý vyjadřuje, jak má regresní rovnice vypada. Pro náš případ lineární regrese se dosadí {, x}. Za proměnnou vars se dosadí proměnná x. Nakonec neznámou a získáme odečením α od jedničky a neznámou b dosaneme vydělením β hodnoou a. Další funkce, kerá dokáže odhadnou paramery regrese, se jmenuje Regress a není sandardní funkcí Mahemaicy. Je zabudována do balíku Saisics`LinearRegression`. Proč však pořebujeme další funkci na regresi? Tao funkce nám poskyuje daleko více možnosí než vesavěná funkce Fi. Kromě odhadnuých paramerů nabízí i celou škálu esů, na základě kerých dokážeme rozhodnou, zda jsou regresní koeficieny odhadnuy dobře či španě. Jmenoviě - saisiku a p-hodnoy pro jednolivé paramery, R-squared a dále analýzu rozpylu s F-esem. Jelikož máme dvě funkce, je oázka, kdy jakou budeme používa. Pro odhad paramerů ve Vašíčkově modelu jsme zvolili funkci Fi, proože při použií ohoo modelu nepořebujeme dodaečné informace o regresi. Jak později zjisíme, v daech se projeví rend, kerý jsme předpokládali. Bude ho nuné pomocí regrese eliminova. A právě v uo chvíli použijeme druhou funkci, pomocí keré dokážeme lépe rozhodnou, kerý model rendu zvoli. Ten pak odečeme a můžeme se vrái ke kroku jedna odhadu paramerů. Jelikož již umíme odhadnou paramery nejen eoreicky, ale i prakicky, můžeme přejí k samonému modelování. Pořebujeme vyvoři Lis hodno, ve - 5 -

17 kerém budou odhadnué úrokové míry. Za ímo účelem použijeme vesavěnou funkci NesLis. NesLis[f, expr, n] dosadí na první pozici nově vyvářeného Lisu expr. Na další pozice dosazuje hodnoy, na keré aplikuje funkci f. Teno proces se sále proces opakuje, až bude v řeězci n + členů. My uo funkci použijeme v ješě sofisikovanější podobě: NesLis[( (b+#(- a)) + sigma (Random[NormalDisribuion[0,]]))&, r(0), n]. Co vzoreček vyjadřuje? Opě se bude generova Lis hodno. Ten bude vořen vždy pomocí předchozí hodnoy, kerá však enokrá bude dosazena za #. Tímo způsobem dokážeme vygenerova požadovanou úrokovou míru dle Vašíčkova modelu. Nyní nasává okamžik, ve kerém dojde k prvnímu zhodnocení modelu. Porovnáme původní časovou řadu s nově vyvořenou řadou dle modelu. Přesože se jedná jen o jednu simulaci, kerá nemusí bý zrovna ou nejpřesnější, dosaneme výsledek, podle kerého zjisíme, zda je model dobrý anebo ne. Pokud ne, pokusíme se odečís rend a opakujeme posup. Pokud však dojdeme k názoru, že simulace se zdá bý dobrá, opakujeme simulaci pro daný model. Vygenerujeme více simulací, keré pak zobrazíme do grafu, abychom je mohli porovna s původní úrokovou míru. K omuo porovnání použijme srovnání původní časové řady s novou řadou v jednom grafu MulipleLisplo. Dále vyneseme do grafu průměrnou hodnou simulací, 5% a 95% kvanil. Opě porovnáme s původní daovou řadou a pokusíme se o zhodnocení

18 5. Výpočy v programu Mahemaica Jelikož všechny důležié výpočení posupy byly uvedeny v předchozí kapiole, v éo se zaměříme na výsledky. Ty budou převážně vořeny grafickými výsupy a vlasními hodnoceními. Obě dvě časové řady se pokusíme hodnoi současně, abychom měli srovnání, jak model působí na různá daa. Nejprve si obě časové řady ukažme v grafu závislosi úrokové míry na čase. Hodnoy první řady sáních pokladničních poukázek jsou od počáku roku 2004 až do konce března Vyjadřují šesiměsíční SPP a jsou vyjádřeny v procenech per annum založené na diskonní bázi ak, jak byly obchodovány na sekundárním rhu. Druhá řada LIBOR, akéž šesiměsíční, je uvedena v GBP za sejné období jako řada první. Přeso je délka druhé řady o něco delší, což je způsobeno ím, že v první řadě chybělo několik pozorování. r % T Bills r % LIBOR Graf Časové řady úrokových měr T-Bills a LIBOR Nyní v obou časových řadách odhadneme paramery Vašíčkova modelu s využiím funkce Fi. Výsledky si uveďme pro přehlednos do abulky. Model T-Bills LIBOR a b σ Tabulka 2 Hodnoy paramerů neransformovaných da Můžeme si analyzova yo hodnoy. Vynásobením paramerů a a b bychom měli získa odhad sřední hodnoy a paramer σ by měl bý rozpylem rozdílu - 7 -

19 původní a nové řady. Výsledky vypadají celkem podobně, avšak zjisíme, že nejsou vůbec uspokojivé. Ukažme si simulace pro oba případy. Posupujeme dle vyyčeného plánu a vyzkoušíme nasimulova jednu řadu a zjisi, zda by mohla odpovída původním daům. r 5 T Bills r 4 LIBOR Graf 2 Simulace neransformovaných řad a původní daa Přesože se jedná jen o jednu simulaci, z obou grafů vidíme, že se nám vysihnou úrokovou míru nepodařilo ani v jednom případě (nasimulovaná úroková míra je mavší z obou křivek). Ve skuečnosi bylo provedeno více simulací, avšak pro ilusraci nám sačí ao jedna. Jak jsme si již několikrá naznačili, v původních daech se může skrýva rendová složka, kerou se v další podkapiole pokusíme odsrani. 5.. Lineární rend Trend se pokusíme odsrani pomocí funkce Regress. Nejprve uvedeme výsledky regresní analýzy pro sání pokladniční poukázky. Provedli jsme analýzu lineární regrese. ParameerTable Esimae SE TSa PValue , RSquared , AdjusedRSquared , EsimaedVariance , Vidíme, že eno odhad rendu je zdařilý. P-hodnoa ukazuje, že nemůžeme přijmou hypoézu, že by někerý s paramerů modelu byl nula. Model vysvěluje daa z 99% a odhad rozpylu je velmi malý. Celkový F es aké podpořil vrzení, že eno model je dobře zvolen (P-hodnoa ohoo esu se velmi blížila k nule). Pro hodnoy úrokové míry LIBOR nemáme již ak opimisické výsledky, keré jsme opě shrnuli do abulky

20 Esimae SE TSa PValue ParameerTable , RSquared , AdjusedRSquared , EsimaedVariance Teno výsledek není na první pohled dobrý, neboť hodnoa, kerá vysupuje v modelu u směrnice přímky, je dle p-hodnoy nula. Dalším důvodem je, že model nevysvěluje více než % původních da, což je opravdu nízké číslo, dá se říc, že ho prakicky nevysvěluje vůbec. Přesože se nám zdá, že v omo modelu se nevyskyuje lineární rend, aplikujme sejný posup, edy odečení rendu a opěnou simulaci. Umožní nám o srovnání se SPP. Opě odhadneme paramery a provedeme simulace. Model T-Bills LIBOR a b σ Tabulka 3 Hodnoy paramerů ransformovaných da lineární ransformace Nejprve zobrazme simulaci T-Bills s odečeným rendem. Nalevo vidíme nasimulovaná daa a vpravo očišěná daa od lineárního rendu. Opě je zobrazena jen jedna simulace a vidíme, že se přibližuje k skuečným daům. r simulace T Bills r T Bills bez linearniho rendu Graf 3 Simulace ransformovaných da T-Bills lineární rend Dála si ješě ukážeme, jak ao konkréní simulace bude vypada, pokud k ní přičeme odečený rend (graf 4). Jelikož vypadá dobře, zopakujeme proces generování simulací (50x), a získáme ak výslednou simulaci. Pokud bychom zobrazili všechny simulace najednou by byl graf velmi nepřehledný. Proo uvedeme graf 5, ve kerém bude zobrazen průměr ěcho simulací a 5%, 95% kvanil

21 5 V grafu 4 je nasimulovaná časová řada zobrazena slabší ečkovanou čárou, zaímco původní řada plnou. r T Bills Graf 4 Jedna ze simulací s přičeným lineárním rendem a původní daa T-Bills 5 r Výsledná simulace Graf 5 Výsledná simulace T-Bills - 5%, 95% kvanil, průměr a původní daa

22 Na dalším grafu vidíme, že simulace je velmi zdařilá. Původní daa se vyskyují ve zvoleném pásmu mezi kvanily a oscilují kolem průměrné hodnoy. Nyní se pokusíme provés yo samé operace s druhou řadou LIBOR. r Simulace r LIBOR bez linearniho rendu Graf 6 Simulace ransformovaných da LIBOR lineární rend Vidíme, že simulace je úplně odlišná, a ak nebudeme pokračova v ěcho výsupech. Povrdila se myšlenka, že lineární rend se v daech LIBOR nevyskyuje. Proo se pokusíme aplikova rend kvadraický Kvadraický rend Sice se nám podařilo daa SPP odhadnou lineárním rendem, přeso se pokusíme aplikova kvadraický rend i na ně. Umožní nám o srovnání s day LIBOR. A dále ověříme, zda s kvadraickým rendem nedosaneme ješě lepší výsledky. ParameerTable Esimae SE TSa PValue , RSquared , AdjusedRSquared , EsimaedVariance , Vidíme, že kvadraický model je na srovnaelné úrovni jako lineární. Přidání kvadraického členu může mí v ěcho daech své opodsanění. Proo i pro eno rend ukážeme výsledky simulace da T-bills. Především nás bude zajíma odhad rendu úrokové míry LIBOR, neboť u ní se nám nepodařilo aplikova lineární rend. Jak obsojí rend kvadraický? Esimae SE TSa PValue ParameerTable, RSquared , AdjusedRSquared , EsimaedVariance

23 Výsledky se velmi zlepšily. Dle P-hodnoy nepřijímáme hypoézu, že by nějaký z paramerů byl nulový. Hodnoa R-squared se je lepší o více než 50%. Přeso o není ak uspokojující číslo jako u řady T-Bills. Je edy pravděpodobné, že časovou řadu LIBOR bychom mohli odhadnou ješě jinak a lépe, v naší práci jsme se však omezili jen na lineární či kvadraický model. Jako v předchozí podkapiole provedeme simulace. Model T-Bills LIBOR a b σ Tabulka 4 Hodnoy paramerů ransformovaných da kvadraická ransformace Hodnoy paramerů pro SPP jsou skoro sejné v porovnání s odečením lineárního rendu. Nelze edy předpokláda nějakou výraznou změnu oproi předchozímu příkladu. Ukažme si simulace pro odečený rend. r simulace T Bils r T Bills bez kvadraickeho rendu Graf 7 Simulace ransformovaných da T-Bills kvadraický rend Vidíme, že model celkem úspěšně kopíruje daa z úrokových sazeb z rhu. Přičěme nazpě kvadraický rend a proveďme více simulací. Nejprve zobrazíme jednu vybranou simulaci a poé opě průměrné hodnoy, 5% a 95% kvanil. V grafu 8 je plnou čárou vyznačena původní úroková sazba a slabší ečkovanou vybraná namodelovaná časová řada

24 5 r T Bills Graf 8 Jedna ze simulací s přičeným kvadraickým rendem a původní daa T-Bills 5 r T Bills výsledná simulace Graf 9 Výsledná simulace T-Bills - 5%, 95% kvanil, průměr a původní daa

25 Jelikož máme nyní dvě simulace sejných da založených na různém rendu, můžeme se pokusi zhodnoi, kerá lépe vyhovuje daným daům. V omo konkréním případě se budeme rozhodova velmi ěžko. Obě dvě simulace jsou velmi podobné, žádná v sobě neskrývá něco významně lepšího. I odhady paramerů ve Vašíčkově modely byly velmi podobné. Navíc při odhadu kvadraického rendu, složka u kvadraického členu měla velmi malý koeficien, čímž se přiblížil k rendu lineárnímu. Podívejme se na daa LIBOR. U ěch se nám simulace s pomocí lineárního rendu nepovedla. Jak o bude s kvadraickým rendem si ukážeme nyní. r Simulace LIBOR r LIBOR bez kvadraickeho rendu Graf 0 Simulace ransformovaných da LIBOR kvadraický rend Opě jsme se nedosali k žádnému příliš poziivnímu výsledku. Avšak kvadraický model jen ak nezavrhneme. V levém grafu je jen jedna z mnoha simulací, a ak v celku bychom mohli dojí k úspěšné výsledné simulaci. Přičěme nazpě kvadraický rend. Zachovejme sejné značení řad jako doposud. A ukažme graf průměrných hodno a kvanilů simulací. Pokud se podíváme na výslednou simulaci, zjisíme, že na někerých mísech se původní řada dosane mimo pásmo ohraničené kvanily. Po věšinu času se ale pohybuje uvniř a osciluje kolem průměrné hodnoy. Pokud eno výsledek srovnáme s předchozím, jednoznačnou odpovědí je, že eno model s kvadraickým rendem je výrazně lepší a je schopen vysihnou podsau da

26 6 r LIBOR Graf Jedna ze simulací s přičeným kvadraickým rendem a původní daa LIBOR 6 r LIBOR výsledná simulace Graf 2 Výsledná simulace LIBOR - 5%, 95% kvanil, průměr a původní daa

27 6. Závěr V úvodu jsme si vyyčili poměrně jasný cíl popsaní a použií Vašíčkova modelu na úrokové míry. Teno cíl jsme se snažili v průběhu práce naplni. Měli jsme k dispozici dvě různé časové řady. U amerických sáních pokladničních poukázek jsme nenarazili na žádný věší problém. Po odečení lineárního či kvadraického rendu jsme za pomoci Vašíčkova modelu odhadli paramery a nasimulovali danou časovou řadu bez věších problémů. Více problémů jsme však měli s časovou řadou LIBOR. U éo míry nám odečení lineárního rendu příliš nepomohlo a ao simulace nebyla k ničemu. Naopak odečení kvadraického rendu již bylo o mnoho lepší. Nemůžeme říci, že by se výsledky daly srovnáva s kvaliou odhadu T-Bills. Občas původní časová řada ležela mimo inerval, ve kerém leželo 90% všech simulací. Přeso si myslím, že i ak Vašíčkův model nezklamal. Není pochyb o om, že Vašíčkův model splnil o, co jsme od něj očekávali. Vidíme, že jeho použií je velmi různorodé a bylo by jisě zajímavé ho srovnáva i s jinými modely, nebo ho aplikova na jiná daa (například s věší volailiou než měly naše časové řady)

28 Lieraura [] Brigo D., Mercurio F.: Ineres Rae Models: Theory and Pracice. Springer Verlag, 2nd ediion, 2006 [2] Vašíček O.: An equilibrium characerizaion of he erm srucure. Journal of Financial Economics, /

29 Příloha Daa T-Bills daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) 2..04, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0.7.04, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

30 daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

31 Daa LIBOR daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

32 daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) daum r (%) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,