Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Transkript

1 Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Andrea Friedrichová Sanovení míry expozice na krediní a ržní rizika pomocí meod Value a Risk Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Ing. David Sařík Sudijní program: Maemaika Sudijní obor: Finanční a pojisná maemaika

2 Ráda bych poděkovala Ing. Davidu Saříkovi za rady a věcné připomínky poskynué při vzniku éo diplomové práce, sejně ak jako za jeho ochou a vsřícnos ýkající se naší spolupráce. Dále bych chěla poděkova Ing. Michalu Koblasovi za námě éo diplomové práce. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsala samosaně a výhradně s použiím ciovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne Andrea Friedrichová

3 Obsah 1. ÚVOD METODY VÝPOČTU VAR PŘEHLED METOD MODELOVÁNÍ RIZIKA POMOCÍ VAR PARAMETRICKÉ METODY VÝPOČTU VAR HISTORICKÁ SIMULACE SIMULACE MONTE CARLO MODELOVÁNÍ KREDITNÍHO RIZIKA POMOCÍ METOD VALUE AT RISK MODELOVÁNÍ SOUČASNĚ KREDITNÍHO A TRŽNÍHO RIZIKA ÚVOD DO PROBLÉMU SLOUČENÉHO VAR ZJEDNODUŠENÝ POSTUP VÝPOČTU INTEGROVANÉHO VAR POSTUP S UŽITÍM KOVARIANČNÍCH DAT VÝPOČET INTEGROVANÉHO VAR PRO JEDNOTLIVÉ INSTRUMENTY NUMERICKÁ ANALÝZA ZJEDNODUŠENÝ POSTUP VÝPOČTU INTEGROVANÉHO VAR POSTUP S UŽITÍM KORELAČNÍCH DAT INTEGROVANÝ VAR PRO AKCIE ZÁVĚR LITERATURA

4 Název práce: Sanovení míry expozice na krediní a ržní rizika pomocí meod Value a Risk Auor: Andrea Friedrichová Kaedra: Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Ing. David Sařík, Česká národní banka vedoucího: david.sarik@cnb.cz Absrak: Diplomová práce zkoumá podíl ržní a krediní expozice na celkové míře rizika invesičního indexu. Popisuje modely pro odhad ržního rizika pomocí Value a Risk, a o paramerický přísup, hisorickou simulaci a meodu Mone Carlo. Dále popisuje odhad krediního rizika pomocí Value a Risk. Hlavní náplní je poom popis a aplikace ří meod pro výpoče inegrovaného VaR: inegrovaný VaR modelovaný z hisorických da, inegrovaný VaR s ohledem na kovarianci mezi ržním a krediním rizikem a inegrovaný VaR založený na paramerickém modelu VaR. Tyo modely jsou aplikovány na vybrané akcie finančního indexu S&P 500 a vzájemně porovnány. Klíčová slova: Value a Risk, ržní riziko, krediní riziko, invesiční index, inegrovaný VaR Tile: Deermining he Exposiion Measure of he Credi and Marke Risk Using he VaR Mehods Auhor: Andrea Friedrichová Deparmen: Deparmen of Probabiliy and Mahemaical Saisics Supervisor: Ing. David Sařík, Czech Naional Bank Supervisor's address: david.sarik@cnb.cz Absrac: The hesis examines he share of marke and credi exposiion on he oal rae of risk of an equiy index. The paper describes models for esimaion of marke risk using he Value-a-Risk mehods, which are he parameric approach, he hisorical simulaion and he Mone Carlo simulaion. Furher, i describes he esimaion of credi risk using he Value-a-Risk. The main goal is o descibe and hen o adop in pracise hree mehods for calculaing inegraed VaR: inegraed VaR model based on hisorical daa, inegraed VaR wih regard o he covariance beween marke and credi risk and inegraed VaR based on he parameric 4

5 approach o VaR. These mehods are applied o seleced equiies of he index S&P 500 and compared. Keywords: Value a Risk, Credi risk, Marke risk, Equiy index, inegraed VaR 5

6 Kapiola 1 Úvod Firmy na rhu jsou vysaveny různým změnám, například změnám cen akiv, úrokových měr, směných kurzů, ad. Tyo změny proo vedou k riziku (možnému zisku nebo zráě), kerému se není možné vyhnou, ale je možné jej řídi. Je pořeba se rozhodnou, kerým rizikům se vyhnou a jak, a kerá rizika naopak přijmou a vysavi se jim. Rizika, kerým firmy čelí, se dělí do několika kaegorií: obchodní rizika (specifická pro průmysl a rh); ržní rizika (způsobená pohyby ržních cen nebo ržních měr, např. úrokové míry nebo směnného kurzu); krediní rizika (zráy způsobené neschopnosí proisrany plni své závazky); likvidiní riziko; operační riziko (způsobené selháním vniřních sysémů nebo lidským zaviněním); právní riziko (vzniká, když nemáme dosaečnou jisou, že právně vymůžeme pohledávku od proisrany). Manažeři určují, kerým rizikům bude firma vysavena. V éo práci se budeme zabýva pouze ržním a krediním rizikem. Věšina finančních insrumenů je cilivých na ržní i krediní riziko současně. Tyo dvě rizika jsou poom navzájem propojená. Tao práce si klade za cíl sanovi podíl ržního a krediního rizika na celkové míře rizika, kerému je vysaven nějaký invesiční index, a o pomocí meod Value a Risk. Value-a-risk (VaR), neboli hodnoa v riziku, se sala v poslední době velmi užiečným prosředkem k měření a řízení rizika. V dalším exu budeme používa časější anglický název. Value a Risk určiého porfolia definujeme jako maximální zráu, kerou porfolio urpí za určiý časový horizon, s určiou pravděpodobnosí neboli supněm spolehlivosi VaR. Value a Risk se nejprve osvědčila jako velice dobrý prosředek k měření ržního rizika a je široce užívána pro cenné papíry a deriváy. Dobrým příkladem je sysém RiskMerics vyvinuý společnosí J. P. Morgan [14]. Další, podobný sysém CrediMerics, aké od J. P. Morgan [13], ukázal aké možnos měření krediního rizika pomocí VaR. VaR může bý použia aké jako míra rizika cashflows rizika a v poslední době se objevují meody pro sanovení VaR operačního rizika. 6

7 Druhá kapiola se zabývá různými modely měření ržního rizika pomocí VaR. Nejjednodušší paramerický model využívá určiého rozložení cen akiv, nejčasěji normálního, k výpoču VaR. Hisorická simulace je založena a výrazně závislá na hisorických daech, z ěch se určí pravděpodobné rozložení cen akiv. Přísup pomocí meody Mone Carlo se spoléhá na velký poče simulací vývoje cen akiv, keré budou konvergova ke skuečné disribuci. Třeí kapiola se zabývá možnosí měření krediního rizika pomocí VaR. Také uvádí rozdíly mezi ržním a krediním rizikem. Ve čvré kapiole se seznámíme s vhodnými modely ke sanovení podílu ržní a krediní expozice na celkové míře rizika invesičního indexu. Tyo modely pro výpoče inegrovaného VaR jsou dva modely založené na empirickém výpoču VaR a inegrovaný VaR založený na paramerickém modelu VaR. V páé kapiole jsou modely pro výpoče inegrovaného VaR aplikovány na vybrané akcie finančního indexu S&P 500 a vzájemně porovnány. 7

8 Kapiola Meody výpoču VaR.1 Přehled meod modelování rizika pomocí VaR Pro sanovení Value a Risk máme různé meody. Paramerický VaR používá paramery rozpylu a sřední hodnoy rozložení výnosů porfolia, a časo aké kovarianční maici. Nejvýznamnější a nejpřímější přísup je založen na předpokladu, že výnosy porfolia mají normální rozložení. Teno normální přísup je velmi poddajný a získáme ím velmi jednoduchou formuli pro VaR jako násobek směrodané odchylky porfolia. Problémy nasanou, když výnosy porfolia jsou nelineární funkce podkladových rizikových fakorů (jako jsou např. opce), nebo když rizikové fakory samoné jsou nelineární. Teno paramerický přísup k odhadnuí VaR porfolia je poom nuné modifikova. Hisorická simulace používá hisorická daa k odhadu rozložení výnosů porfolia a VaR se poom určí z éo vyvořené disribuce. Teno přísup má výhodu v om, že se nespoléhá na předpoklad určié disribuce, jako například normálního rozložení, avšak má nevýhodu přímé závislosi na daech, kerá použijeme. Přeso ze zkušenosi víme, že podává dosaečně přesné výsledky. Simulace Mone Carlo a podobné přísupy k modelování Value a Risk aké odhadují VaR pomocí simulované disribuce, ale v omo případě je rozložení odvozeno z předpokladu určiého eoreického procesu výnosů a simulací velkého poču jejich náhodných ces. Myšlenka je, že když vezmeme velké množsví simulací, vyvoříme simulované rozložení, keré bude konvergova k neznámé skuečné disribuci výnosů porfolia. Poom můžeme VaR získa ze simulované disribuce. Tyo echniky jsou schopné zpracova éměř jakoukoliv pozici, ale aké jsou složiější a časově náročnější než předchozí přísupy. Další přísup k odhadu Value a Risk je Sress esing neboli scénářová analýza. Nabízí užiečný doplněk k předchozím přísupům, proože zkoumá efeky možných scénářů na porfolio. Scénářová analýza je neposradaelná při pohledu na naši 8

9 zranielnos vůči nečekaným událosem, keré mohou eoreicky nasa, ale ješě se nesaly nebo nasávají velice zřídka.. Paramerické meody výpoču VaR Pokud budeme předpokláda, že náhodná procházka popisující chování denních výnosů porfolia má husou f(x), kde X je geomerický výnos, a pracujeme se supněm spolehlivosi 1-α (α se věšinou bere 5% nebo 1%). Poom pravděpodobnos, že zráa ρ bude menší než VaR α je: P α [ ρ < VaR ] = f ( R) α VaR 100% dr = α (.1) V praxi se časo předpokládá, že husoa f(x) má normální rozložení se sřední hodnoou μ a směrodanou odchylkou σ. To v mnohém zjednoduší odhad VaR. Když upravíme náhodnou veličinu X s normálním rozložením N(μ, σ) na veličinu Z se sandardním normálním rozložením N(0,1) dosaneme rovnici: VaRα μ VaRα μ P [ X < VARα ] = P Z < = Φ = α σ σ, (.) kde Ф je disribuční funkce sandardního normálního rozložení. Tao ransformace nám umožní nají v abulkách normálního rozložení hodnou α-kvanilu u α, kerý se rovná nebo α + μ VaR. Tedy plaí σ VaR α = μ uασ (.3a) VaRα = u α σ (.3b) VaR α z rovnice (.3a) nazýváme absoluní VaR a z rovnice (.3b) relaivní VaR. Vyjádřili jsme VaR pomocí paramerů polohy μ a měříka σ, keré reprezenují chování výnosů porfolia. Hodnoa VaR aké závisí na délce časového horizonu. Výše uvedené rovnice sačí vynásobi leech. Δ, kde se bere věšinou v dnech nebo Skuečná porfolia jsou ovšem vořena z více komponen. Rozložením na jednolivé prvky získáme lepší předsavu o VaR. Předpokládejme, že porfolio se skládá z n 9

10 akiv, i-é akivum je drženo v množsví w i a jeho výnosy mají rozpyl celého porfolia, σ p, je: σ i. Rozpyl kde σ,0,...,0 1, ρ1,,..., ρ 1 1, n σ 1,0,...,0 w1 [ ] 0, σ,...,0 ρ,1,1,..., ρ, n 0, σ,...,0 = w σ p w1, w,..., wn, (.4) ,0,..., σ n ρ n,1, ρ n,,...,1 0,0,..., σ n wn ρ i, j je korelační koeficien mezi výnosy akiv i a j, a i, j ρ j, i ρ =. Označíme-li w vekor vah C korelační maici [ n napsa zkráceně jako: w 1, w,..., w ], σ diagonální maici směrodaných odchylek n n, n n a w T ranspovaný vekor w, poom můžeme rovnici (.4) σ p =wσcσw T (.5) wσcσw T můžeme dále zjednoduši na wσw T, kde Σ je kovarianční maice výnosů akiv. S použiím (.3b) je VaR porfolia, VaR p,: VaR p 1 Τ [ ] 1 T [ ] 1 T w σcσw P = u wσw P = [ VaR * C VaR ] = uασ p P0 = u p 0 α 0 * Kde VaR je vekor n 1 (.6) hodno VaR jednolivých akiv a P0 je počáeční hodnoa porfolia. Pokud jsou všechny výnosy perfekně korelované, poom maice C je jednoková a VaR porfolia je suma nerozlišených VaR. V opačném případě je VaR porfolia vždy menší než ao suma. K výpoču VaR nějakého porfolia edy pořebujeme odhadnou rozpyly a korelace, dané σ a C, váhy porfolia w známe. Předpoklad normaliy nemůžeme ale vždy použí. Například, když výnosy jsou nelineárními funkcemi rizikových paramerů, jako časo v případě deriváů nebo fixed-income insrumens (v české lierauře nejčasěji označovaných jako insrumeny dluhopisového ypu), nebo když rizikové proměnné nejsou sami normální. Řešením může bý aproximace prvního řádu nebo lineární aproximace výnosů ěcho insrumenů, a poom použií lineární aproximace k výpoču VaR. Tao aproximace prvního řádu je známá jako dela-normální aproximace ([4] Dowd (1998)). Nevýhodou je, že v někerých případech nedosanem dosaečně přesné odhady VaR pro naši pořebu. Pro přesnější odhady VaR obecně exisují dva přísupy, záleží na om, jesli se chceme zaměři na nelineární fakory nebo jejich 10

11 nenormaliu.. V případě nelineariy můžeme použí přesnější aproximace, jako například aproximaci druhého řádu nebo dela-gamma procedury (viz. [4] Dowd (1998)). Vzorec pro výpoče VaR se bude aké liši pro různé pozice (pozice akcií, dluhopisů, směnných kurzů, deriváů, ad.) Další problém při výpoču může bý, že neznáme rozpyl a kovarianci pro všechny insrumeny nebo je nemůžeme použí. Proo je někdy pořeba zmenši kovarianční maici. Tedy zmenši dimenzi kovarianční maice pomocí určiého zobrazení a výběru hlavních komponen (viz. [9] Holon (003))..3 Hisorická simulace Myšlenka hisorické simulace je použí hisorickou disribuci výnosů akiv v našem porfoliu k simulaci VaR porfolia, za hypoeického předpokladu, že jsme oo porfolio drželi po celou periodu, přes kerou známe hisorická daa. Abychom mohli eno posup použí, musíme nejdříve zná všechny insrumeny v našem porfoliu a mí vzorek jejich hisorických výnosů za zvolené pozorovací období. Použijeme váhy našeho porfolia k simulaci hypoeických výnosů, keré bychom měli, kdybychom drželi současné porfolio přes pozorovací periodu. Dále předpokládáme, že ao hisorická disribuce výnosů je aké dobrá aproximace pro rozložení výnosů, kerým budeme čeli v příším období. Odpovídající proceno rozložení hisorických výnosů nás poom vede k očekávanému VaR pro naše současné porfolio. Předpokládejme, že máme T pozorování během období od 0 až T. Když výnos i-ého akiva v čase, { 0,,T} R i,, w i je relaivní váha i-ého akiva je v porfoliu, a v porfoliu máme n akiv, poom výnos porfolia p R v čase je: R p = n i= 1 w R i,, { 0,,T} i (.7) Každé pozorování v čase nám dává konkréní výnos porfolia p R. Vzorek hisorických pozorování nám proo dává disribuci hypoeických výnosů porfolia. 11

12 Následně přejdeme od výnosů porfolia k ziskům a zráám porfolia, a odečeme VaR z hisogramu zisků a zrá. Hisorická simulace má řadu výhod. Hodně z pořebných da by mělo bý k dispozici z veřejných zdrojů. Hisorická simulace se aké dobře zavádí a obyčejně se dá provés v abulkovém procesoru. Jesliže máme daa a určíme odhadní periodu, můžeme začí počía arimeické nebo geomerické výnosy a odečís pak VaR z disribuce zisků a zrá. Další velkou výhodou je, že nezávisí na předpokladech o rozložení výnosů. Nemusíme předpokláda, že výnosy jsou rozloženy normálně nebo s jinou disribucí. Nemusíme ani předpokláda jejich nezávislos v čase. Z ohoo pohledu je hisorická simulace méně zavazující, než přísup založený na specifickém disribučním rozložení. Proo fa ails, se kerými bojuje normální rozložení, nezpůsobují hisorické simulaci žádné problémy. Díky neparamerické povaze hisorické simulace aké odpadá pořeba odhadu rozpylů, korelací a jiných paramerů. Tudíž nehrozí španý odhad paramerů. Hisorické rozpyly a korelace jsou už zachyceny v sadě da a vše co pořebujeme k výpoču jsou akuální výnosy. VaR se pak odeče z hisogramu. Proo se nemusíme zabýva kovariančními maicemi a maicovými operacemi. Nemusíme aké děla předpoklady o podkladových modelech, proože hisorická simulace jako aková nepoužívá žádné modely. Naše modely VaR nejsou proo vysaveny riziku modelu, kerý je spojený s normálními přísupy nebo simulací Mone Carlo. Přísup pomocí hisorické simulace plaí pro všechny pozice a všechny druhy ržního rizika. Proo vyhovuje gamma riziku, riziku rozpylu a podobným rizikům, se kerými má paramerický přísup poíže. Proože hisorická simulace zahrnuje odečíání VaR z odhadnué disribuce, a samá disribuce aké přinese jiné užiečné saisiky. Mezi ně paří šikmos, špičaos, ail zráy a odhady VaR založené na alernaivních supních spolehlivosi. Všechny yo saisiky mohou bý velice důležié pro vyvoření úplného obrazu o riziku spojeném s určiým porfoliem. 1

13 Jelikož běžná hisorická simulace negeneruje indikáory přesnosi našeho odhadu VaR, byla nedávno vyvinuá modifikace hisorické simulace, hisorický jádrový přísup, ([1] Buler a Schacher (1996)), en nám eď dovoluje vyvoři precizní odhady pro modely hisorické simulace. Tao procedura používá odhad jádra k odhadu husoy výnosů porfolia. Teno odhad jádra může bý považován za způsob uhlazení hisogramu výnosů ím, že přiřadí husou ke každému údaji. Poom získáme VaR z hisogramu výnosů jako obyčejně, ale odhad jádra nám eď aké dává údaj o přesnosi našeho odhadu. Hisorická simulace pracuje lépe než normální přísupy. Mahoney [1] dokázal, že hisorická simulace získá nezávislé odhady VaR pro všechny supně spolehlivosi až aspoň do 99%, zaímco normální přísup začne podceňova VaR pro supeň spolehlivosi vyšší než 95%. Hisorická simulace není samozřejmě dokonalá. Jedním z problémů je získávání da. Zvlášě jejich zeměpisné a časové rozmísění. Teno problém ale řeší každý přísup modelování VaR. Také je pořeba dosaečné množsví da pro každý insrumen, kerý držíme, a přiom někeré insrumeny mohou bý nové s krákou nebo žádnou hisorií. Vážnější problém je úplná závislos výsledků hisorické simulace na konkréní řadě hisorických da, keré jsme použili. Základní předpoklad je, že minulos je dosaečně podobná budoucnosi, aby nám mohla dá spolehlivý obraz budoucích rizik, což auomaicky předpokládá, že rizika, kerým budeme čeli v budoucnosi, jsou podobná ěm, kerým jsme čelili v minulosi. Teno předpoklad je časo rozumný, ale v někerých případech může vés k vážně zkresleným odhadům VaR: Daa v naší odhadovací periodě mohou bý neobvyklá. Můžou bý zvlášě klidná, v omo případě bude riziko podceněno. Nebo naopak mohou bý nezvykle nesálá, a v omo případě naše odhady VaR budou pravděpodobně příliš vysoké. Pokud nasane neobvyklá událos (např. velký propad ržních akcií nebo krize směnného kurzu) bude v omo případě náš odhad VaR asi příliš vysoký a zůsane ak, dokud efeky éo událosi nevypadnou z naší sledované periody. Naše předpovědi VaR by byly zkreslené po celou uo dobu. 13

14 Přísup pomocí hisorické simulace má aké poíže s rvalými změnami rizikových fakorů. Když nasane rvalá změna, riziko směnného kurzu bude nadále příomné v sadě hisorických da a bude se vyráce jenom posupně s časem a se sarými day. Tao změna bude plně odražena v odhadech VaR až po om co budou nahrazena všechna sará pozorování. Žádný způsob předpovědi VaR založený na hisorických daech nemůže vyhově možným budoucím událosem, keré nenasaly v období sledovaných hisorických da. Z ohoo důvodu procedury hisorické simulace pracují jenom s riziky odraženými v určiém hisorickém odhadovacím období. Například, když nenasalo žádné znehodnocení v období hisorických da, procedura hisorické simulace by proo považovala riziko směnného kurzu za velice malé. Nicméně opravdové riziko směnného kurzu může bý mnohem vyšší, zvlášě v případech, kdy rh očekává změnu směnného kurzu po dlouhém období sabiliy. Délka hisorické sledovací periody je aké závažný problém. Na jednu sranu chceme dosaek da, ze kerých můžeme vyvodi spolehlivé závěry o rozložení naší disribuce, proože krajní (fa ails) událosi jsou dle definice neobyčejné, pořebujeme dosaečně dlouhý běh da, abychom dosali spolehlivé výsledky. To je zvlášě případ, kdy se zabýváme VaR založeném na vysokém supni spolehlivosi. Čím jsou fa ails exrémnější, ím delší musí bý odhadovací perioda. Za předpokladu, že podkladová daa zůsanou sejná po celou dobu odhadování, budeme pravděpodobně chí delší periodu, abychom maximalizovali přesnos našich výsledků. Přeso je možné, že dokonce i dobře se chovající daa budou vykazova během času nějaké sysemaické chyby, což může vés k upřednosnění o něco kraší odhadovací periody. V omo případě informace obsažené v nedávných pozorováních by byly užiečnější než informace obsažené ve sarších pozorováních. Jesliže je edy oceňovací období příliš kráké, nebudeme mí dosaek hisorických pozorování, ze kerých by jsme mohli vyvodi závěr, když je ale oo období příliš dlouhé, odhad může klás příliš velký důraz na sará daa a bý nedosaečně cilivý na nové informace ([8] Hendricks (1996)). Řešením je někdy vážená hisorická 14

15 simulace. Jednolivá pozorování rozlišíme podle oho jak daleko nazpě nasaly: čím sarší jsou, ím menší by byla jejich váha. Hisogram sesrojíme z vážených pozorování zisků a zrá. Každé pozorování by edy mělo nejvěší efek na odhad VaR právě poom co nasalo, dále by jeho vliv usupoval a posupně přešel na nulu. Tao vážená hisorická simulace má proo požadovanou inuiivní vlasnos, že událosem, keré nasali dříve, je dána menší důležios než novějším událosem..4 Simulace Mone Carlo Tao kapiola se zabývá meodou Mone Carlo a podobnými meodami, keré oceňují VaR na základě výsledků simulací, odvozených ze saisických a maemaických modelů. Myšlenka je simulova opakovaně náhodný proces řídící ceny finančních insrumenů, keré nás zajímají. Každá simulace nám dává možnou hodnou pro naše porfolio na konci našeho cílového horizonu. Pokud provedeme dosaečné množsví ěcho simulací, modelovaná disribuce hodnoy porfolia bude konvergova k neznámé opravdové disribuci a můžeme použí simulované rozložení k získání VaR. Teno proces simulace zahrnuje celou řadu specifických kroků. První je volba modelu pro cenu úroku. Když jsme vybrali model, odhadneme jeho paramery rozpyl, kovarianci, ad. na základě jakýchkoliv dosupných hisorických nebo ržních da. Další krok je konsrukce fikivního vývoje cen pro zahrnué náhodné proměnné. V případě Mone Carlo simulace sesavíme eno vývoj cen pomocí náhodných čísel. Meoda kvasi-mone Carlo sesaví yo vývoje pomocí kvasináhodných čísel, kerá nepředsírají, že kopírují reálná náhodná čísla jako aková, ale naopak se snaží naplni hlavní inerval více jednoně a vyhnou se shlukům, keré se vyskyují u pseudo-náhodných čísel (viz. [4] Dowd (1996), kap. 5). Každá sada náhodných čísel vyvoří hypoeickou konečnou cenu pro související insrumen a ako provedeme podobné výpočy pro osaní insrumeny v porfoliu k vyvoření konečné možné hodnoy porfolia jako celku. Tyo simulace poom opakujeme dosaečně dlouho, abychom si byli jisi, že modelované rozložení hodnoy porfolia je dosaečně blízko skuečné disribuci hodno ohoo porfolia. Teď už sačí jen odečís VaR z modelované disribuce. 15

16 Meody Mone Carlo a Kvasi-Mone Caro jsou velmi silnými násroji pro odhad VaR a dokážou zpracova jakýkoliv yp porfolia, avšak jsou aké složié a časově náročné. Na meodě Mone Carlo oceníme o, že ji můžeme použí v případech, kdy jednodušší meody jsou nevhodné. Tao simulace je ale časově náročnější. Například, pokud máme jednoduchou normální pozici, a pořebujeme rychlý výsledek, nebudeme simulova Mone Carlo, proože můžeme vypracova VaR snadněji a přímo: už víme že VaR je u σp0, akže sačí odhadnou jen σ. Meodu α Mone Carlo by jsme použili, když nebudeme omezeni časem a ve složiějších případech, kde přímý posup není k dispozici, je počeně náročný nebo je nedosaečně přesný pro naše účely. Meody Mone Carlo jsou zvlášě užiečné, když řešíme mnohorozměrné problémy (zn. kde výsupy záleží na více než jedné rizikové proměnné) a ím užiečnější, čím vyšší je dimenze. K modelování porfolia s jedním akivem pořebujeme nejprve popsa chování ceny akiva. Jednou z možnosí je použí spojiý proces dp = σ dz, kerý popisuje změnu současné ceny dp v závislosi na rozpylu σ a sandardní normální veličině Z. Poom plaí p vyjádření je poom: = p 1 + σz Δ, kde pro jednoduchos bude Δ = 1. Rekurzivní p T = T 1 + σ Z i (3.1) i= p Použiím generáoru náhodných čísel dosaneme řady hodno Z,..., Z, Z + 1 a dosadíme do rovnice (3.1). Tuo cenu vynásobíme počem držených akiv. Když budeme proces opakova dosaečně mnohokrá, disribuce simulovaných hodno porfolia bude konvergova ke skuečné husoě. T U porfolia s více různými akivy je věšinou pořeba simulova více Z-procesů, s výjimkou dvou speciálních případů, ve kerých je procedura skoro sejná jako u jednoho akiva. První případ je když jsou ceny navzájem nezávislé, poom dosaneme sousavu rovnic: 16

17 p p 1,, p = p 1, 1, 1 σ Z σ Z 1,, (3.) Hodnou porfolia PV poom získáme vynásobením rovnice (3.) vekorem [ x ] x,, 1, udávajícím počy podkladových akiv. Hodnoa porfolia v čase T je: T PV T = PV i i= 1 (3.3) Druhý případ je, když jsou ceny mezi sebou perfekně korelované, poziivně nebo negaivně. V omo případě se sousava rovnic (3.) změní na p p 1,, p = p 1, 1, 1 σ 1 + ± σ 0 Z 0 Z 1,, (3.4) Poíže nasanou když yo ceny nejsou perfekně korelované. Sousava pak vypadá: Kde a i, j p p 1,, p = p 1, 1, 1 a + a 1,1,1 a a 1,, Z Z 1,, (3.5) jsou funkce podkladových rozpylů a korelací. K řešení ohoo problému se obyčejně používá Choleskiho rozklad. Rovnici (3.5) upravíme na první diferenci a označíme vekor Δ jako Δp, maici a i,j jako A a vekor Z i,j jako Z. Každou p i, sranu rovnice vynásobíme její ranspozicí: Δ T p Δp = AZ Z T A T. Levá srana rovnice se rovná kovarianční maici Σ, a proože proměnné Zi, jsou nezávislé T se sandardním normálním rozložením, očekávaná hodnoa maice Z Z je 1,0 jednoková maice. Skuečné hodnoy A poom jsou A =. 1/ ( ) ρ, 1 ρ Choleskiho rozklad pracuje i pro porfolio s n akivy. Nezáleží na poču akiv zahrnuých v porfoliu, maice A bude modifikovaná maice Σ. Pokud všechny proměnné budou nezávislé, pak maice bude mí sejnou dimenzi jako Σ. Důležiý aspek simulace Mone Carlo je dobrý generáor náhodným čísel, jehož cyklus je dlouhý, aby se nám řady nemohly opakova. Další problém je zajisi, aby naše odhadovaná kovarianční maice byla poziivně semi-defininí. Obvykle 17

18 se akiva zobrazí na menší poče základních komponen, ím se zmenší dimenze. To nám aké významně zrychlí výpoče. Aby byla simulace spolehlivá, je pořeba velký poče ierací. To je samozřejmě velice časově a výpočeně náročné. Exisuje řada echnik pro redukci rozpylu, keré dokáží posup výrazně zrychli, například Maringalová rozpylová redukce navrhnuá Clewlowem a Carverhillem (1994) []. Výsledky simulace Mone Carlo aké výrazně závisejí na modelu použiém k popisu odpovídajícího cenového procesu. Použií éo simulace nás edy vysavuje riziku modelu. Proo je důležié zvoli správný model. To je jasné pro pozice, kde je k dispozici jeden sanovený model, ale složiější pro y, kde můžeme vybra z více alernaivních modelů, z nichž každý má své výhody a nevýhody. Proo je dobré porovna naše výsledky se simulací výsledků založených na jiných modelech. Výběr správného modelu záleží na insrumenu, jehož cenu chceme modelova, a někdy na fakorech, jako například jak přesné chceme, aby byly naše modely. Pro pozice akcií se časo používá předpoklad geomerického Brownova pohybu. Teno model předpokládá, že cena akcie S je řízena procesem kde ds / S = μ d + σdw (3.6) dw = ΔZ, Z je náhodná veličina se sandardním normálním rozložením, S je cena akcie v čase, μ je drif a σ je volailia změny ceny akcie. Změny ceny akcie jsou edy ovlivňovány náhodnou sandardní normální proměnnou Z. Směrodaná odchylka ceny akcie aké klesá, když se délka časového inervalu Δ zmenšuje, ao vlasnos vylučuje velké skoky v ceně a charakerizuje proces jako Brownův. Pokud chceme, můžeme aké dovoli změnu drifu μ a rozpylu σ v čase. Modelování ceny fixed-income insrumenu je naopak mnohem složiější. Tradiční přísup je pomocí durace a konvexiy, abychom se vyhnuli modelování ceny dluhopisu jako akového: ( 1/ ) C( Δ ) m Δ p / p D Δy + y (3.7) Všechno, co pořebujeme je, zjisi hodnoy paramerů modifikované durace (D m ) a konvexiy (C) a zada je do rovnice (3.7), abychom zjisili přibližný pohyb ceny 18

19 dluhopisů, p, v závislosi na daných změnách výnosů do splanosi. VaR poom získáme celkem snadno z předpokládané husoy procesu výnosu dluhopisu. Proces durace-konvexia se snadno používá, ale má aké několik známých nevýhod (např. aproximace nemusí bý dobrá, základní modifikovaná durace nedovoluje změny varu výnosové křivky, ad.). Navíc se eno posup nedá použí u řady deriváů úrokové míry, zvlášě pak u někerých exoických. Kvůli ěmo problémům se dává obyčejně přednos alernaivnímu, ale poenciálně složiějšímu přísupu akuálního modelování odpovídající ceny akcií. Musíme si poom vybra z velkého poču jeden určiý model. Jednou z možnosí je Cox- Ingersoll-Ross model, (viz. Cox-Ingersoll-Ross (1985) [3]): dr ( μ r ) d σ r dw = κ + (3.8) Teno model má výhodu v om, že zachycuje fak, že úrok směřuje k návrau ke svému průměru: když je r hodně vysoké, poom je první člen záporný a úroková míra bude klesa, a naopak. Věšinou se dnes užívají modely bez arbiráže, nejznámější jsou Heah, Jarrow a Moronovy modely ([5], [6], [7]). Velkou nevýhodou běžného modelu Mone Carlo je jeho relaivní pomalos. Ta vzniká hlavně kvůli endenci pseudonáhodných čísel se shlukova. Nejlepší by proo bylo rozmísi naše náhodná pozorování rovnoměrněji, což dalo za vznik dalším alernaivám simulace Mone Carlo, známé jako kvasi-mone Carlo ([4] Dowd (1998)). 19

20 Kapiola 3 Modelování krediního rizika pomocí meod Value a Risk Krediní riziko můžeme definova jako riziko zráy vzniklé neochoou nebo neschopnosí proisrany plni své závazky. Příkladem jsou například rizika držielů dluhopisů, keří jsou vysaveni riziku možnosi, že vypisovael dluhopisů zkrachuje nebo riziko, kerému je vysaven držiel opcí, že vypisovael opce nedodrží smlouvu při jejím uplanění (call). Krediní riziko má ři hlavní čási: Pravděpodobnos defaulu: pravděpodobnos, že proisrana nebude schopna plni své závazky. Míra návranosi (recovery rae): čás naší pohledávky, kerou dosaneme zpě, když proisrana selže. Krediní expozice: krediní expozice souvisí s čáskou, kerá je vysavena zráě při defaulu. To se obyčejně inerpreuje jako náhradní hodnoa (replacemen value) konraku při defaulu, neo čehokoliv co očekáváme, že dosaneme od proisrany. Tyo ři komponeny krediního rizika se analyzují a měří, a vyšeřuje se jak insiuce můžou ovlivni yo fakory, aby redukovaly své krediní riziko. Je důležié se zmíni o om, jak se krediní riziko změnilo v posledních leech. Tradičně, krediní riziko bylo hlavně zájmem managerů bankovních půjček, držielů dluhopisů a analyiků krediního raingu. Základní oázkou bylo zda povoli půjčku nebo koupi dluhopis, a vysavení ransakcí kredinímu riziku se vzahovalo k účení hodnoě půjčené čásky plus nakumulované úroky. Krediní riziko se od é doby salo značně složiější. Zaímco půjčky a dluhopisy jsou sále důležié, velká čás krediního rizika eď vzniká z ransakcí s deriváy. O krediní riziko se proo zajímá mnoho insiucí, keré se podílejí na rhu s deriváy, z nichž mnoho neslo jen malé krediní riziko v minulosi, s výjimkou pro rh s úvěry, keré poskyovaly svým klienům. Navíc, oo novější krediní riziko je časo méně průhledné a složiější k ocenění než radiční krediní riziko. Je náročnější k odhadnuí ze ří hlavních důvodů: 0

21 Pomyslné množsví nám časo dává malou informaci o krediní expozici deriváů. U bankovní půjčky jsme aspoň věděli, že účení hodnoa půjčky nám dává ušení, kolik můžeme zrai. Mohli jsme poom odhadova naší pravděpodobnou zráu použiím odhadů pravděpodobnosí defaulu a míry návranosi na uo pomyslnou čásku. Nicméně deriváové smlouvy nemají časo jasný vzah mezi smluvní hodnoou a jeho krediní expozicí. Například swapové nebo forwardové smlouvy budou obyčejně mí nulové počáeční hodnoy, a přeso obě smlouvy mohou způsobi velké zráy, když se podkladové proměnné výrazně pohnou španým směrem. Proo, když nějaká insiuce uzavře deriváovou dohodu, není časo hned zřejmé, kolik opravdu přebírá krediního rizika. Krediní riziko spojené s pozicí deriváů se může výrazně liši, a o komplikovanými způsoby s pohyby podkladových cen (cylindrické opce). V někerých případech se nejvěší zráy objevují, když se podkladová cena vůbec nehýbe (např. dlouhé sedlo). Krediní riziko deriváů je dále komplikováno efeky porfolia. U půjček víme, že celkové vysavení je úzce spojeno s celkovou půjčenou hrubou čáskou. Avšak u deriváů nemáme žádná jednoduchá pravidla ke spojení celkové krediní expozice a hrubé velikosi porfolia deriváů. Když máme dvě nulové hodnoy FXforwardové smlouvy a hodnoa jedné smlouvy vzrose, když podkladový směnný kurz rose, ale druhá klesá, poom krediní expozice ěcho dvou smluv se bude pohybova opačnými směry, když se změní směnný kurz. Obecně nemůžeme dosa přesný obraz celkového krediní expozice přidáním jednolivých expozic, proože jednolivé expozice se mohou vzájemně ovlivňova. Proo není překvapením, že insiuce měly poíže, když poprvé začaly pracova s krediním rizikem deriváů, z důvodu nedosaku zkušenosí se smířily s meodou pokusů omylů. Například, když byly poprvé použiy swapy úrokových měr na začáku 80-ých le, insiuce časo požívaly swapy k vyrovnání nákupu dluhopisů, proože o naznačovalo, že swap má sejné krediní riziko jako nákup dluhopisu od sejné proisrany. Nanešěsí, ao procedura přehlíží jeden důležiý rozdíl: zaímco společné nákupy dluhopisů naznačují závazky k placení kupónu a hlavních plaeb, swap úrokových měr nezahrnuje žádnou výměnu hlavních plaeb k dau splanosi 1

22 a jenom předpokládá závazek dodržení společných kupónových plaeb. Proo swap úrokových měr zahrnuje menší krediní riziko, ypicky výrazně, než odpovídající společný nákup dluhopisů. Výsledkem bylo, že společnosi začaly přeceňova riziko defaulu swapů. Ale s časem, když defauly nasávaly jen zřídka, vyvsala opačná endence považova swapy úrokových měr za insrumeny neobsahující žádné krediní riziko. Pravdou je, že swapy úrokových měr jsou riskanní, ale určiě ne ak riskanní jako dluhopisy. Tradičně jsou míry defaulu určeny úvěrovými kancelářemi pomocí informace z finančních výkazů, vědomosmi o hisorii firmy, obrazu kvaliy firemních managerů a odhadu jejích vyhlídek. Moody s a Sandard & Poor s nedávno zveřejnili sudie defaulů dluhopisů v USA, keré dovolují použí současný krediní raing k předpovědi míry defaulu za určié časové období. Tyo příklady naznačují, že exisuje silná negaivní korelace mezi krediním raingy a míry defaulu, a že eno objev nám dovoluje použí současné krediní raingy k předpovědi míry defaulu dluhopisu. Druhý hlavní fakor ovlivňující krediní riziko je čáska, kerá se nám navráí, když se proisrana dosane do defaulu. Tedy čím vyšší je ao čáska, ím menší je krediní riziko. Není překvapením, že míry návranosi se výrazně liší. Závisejí na hodnosním zařazení krediora: míry návranosi se obyčejně pohybují mezi 10-50% pro podřadné dluhy, 30-70% pro nadřazené nezajišěné dluhy a 40-90% pro zajišěné dluhy, a deriváy mají věšinou sejné posavení jako nadřazené nezajišěné dluhy. Míry návranosi aké záleží na konečné hodnoě a krediním raingu zdefaulované firmy, vyjednávací síle různých skupin, na volnosi právního procesu a jiných relevanních fakorech. Tyo čísla aké dávají jasnou známku o om, že soudy neuplaňují pravidlo absoluní přednosi, akže junior věřielé časo dosanou určiou plabu, i když nadřízení věřielé nejsou plně vyplaceni, a o i přes pravidlo absoluní přednosi, keré by mělo v principu požadova, aby byly věřielé vyplaceni přesně podle svého pořadí.

23 Rozdíly mezi krediním a ržním rizikem Krediní a ržní riziko se liší v mnoha ohledech: K řízení krediního rizika pořebujeme dáva pozor na pravděpodobnosi defaulu, míry návranosi v defaulu a ideniu naší proisrany fakory, keré přímo nesouvisí s ržním rizikem. Když pracujeme s ržním rizikem, věšinou se zaměřujeme na riziko jednoho, časo relaivně krákého časového horizonu. Když pracujeme s krediním rizikem, časo se zaměřujeme na riziko za mnohem delší časový horizon, dokud není krediní riziko eliminováno. Předpoklad normaliy pro krediního riziko je mnohem problemaičější než pro riziko ržní ceny. Jsou pro o dva důvody: a) Normalia se hůř odůvodňuje přes delší časový horizon, časo významný pro krediní riziko. b) Když pracujeme s riziky souvisejícími s krediním rizikem, zásadní proměnná rizika možný výsky defaulu není sama normálně rozložená, a proo je ěžší zacháze s výsledným krediním rizikem s normálním rozdělením. Když se pokoušíme konrolova ržní riziko obyčejně zkoušíme zavés limiy na pozice individuálních jednoek v naší organizaci. Když se pokoušíme konrolova krediní riziko, pokoušíme se uloži limiy na jinou sranu (proisranu) jako na celek. Zaímco oázky ržního rizika jsou právně jasně vymezené, krediní riziko obklopuje mnoho velkých právních nejiso (např. právní saus prolongovacích (neovacích) smluv, vlasnicví kolaerálu při defaulu), a yo nejisoy jsou velkým zdrojem sarosí pro managery krediního rizika a koncernových právníků. Insiuce čelí krediní expozici na smlouvu jenom ehdy, když má eno konrak kladnou ržní hodnou vůči éo insiuci. Jeho cena náhrady se pak rovná jeho kladné ržní hodnoě mínus cokoliv, co je vráceno od zdefaulované proisrany. Když má naopak smlouva zápornou hodnou, insiuci nikdo nic nedluží, a proo nemá žádnou současnou krediní expozici. Proo cena náhrady smlouvy je 3

24 Max(ržní hodnoa - hodnoa navráceného, 0). V praxi nás obyčejně zajímají čyři druhy expozice: očekávaná krediní expozice a očekávaná dafaulová zráa, maximální možná krediní expozice a maximální možná dafaulová zráa, za daného supně spolehlivosi. Očekávanou krediní expozici můžeme naléz určením husoy pro naši neo cenu náhrady buď eoreickou, jako např. normální rozložení, nebo empirickou založenou na reálných daech a její sřední hodnoy. Nechť x je odhadovaná cena náhrady (replacemen value) smlouvy v čase. Když x má husou f(x), očekávaná krediní expozice je: ( ) Očekávaná krediní expozice = Max x,0 f ( x) dx (3.1) Tao rovnice nám říká, že očekávaná krediní expozice je vážený průměr možných krediních expozic, kde každá krediní expozice je maximální čáska, kerou nám dluží, pokud je kladná, jinak nula. Pokud je f(x) normální se směrodanou odchylkou σ, poom Očekávaná krediní expozice = σ π (3.) Očekávaná krediní expozice je proo násobek směrodané odchylky odhadované ceny náhrady. Můžeme aké odhadova očekávanou defaulovou zráu. To je zráa v okamžiku defaulu krá pravděpodobnos, že smlouva je in-he-money a proisrana defauluje, a ao pravděpodobnos je obyčejně pravděpodobnos defaulu krá ½. Takže: Očekávaná defaulová zráa = Očekávaná krediní expozice.p[defaul]/ (3.3) Z oho očekávaná defaulová zráa při normálním rozložení je Očekávaná defaulová zráa = σ.p[defaul]/ 8 π (3.4) Tao očekávaná defaulová zráa nám říká, kolik můžeme očekáva, že zraíme z naší odhadované krediní expozice na dané smlouvě za určiou periodu. Je o velice prakická informace o ceně a měla by vždy bý odvozena z očekávaných výnosů smlouvy, jesliže chceme dosa vhodný odhad očekávaného zisku projeku. Můžeme aké odhadova maximální krediní expozici na určiém supni spolehlivosi. Nesmíme oo maximum zaměňova s možnou maximální krediní 4

25 expozicí. Maximální krediní expozice, kerou se zabýváme je horní hranice inervalu spolehlivosi pro odhadovanou cenu náhrady. Když zvolíme supeň spolehlivosi 95%, získali by jsme maximální krediní expozici, kerou můžeme očekáva v 19 dnech z 0. Teno odhad můžeme považova za druh krediní expozice na riziko, nebo kráce Credi a Risk, a můžeme jej formalizova sejným způsobem jako očekávanou expozici. Pokud předpokládáme, že cena náhrady je normálně rozložená, poom Credi a Risk na 95% supni spolehlivosi je 1,65σ. Too číslo nám dává odhad naší nejpravděpodobnější krediní expozice za určiou dobu. Může o bý velice užiečná informace, když se rozhodujeme o nákupu nebo prodeji, při oceňování smluv, určování nebo sledování krediních limiů, vyhodnocování výkonu a alokování kapiálu. Můžeme aké odhadova maximální dafaulovou zráu na sejném supni spolehlivosi. To nám říká maximální zráu, kerou máme očekáva z defaulu v 95% případů. Je o proo míra value a risk vyplývající z krediního rizika. Jinými slovy je o míra value a risk spojená s defaulem nebo kráce defaulní VaR. Za předpokladu normaliy a vnější pravděpodobnosi defaulu, je ao defaulní VaR: Defaul VaR = 1.65σP[ defaul] (3.5) Tao defaul VaR je mimořádně užiečná a má všechny zřejmá užií jako jiné hodnoy VaR: může bý použia jako pomoc při rozhodování o nákupu nebo prodeji, ceně smluv, alokování kapiálu, ad.. Proože nám udává maximální pravděpodobnou zráu způsobenou defaulem proisrany, ale ignoruje ržní riziko, je o obraz, a ve skuečnosi přirozený doplněk, radičního VaR, keré sleduje ržní riziko, ale ignoruje rizika spojená s defaulem. Tyo míry nám ale dávají informaci o prospekivní expozici nebo zráě jenom za specifickou periodu, a ao informace věšinou nesačí pro spolehlivou krediní analýzu. Prospekivní krediní expozice na daném porfoliu se časo dramaicky mění dále v budoucnosi. V závislosi na pozici naše krediní expozice může růs nebo klesa, nebo se pohybova různě pokrouceně. Přesože Credi a Risk a defauní VaR jsou analyicky podobné radiční ržní VaR, exisuje mezi nimi přeso několik důležiých rozdílů: (a) Credi a Risk a defaulní 5

26 VaR se složiěji odhadují než ržní VaR, proože pořebují odhady měr návranosi, záruky, garance a jiné proměnné. Proo pořebují více informací a jsou závislejší na předpokladech s ouo informací souvisejících. Defaulní VaR aké pořebuje odhady pravděpodobných měr defaulu a y jsou aké problemaické. (b) Povaha krediního rizika nás nuí vzí v úvahu dynamické profily Credi a Risk a defaul VaR. Obyčejně nám nesačí jenom jedno období, jako u radičního ržního VaR, například jeden den. Musíme vzí v úvahu krediní expozici za několik různých period. (c) Credi a Risk a defaul VaR vyžadují, abychom každou proisranu uvažovali samosaně. Proo si musíme rozmysle nejenom proisranu, ale aké yp pozice a nejenom pozici samonou. (d) Sama povaha krediního rizika znamená, že se zabýváme zráami, keré věšinou nenasanou, ale aké budou mnohem věší než očekávané pokud nasanou. Rozložení zrá bude proo vykazova poenciální velice výrazné fa ails. Za určiých zjednodušujících předpokladů můžeme odhadova Credi a Risk a defaulní VaR jednoduše z exisujících odhadů ržního rizika VaR. Předpokládejme, že chceme odhadnou naši krediní expozici za sejnou periodu, za kerou odhadujeme VaR. Když začneme s nulovou krediní expozicí, předpokládáme, že hodnoa návrau defaulované smlouvy je nula a ignorujeme zisky, keré nejsou spojené s krediem (např. kapiálové zisky na akciích), poom naše krediní expozice na konci příšího dne bude rovna našemu nahromaděnému zisku. Náš Credi a Risk bude proo roven hornímu 5% kvanilu našeho rozložení zisků/zrá. Když budeme eď předpokláda, že rozložení zisků a zrá je symerické, s nulovou sřední hodnoou zisku, horní 5% kvanil zisku (Credi a Risk) bude roven dolnímu 5% kvanilu zráy (samoné VaR), akže Credi a Risk se rovná VaR. Můžeme poom odhadova zjednodušení defaulního VaR použiím míry defaulu na Credi a Risk, kerý jsme právě odhadli. Z oho máme následující dva zkrácené vzorce: Credi a rik (CaR) = VaR Defaulní VaR = P[defaul].VaR Tyo vzorce můžeme samozřejmě změni, jesliže zmírníme předpoklad, že disribuce je symerická a má nulovou sřední hodnou. Například můžeme předpokláda určiou průměrnou hodnou návranosi, kerá by vedla Credi a Risk, 6

27 že bude známý podíl maximálního pravděpodobného zisku. Alernaivně můžeme zachova předpoklad nulové míry návranosi a pohlíže na CaR a defaulní VaR hodnoy jako konzervaivní odhady. Teno přísup má výhodu v om, že nám zjednoduší odhad krediního a defaulního rizika bez pořeby reálných krediních da. Avšak záleží o na několika zřejmě pochybných předpokladech. Dále je omezen požadavek na hodnou VaR předpověděnou na základě délky horizonu, kerý nás zajímá. Pokud nás zajímá krediní nebo defaulní riziko za příší rok, budeme chí hodnou VaR aké založenou na roční periodě držení. Jediné prakické řešení za ěcho podmínek je vrái se zpě k předpokladu, že podkladové rozložení zisku a zráy se přibližně chová rozumně (např. je normální). Jenom poom můžeme odvodi VaR pro odpovídající časový horizon. Z ohoo důvodu eno zjednodušený posup vyžaduje normaliu nebo jiný předpoklad o rozložení, a akový předpoklad časo nebude vhodný. Musíme si aké uvědomi, jak na sebe jednolivé krediní expozice vzájemně působí, když je spojíme v jednom porfoliu, a nemůžeme předpokláda, že celková expozice porfolia je jednoduše suma jednolivých expozic. Změna rizikového fakoru povede ke změnám krediních expozic jednolivých akiv, keré nejsou perfekně korelované. Tam kde jsou porfolia zajišěná, změny rizikových fakorů nebudou mí velký efek na porfolio jako celek, a z ohoo důvodu malý efek na celkovou expozici. Jednolivé pozice mohou bý vysaveny určiému zdroji rizika, ale jesli a jak výrazně bude porfolio vysaveno bude závise na om, jak se jednolivé expozice ovlivňují. Všechno závisí na vzájemném působení expozic. Možná nejlepší přísup je zobrazi naše porfolio na základní rizikové proměnné a použí rozpylu a kovariance pro yo inerakce. Výsledný odhad CaR je analogický našemu dřívějšímu odhadu VaR porfolia: odhaduje odpovídající nejpravděpodobnější expozici za daného supně spolehlivosi, s ohledem na vzájemné působení mezi expozicemi jednolivých pozic. Analýza rizik spojených s krediem je jedna z nejrychleji se rozvíjejících oblasí v risk managemenu. Nemáme pouze jedno, ale dvě rizika spojená s krediem, keré 7

28 nás zajímají: riziko krediní expozice a riziko zráy při defaulu. Věšinou je o riziko defaulové zráy, keré nás nejvíce zajímá, ale musíme se zabýva i rizikem krediní expozice, proože řídi oo druhé riziko je hlavní cesa jak sníži naše riziko defaulu. Trend v analýze krediního rizika je vhodně převés přísupy, hlavně VaR posupy, keré už si zajisily míso v analýze ržního rizika a už je aké jasné, že rizika spojená s krediním jsou velmi přizpůsobivá ěmo přísupům. Avšak při použií VaR přísupů na rizika spojená s krediním musíme připusi dodaečné fakory pravděpodobnosi defaulu, zajišění a problémy návranosi keré nejsou přímo příomné u ržního rizika. Credi a Risk a defaul VaR sysémy jsou proo více než jenom aplikace VaR echnik už vyvinuých pro analýzu ržního rizika, naopak předsavují obrovský vývoj VaR meodologií samoných. 8

29 Kapiola 4 Modelování současně krediního a ržního rizika 4.1 Úvod do problému sloučeného VaR Jak jsme viděli, je možné sesavi syém na odhadování maximální čásky, kerou pravděpodobně zraíme při defaulu (např. defaul VaR), ale eno defaul VaR ignoruje riziko zráy způsobené pohyby ržních cen. Naopak, radiční VaR počíá pouze s ržním rizikem, ale ignoruje riziko defaulu. V praxi obyčejně čelíme zráě způsobené oběma riziky, akže by jsme měli vzí v úvahu oba zdroje rizik. V eorii je začlenění rizika defaulu do VaR důležié. Defaul VaR bude časo velice malá v porovnání s ržní VaR, akže sloučení ěcho dvou VaR do nového VaR časo vyvoří hodnou, kerá je jen mírně věší než původní ržní VaR. Tao nová sloučená VaR hodnoa se edy bude výrazně liši od ržní VaR pouze ehdy, pokud máme vysokou pravděpodobnos defaulu. Jeden způsob je jednoduše provés obě sady výpočů zvlášť a sečís yo dvě výsledné hodnoy. Too nám aspoň dá velice rychlou a jednoduchou odpověď, zvlášě když už jsme provedly výpoče defaul VaR a ržního VaR. Ale pokud opravdu chceme inegraed VaR, kerý pokrývá obě rizika, ržní a defaulu, měli bychom eoreicky pozměni naší analýzu VaR od základu a vzí v úvahu obě defaulní i ržní rizika. Musíme se proo vrái na začáek. Jako s předchozí analýzou VaR, nejlepší přísup je vypracova kombinovanou defaul-plus-marke VaR pozic základních savebních prvků, a poom odvodi kombinované hodnoy VaR složiějších pozic a pomocí reverse-engineering je sesavi zpě do jejich savebních ekvivalenů. Tenokrá ale máme k uvažování pouze ři pozice savebních prvků: pozice akcie, pozice fixedincome akiv a pozice forwardů. 9

30 4. Zjednodušený posup výpoču inegrovaného VaR Odhadování inegrovaného VaR nemusí obecně bý složié. Jedna možnos je použí předchozí zjednodušení (viz kap.3) k odhadu defaul VaR z odhadu ržního VaR. Předpokladem je, že disribuce výnosů je symerická a má nulovou sřední hodnou. Můžeme poom odhadova celkové VaR přidáním defaulního VaR, kerý jsme dosali z původního ržního VaR. Nejjednodušší verze ohoo posupu vede k celkovému VaR: celkové VaR + ržní ( p) VaR = 1 (4.1) kde ržní VaR je ržní VaR a p je pravděpodobnos defaulu. Teno posup aplikujeme na každé akivum v našem indexu. Tedy: VaR ržní ( 1+ p ) VaR, i 1,..., N, = (4.) celkové i i i = Kde p i je pravděpodobnos defaulu pro i-é akivum, N je poče akiv v indexu a VaR i je VaR pro i-é akivum. Poom VaR celého indexu získáme jako ( VaR q) Σ( VaR ) celkové celkové VaR = q, (4.3) index Kde VaR celkové je vekor jednolivých celkové VaRi pro i = 1,..., N, q je vekor vah jednolivých akcií v indexu, a Σ je kovarianční maice výnosu jednolivých akiv. Teno posup nám dovoluje odhadova celkové inegrované VaR s minimálními požadavky na reálná daa. Nicméně je velice zjednodušený (zn. spoléhá na libovolné odhady paramerů a normaliu) a kromě pravděpodobnosi defaulu, nepoužívá žádná jiná reálná krediní daa. 4.3 Posup s užiím kovariančních da Propracovanější přísup je odhad ržního VaR a defaul VaR samosaně a poom je zkombinova v odhad celkového VaR, kerý aké dovoluje vzájemnou korelaci mezi def def nimi. Když VaR je defaul VaR a korelační koeficien mezi VaR ržní a VaR je ρ, poom: 30

31 VaR celkové ržní def ržní def ( VaR ) + ( VaR ) + ρvar VaR = (4.4) Teno posup použijeme zase pro jednolivá akiva v indexu a společné VaR pro náš index získáme dosazením do rovnice (4.3). Too druhé zjednodušení je zřejmě velice jednoduše použielné jakmile máme naše dva odhady VaR a nějaká hisorická daa k odhadu jejich korelací. Je aké méně zjednodušující než první posup a používá reálná krediní daa. Avšak ao procedura je sále ješě výrazné zjednodušení a základní přísup k odhadu dvou samosaných VaR a následné jejich sečení není o samé jako zkonsruova hodnou inegrovaného VaR, kerá bere v analýze oba zdroje rizik plně na vědomí. 4.4 Výpoče inegrovaného VaR pro jednolivé insrumeny Inegrovaný VaR akcie Nejjednodušším savebním prvkem je pozice akcie. Předsavme si, že chceme odhadnou VaR pozice složené z akcií nějaké firmy, kerá by mohla zbankroova. Riziko defaulu ovlivňuje naše držení akcií, proože defaul by vedl k omu, že akiva firmy by byly použiy k vyplacení věřielů, a když oo nasane, můžeme předpokláda, že hodnoa našich držených akcií klesne na nulu. Jedna možná cesa je analyzova eno problém pomocí procesu Brownova pohybu. Předpokládejme, že firma zdefauluje v nějakém inervalu Δ s pravděpodobnosí pδ, kerou pro jednoduchos předpokládáme konsanní. Pokud firma defauluje, můžeme předpokláda, že naše držené akcie se sanou bezcennými. Pokud firma nedefauluje, můžeme usuzova, že její výnos je řízen diskréním geomerickým procesem Brownova pohybu. Náš výnos na konci období délky Δ je proo nula s pravděpodobnosí pδ a přibližně ( Δ + Zσ Δ ) S μ (4.5) s pravděpodobnosí 1- λδ. Kde S je cena akcie, μ je sřední hodnoa výnosů akcie, σ je volailia výnosů a Z je náhodná veličina se sandardním normálním rozložením. S použiím dalších úprav dosaneme rozpyl výnosů pozice akcie, a o přibližně ( p + σ ) Δ σ = S (4.6) R 31

32 (viz. [15] Pézier 1996). V omo jednoduchém modelu je rozpyl výnosů rovný souču fakorů krediního rizika (daných p) a fakorů ržního rizika (daných σ ). Čím věší je pravděpodobnos defaulu, ím věší je rozpyl výnosů. Pokud je p dosaečně malé, poom rozložení výnosů bude zhruba normální a VaR bude: ( p + σ ) Δ VaR = uα S (4.7) Získání VaR jednoduché akcie, kerá by mohla defaulova, edy zahrnuje jednoduchou modifikaci předchozího přísupu pro ržního VaR bez defaulního rizika. Jako v předcházejících modelech eno posup aplikujeme na jednolivá akiva v indexu a společné VaR pro náš index získáme dosazením do rovnice (4.3). Inegrovaný VaR fixed-income Zahrnuí krediního rizika do analýzy VaR pozice fixed-income je složiější. Jeden možný přísup je přísup s nulovou arbiráží navrhovaný Jarrowem a Turnbullem ([10], [11]). Předpokládejme, že držíme dluhopis s nulovým kupónem vypsaným firmou s určiým krediním raingem. Chěli bychom modelova cenu našeho dluhopisu vysaveného riziku defaulu akovým způsobem, že nebudeme mí žádný prosor pro nevyužié arbirážní možnosi. Začneme rozdělením periody od eď, edy od 0 do T na několik úseků, každý délky Δ. Na začáku každého úseku je vypisovael buď už v defaulu nebo ješě není. Pokud už je v defaulu, předpokládejme, že zůsane v defaulu a už nikdy nebude schopný splai vše. Míso oho čeká až do T, kdy zaplaí zlomek δ z ceny dluhopisu. Pokud ješě není v defaulu, ak buď nasane defaul během ohoo úseku nebo projde úsekem bez defaulu. Poom buď nasane defaul nebo ne v dalším úseku, ad.. Jinými slovy, během keréhokoliv úseku začínajícího v τ, τ { 0,1,...,T}, je pravděpodobnos μ ( τ ) Δ, že vypisovael defauluje a pravděpodobnos ( 1 μ ( τ ) Δ), že nedefauluje. Předpokládáme, že proces defaulu je nezávislý na úrokové míře, akže můžeme defaul brá jako vnější událos. Náš další úkol je odhadnou yo pravděpodobnosi pro každý úsek přes celou periodu od 0 do T, a o můžeme provés použiím nulové arbiráže na informace, 3