4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány goniometrické rovnice a nerovnice; jak se řeší základní typy goniometrických rovnic a nerovnic. Klíčová slova této kapitoly: goniometrické rovnice, goniometrické nerovnice, kvadrant, grafická metoda řešení rovnic. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly:, +,5 hodiny (teorie + řešení příkladů)
Goniometrické rovnice. Definice. Goniometrickou rovnicí nazýváme rovnici, obsahující funkce sinus, kosinus, tangens nebo kotangens (případně také sekans a kosekans) výrazu s neznámou. Poznámka. Úplný výčet všech typů goniometrických rovnic není samozřejmě možný. Omezíme se proto pouze na základní typ. Složitější rovnice se řeší podle konkrétního tvaru, kde je to možné, převedením na základní typ, jinak numericky či graficky. Definice. Kvadrantem rozumíme interval úhlů ( k ) ; k, kde k Z. Např. první kvadrant je interval ;, druhý kvadrant 3 3 ; ;, čtvrtý kvadrant ; atd. Základní typy goniometrických rovnic. Rovnice sin x= a, resp. cos x= a. Na základě vlastností funkcí sinus, resp. kosinus je jasné že pro a > nemají uvedené rovnice žádné řešení, tímto případem se dále nebudeme zabývat. Předpokládejme tedy a. První kořen x nalezneme snadno, aplikujeme-li na obě strany rovnice vhodnou cyklometrickou funkci: arcsin sin x = arcsin a, resp. arccos cos x = arccos a, odkud plyne x = arcsin a, resp. x = arccos a. Nalezené kořeny jsou jedinými kořeny v oboru hodnot příslušných cyklometrických funkcí, tzn. x,, resp. x,. Díky -periodicitě goniometrických funkcí sinus, resp. kosinus jsou právoplatnými kořeny všechna čísla x = x + k, kde k Z, tzn. kořenů je nekonečně mnoho. k Pokud je a ±, plyne z vlastností funkcí sinus a kosinus (viz např. graf), že v tomto případě existuje v některém kvadrantu sousedícím s kvadrantem kořene x další kořen x, který generuje další nekonečnou množinu kořenů x = x + k, kde k Z. Konkrétní hodnotu kořene x určíme z vlastností goniometrických funkcí nebo přímo z grafu (viz také řešený příklad). Množinově zapíšeme výsledné řešení pro případ < a < ve tvaru k { x + k, x + k; k Z}. Rovnice tg x= a, cotg x= a. Na základě vlastností (viz např. graf) funkcí tangens, resp. kotangens je jasné, že pro jakékoliv a R mají uvedené rovnice nekonečně mnoho kořenů.
První kořen x nalezneme snadno, aplikujeme-li na obě strany rovnice vhodnou cyklometrickou funkci: arctg tg x = arctg a, resp. arccotg cotg x = arccotg a, odkud plyne x = arctg a, resp. x = arccotg a. Nalezené kořeny jsou jedinými kořeny v oboru hodnot příslušných cyklometrických funkcí, tzn. x,, resp. x,. Díky -periodicitě goniometrických funkcí tangens, resp. kotangens jsou právoplatnými kořeny všechna čísla xk = x + k, kde k Z, tzn. kořenů je nekonečně mnoho. Množinově zapíšeme výsledné řešení ve tvaru { x k k Z} + ;. Řešený příklad. Řešte v R rovnici sin x =. Řešení. Aplikujeme na obě strany rovnice funkci arcsin a dostaneme první kořen x = arcsin = 6. (hodnotu 6 bychom měli určit zpaměti, můžeme ji také vyčíst z tabulek nebo vypočítat pomocí kalkulátoru nebo počítače). Toto je ovšem řešení z oboru hodnot funkce arcsin x, tzn. z intervalu,..5 x x x x y = 4 x x x x 3 x Z grafu funkce sin x vidíme, že stejné hodnoty jako v bodě x = 6 nabývá funkce sin x také ve druhém kvadrantu, a to v bodě x = = 5 (jinak řečeno aplikujeme vztah sin x sin ( x) = )..5 6 6 Uvážíme-li -periodičnost funkce sin x, je výsledným řešením nekonečná množina izolovaných bodů { 6 k, 5 6 k ; k Z} + +. y = sin x 5
Goniometrické nerovnice. Definice. Goniometrickou nerovnicí nazýváme nerovnici, obsahující funkce sinus, kosinus, tangens nebo kotangens (případně také sekans a kosekans) výrazu s neznámou. Poznámka. Podobně jako u rovnic se omezíme se pouze na základní typ goniometrických nerovnic. Základní typy goniometrických nerovnic. Jedná se o nerovnice typu sin x> a, cos x> a, tg x> a, cotg x> a a nerovnice, které se od uvedených liší pouze znaménkem nerovnosti. K řešení používáme grafickou metodu. Hledáme takové intervaly proměnné x, ve kterých graf goniometrické funkce leží nad ( >, ) nebo pod ( <, ) přímkou y = a, přičemž u ostré nerovnosti vylučujeme průsečíky grafu a uvedené přímky z řešení, u neostré nerovnosti je naopak zahrnujeme do řešení. K určení uvedených průsečíků a tudíž také krajních bodů jednotlivých intervalů řešení je nutné řešit rovnici příslušnou k zadané nerovnici. Můžeme tedy konstatovat, že nedílnou částí řešení goniometrické nerovnice je řešení příslušné goniometrické rovnice. Vše nejlépe osvětlí příklad. Řešený příklad. Řešte v R nerovnici cos x >. Řešení. Řešením rovnice cos x = nalezneme kořeny x = 3 a x = 3, ležící ve dvou sousedních kvadrantech..5 y = 3 4 ( x, x ) ( x, x) ( x, x) ( x, x ).5 3 x y = cos x 5 Z vlastností funkce kosinus je patrné, že v otevřeném intervalu ( 3, 3) přímkou y =, tudíž zde platí výchozí nerovnice a interval ( 3, 3) leží její graf nad patří do řešení. Vzhledem k -periodicitě funkce kosinus jsou řešením také intervaly posunuté vůči intervalu ( 3, 3) o celočíselný násobek. Proto je celkovým řešením sjednocení nekonečného počtu otevřených intervalů ( 3 k, + 3+ k). k Z
Shrnutí kapitoly: Goniometrické rovnice, resp. nerovnice, jsou rovnice, resp. nerovnice, které obsahují výraz s neznámou v argumentu goniometrické funkce. Goniometrické rovnice a nerovnice mohou být různého stupně složitosti. Nejjednodušším typem jsou rovnice a nerovnice, kdy na jedné straně vystupuje určitá goniometrická funkce s neznámou v argumentu a na pravé straně konstanta. K řešení tohoto základního typu rovnic a nerovnic je nejvhodnější kombinovaná, výpočetně - grafická metoda. Složitější rovnice a nerovnice se řeší převodem na jednodušší typ (např. vhodnou substitucí), numericky nebo graficky. Obecně se dá říci, že řešení nerovnic je náročnější než řešení rovnic, protože při řešení goniometrické nerovnice je nutné vždy řešit odpovídající goniometrickou rovnici. Otázky: Jak jsou definovány goniometrické rovnice a nerovnice? Co rozumíme pod pojmem kvadrant? Jak vypadá a jak se řeší základní typ goniometrické rovnice? Uvažte zvlášť rovnice s funkcí sinus nebo kosinus a rovnice s funkcí tangens nebo kotangens. Jak vypadá a jak se řeší základní typ goniometrické nerovnice? Proč je řešení nerovnice náročnější než řešení rovnice? Příklad. Řešte goniometrickou rovnici: 3 a) sin x = ; b) cos x = ; c) sin x = ; d) cos x = ; e) tg x = ; 3 f) cotg x = ; g) 8sin x+ 6cos x= 9. h) sin x+ cos x=. 3 Návod. V příkladech g) a h) převeďte použitím součtového vzorce levou stranu na tvar A x+ ϕ. sin ( ) Příklad. Řešte goniometrickou nerovnici: a) cos x > ; b) sin x < ; c) tg x >.
Řešení příkladů: 7 a) + k, + k; 6 6 ; b) 4 + k, + k; 3 3 ; c) + k, + k; 3 3 ; d) {( k+ ) ; k Z } ; e) + k; 4 ; f) + k; 3 ; g) { 7º7' + k 36º, 78º59' + k 36º; k Z} ; h) ( k ), ( 4k ) + ;. a) + k; + k k Z 3 3 ; b) c) ( 4k+ ) ; ( k+ ) k Z 4. 5 7 + k; + k k Z 4 4 ; Další zdroje:. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 997.. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I.. vyd. Praha: Prometheus, 996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II.. vyd. Praha: Prometheus, 996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 995. ZÁVĚR: