Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních lomených funkcí Metoda per partes. substituční metoda Integrace goniometrických funkcí. substituční metoda Integrace iracionálních funkcí Gottfried Wilhelm Leibniz
Primitivní funkce Definice (primitivní funkce) Říkáme, že funkce F je primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I, jestliže pro všechna I platí F () = f(). Je-li F primitivní funkce k funkci f na intervalu I, pak také funkce F + c, kde c R je libovolná konstanta, je primitivní funkce k funkci f na I. Platí totiž [F () + c] = F () + c = F () + 0 = f() Má-li funkce f na daném intervalu primitivní funkci, není tato funkce jediná. Primitivních funkcí je nekonečně mnoho a liší se pouze konstantou. Konstanta c se nazývá aditivní konstanta. Věta (jednoznačnost primitivní funkce) Primitivní funkce je k dané funkci určena jednoznačně až na aditivní konstantu. Příklad (primitivní funkce) Protože platí ( ) =, ( ) + =, ( ) =, jsou funkce primitivní funkce k funkci., +, Každá funkce tvaru F () = + c pro libovolné c R je primitivní k funkci f() =. Žádné jiné primitivní funkce k funkci nelze najít.
Neurčitý integrál Definice (neurčitý integrál) Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci f na intervalu I nazveme neurčitý integrál funkce f a píšeme f() d = F () + c, kde F je libovolná primitivní funkce k funkci f a c je libovolná reálná konstanta. Platí F () = f(). Funkce f() se nazývá integrand. Konstanta c se nazývá integrační konstanta. Symbol je integrační znak. Výraz d je diferenciál integrační proměnné. Postup, kterým určujeme primitivní funkci k dané funkci f, nazýváme integrování. Je to opak derivování. Poznámka (vztah neurčitého integrálu a derivace) Platí ( f() d) = f() a F () d = F () + c Věta (o eistenci primitivní funkce) Ke každé funkci spojité na otevřeném intervalu I eistuje na tomto intervalu funkce primitivní. Definice (integrovatelná funkce) Eistuje-li k funkci f na intervalu I primitivní funkce, pak říkáme, že funkce f je na intervalu I integrovatelná. Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak je na tomto intervalu integrovatelná.
Základní vlastnosti a vzorce Věta (pravidla - vlastnosti neurčitého integrálu) Necht f a g jsou funkce integrovatelné na intervalu I a necht c R je reálné číslo. Pak na intervalu I platí: [f() ± g()] d = f() d ± g() d c f() d = c f() d Poznámka Neeistují podobná pravidla pro integrování součinu, podílu a složené funkce. Základní vzorce pro integrování 6 d = + c n d = n+ + c, kde n n + d = ln + c e d = e + c, a d = a ln a + c sin d = cos + c, cos d = sin + c sin d = cotg + c, cos d = tg + c Vzorec č. d = Lze psát d = + c je speciálním případem vzorce č. pro n = 0: 0 d = 0+ 0 + + c = + c. d místo d, d sin místo sin d apod.
Příklad (základní vzorce -6) ( ) = + + c d = ( ) d = = ( ) d = ( ) d = = = + c ( ) + e d = ln + e ln + c ( sin cos ) d = cos sin + c ( sin ) cos d = cotg tg + c Funkce s lineární vnitřní složkou Základní vzorec - funkce s lineární vnitřní složkou 7 f(a + b) d = F (a + b) + c a Příklad (lineární vnitřní složka) 6 sin d = cos + c cos d = d = d = + sin + c = sin + c ( ) d = d = ln + c e d = e + c ( + ) d = ( ) ( + ) = 9 ( ) + c = + + c
Zlomek s derivací jmenovatele v čitateli Základní vzorec - zlomek s derivací jmenovatele v čitateli 8 f () f() d = ln f() + c Příklad (derivace jmenovatele v čitateli) d = ln + c d = d = ln + c sin sin tg d = cos d = d = ln cos + c cos cos cotg d = d = ln sin + c sin sin sin d = d = ln + cos + c + cos + cos Základní vzorce - pokračování Základní vzorce pro integrování 9 0 A + d = A arctg A + c A d = A ln A + A + c Příklad (základní vzorce 9-0) + d = d = + 9 d = d = + + ( ) d = arctg + c d = ln + + c = ln + + c + + ( ) d = arctg + c = 6 arctg + c d = ln + + c
Základní vzorce pro integrování A d = arcsin A + c + ± B d = ln + ± B + c Příklad (základní vzorce -) d = arcsin + c d = d = 6 9 = arcsin + c d = + + d = ln + + c ( ) d = arcsin + c = d = ln + + + + c Úpravy integrandu Rozšíření zlomku vhodnou konstantou Příklad e e d = e e d = ln e + c d = + d = ln + + c cos sin d = cos sin d = ln sin + c
Umocnění a roznásobení výrazů Příklad ( ) d = ( ) ( + ) d = + d = = 7 7 + ( ) + = ln + + c = 7 + + c d = ( ) + 0 d = ln + + c = Rozdělení zlomku na jednodušší zlomky Příklad + d = ( + ) d = ( ) + d = = ln + + c = ln + c ( ) + d = d = + d = = + d = + + c = + + c ( + d = + + = ln + arctg + c ) d = + d + d =
Doplnění kvadratického trojčlenu na čtverec U integrálů typu a +b+c d, a +b+c d s členem b 0 nejdříve kvadratický výraz a +b+c ve jmenovateli doplníme na čtverec pomocí známých vzorců (a ± b) = a ± ab + b a dále integrujeme podle A + d = A arctg A + c, nebo A d = arcsin A + c, A d = A ln A + A + c, ± B d = ln + ± B + c Příklad (doplnění na čtverec) + + d = 6 + 8 d = = ln + ( ) ( ) + c = ln + 9 d = ( ) + = ln + + 9 + c d = + = d = arcsin ( ) ( + ) + d = arctg + + c ( ) d = ( ) d = + c d = ( ) d = + c = arcsin [ ] d = ( ) + c
Použití goniometrických vzorců tg = sin cos, cos cotg = sin, sin + cos =, sin = sin cos, cos = cos sin Příklad (použití goniometrických vzorců) sin tg d = cos d = ( ) = cos d = tg + c sin sin cos cos d = cos d = = tg + ln cos + c cos cos d = ( ) cos cos cos d = ( cos sin ) cos d = cos cos sin d = sin sin sin sin d = sin d = sin ( ) sin d = sin d = cotg + c
Integrace jednoduchých racionálních lomených funkcí. Neryze lomená racionální funkce Neryze lomenou racionální funkci nejprve upravíme na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce tím, že čitatel vyděĺıme jmenovatelem. Příklad (vydělení čitatele jmenovatelem) 9 d = ( + 6 + 9 ( 9) : ( ) = +6 ( 6) 6 9 (6 8) 9 ) d = + 6 + 9 ln + c Příklad (vydělení čitatele jmenovatelem) + d = ( + + : ( + ) = ( + ) ( ) + ) + d = ( + + + ( + + ) : ( + ) = ( + ) = + ln + + c ) d = + arctg + c d = ( + ) + d =
. Ryze lomená racionální funkce - zlomky Ryze lomenou racionální funkci tvaru (a + b) n podle základních vzorců n d = n+ n + + c, d = ln + c a pomocí integrace funkce s lineární vnitřní složkou f(a + b) d = F (a + b) + c a (a + b) n, kde n, integrujeme Příklad (ryze lomená racionální funkce) d = ln + c ( ) d = ( ) d = ( ) = ( ) + c. Ryze lomená racionální funkce - zlomky Ryze lomenou racionální funkci tvaru a + b + c a + b + c integrujeme doplněním jmenovatele na čtverec pomocí (a ± b) = a ± ab + b a podle základních vzorců A + d = A arctg A + c A d = A ln A + A + c, případně pomocí integrace funkce s lineární vnitřní složkou f(a + b) d = F (a + b) + c a Příklad (ryze lomená racionální funkce) + 0 d = ( ) + 6 d = arctg + c 6 6 d = ( ) 9 d = 9 ( ) d = = ln + ( ) ( ) = 6 ln + + c
. Ryze lomená racionální funkce - zlomky Integrály typu k + q a + b + c k + q a + b + c d rozděĺıme úpravou na součet dvou integrálů. Čitatele zlomku nejprve upravíme tak, aby byl součtem dvou sčítanců - první sčítanec je derivací jmenovatele a druhý je konstanta. Původní integrál pak rozděĺıme na dva integrály, které integrujeme následovně: první podle vzorce f () d = ln f() + c, f() druhý po případném doplnění jmenovatele na čtverec pomocí jednoho ze vzorců A + d = A arctg A + c, A d = A ln A + A + c Příklad (ryze lomená racionální funkce - zlomky + + 8 d = + + 8 d k + q a + b + c ) = + + + 8 d = + 8 d + = ln + 8 + 6 + 8 d ( ) + d = ln + 8 + arctg + c
Metoda per partes Věta (metoda per partes (po částech)) Necht funkce u a v mají na intervalu I spojité derivace. Pak na tomto intervalu platí u ()v() d = u()v() u()v () d. Je vhodná pro integrály, jejichž integrand má tvar součinu. Metoda vede k cíli, umíme-li vypočítat integrál uv d na pravé straně. Poznámka Při použití metody per partes je důležitá volba funkcí v a u : za funkci v voĺıme tu z funkcí, kterou neumíme integrovat; funkci v derivujeme, funkci u integrujeme (musíme ji umět integrovat!), umíme-li integrovat obě funkce v součinu funkcí na levé straně, voĺıme za funkci v tu, která se derivací více zjednoduší. Typy integrálů řešitelných metodou per partes Necht P () je polynom. P ()e d, P ()a d, P ()sin d, P ()cos d Voĺıme v = P () a polynom derivujeme, druhou funkci integrujeme. Derivací polynomu snížíme jeho stupeň. Metodu per partes použijeme tolikrát, kolik je stupeň polynomu P (). P ()arctg d, P ()arccotg d P ()arcsin d, P ()arccos d P ()ln m d, kde m Voĺıme u = P () a polynom integrujeme, druhou funkci derivujeme. Polynom P () může být stupně 0, tj. P () =.
Příklad (per partes - derivace polynomu) cos d = v = u = cos = v = v = u = sin u = cos = sin + cos sin + c ( + ) e d = v = + v = u = e u = e = ( + )e e + c = ( + ) e + c v = u = sin = sin sin d = [ ] = sin cos + cos d = = ( + )e + e d = Příklad (per partes - integrace polynomu) ln d = = ln v = ln u = v = u = d = ln = ln d = + c = 9 ( ln ) + c v = arctg v arctg d = = + u = u = = arctg = arctg + d = arctg ln( + ) + c v = ln v ln d = = u = u = = ln = ln d = ln + c d = + d =
Substituční metoda Věta (. substituční metoda, t = ϕ()) Necht funkce f(t) je spojitá na otevřeném intervalu I a necht funkce ϕ() má na otevřeném intervalu J spojitou derivaci, přičemž pro každé J platí ϕ() I. Pak je funkce f[ϕ()]ϕ () spojitá na intervalu J a na tomto intervalu platí f [ϕ()] ϕ () d = f(t) dt, dosadíme-li do výrazu na pravé straně t = ϕ(). Substituce se používá při integrování funkcí typu složená funkce f[ϕ()] násobená derivací její vnitřní složky ϕ (). Poznámka (. substituční metoda, t = ϕ()) Integraci provádíme podle schématu: t = ϕ() f [ϕ()] ϕ () d = diferencujeme dt = ϕ () d = f(t) dt = F (t) + c = F [ϕ()] + c Vnitřní složku ϕ() nahradíme novou proměnnou t, tedy provedeme substituci t = ϕ(). Levou a pravou stranu substituční rovnice diferencujeme podle příslušné proměnné a dostaneme rovnost diferenciálů dt = ϕ () d. Dosadíme ϕ() = t a ϕ () d = dt do původního integrálu a obdržíme integrál f(t) dt, jehož výpočet je jednodušší. Po nalezení primitivní funkce F k funkci f vrátíme do výsledku původní proměnnou tím, že zpětně dosadíme t = ϕ().
Příklad (. substituční metoda) t = cos cos sin d = dt = sin d sin d = dt = = cos6 + c t = e d = dt = d d = = dt t dt = t6 6 + c = e t dt = et + c = = e + c sin d = t = dt = d d = dt = sin t dt = cos t + c = cos + c Příklad (. substituční metoda) t = d = dt = d d = dt = t dt = t dt = 6 t ( ) + c = + c = t + c = 8 8 (ln ) t = ln d = d = dt = ( t ) dt = t t + c = = ln (ln ) + c cos t = + sin + sin d = dt = cos d cos d = = dt t dt = t dt = = t + c = t + c = ( + sin ) + c
Integrace jednoduchých výrazů s goniometrickými funkcemi Goniometrické funkce - substituce Můžeme-li integrál typu R(sin, cos ) d, kde R je racionální lomená funkce, upravit na tvar R(sin ) cos d, voĺıme substituci t = sin dt = cos d R(cos ) sin d, voĺıme substituci t = cos dt = sin d Pro převod jedné goniometrické funkce na druhou používáme vztahy sin + cos = sin = cos, cos = sin Příklad (goniometrické funkce) cos d = cos cos d = ( sin )cos d = = t = sin dt = cos d = ( t ) dt = t t + c = sin sin + c sin cos d = t = cos cos sin d = dt = sin d sin d = dt = t dt = = t dt = ( ) t = t + c = cos + c sin + cos d = sin cos sin d = sin d = + cos + cos t = cos = dt = sin d t t sin d = dt = + t dt = t + dt = ( = t + ) dt = t t + ln t + + c = t + = cos cos + ln cos + + c
Substituční metoda Věta (. substituční metoda, = ϕ(t)) Necht funkce f() je spojitá na otevřeném intervalu I a necht funkce ϕ(t) má na otevřeném intervalu J spojitou nenulovou derivaci a platí ϕ(j) = I (tj. ϕ zobrazuje interval J na interval I). Potom na intervalu I platí f() d = f [ϕ(t)] ϕ (t) dt, dosadíme-li do výrazu vpravo t = ϕ (), kde ϕ je inverzní funkce k funkci ϕ. Vztah vznikne použitím. substituční metody v opačném směru. Poznámka (. substituční metoda, = ϕ(t)) Integraci provádíme podle schématu: = ϕ(t) f() d = diferencujeme d = ϕ (t) dt = f[ϕ(t)]ϕ (t) dt = F (t) + c = F [ϕ ()] + c Substituci provádíme tak, že do funkce f vložíme vnitřní složku ϕ(t). Postupujeme analogicky jako u substituce předchozího typu. Získaná složená funkce f[ϕ(t)]ϕ (t) na pravé straně vypadá komplikovaněji než původní integrand f() a před další integrací je potřeba ji upravit. Substituci však voĺıme tak, abychom po úpravě vpravo získali jednodušší integrál. Ve výsledku vpravo, kde F (t) je primitivní funkce k funkci f[ϕ(t)]ϕ (t), je třeba dosadit za t funkci proměnné, tj. inverzní funkci ϕ k funkci ϕ.
Příklad (. substituční metoda) d = t = = t t t d = t dt = t dt = t t dt = ( = t + ) dt = t t ln t + c = t = ln + c d ( + ) = t = = t d = t dt = = arctg t + c = arctg + c t (t + )t dt = t + dt = Integrace jednoduchých iracionálních funkcí Odmocnina z lineárního výrazu U integrálu typu R(, n a + b) d, kde R je racionální lomená funkce, n N, a, b R voĺıme substituci t = n a + b, tj. a + b = t n, která daný integrál převede na integrál z racionální lomené funkce.
Příklad (odmocnina z lineárního výrazu) t = = t d = = (t + ) = t t d = t dt + t dt = = t t + dt = t + t dt = ( ) + t dt = + = t arctg t + c = arctg + c + d = t = + + = t = t (t d = t dt = ) (t t dt = )t t ( = t dt = + ) ( t dt = ) t dt = ( t + ) : (t ) = ( t + ) = t ln + t t + c = + ln + + + + c Různé n-té odmocniny U integrálu typu R(, n, n,..., n k ) d, kde R je racionální lomená funkce, n, n... n k N, voĺıme substituci t = s, tj. = t s, kde s je nejmenší společný násobek čísel n, n,..., n k, která daný integrál převede na integrál z racionální lomené funkce. Příklad (iracionální funkce - různé n-té odmocniny) + d = t = 6 = t 6 t d = 6t dt = + (t t 6t dt = 6 + t ) dt = ( ) t = 6 + t + c = 6 6 + + c