.7.0 Obshy - opkoání Předpokldy: 00709 Př. : Vypiš edle sebe zorce pro obsh ronoběžníku, trojúhelníku lichoběžníku. Kždý e šech rintách. Ke kždému zorci nkresli obrázek s yznčenými rozměry, které e zorci ystupují. Čím je dán počet rint kždého zorce? Ronoběžník S = = b D b Trojúhelník b c S = = = b c Lichoběžník ( + c) S = D c b b c b c Čím ětší je počet ýšek útru, tím ětší je počet rint zorce. Trochu jink: trojúhelníku jsou tři strny, které můžeme požot z zákldny, kždá s odpoídjící ýškou tři rinty zorce, ronoběžníku jsou dě dojice strn, kždá dojice s ýškou dě rinty zorce, lichoběžníku je jedn dojice ronoběžných strn s ýškou jedn rint zorce. Př. : Nkresli obrázky trojúhelníku, lichoběžníku ronoběžníku, které znázorňují, jk jsme objeili příslušný zorec pro ýpočet obshu. Který ze zorců jsme objeili jko prní, který jko poslední? D Jko prní jsme ododili zorec pro obsh ronoběžníků tím, že jsme ronoběžník přeedli n obdélník. Jko druhý jsme ododili zorec pro obsh trojúhelníku tím, že jsme trojúhelník doplnili n ronoběžník.
D Jko poslední jsme ododili zorec pro obsh lichoběžníku tím, že jsme lichoběžník rozdělili n d trojúhelníky. Pedgogická poznámk: U následujícího příkldu je třeb zkázt klkulčky, by byl splněn cíl zopkot zlomky. Př. : Urči obsh lichoběžníku, jehož zákldny mjí elikost m m ýšk m. 5 Dosdíme do zorce: + 5 5 5 5 + 5 5 5 5 5 5 S = m = = m = m = m = m = m 8 5 Zdný lichoběžník má obsh m. 8 Př. : ( + ) c Vyjádři ze zorce pro obsh lichoběžníku S = : ) ýšku, b) délku zákldny c. Výsledek bodu b) požij k sestení zorce pro zákldnu (bez odozoání). K čemu mohou být získné zthy dobré? ) ýšk ( + c) S = / S = + c / : + c S = + c ( ) ( ) b) délk zákldny c ( + c) S = / S = + c / : ( ) S c / = + S c = Zákldny c hrjí lichoběžníku stejnou roli, můžeme je změňot (nezáleží, kterou oznčíme kterou c) můžeme je nzájem prohzot i e šech zorcích S = c.
Př. 5: Trojúhelníkoý pozemek má strny o délkách 56 m, 68 m m. Jká je jeho ploch? Pro ýpočet obshu trojúhelníku potřebujeme délku jedné strny odpoídjící ýšky, známe pouze délky šech tří strn nrýsujeme trojúhelník (zmenšený 000 krát) změříme jednu z ýšek. k l Velikosti = 68 m, = 8 m. 68 8 S = = m = 9 m Ploch pozemku je 9 m. Př. 6: Urči, o kolik procent ses zmýlil při řešení předchozího příkldu. Spránou hodnotu Ti řekne učitel. Spráná hodnot 7 m. 7 00 % 9 x x 00 = 9 7 00 x = 9 = 05, 7 Při řešení předchozího příkldu jsme se spletli o 5, %. Př. 7: Kosočterec má ýšku 0,5 m obod,8 m. Urči jeho obsh. Kosočterec ptří mezi ronoběžníky zorec S = potřebujeme délku strny. Kosočterec má čtyři stejné strny jedn strn je čtrtin obodu =,8: m = 0,7 m S = = 0,7 0,5m = 0,5m Kosočterec má obsh 0,5m.
Př. 8: Zpiš zlomkem zákldním tru jká část zkreslené plochy je ybren. 6 ) b) 7 ) Obsh celého čterce Sc = = = 9. Obsh ybreného čterce určit neumíme (neznáme délku jeho strny) zkusíme určit plochu zbytků (proúhlé trojúhelníky). Sz = = = Obsh ybreného čterce: S = S S = 9 = 5. c z Vybrená část zbírá 5 9 celé plochy. 6 b) 7 Obsh celého obdélníku Sc = b = 6 = 7. Ronou určujeme plochu zbytků (čtyři proúhlé trojúhelníky): 7 6 59 S z = + + + = + + + = + 9 = 59 59 85 Obsh ybreného obrzce: S = Sc Sz = 7 = =. 85 85 Vybrená část zbírá = celé plochy. 7 Pedgogická poznámk: Pokud se bíte o tom, že bodě ) není možné určit strnu čterce, může se stát, že se objeí někdo, kdo se po její elikosti zčne pídit po
určení obshu čterce (zčne hledt číslo, jehož druhá mocnin je 5). Je možné ho necht bádt, le ze zbytkem třídy tento problém neřešíme. Př. 9: Lichoběžník má obsh cm. Urči jeho zákldny, jestliže má ýšku 6 cm jedn zákldn je o cm ětší než druhá. ( ) + c Vzorec pro obsh lichoběžníku: S =. Je jedno, jk si strny oznčíme, budeme npříkld předpokládt, že strn je delší = c +. ( + c) ( c + + c) ( c + ) Dosdíme do zorce: S = = =. ( c + ) Nyní již můžeme ypočítt c (S i známe): S = / S = c + / : ( ) S c / : = + S c / = + S c = = = = 6 Délk delší strny: = c + = + = 5. Zákldny lichoběžníku mjí délky cm 5 cm. Pedgogická poznámk: V řešení není proedeno ykrácení zlomku ( c + ), protože žáci ještě neumí ytýkt před záorku celá úpr je pro ně nprosto neprůhledná. Dodtek: Příkld je možné řešit i doszením hodnot ze zdání do zorce pk klsickým řešením ronice. ( c + ) S = Dodtek: Příkld se dá řešit i úhou. Pltí zorec ( + c) pltí: ( + c) = 8, pro součet ( ) ( + ) c S = = pro součin + c pk + c = 8. Hledáme tedy dě čísl, jejichž součet je 8 jedno je o dě ětší než druhé hledná čísl jsou 5. Pedgogická poznámk: Pokud někdo přijde s řešením uedeným dodtku, je dobré ukázt, že jde e skutečnosti o proádění ekilentních úpr n ronici cest je tedy podobná jen yžduje ětší předstiost. 5
Př. 0: Nčrtni obecný trojúhelník. Dokresli do obrázku body, do kterých můžeme posunout rchol, niž by se obsh trojúhelníku změnil. Nkresli jinou brou do jiných obrázků podobné body pro rcholy. Vrchol můžeme posunot po ronoběžce se strnou, která jím prochází. Nezmění se tk ýšk c tím ni obsh trojúhelníku. Podobně pro dlší strny. Př. : (ONUS pro zájemce) Spráná hodnot obshu pozemku z příkldu 5 byl určen pomocí zorce, který se e škole neprobírá. Njdi tento zorec zkontroluj hodnotu od učitele. + b + c Herónů zorec: S = s ( s )( s b)( s c), kde s =. + b + c 56 + 68 + 68 = 56 m, b = 68m, c = m s = = = = 8 Doszení je jsné, problémem je diná stříšk přikrýjící zorec (druhá odmocnin), nštěstí ji máme n klkulčce. ( )( )( ) ( )( )( ) S = s s s b s c = 8 8 56 8 68 8 m 7 m Pozemek má rozlohu 7 m. Shrnutí: Vzorce pro obshy ronoběžníku, trojúhelníku lichoběžníku jsou si elmi podobné ycházejí ze zorce pro obsh obdélníku. 6