Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e) M =, { n : n N}; f) M = { ( ) n n n + : n N}.
Výsledky. max Z ani min Z neexistují, sup Z = +, inf Z = ; b) max M = 5 = sup M, min M neexistuje, inf M = ; c) max M neexistuje, sup M =, min M = = inf M ; d) max M = = sup M, min M neexistuje, inf M = ; e) max M = 4 = sup M, min M neexistuje, inf M = ; f) max M ani min M neexistují, sup M =, inf M =.
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Funkce. Určete definiční obor funkce: x x + ; b) x + x x 6 ; c) + x x ; d) x x ; e) x x + ; f) x + x ; g) j) x x + + x + x ; h) x ; i) log log log 4 x ; ln(x + ) x x + ; k) ln sin x ; l) arcsin ; m) ( arctg(x ) ) /(x ) ; n) log ( log(x 4x + ) ).. Vyšetřete omezenost funkce: x ; b) x + 6x 4 ; c) x + x + 5 ; d). Určete, zda je funkce sudá nebo lichá: x +. 5x x ; b) x 4 + x ; c) x + x ; d) x x ; e) ln x + x ; f) ex e x + ; g) log( x + + x) ; h) sin x x ; i) x ; j) sin x cos x ; k) ( x) + ( + x). 4. Vyšetřete, zda je funkce periodická, a pokud ano, určete její periodu: sin x ; b) 5 cos x ; c) 4 sin πx ; d) cos(4x + 5) ; e) tg x ; f) tg x ; g) sin x + sin x ; h) sin(5πx + π 4 ) cos( π 6 πx). 5. Dokažte: sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y ; b) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y.
Výsledky. (, ) (, + ); b) (, ) (, ) (, + ); c), ; d) (,, ; e) (, ) (, + ); f) (, {}; g) ; h), ; i) (4, + ); j) (, ) (, + ); k) ( ) k Z kπ, (k + )π ; l), ; m) (, ) (, + ); n) (, ).. není omezená ani zdola, ani shora; b) omezená zdola; c) omezená shora; d) omezená.. lichá; b) sudá; c) ani sudá ani lichá; d) lichá; e) lichá; f) lichá; g) lichá; h) sudá; i) sudá; j) ani sudá ani lichá; k) sudá. 4. π; b) π; c) ; d) π; e) π; f) není periodická; g) π; h).
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Limity funkcí. Spočtěte: x + x lim x + x + d) lim x g) lim x. Spočtěte: x x + 5 x + x + x 5 + x + x x + x lim x x + x ; x ; b) lim x x 4 + ; e) lim x + ; h) lim x x 4 d) lim x x ; e) lim 4x + x. Spočtěte: x + x x + x 5 + x. x x + b) lim x x + x + x + x + ; 4x x + ; c) lim x + x + x ; ; f) lim x x + x + x + x + ; x x ; c) lim x x x + ; ( f) lim x x x x + x x + lim ; b) lim ; c) lim x + x + x + x 4 x 4x + ; x x + x + x + d) lim ; e) lim ; f) lim ; x 6 x 6 x x + x + x ( ( ( g) lim x + x x) ; h) lim x + + x) ; i) lim x + x). x + x x 4. Spočtěte: x + sin x cos x lim ; b) lim ; c) lim x + x + cos x x +π/ sin x ; x x arctg x x + x sin x d) lim ; e) lim (ln x + cos x) ; f) lim ; x x x + x x + g) lim x (4 ex sin x) ; h) lim x + ex cos x ; i) lim x + e x cos(x + ). ). 5. Spočtěte: lim x + x 5 ; x x + b) lim x x ; c) lim sin x x ; d) lim x + cos x ; e) lim x π ln ( + cos x) ; f) lim x x + e/x ; e x g) lim x + e x ; h) lim + arcsin x ; i) lim x + + x x 6. Spočtěte limity funkce v hraničních bodech definičního oboru: x x. cos x + x x ; b) arctg x ; c) (tgh x)/(x ).
Výsledky. ; b) ; c) ; d) ; e) + ; f) ; g) + ; h) +.. ; b) ; c) ; d) neexistuje, v ±; e) + ; f).. + ; b) ; c) ; d) 4 ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) + ; 4. ; b) ; c) nelze počítat, + v ; d) ; e) + ; f) ; g) neexistuje; h) neexistuje; i). 5. + ; b) nelze počítat, + v +; c) neexistuje; d) ; e) + ; f) + ; g) ; h) π; i) neexistuje, v, + v +. 6. neexistuje v, ± v ±, v + ; b) 4 π v ±, π v ±; c) + v + a v, v +, v +.
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Derivace funkce. Spočtěte derivaci funkce: x 5x + ; b) x x ; c) 5 x + x ; d) x x + ; e) (x + ) 4 ; f) x +.. Spočtěte derivaci funkce: 4 x cos x ; b) e x sin x ; c) x e x cos x ; d) x sin x arctg x ; e). Spočtěte derivaci funkce e x ; f) cotg x. sin x sin(x + 5) ; b) e x+ ; c) x ; d) ln x ; e) ln tg x ; f) arccos x ; g) ln x + ; h) ln cosh x ; i) ln ln sin x. 4. Spočtěte derivaci funkce: x x ; b) x sin x ; c) x x ; ( ) x x d) ; x + e) (x + ) cos πx. 5. Spočtěte derivaci druhého řádu: x e x ; b) (x + ) arctg x ; c) ln(x + x + ). 6. Vyjádřete derivaci řádu n; e ax ; b) x e x ; c) x ln x.
Výsledky. 6x 5; b) x / +x ; c) 5 x 8/5 6x 4, x ; d) x (x +) ; e) 8x(x +) ; f) x x +, x.. 4 x /4 cos x 4 x sin x; b) e x sin x+e x cos x; c) x e x cos x+x e x cos x x e x sin x; d) sin x arctg x + x cos x arctg x + x sin x x + ; e) e x (sin x cos x) ; f) sin x sin x.. cos(x + 5); b) e x+ ; c) x ln ; d) x ln x; e) f) +x x ; g) ln x x ln x+ sin x cos x ; ; h) tgh x; i) funkce není definována pro žádné x. 4. x x (ln x+); b) x sin x (cos x ln x+ sin x x ); c) xx + ( ln x+); d) ( ) x x ( x+ x+ +ln x e) (x + ) cos πx( sin πx π ln(x + ) + cos πx x + x). 5. e x (x x + x); b) x + + arctg x; c) x. (x +) 6. a n e ax ; b) e x (x + n); c) ln x + pro n =, ( ) n (n )! x n pro n. x+) ;
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Aplikace derivací. Spočtěte lim x sin x sin 4x ; e) lim x sin πx b) lim x ln x sinh x ln x ; f) lim (x ) x e x i) lim x + e x + ;. Spočtěte: j) lim x x arcsin x x e x e x ; c) lim x sin x ; g) lim x + ; d) lim x ln x x ; ln x ; h) lim x + x + ; k) lim x x arctg x x ; l) lim x + e x 5x + ; ln x. x cos x x x cosh x cos x lim x x ; b) lim x + e x ; c) lim x x ; ln(x 8) d) lim x x ; e) lim x x +. Spočtěte: lim x x e x ; ln(x 8) x x ln sin x ; f) lim x ln sin x. b) lim x cotg x ; c) lim x(π arctg x) ; x x + d) lim( x) tg πx ; e) lim x x + xa ln x (a > ) ; f) lim x xn e x (n N). 4. Spočtěte: lim x + xx ; d) lim x + xx ; e) lim x + b) lim x x ; c) lim (sin x x π/ x)tg x ; ( ) x cos x 5. Určete rovnice tečny a normály grafu funkce f v bodě A: ; f) lim x + (cotg x)sin x. f(x) = ln x, A = [,?] ; b) f(x) = x, A = [,?]. 6. Určete Taylorův polynom řádu n funkce f v bodě a: f(x) =, a =, n = ; b) f(x) = arctg x, a =, n = ; x c) f(x) = ln( + x), a =, n = 4 ; d) f(x) = k + x (k N), a =, n = ; e) f(x) = sin x, a = π 4, n = ; f) f(x) = x e x+, a =, n =.
Výsledky. 4 ; b) π; c) ; d) ; e) neexistuje, ± v ±; f) ; g) ; h) + ; i) ; j) ; k) ; l).. ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) nelze počítat, v +.. ; b) ; c) ; d) π ; e) ; f) pro n sudé, pro n liché. 4. ; b) e ; c) ; d) + ; e) e / ; f). 5. tečna: y = x, normála: y = x + ; b) tečna: y = x, normála: y = x 4. 6. + x + x + x ; b) x x ; c) x x + x 4 x4 ; d) + k x; e) + (x π 4 ) 4 (x π 4 ) (x π 4 ) ; f) (x + ) (x + ) + 6 (x + ).
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Průběh funkce. Určete maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce: f(x) = x + x + 5 ; b) f(x) = x + x ; c) f(x) = x x + ; d) f(x) = x e x ; e) f(x) = ln x + ; x f) f(x) = x ln x ; g) f(x) = ln + x x ; h) f(x) = x sin x ; i) f(x) = e x ; j) f(x) = x e x ; k) f(x) = x ; l) f(x) = (x ) x +.. Určete maximum a minimum funkce: f(x) = x x + 4, x, ; b) f(x) = x + x +, x, ; c) f(x) = x 4 8x +, x, ; d) f(x) = x x +, x, ; e) f(x) = arccos x, x, + ; f) f(x) = x ln x, x (, ; g) f(x) = x + e x, x (, + ) ; h) f(x) = x e x, x (, + ) ; i) f(x) = x x x, x (, ) ; j) f(x) = x, x (, + ). +. Určete rozměry obdélníku s největším obsahem vepsaného do půlkruhu o poloměru r. b) Určete rozměry kvádru se čtvercovou podstavou, který má při objemu V nejmenší povrch. c) Určete rozměry válce s největším objemem vepsaného do koule o poloměru r. d) Určete rozměry válce s největším obsahem pláště vepsaného do koule o poloměru r. 4. Určete intervaly konvexity a konkavity a body inflexe funkce: x 4 x + x + ; b) x 5 x + x + ; c) x 4 + x + e x ; d) x e x ; e) (x + ) e x ; f) x + sin x ; g) x x x ; h) + x ; i) x +. 5. Určete asymptoty grafu funkce: x + x ; b) x + x + x + ; e) x + e x ; f) x ln x ; g) arctg x + x ; i) e x cos x ; j) ln( e x ). c) x x x + ; d) x + x ; x h) ln + x ;
Výsledky. na (, 5) a ( 5, + ) rostoucí, lokální extrémy nemá; b) na (, a, + ) rostoucí, na, ) a (, klesající, f( ) = ostré lokální maximum, f() = ostré lokální minimum; c) na (, a, + ) klesající, na, rostoucí, f( ) = ostré lokální minimum, f() = ostré lokální maximum; d) na (, a, + ) rostoucí, na, klesající, f( ) = 4e ostré lokální maximum, f() = ostré lokální minimum; e) na (, klesající, na, + ) rostoucí, f() = ostré lokální minimum; f) na (, e klesající, na e, + ) rostoucí, f(e ) = e ostré lokální minimum; g) na (, ) rostoucí, lokální extrémy nemá; h) na R rostoucí, lokální extrémy nemá; i) na (, rostoucí, na, + ) klesající, f() = ostré lokální maximum; j) na (, a, + ) klesající, na, rostoucí, f( ) = 7 e ostré lokální minimum, f() = 7 e ostré lokální maximum; k) na (, rostoucí, na, + ) klesající, f() = ostré lokální maximum; l) na (, a, + ) rostoucí, na, ) klesající, f( ) = ostré lokální maximum, f( ) = 4 ostré lokální minimum.. max f = f( ) =, min f = f() = ; b) max f = f() = 6, min f = f( ) = = ; c) max f = f() =, min f = f() = ; d) max f = f() = f() =, min f = f( ) = 8; e) max f neexistuje, min f = f() = ; f) max f = = f(e ) = 4e, min f = f() = ; g) max f neexistuje, min f = f() = ; h) max f = f() = e, min f neexistuje; i) max f neexistuje, min f neexistuje; j) max f = f() =, min f = f( ) =.. strany r a r, obsah r ; b) krychle s hranami V, obsah povrchu 6 V ; c) poloměr podstavy / r, výška r, objem 4π r ; d) poloměr podstavy výška r, obsah pláště πr ; r, 4. na (, a, + ) konvexní, na, konkávní, inflexe v a ; b) na (, konkávní, na, + ) konvexní, inflexe v ; c) na R konvexní, body inflexe nemá; d) na (, konkávní, na, + ) konvexní, inflexe v ; e) na (, a, + ) konvexní, na, konkávní, inflexe v a ; f) na + kπ, π + kπ (k Z) konkávní, na π + kπ, π + kπ (k Z) konvexní, inflexe v kπ (k Z); g) na (, a, konkávní, na, a, + ) konvexní, inflexe v ± a ; h) na (, ), (, a, + ) konvexní, na, konkávní, inflexe v ; i) na (, konvexní, na, + ) konkávní, inflexe v. 5. x =, y = v ± ; b) x =, y = v ± ; c) x =, y = x v ± ; d) x = ; e) y = x v + ; f) nemá; g) y = π 4 v ± ; h) x = ±; i) y = v ; j) x = ln, y = x + ln v +.
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Neurčitý integrál. Spočtěte (využijte linearitu a tabulkové integrály): x (x x x + 4 ) ; b) x ; c) d) 4 5 x ; e) x ; f) g) ( e x + 4 sin x) ; h) cos x ; i) x 5 x 5 ; ; x x + 5 x +.. Spočtěte (využijte lineární substituce): (x 4) 6 ; b) x ; c) (x + ) 5 ; d) 4 ( x ; e) cos x ; f) sin x cos x ) ; g) (5 e x + e x ) ; h) ( x + x ).. Spočtěte (využijte vyjádření pomocí dvojnásobného argumentu): sin x ; b) cos x. 4. Spočtěte (využijte metodu per partes): (x ) sin x ; b) (x + ) cos x ; c) d) (x + ln x x ) ln x ; e) x ; f) g) (x + x + ) e x ; h) ln x ; i) (x ) e x ; (x x) sin x ; x ln x. 5. Spočtěte (využijte metodu per partes a řešte rovnici): e x cos x ; b) e x sin x ; c) ln x x. 6. Spočtěte pomocí vhodné substituce: d) g) j) x + x + x + 4 ; x (x ) 4 ; e) 6x + x ; h) sin 7 x cos x ; k) b) x x ; x e x + ; f) x x + 8 ; sin x cos 4 x ; l) c) i) cotg x ; x x ; 4x + 4 x + x + ; ln x. x
Výsledky. 4 x4 x x + c, x R; b) x ln x 4 x + c, x (, ), x (, + ); 4 5 c) + 5 +c, x (, ), x (, + ); d) 4 x 4x 4 5 x 5 +c, x (, + ); e) 5 8 x 8 +c, x R; f) x + c, x (, ), x (, + ); g) e x 4 cos x + c, x R; h) sin x + c, x R; i) x + arctg x + c, x R.. (x 4)7 + c, x R; b) ln x + c, x (, ), x (, + ); c) + c, x (, 8(x+) 4 ), x (, + ); d) 4 4 5 ( x) 5 + c, x (, ); e) sin x + c, x R; f) 9 cos x sin x + c, x R; g) 5 ex e x + c, x R; h) ln x ln x + c, x R.. (x sin x) + c, x R; b) (x + sin x) + c, x R. 4. (x ) cos x + 4 sin x + c, x R; b) (x + ) sin x + 9 cos x + c, x R; c) (x ) ex + c, x R; d) ( x + x ) ln x 4 x 9 4 x + c, x (, + ); e) x (ln x + ) + c, x (, + ); f) (x x 8) cos x + 4(x ) sin x + c, x R; g) (x + x + 4) e x + c, x R; h) x (ln x ln x + ) + c, x (, + ); i) x ( ln x 4 ln x + 4 ln x 8 ) + c, x (, + ). 5. 7 (sin x + 6 cos x ) ex + c, x R; b) 5 (sin x + cos x) e x + c, x R; c) ln x + c, x (, + ). 6. ln(x + x + 4) + c, x R; b) ln x + c, x (, ), x (, + ); c) ln sin x + c, x ( + k π, π + k π ), k Z; d) 5 (x ) 5 + c, x R; e) ex + + c, x R; f) ( x ) + c, x (, ); g) 4 (x + ) + c, x (, + ); h) x + 8 + c, x (, + ); i) (x + x + ) + c, x R; j) 8 sin8 x + c, x R; k) 5 cos5 x + c, x R; l) 4 ln4 x + c, x (, + ).
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Integrace racionálních funkcí a dalších typů funkcí. Spočtěte: x x + 5 x x ; b) x + (x )(x + x + ) ; x + 7x + c) (x )(x + x ) ; d) (x + )(x + 4x + 4) ; x x 4 e) x 4 x ; f) + x + x 7x (x + ) (x 4x + 4) ; 5 g) (x + 4) 4 ; h) (x ).. Spočtěte: x + x + x + ; x d) x 6x + ; b) e) 5x x x + 5 ; 4x x + ; c) f) x + 4 x + 4x + ; x (x + ).. Spočtěte: d) e x e 4x + e x ; e x + e x ; b) e) e x + ; c) ln x x (ln ; f) x 4) e x e 4x e x + ; x ln x. 4. Spočtěte: sin 6 x cos x ; b) cos x c) cos x sin x + ; d) e) tg 4 x ; f) g) cotg x ; h) sin x cos 5 x ; cos x ( + cos x) sin x ; sin x + cos x ; cos x. 5. Spočtěte: x x ; b) d) x 4 x x + ; e) x x x + ; c) ; f) + x + ; x + x. 6. Spočtěte: x + 6x 8 ; b) x + 4x ; c) x x +.
Výsledky. x + x + ln x (x+) + c, x (, ), x (, ), x (, + ); b) ln x (x+) + c, x (, ), x (, ), x (, ), x (, + ); c) (x ) (x ) + ln x+ + c, x (, ), x (, ), x (, + ); d) + c, x (, ), x (, + ); (x+) e) + x x + ln x x + c, x (, ), x (, ), x (, + ); f) + (x+) (x+) x + ln x + c, x (, ), x (, ), x (, + ); g) 5 (x+4) + c, x (, 4), x ( 4, + ); h) 4(x ) + c, x (, ), x (, + ).. ln(x +x+)+ x+ arctg +c, x R; b) 5 ln(x x+5)+ x arctg +c, x R; c) ln(x + 4x + ) x+ arctg + c, x R; d) ln(x 6x + ) + x arctg + c, x R; e) x 4 arctg + c, x R; f) + c, x (, ), x (, + ).. ln e x e x + + c, x (, ), x (, + ); b) x ln(ex + ) + c, x R; c) arctg(ex ) + c, x R; d) arctg e x + c, x R; ln x x + e) ln ln x 4 + c, x (, e ), x (e, e ), x (e, + ); f) ln ln x + c, x (, ), x (, + ). 4. 7 sin7 x 9 sin9 x + c, x R; b) 8 cos8 x 6 cos6 x + c, x R; c) +sin x ln sin x + c, x ( π + kπ, π + kπ), k Z; d) +cos x + c, x ( + kπ, π + kπ), k Z; e) tg x tg x + x + c, x ( π + kπ, π + kπ), k Z; f) tg x ln( + tg x ) + c, x ( π + kπ, π + kπ), k Z; g) cotg x x + c, x ( + kπ, π + kπ), k Z; h) cotg x + c, x ( + kπ, π + kπ), k Z. 5. 7 (x ) 7 + 4 (x ) 4 + c, x R; b) 6 (x + ) (x + ) + c, x (, + ); c) x + 4 ln ( + x + ) + c, x (, + ); d) ln x+ x++ + c, x (, ), x (, + ); e) x 4 4 arctg x 4 + c, x (4, + ); f) x x + 6 6 x 6 ln ( 6 x + ) + c, x (, + ). 6. arcsin(x ) + (x ) x + 6x 8 + c, x (, 4); b) ln x + 4x + x + + c, x (, 4), x (, + ); c) ln ( x x + + x ) + c, x R.
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Určitý integrál. Spočtěte: d) g) 6 π (x x) ; b) x ; e) 4 sin 6x ; h) π/ e x ; c) x ; f) π/ 7 x ; cos x ; i) x. x ;. Spočtěte: x ; b) x ; c) 4 e x 6.. Spočtěte: d) π π π (x + ) sin x ; b) (4x ) cos x ; c) x cos x ; e) x e x ; f) (x + ) e x ; x arctg x. 4. Spočtěte: c) e) 5 x + x (x ) ; b) x + x (x + )(x + ) ; 4 x x x 4 x ; d) x x x 6x + ; f) x x 4 x 4x + 4x ; 4x + 4x + 5. 5. Spočtěte: x x ; b) x + ; x π c) tg x. 6. Spočtěte: c) e) ln π π/ 4 e x π/ e x + ; b) sin x cos x ; sin x x cos x cos x + ; d) + x ; + x +.
Výsledky. 4; b) ; c) ; d) ln ; e) 4 ; f) 9; g) ; h) ; i) ln.. ; b) 8 ; c) e.. ; b) ; c) ( + e )/; d) π; e) e 6; f) π 4. 4. ln 4 ; b) π 4 ; c) 7 ln 6; d) ln ; e) ln + π 8 ; f) 4 arctg 4 arctg. 5. ; b) 4 ; c) ln. 6. ln 9 8 ; b) ; c) 4 π; d) ln ; e) ln.
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Nevlastní integrál. Spočtěte: d) g) + + + x ; b) (x ) 4 ; c) + 4 ; e) sin x ; f) x x + x 4x + 5. 8 x ; e x ;. Spočtěte: d) + / + x e x ; b) ln x x ; e) + + ln x + x ; c) x 4 e x ; e x cos x ; f) + e x sin x.. Spočtěte: c) + + x x + ; b) x + 5 x + x + 5 ; x x ; d) + x + 4 (x + )(x + x + ). 4. Spočtěte: c) e) + e + + e x + 4 e x + ; b) e x + e x ; + x (ln x + ln x + ) ; x (ln x + ln x + 5) ; d) + (x + ) x ; f) 6 (x ) x +.
Výsledky. 8 ; b) ; c) 6; d) + ; e) neexistuje; f) ; g) neexistuje.. e ; b) ; c) 4; d) ; e) ; f). π; b) + ; c) 4 ln 5; d) ln. 4. 6 ln ; b) 4 π; c) 8 π; d) ln ; e) π; f) ln 5..
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Aplikace určitého integrálu. Spočtěte střední hodnotu funkce f na daném intervalu: f(x) = x, x, ; b) f(x) = x, x, ; c) f(x) = e x, x, ; d) f(x) = sin x, x, π.. Spočtěte obsahy následujících množin: {[x, y] : x, π, y sin x} (plocha pod obloukem sinusoidy); b) {[x, y] : x, e, y /x}; c) {[x, y] : x a, b, y x }; d) {[x, y] : x R, y e x }; e) {[x, y] : x R, y /(x + )}.. Spočtěte obsah omezené plochy ohraničené grafy funkcí f, g: f(x) =, g(x) = x x; b) f(x) = x, g(x) = x 4 ; c) f(x) = x, g(x) = x. 4. Spočtěte obsah elipsy s poloosami a, b. (Nápověda: rovnice elipsy je (x/ + (y/b) =.) 5. Spočtěte délku grafu funkce f na daném intervalu: f(x) = a cosh x a (a > ), x, b (b > ); b) f(x) = ln(x ), x, 5 ; c) f(x) = ln sin x, x π, π ; d) f(x) = arcsin x + x, x,. 6. Spočtěte objem rotačního elipsoidu, vzniklého rotací elipsy s poloosami a, b kolem její osy délky a. (Nápověda: použijte rovnici elipsy (x/ + (y/b) =.) 7. Spočtěte objem rotačního paraboloidu, který má výšku v a poloměr podstavy r. 8. Spočtěte povrch pláště kulového pásu s výškou v v kouli o poloměru r. 9. Spočtěte povrch anuloidu, který vznikne rotací kružnice o poloměru r se středem [, R] (R > r) kolem osy x.. Určete těžiště půlkružnice.. Určete těžiště plochy pod jedním obloukem sinusoidy.
Výsledky. ; b) ; c) (e ); d) π.. ; b) ; c) (b a )/; d) ; e) π.. 4 (interval, ); b) (interval, ); c) (interval, ). 4. πab (čtyřikrát obsah pod grafem funkce b (x/, použije se například substituce x = a sin t). 5. a sinh b a ; b) + ln ; c) ln ; d) 4. 6. 4 πab. 7. πr v (funkce f(x) = r x/v na intervalu, v ). 8. πrv (nezávisí na jeho poloze v kouli). 9. 4π Rr (sečtením integrálů funkcí R ± r x na r, r dostaneme 4πr r r / r x = 4πrR [ arcsin x r ] r r ).. [, π r] pro r x na intervalu r, r.. [ π, 8 π] pro sin x na intervalu, π.
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Číselné řady. Určete součet geometrické řady: + + 4 9 + 8 7 + ; b) 9 + 7 8 + ; c) + 4 + 6 + 64 9 + ; d) + 9 4 7 8 +.. Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci řady: d) g) j) m) k= k= k= k= k= ( ) k k ; b) k= k + ; e) k= 4 k k! ; h) ( k k ) k ; k) ( ) k k ; n) k + k= k= k= ( ) k k + ; c) k= k k ; f) k= k k 8 k ; i) k= ( ) k k 4k 5 ; l) ( ) k+ (k )! ; o) k= k= k ; ( k) 7 k ; k! k k ; cos kπ k 7 ; ( k) k (k + )!.
Výsledky. (kvocient ); b) 4 (kvocient ); c) + (kvocient 4 (kvocient ). ). d) osciluje. konverguje (Leibnizovo kr.), ne absolutně (integrální kr.); b) konverguje (Leibnizovo kr.), ne absolutně (integrální kr.); c) nekonverguje (integrální kr.); d) absolutně (integrální kr.); e) absolutně (podílové/odmocninové kr.); f) absolutně (podílové/odmocninové kr.); g) absolutně (podílové/odmocninové kr.); h) nekonverguje (nutná podmínka konvergence nebo odmocninové/podílové kr.); ( (podílové kr.: lim k ) k k k+ = limx + exp ln x x+ l H = e < ); i) absolutně /x j) absolutně (odmocninové kr.: lim k k k x ln x l k = lim x + exp H /x = e < ); k) absolutně (integrální kr. od k = ); l) konverguje (Leibnizovo kr. od k = ), ne absolutně (integrální kr. od k = ); m) nekonverguje (neplatí nutná podmínka konvergence: lim k k k k+ = lim x + exp ln x x+ l H /x = e ). n) absolutně (podílové ( k) kr.) o) nekonverguje (neplatí nutná podmínka konvergence: lim k k (k+)! = ( = lim k k k k k ) ( k k+ k limk ) k k+ = k limk +/k = + ).
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Separovatelné diferenciální rovnice. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou x = e x t, x() =.. Řešte diferenciální rovnici x = x s počáteční podmínkou: x() = ; b) x( ) = ; c) x( ) =.. Řešte diferenciální rovnici x = t/x s počáteční podmínkou: x() = ; b) x(4) =. 4. Řešte diferenciální rovnici x = x s počáteční podmínkou: x( ) = ; b) x() = ; c) x( ) =. 5. Řešte diferenciální rovnici x = (x x)/t s počáteční podmínkou: x() = ; b) x( ) = ; c) x() = 4 ; d) x() = ; e) x() =. 6. Řešte diferenciální rovnici x = ( x )/(tx) s počáteční podmínkou: x() = ; b) x( ) = ; c) x() = ; d) x() = ; e) x( ) =. 7. Řešte diferenciální rovnici x = x s počáteční podmínkou: x() = ; b) x() =.
Výsledky. x(t) = ln( + ln t), t ( e, + ) ; obecné řešení je x(t) = ln ln ct pro c na intervalu (, c ) pro c <, ( c, + ) pro c >.. Obecné řešení x(t) = (t c) na intervalech (, c) a (c, + ); x(t) = t, t (, + ) ; b) x(t) = t + 7, t ( 7, + ) ; c) x(t) = t, t (, ).. Obecné řešení x(t) = c t, x(t) = c t, t ( c, c) pro c > ; x(t) = = t, t (, ) ; b) x(t) = 5 t, t ( 5, 5). 4. Stacionární řešení x(t) = na intervalu R, nestacionární řešení x(t) = t c na intervalech (, c) a (c, + ); x(t) =, t R; b) x(t) = t, t (, + ) ; c) x(t) = t+, t (, ). 5. Stacionární řešení x(t) =, x(t) = na intervalech (, ), (, + ); nestacionární řešení x(t) = ct pro c na maximálních intervalech neobsahujících, c ; x(t) = = t, t (, ); b) x(t) =, t (, ); c) x(t) = +t, t (, + ); d) x(t) =, t (, + ); e) x(t) = t, t (, + ). 6. Stacionární řešení x(t) =, x(t) = na intervalech (, ), (, + ); nestacionární řešení x(t) = c/t a x(t) = c/t na maximálních intervalech disjunktních s intervalem obsahujícím, c; x(t) = /(4t), t ( 4, + ) ; b) x(t) =, t (, ); c) x(t) = + 6/t, t (, + ); d) x(t) = + 9/t, t (, + ); e) x(t) = + 5/(t), t (, 5 ). 7. Stacionární řešení x(t) = na intervalu R, nestacionární řešení x(t) = (t c) na intervalech (c, + ), dají se prodloužit stacionárním řešením na R; {, t (,, x(t) = (t + ), t, + ) ; {, t (, c, b) x(t) =, t R, nebo x(t) = (t c), t c, + ), (c ).