Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce není definována pro (obr 6) A A + ε ε f() ε A - ε δ δ a - δ a a + δ Obr 7: Geometrická interpretace pojmu limita Pro platí: ( ) f ( ) Za budeme do tohoto vztahu postupně dosazovat čísla blížící se hodnotě a určíme odpovídající funkční hodnot: f(,), f(,), f(,), f(+ -n ) + -n f(,9),8 f(,99),98 f(,999),998 f(- -n ) - -n Je zřejmé, že pro čísla přibližující se hodnotě (ale ) se odpovídající funkční hodnot f() stále více přibližují číslu A, které nazýváme limitou funkce f ( ) v bodě Zobecníme-li tento příklad, můžeme definovat: Funkce f() má v bodě a limitu A, jestliže ke každému kladnému číslu ε eistuje takové kladné číslo δ, že pro všechna a z intervalu (a - δ, a + δ) patří funkční hodnot f() do intervalu (A - ε, A + ε) Zápis: lim f ( ) A a Pomocí zavedených smbolů můžeme stručněji napsat: lim f ( ) A pro ε > δ >, že pro D platí: a < δ f ( ) A < ε a Poznámka: Z definice plne, že limita funkce nezávisí na tom, zda je funkce v bodě a definována Geometrick můžeme limitu funkce interpretovat takto (obr 7): Sestrojíme pás ohraničený rovnoběžkami A - ε, A + ε Má-li funkce f ( ) v bodě a limitu, která je rovna číslu A, eistuje vžd interval
Diferenciální počet funkce jedné proměnné (A - ε, A + ε) tak, že všechn bod [, f ( ) ] grafu funkce leží v tomto pásu, pokud leží v intervalu (a - δ, a + δ) a a Funkční hodnota v bodě a přitom může být vně pásu nebo v bodě a nemusí funkce být vůbec definována K výpočtu limit funkcí používáme následující pravidla Mají-li funkce f ( ) a g( ) v bodě a limitu lim f ( ) A, lim g ( ) B, eistuje a a také limita součtu, rozdílu, součinu a pro g() podílu a platí: lim kf ( ) k lim f ( ) ka k R, a a konstantu vtýkáme před limitu, n lim [ f ( ) ] [ lim f ( ) ] n A n n N, a a lim [ f ( ) + g( )] lim f ( ) + lim g( ) A + B, a a a limita součtu je rovna součtu limit, lim [ f ( ) g( )] lim f ( ) - lim g( ) A - B, a a a limita rozdílu je rovna rozdílu limit, lim [ f ( ) g( )] lim f ( ) lim g( ) A B, a a a limita součinu je rovna součinu limit, lim ( ) lim f ( ) f a A B, a g ( ) lim g ( ) B a limita podílu je rovna podílu limit, funkce f ( )má v bodě a nejvýše jednu limitu Základní limit Limit elementárních funkcí lze odvodit na základě definice a výše uvedených pravidel: lim c c, lim, a n k lim +, lim + ± n n >, lim, lim +, (obr 5a v kapitole Funkce proměnné), e lim + e +, lim + (obr 7c v kapitole Funkce proměnné), lim ln, lim ln + (obr 8c v kapitole Funkce proměnné), + + lim sin, lim + + e,
Diferenciální počet funkce jedné proměnné lim + a a + e Poznámka: Limit lim a a lim + nazýváme jednostrannými limitami: + Zápis lim f ( ) znamená, že se k číslu a blížíme ve směru os z levé stran a analogick zápis lim f ( ) znamená, že se k číslu a blížíme ve směru os z pravé stran + a Přitom obecně platí, že funkce f ( ) má v bodě a limitu právě tehd, má-li v tomto bodě limitu zprava a limitu zleva a jsou-li si tto limit rovn Příklad : Vpočtěte limit: a) A lim Řešení: Limitu vpočítáme, dosadíme-li za číslo : A b) B lim Řešení: Při formálním dosazení, dostaneme v čitateli i ve jmenovateli zlomku, musíme proto funkci nejprve upravit rozkladem a krácením a teprve potom dosadit: ( ) B lim ( )( + ) lim + + c) C lim Řešení: Při formálním dosazení dostaneme v čitateli zlomku + a ve jmenovateli zlomku -, proto celý zlomek nejprve rozšíříme výrazem / a pak teprve dosadíme: C lim lim d) D lim + 6 + + Řešení: Při formálním dosazení dostaneme v čitateli i jmenovateli zlomku +, proto nejprve celý zlomek rozšíříme výrazem / a pak dosadíme: D lim + 6 + + lim + 6 + + 6 + lim + + 6
Diferenciální počet funkce jedné proměnné + 6 e) E lim + + Řešení: V tomto případě nejprve čitatele zlomku zapíšeme ve tvaru součtu + + a pak výraz v závorce rozložíme na dva zlomk, abchom po zkrácení prvního zlomku získali požadovanou + + E lim + + lim + + + lim + + + + lim + + + + + + E e e Pojem limita funkce velmi úzce souvisí s pojmem spojitost funkce v bodě: Říkáme, že funkce f ( ) je spojitá v bodě a právě tehd, je-li v tomto bodě definována a platí lim f ( ) f ( a) a Názorně si smsl spojitosti funkce ukážeme na grafu funkce (obr 8): -5 8 Obr 8: Spojitost a nespojitost funkce V bodech spojitosti je křivka, představující funkci, nepřerušovaná (otevřené interval ( 5, ), (, ), (, 8)) bod, v nichž je tato křivka přerušená, se nazývají bod nespojitosti funkce (bod -5,,, 8) Derivace funkce Definice Je dána spojitá funkce f ( ) s definičním oborem D a na ní pevný bod T, f ( )] Naším úkolem je určit směrnici tečn t ke křivce f ( ) v bodě T [ f( + h) f( ) T f() S s t + h Obr 9: Derivace funkce
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 5 Veďme bodem T nejdříve sečnu s, která protíná graf f ( ) v dalším bodě S[, f()] S + h, f ( + )] - obr 9 [ h Pro směrnici sečn s platí: f k s tgα ( ) f ( ) f ( + h) f ( ) Δ f ( ) h Δ Tečnu t ke křivce f ( ) v bodě T lze považovat za limitní polohu sečn TS, jestliže se bod S blíží po křivce f ( ) k bodu T Pro směrnici tečn t ted platí: f k t tgϕ lim ( ) f ( ) f ( + h) f ( ) Δ f ( lim lim ) h h Δ Δ Tato velmi důležitá limita má speciální název derivace: Eistuje-li vlastní (konečná) limita tvaru f lim ( ) f ( ) f ( + h) f ( ) Δ f ( lim lim ), (6) h h Δ Δ nazýváme ji derivací funkce f( ) podle proměnné v bodě a značíme nejčastěji některým ze smbolů f ( ), ( ), df ( ), d ( ) d d Funkce, která má v bodě derivaci, se nazývá diferencovatelná v bodě Poznámk: Protože rozdíl Δf( ) f() f( ) f( +h) f( ) je přírůstek závisle proměnné (funkční hodnot), který odpovídá přírůstku nezávisle proměnné Δ h v bodě, můžeme definici derivace slov vjádřit jako limitu podílu přírůstku závisle proměnné ku přírůstku nezávisle proměnné, jestliže se přírůstek nezávisle proměnné blíží Derivaci funkce podle proměnné t bývá zvkem značit tečkou: f & (t) Příklad : Určete derivaci funkce f() c v libovolném bodě Řešení: Podle (6) píšeme f ( ) lim Δ f + Δ) f ( ) Δ ( lim Δ Derivace konstantní funkce je rovna v každém bodě c c lim Δ Δ lim Δ Δ Příklad : Určete derivaci funkce v libovolném bodě f ( + Δ) f ( ) Řešení: Podle (6) píšeme f ( ) lim Δ Δ Δ lim lim Δ Δ Δ Derivace funkce je rovna v každém bodě lim Δ + Δ) ( ) Δ (
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 6 Pravidla pro derivování Z předchozích příkladů je zřejmé, že výpočet derivací funkcí podle definice je zdlouhavý i v případě jednoduchých funkcí Proto k určení derivací v běžných úlohách užíváme následující pravidla: Mají-li funkce f() a g() v bodě derivaci, má v tomto bodě derivaci také jejich součet, rozdíl, součin a pro g() i podíl a platí: (f + g) f + g, (f - g) f - g, (7) (fg) f g + fg, a odtud speciálně pro g() c: ( c f ) c f, (8 a, b) f f g f g (9) g g Derivace elementárních funkcí lze odvodit na základě definice derivace a výše uvedených pravidel: (c) c, () n ( ) n n pro R, pro n R, () ( e ) e pro R, () ( a ) a ln a pro R, pro a R, a >, a, () (ln ) pro R,, () (log ) a lna pro R,, pro a R, a >, a, (5) (sin ) cos pro R, (6) (cos ) -sin pro R, (7) (tg ) (cotg ) - cos sin pro R, (k+)π/, (8) pro R, kπ, (9) (arcsin ) pro (-,), () (arccos ) (arc tg ) pro (-,), () pro R, () + (arc cotg ) pro R () +
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 7 Pro derivaci složené funkce platí: Má-li funkce u g( ) derivaci v bodě a funkce f ( u) derivaci v odpovídajícím bodě u g( ), pak složená funkce f ( g( )), má derivaci v bodě a platí f ( g( )) f ( g( )) g ( ) () [ ] Derivaci složené funkce vpočítáme jako součin derivace funkce vnější a derivace funkce vnitřní Příklad 5: Derivujte uvedené funkce v libovolném bodě D: a) + + Derivujeme postupně podle (7, 8b,, ): - + - + 8 + 6 b) + 5 Funkci nejprve upravíme - +5 a pak derivujeme podle (7, 8b,, ): (-) -- + 5 - - - - + c) ln Derivujeme podle (8a,, ): () ln + (ln) ln + ln + d) e cos Derivujeme podle (8a,, 7): (e ) cos + e (cos) e cos + e (-sin) e (cos - sin) e) ( 7 - )sin Derivujeme podle (8a, 7, 8b,, 6): (7 6-6)sin + ( 7 - )cos ln f) Derivujeme podle (9,, 8b, ): (ln ) ln () () g) tg sin cos ln ln ( ln ) ln
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 8 Derivujeme podle (9, 6, 7): (sin ) cos sin (cos ) (cos ) cos cos sin ( sin ) (cos ) (cos ) h) e +5 u Derivujeme složenou funkci, v níž e je vnější funkce a u + 5 je vnitřní funkce Podle (,, 7, 8b,, ) platí: u u + 5 + 5 ( e ) u e e e i) sin Derivujeme složenou funkci, v níž sin u je vnější funkce a u je vnitřní funkce Podle (, 6, 8b, ) platí: (sin u) u cosu cos cos j) k) sin Derivujeme složenou funkci, v níž sin u funkce Podle (, 6, ) platí: (sin u) u cosu cos cos je vnější funkce a u je vnitřní sin (sin ) Derivujeme složenou funkci, v níž u je vnější funkce a u sin je vnitřní funkce Podle (,, 6) platí: ( u ) u u cos sin cos l) 5 ( ) Derivujeme složenou funkci, v níž u je vnější funkce a u 5 je vnitřní funkce Podle (,, 7, ) platí: 5 5 ( u ) u u ( ) ( ) ( ) 8( ) (5 ) Vztah mezi derivací a spojitostí funkce v bodě objasňuje následující věta: Má-li funkce f ( ) v bodě derivaci, je v tomto bodě spojitá Poznamenejme pro úplnost, že obrácená věta neplatí, ted funkce spojitá v bodě, v něm nemusí mít derivaci Geometrický a fzikální význam derivace v bodě V předchozí kapitole jsme zavedli pojem derivace na základě geometrického názoru (obr 9), z kterého plne, že derivace ) f ( ) představuje směrnici k t tečn t ( sestrojené ke křivce o rovnici f() v bodě T[ ], tečn t pak má tvar T, f ( )] Rovnice příslušné [ - k t ( - ), případně f ) f ( )( ) (5) (
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 9 Ze směrnice tečn k t snadno určíme směrnici normál k n sestrojenou ke křivce o rovnici f() v bodě T[ ], T )] a také normálu n, k t, f ( : [ - k n ( - ), případně f ( ) ( ) f ( ) (6) Připomeňme jen, že normála ke křivce v daném bodě je přímka kolmá k tečně ke křivce v daném bodě a ted kolmá v daném bodě ke křivce Příklad 6: Napište rovnici tečn a normál ke křivce v bodě T[,?] Řešení: Nejprve určíme psilonovou souřadnici bodu T: 9, ted T[, 9] Dále vpočítáme směrnici tečn:, kt () 6 Rovnici tečn získáme dosazením do vztahu (5): 9 6( ) Pro směrnici normál platí k n a normálu získáme podle vztahu (6): 6 9 ( ) 6 Jinou významnou aplikací pojmu derivace je určení okamžité rchlosti a zrchlení přímočarého pohbu Jestliže funkce s f(t) popisuje závislost dráh s přímočarého pohbu hmotného bodu na čase t, pak derivace s & f & ( t) v( t) určuje velikost okamžité rchlosti pohbujícího se hmotného bodu a derivace rchlosti v& (t) a(t) určuje velikost okamžitého zrchlení tohoto bodu Použili jsme při tom úmluvu, podle níž derivace podle proměnné t značíme místo obvklé čárk tečkou Příklad 7: Dráha přímočarého pohbu hmotného bodu je určena v metrech vztahem st - Vpočítejte velikost rchlosti a zrchlení za sekund po začátku pohbu Řešení: v(t) s& (t - ) & 6t, v() s& () 6 m/s, a(t) v& (t) (6t )& t, a() m/s Diferenciál funkce Nechť funkce f() je spojitá v okolí bodu a nechť eistuje derivace ( ) f ( ) Označme d - přírůstek argumentu v bodě Diferenciálem funkce f() v bodě nazýváme výraz d df( ) f ( )d ( )d (7) Geometrický význam diferenciálu: Vztah (5) pro rovnici tečn sestrojené ke křivce T, f ( )] můžeme nní zapsat ve tvaru o rovnici f() v bodě T[ ], [ f ) f ( )( ) f ( ) d df( ), ted - f( ) df( ) (
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Odtud je zřejmé, že diferenciál df( ) představuje přírůstek psilonové souřadnice, pokud se -ová souřadnice změní z hodnot na hodnotu Můžeme ted pro malé přírůstk d přibližně napsat f() f( )+ df( ) (8) Poznámka: Ze zápisu derivace v kapitole d df f ( ) ( ) ( ) d d je nní zřejmé, že derivaci můžeme považovat za podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu d závisle proměnné a diferenciálu d nezávisle proměnné Příklad 8: Vpočítejte diferenciál funkce -, změní-li se argument z hodnot na hodnotu, Řešení: -, () -, d, -, Po dosazení do vztahu (7)platí: d(),, Příklad 9: Vpočítejte přibližně e, Řešení: K výpočtu použijeme funkci e, bod,, Pak podle (8) e, e + d(), e, () e, d -,, a podle (7) Po dosazení d() e,,e e, e+,e,e 6 Derivace všších řádů Má-li funkce f ( ) v každém bodě intervalu (a, b) derivaci f (), je v intervalu (a, b) definována nová funkce, kterou můžeme opět derivovat: ( ) (f ()) Říkáme pak, že funkce f() má v intervalu (a, b) druhou derivaci (nebo také derivaci druhého řádu), což zapisujeme smbolem f () nebo také d d f, d d Můžeme-li i druhou derivaci v intervalu (a, b) znovu derivovat, získáme v intervalu (a, b) novou funkci d d f ( ) ( f ( )) f ( ), d d která se jmenuje třetí derivace (nebo také derivace třetího řádu) funkce f() Derivací třetí derivace získáme čtvrtou derivaci, atd
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Obecně definujeme n-tou derivaci funkce f ( ) jako derivaci její (n - ) derivace: ( (n-) ) (f (n-) ( n ()) a značíme ) ( n ( ), f ) (), Poznámk: Nejobvklejší značení všších derivací: n n d f ( ) d, n n d d () (5),,,, Fzikální význam druhé derivace: V kapitole jsme uvedli, že pro velikost okamžité rchlosti a zrchlení přímočarého pohbu platí v(t) s& (t) a a(t) v& (t), ted po dosazení a(t) ( s &( t)) & & s ( t) Příklad : Vpočítejte všechn derivace funkce f ( ) 5 + - 8 Řešení: f ( ) +, f ( ) 6, f ( ), f () (), f (5) () f (6) () Příklad : Vpočítejte první a druhou derivaci funkce sin v bodě Řešení: Podle (8a) platí sin + cos, po dosazení () sin + cos +, podle (7, 8a) platí cos + (cos - sin) cos - sin, po dosazení () cos - sin - Příklad : Dráha volného pádu tělesa je určena rovnicí s okamžité rchlosti a tíhové zrchlení Řešení: v s& (t) ( gt )& gt, a & s&(t ) ( gt &) g gt Určete velikost 7 Derivace funkcí daných parametrick Vjadřování funkcí v eplicitním tvaru f() není vžd výhodné Další možností zápisu funkce je zadání parametrickými rovnicemi, stručněji parametrick Tento zápis vjadřuje závisle proměnnou a nezávisle proměnnou pomocí parametru t: ϕ(t), ψ(t) pro parametr t (α, β) Tto dvě rovnice určují funkci f() ψ(ϕ - ()) pro D, eistuje-li inverzní funkce t ϕ - () definovaná pro D Pro derivaci parametrick zadané funkce platí:
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Nechť funkce ϕ(t), ψ(t) mají na intervalu (a, b) spojité derivace & ϕ ( t), ψ& ( t), přičemž ϕ& (t) Pak příslušná funkce f() ψ(ϕ - ()) má v odpovídajícím ψ& ( t) intervalu D derivaci (9) & ϕ( t) Příklad : Určete rovnici tečn ke kružnici, zadané parametrickými rovnicemi cost, sint pro t <,π> v bodě T[, ] Řešení: Pro rovnici tečn platí vztah (5) K výpočtu směrnice tečn potřebujeme znát derivaci (9): cost ϕ(t), a proto ϕ& (t) -sint, sint ψ(t), a proto ψ& (t) cos t, cost cot gt sin t Hodnotu parametru t pro bod T[, ] určíme dosazením jeho souřadnic do parametrických rovnic kružnice: cost, sint, odtud π cos t sin t a ted t π π Proto k t (t ) cot g Podle vztahu (5) má tečna t k dané kružnici v bodě T[, ] rovnici ( ) 8 Cvičení Vpočítejte první derivace funkcí: a) 5 - + [ - +] 5 7 b) + + π [ 5 7 6 8 ] 5 5 c) [ ] d) [ + ] 5 8 5 5 e) [ ] f) ( )( + ) [ 6 + + ] g) [ ]
Diferenciální počet funkce jedné proměnné ( ) h) [ ] 5 i) (ln ) [ ln ] 5 5 j) e ( + 6 6) [ e ] k) sin + cos [ cos ] l) [ + ( + ) ] ( + ) m) [ ] + ( + ) sin n) [ ] sin cos (sin cos ) o) e + e [ e ( e ) ] p) sin + cos [ cos sin ] q) sin + cos [ sin cos (sin cos ) ] r) [ ] s) ln( + ) [ ] + t) e + e [ e e ] Vpočítejte derivace určeného řádu daných funkcí: () a) 6 + 8 9 + 6,? () [ 8] b) sin,? [ sin cos ] ( n) c) e,? ( n) [ n e ] (5) (5) d) ln,? [ ] Dokažte, že funkce e () cos je řešením rovnice + Napište rovnici tečn k dané funkci v daném bodě : a) 5 v bodě α), β) [ α ) 6 8, β ) 5 ] b) cos - sin v bodě π/ [ + π ] c) ln v bodě [ ] d) + v bodě [ + ] 5 Vpočtěte derivaci parametrick zadané funkce: t a) t + t, t + t [ ] t ++
Diferenciální počet funkce jedné proměnné t t b) e, e t [ e ] t t c),, t - + t + t [ ] d) a(t - cos t), a( + sin t) cost π [, t + kπ ] + sin t 6 Vpočítejte diferenciál funkcí: a) + 6 [ d ( ) d ] b) sin cos [ d ( cos + sin ) d ] c) sin [ d (sin + cos ) d ] d) ln( + 5) [ d ] 5 Průběh funkce d + 5 S výjimkou velmi jednoduchých funkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vtvoření názorné představ o funkci a k načrtnutí jejího grafu znát další informace o funkci (interval monotónnosti, etrém, inflení bod, interval konvenosti a konkávnosti), které určujeme obvkle pomocí první a druhé derivace funkce 5 Monotónnost funkce V kapitole jsme poznali funkce rostoucí a klesající na jistém intervalu Interval, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající, nazýváme interval monotónnosti funkce Určujeme je pomocí první derivace funkce Připomeňme si geometrický význam první derivace funkce v bodě (směrnice tečn ke grafu funkce v daném bodě) a skutečnost, že rostoucí funkce má kladnou směrnici tečn ke grafu funkce, kdežto klesající funkce má zápornou směrnici tečn ke grafu funkce To opravňuje k tvrzení: Je-li f () > v každém bodě intervalu (a, b), pak je funkce f() rostoucí v (a, b), je-li f () < v každém bodě intervalu (a, b), pak je funkce f() klesající v (a, b) Obrácené tvrzení neplatí Například funkce (obr a) je pro všechna reálná čísla rostoucí a při tom má první derivaci 6 v bodě rovnou nule Příklad : Určete interval monotónnosti funkce - 6 - Řešení: Definiční obor je D R Určíme první derivaci 6 6 6( + ) Funkce je rostoucí v bodech, v nichž platí >, ted 6( + ) >, + < a odtud < - Funkce je rostoucí v intervalu (-,-) Funkce je klesající v bodech, v nichž platí <, ted -6( + ) <, + > a odtud > - Funkce je klesající v intervalu (-,+ )
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 5 5 Etrém funkce Funkce f (), (a, b), která je znázorněna na obr, má v bodě funkční hodnotu f ( ), která je menší než jsou funkční hodnot f () pro všechna z jistého okolí bodu V bodě má tato funkce naopak funkční hodnotu f ( ), která je větší než jsou funkční hodnot f ( ) pro všechna z jistého okolí bodu V obou bodech je tečna ke křivce f () rovnoběžná s osou Je ted zřejmé, že bod a a mají specifické postavení f( ) f() f( ) a b Obr : Lokální etrém funkce Říkáme, že funkce f() má v bodě lokální maimum, eistuje-li takové okolí bodu, že pro všechn bod z tohoto okolí platí f() f( ) Platí-li vztah f() < f( ), říkáme, že funkce f() má v bodě ostré lokální maimum Říkáme, že funkce f() má v bodě lokální minimum, eistuje-li takové okolí bodu, že pro všechn bod z tohoto okolí platí f() f( ) Platí-li vztah f() > f( ), říkáme, že funkce f() má v bodě ostré lokální minimum Pro lokální maimum a lokální minimum používáme souhrnného názvu lokální etrém (případně ostré lokální etrém) nebo také relativní etrém Lokální etrém funkce určujeme pomocí první a druhé derivace funkce Nejprve musíme stanovit bod, v nichž lokální etrém mohou (ale nemusí) nastat: Nutná podmínka eistence lokálního etrému Má-li funkce f () v bodě lokální etrém a eistuje-li v tomto bodě derivace f ( ) potom platí: f ( ) Bod, v nichž platí f ( ), se nazývají stacionární bod funkce f () Poznámka: Obrácená věta neplatí Je-li f ( ), nemusí mít funkce f () v bodě lokální etrém Například kubická funkce (obr a) má v bodě derivaci f (), ale nemá v tomto bodě etrém (je pro všechna reálná čísla rostoucí) Rozhodnutí o tom, zda ve stacionárním bodě nastane nebo nenastane lokální etrém, souvisí s chováním funkce v okolí tohoto bodu:,
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 6 Ve stacionárním bodě funkce () proto rovnoběžná s osou f je směrnice tečn f ( ) k t, tečna je Pokud v blízkém okolí bodu vlevo platí f () > a vpravo f () <, znamená to, že v levém okolí bodu je funkce f () rostoucí a v pravém okolí bodu je funkce f () klesající (obr a) To znamená, že v bodě má funkce f () lokální maimum f() f() Obr : a) Lokální maimum funkce b) Lokální minimum funkce Pokud v blízkém okolí bodu vlevo platí f () < a vpravo f () >, znamená to, že v levém okolí bodu je funkce f () klesající a v pravém okolí bodu je funkce f () rostoucí (obr b) To znamená, že v bodě má funkce f () lokální minimum Pokud se znaménko první derivace funkce v blízkém okolí bodu nemění, nenastává v bodě lokální etrém funkce Při určování lokálních etrémů funkce postupujeme takto: Určíme první derivaci funkce Vpočítáme stacionární bod,, vřešením rovnice f () Určíme funkční hodnot první derivace f () pro některé bod z levého a pravého okolí bodu a) Platí-li f () > vlevo a f () < vpravo od bodu, je ve stacionárním bodě lokální maimum b) Platí-li f () < vlevo a f () > vpravo od bodu, je ve stacionárním bodě lokální minimum Postup opakujeme pro zbývající stacionární bod Příklad 5: Určete lokální etrém funkce + Řešení: Definiční obor je D R Vpočítáme ( + )( ) Z rovnice ( + )( ) určíme stacionární bod -, Pro bod - platí: ( ) 5, ted v levém okolí bodu funkce roste a ( ), ted v pravém okolí bodu funkce klesá Závěr: V bodě - je lokální maimum funkce, hodnota maima ( )
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 7 Pro bod platí: ( ), ted v levém okolí bodu funkce klesá a ( ) 5, ted v pravém okolí bodu funkce roste Závěr: V bodě je lokální minimum funkce, hodnota minima ( ) 7 (obr ) - _ - - + - - Obr : Lokální etrém funkce Obr : Absolutní etrém funkce Jiný způsob rozhodování o tom, zda v daném stacionárním bodě funkce nastane lokální etrém, umožňuje postačující podmínka eistence etrému: Nechtˇ je stacionární bod funkce f () a nechtˇ v bodě eistuje druhá derivace Je-li f ( ) <, má funkce f ( ) v bodě ostré lokální maimum, je-li f ( ) >, má funkce f ( ) v bodě ostré lokální minimum Podle této vět nelze rozhodnout o eistenci etrému v případě, že f ( ) Při určování etrémů funkce pomocí postačující podmínk postupujeme obvkle takto: Určíme první derivaci funkce Vpočítáme stacionární bod,, vřešením rovnice f () Vpočteme f ( ) a) Je-li f ( ) >, je v bodě ostré lokální minimum b) Je-li f ( ) <, je v bodě ostré lokální maimum Postup opakujeme pro další stacionární bod Příklad 6: Určete lokální etrém funkce + z příkladu 8 pomocí postačující podmínk eistence etrému Řešení: Z řešení příkladu 8 známe stacionární bod funkce -, Vpočítáme druhou derivaci funkce ( ) a její hodnotu ve stacionárních bodech: ( ), ( ), ted v bodě - je lokální maimum a v bodě je lokální minimum funkce V některých úlohách je třeba najít největší nebo nejmenší hodnotu funkce v <a, b> Tto hodnot na rozdíl od lokálních etrémů funkce nazýváme absolutní etrém (absolutní maimum, absolutní minimum) funkce f ( )v <a, b> - obr Předpokládáme, že funkce f ( )je v <a, b> spojitá a má v (a, b) derivaci Při hledání absolutních etrémů dodržujeme tento postup: Určíme stacionární bod funkce f ( )
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 8 Všetříme, ve kterých stacionárních bodech nastává lokální etrém Tto bod označíme,,, k Vpočteme funkční hodnot v bodech,,, k a krajních bodech a, b: f ( a), f ( ), f ( ),, f ( k ), f ( b) Největší z těchto funkčních hodnot je absolutním maimem funkce f ( )v <a, b>, nejmenší z nich je absolutním minimem funkce f ( ) v <a, b> Příklad 7: Určete absolutní etrém funkce v intervalu <-, > Řešení: Z první derivace určíme stacionární bod Z druhé derivace vplývá, že také ( ) a ted v bodě je lokální minimum funkce Jeho hodnota činí ( ) Vpočítáme funkční hodnot v krajních bodech definičního intervalu: ( ), () Závěr: Daná funkce (obr 5) má v bodě absolutní minimum [, -] a v bodě b absolutní maimum [, ] - - Obr 5: Absolutní etrém funkce v <-,> Příklad 8: Celkový zisk firm je dán funkcí Π ( ) 9 5, kde je počet prodaných výrobků Určete počet výrobků, které se musí prodat, ab zisk bl maimální Řešení: Potřebujeme určit maimum funkce Π () Vpočítáme nejprve marginální zisk: MΠ MΠ ( ) 9 a pomocí něj stacionární bod: M Π ( ) 9, po rozkladu ( + )(9 ) a odtud získáme dva stacionární bod, Záporný kořen nemá pro danou úlohu význam, pro kladný kořen musíme ověřit, zda jde skutečně o maimum: MΠ ( ) 6 Protože M Π ( ) <, nastává v bodě lokální maimum funkce Odpovídající maimální zisk činí Π () 9 5 8 5 5 Konvenost a konkávnost, inflení bod funkce Další významné bod funkce určíme na základě jejich poloh vzhledem k tečně ke grafu funkce
Diferenciální počet funkce jedné proměnné 9 Funkce f ( ), která má v bodě derivaci, je v bodě [, f ( )] konvení, eistuje- -li takové okolí bodu, že pro všechna z okolí bodu leží bod grafu funkce nad tečnou sestrojenou v bodě [, f ( )] - obr 6a Funkce f ( ), která má v bodě derivaci, je v bodě [, f ( )] konkávní, eistuje--li takové okolí bodu, že pro všechna z okolí bodu leží bod grafu funkce pod tečnou sestrojenou v bodě [, f ( )] - obr 6b Funkce f ( ) je konvení (konkávní) v intervalu (a, b), je-li konvení (konkávní) v každém bodě intervalu (a, b) Bod, v němž funkce f ( ) přechází z poloh nad tečnou do poloh pod tečnou nebo naopak, nazýváme inflení bod funkce f ( )- obr 6c t [, f( )] f() t f() Obr 6: a) Funkce konvení b) Funkce konkávní t f() f( ) c) Inflení bod funkce Interval konvenosti, konkávnosti a inflení bod funkce hledáme pomocí druhé derivace funkce: Je-li f ( )> v intervalu (a, b), je funkce f ( )v intervalu (a, b) konvení, je-li f ( )< v intervalu (a, b), je funkce f ( )v intervalu (a, b) konkávní Je-li inflením bodem funkce f ( )a má-li f ( )v tomto bodě druhou derivaci, pak f ( ) Inflení bod funkce f ( ) hledáme ted mezi těmi bod funkce, v nichž je druhá derivace rovna nule Avšak každý bod, ve kterém platí f ( ), nemusí být inflením bodem této funkce Má-li funkce f ( ) v bodě spojitou derivaci a mění-li druhá derivace f ( ) v okolí bodu znaménko, pak je inflením bodem funkce f ( ) Nemění-li druhá derivace v okolí bodu znaménko, není inflením bodem Interval konvenosti a konkávnosti a inflení bod funkce obvkle určujeme současně takto:
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Určíme druhou derivaci funkce Najdeme bod k, v nichž se druhá derivace funkce rovná nule nebo neeistuje Určíme znaménko druhé derivace funkce v intervalech s krajními bod k V intervalech, v nichž platí f ( )>, je funkce konvení, v intervalech, v nichž platí f ( )<, je funkce konkávní Inflení bod jsou t bod funkce, v jejichž okolí druhá derivace funkce mění znaménko Příklad 9: Stanovte interval konvenosti a konkávnosti a inflení bod funkce + Řešení: Definiční obor funkce D R Vpočítáme první a druhou derivaci funkce: 8, 6 8 Určíme nulový bod druhé derivace 6 8,, který rozdělí definiční obor funkce na dva interval (, ), (, + ) Určíme znaménko druhé derivace v těchto intervalech: (, ) ( ) 6 8 8, v tomto intervalu je funkce konkávní, (, + ) ( ) 6 8, v tomto intervalu je funkce konvení a bod je inflením bodem funkce (obr 7) - + - + Obr 7: Inflení bod, konvenost a konkávnost funkce Obr 8: Průběh funkce 5 Průběh funkce Všetřováním průběhu funkce chápeme určení prvků charakterizujících tuto funkci a sestrojení jejího grafu Vužíváme k tomu poznatků z předchozích kapitol Obvkle dodržujeme následující pořadí určování jednotlivých prvků: Definiční obor Vlastnosti (funkce sudá, lichá, periodická, ) Průsečík s osami souřadnic Interval monotónnosti a lokální etrém (pomocí první derivace) 5 Interval konvenosti a konkávnosti, inflení bod (pomocí druhé derivace) 6 Sestrojení grafu funkce
Diferenciální počet funkce jedné proměnné + Příklad : Všetřete průběh funkce Řešení: Postupujeme podle výše uvedených bodů: Ve jmenovateli zlomku nesmí být :, ted D (-, ) (, + ) R - {} ( ) + ( ) počátku) +, funkce je lichá (má graf souměrný podle Průsečík s osou (je řešením rovnice ) neeistuje, protože + pro R Průsečík s osou (je řešením rovnice ) rovněž neeistuje, neboť D Vpočítáme první derivaci: ( + ) Pro stacionární bod platí:,,, Funkce roste pro > : >, >, >, (, ) (, + ), funkce klesá pro < : <, <, <, (, + ) -{} Shrnutí: v bodě nastává lokální minimum, (), v bodě nastává lokální maimum, (-) - ( ) 5 Vpočítáme druhou derivaci: Podmínka není splněna pro žádné D, funkce ted nemá inflení bod Funkce je konvení pro > : >, >, >, (, + ), Funkce je konkávní pro < : <, <, <, (, ) 6 Na základě vpočítaných údajů sestrojíme graf funkce (obr 8) 55 Cvičení Vpočítejte lokální etrém funkcí: a) 6 + 9 [minimum v ] b) + [minimum v ] c) e [maimum v d) e sin [minimum v 7 π kπ, maimum v π kπ ] e) + + [minimum v, maimum v ]
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Určete takové kladné číslo, ab jeho součet s číslem k němu převráceným bl minimální [] Číslo rozložte na dva sčítance tak, ab součet jejich druhých mocnin bl minimální [ 5+5] Z obdélníku o rozměrech 5 dm a 8 dm vstřihněte kvádrovou krabici bez víka tak, ab její objem bl maimální Jaké budou rozměr krabice? [,, 6] 5 Určete interval monotónnosti funkcí: a) + [roste v (, ), klesá v (, ) + ] b) [roste v (, ), klesá v (, ), (, + ) ] c) + [roste v (, ), klesá v (, + ) ] d) e [roste v (, ), klesá v (, + ) ] e e) [roste v (, ), klesá v (, ),(, ) ] 6 Pro dané funkce vpočítejte interval konkávnosti, konvenosti a inflení bod: a) 6 + 5 [konvení v(-,-), (,+ ), konkávní v (-, ), inflení bod -, ] 5 b) + 8 [konvení v (-, ),(,+ ), konkávní v (-,-), (, ), inflení bod -,, ] c) e [konvení v (-,+ ), konkávní v (-,-), inflení bod ] 7 Všetřete průběh funkcí: a) + + b) + c) d) e