I. Určete(a nareslete) definiční obor a vrstevnice funcí. f( )=+. f( )=. f( )= +. f( )= 5. f( )=. f( )= 7. f( )= + 8. f( )= ( + )( ) 9. f( )= ( + ) 0. f( )= sin( + ). f( )=sgn(sin sin). f( )= + Rozhodněte zda následující množin jsou otevřené ev. uzavřené a určete vnitře uzávěr hranici.(a) Q (b) N (c) { n n N}(d)( 0) { Q >0}. {[ ] R >0 0} 5. {[ ] R + <}. {[ ] R + } 7. {[ ] R + e >7} 8. {[ ] R + > +} 9. {[ ] R = } 0. {[ ] R + +=5}. {[ z] R 0 >0 += z 0} Výsled a návod.. D f = {[ ] R 0}. D f = {[ ] R 0} - o 0-0 -. D f = R. D f = R - - 0-0 - - - 5. D f = {[ ] ( 0& 0) ( 0& 0)}vrstevnicejsouhperboltvaru = c pro c >0spolusdvojicíos.. D f = {[ ] + }vrstevnicejsouružnice. 7. D f = {[ ] + >}vrstevnicejsouružnice. 8. D f = {[ ] + }vrstevnice jsoudvojiceružnicvjednompřípaděružnice. 9. D f = {[ ] +} vrstevnicejsoudvojiceparabolvjednompřípaděparabola. 0. D f = {[ ] π + (+)πpronějaé =0...}vrstevnicejsouposloupnostiružnic.. D f = R jsou třivrstevnice-vnitřčernýchčtvercůvnitřbílýchčtvercůahraničnípřím.. D f = R vrstevnicejsougraffuncí =.
Ad9. Ad. - - 0 - - 5.(a)int Q= H(Q)=Q=R Qneníotevřenáaniuzavřená. (b) Njeuzavřenáint N= H(N)=N=N(c)Množinaneníuzavřenáaniotevřenávnitřejeprázdnýhraniceiuzávěr jsou { n N} {0}. (d)aniotevřenáaniuzavřenávnitře( 0)uzávěr Rhranice n [0 ).. Množinaneníuzavřenáaniotevřená. Vnitřeje {[ ] R >0 <0} uzávěr {[ ] R 0 0}hranice{[ ] R 0& 0&(=0 =0)}. 5.Otevřenáuzávěr {[ ] R + }hranice {[ ] R + =}.. Uzavřenávnitře {[ ] R + >}hranice {[ ] R + =}. 7.Otevřená hranice {[ ] R + e =7}uzávěr {[ ] R + e 7} 8.Otevřenáuzávěr {[ ] + 0}hranice {[ ] +=0}. 9.Uzavřenávnitře {[ ] + >0} hranice {[ ] +=0}. 0.Uzavřenáprázdnývnitře..Aniuzavřenáaniotevřená vnitřeprázdnýhraniceiuzávěr {[ z] R 0 0 += z 0}. II. Spočtěte parciální derivace funcí všude de eistují. m n. e. + z+ z. + 5. +. 7. 8. sin 9. sin sin 0. +. f( )= + ln( + ) f(00)=0 ( ) z. f( )=e ++ f(00)=0.. z 5. z
Výsledanávod.. = mm n = nm n pro( ) R.. = e = e pro( ) R.. = +z = + z = +pro( z) R.. ( )= + ( )= + poud( ) (00). (00)a (00)neeistují. 5. ( )= ( + ) ( )= ( + ) poud. (00)= (00)= ( )a ( )neeistujípro 0.. ( )= sgnpro 0. ( )= sgnpro 0. (00)= (00)=0. (0 )pro 0a (0)pro 0neeistují. 7. ( )= pro 0. ( )= pro 0. (00)= (00)=0. (0 )pro 0a (0)pro 0neeistují. 8. ( )= sgn( sin ) cos ( )=sgn( sin)poud sin. (sin)neeistujepro R. ( π + π( ) )=0pro Z. (sin)neeistuje pro π + π. 9. ( )=cos sgn(sin sin ) ( )= cos sgn(sin sin ) poudsin sin. ( π + π π + lπ)= ( π + π π + lπ)=0.vostatníchbodechparciální derivaceneeistují. 0. ( )= + ( )= + poud ( )a ( )neeistujípro R..V( )neeistujíparciálníderivacepoud + poud + = jsouoběparciálníderivacenulové.. ++ + = e ++ + ( ++ ) = e ( ++ ) pro( ) (00);vbodě(00)jsouoběparciálníderivacenulové. ( ) z ; ( ).Poud >0nebo <0pa = z z ; ( ) z = z z = log..poud >0a 0pa = z z ; = z log z ; z = z log z. 5. Poud >0pa = z z ; = log z z ; z z = log z log. z III. V následujících úlohách zjistěte sup a inf funce na množině M a všetřete zdatěchtohodnotfuncena Mnabývá.. f( z)=(+) +( ) + z; M= ;. f( )= + M= {[ ] R ; + }. f( )= a + b a >0 b >0; M= {[ ]; + };. f( z)= + + z ++ z; M= R ; 5. f( )= ( + ) e ( + ) ; M= R ;. f( )= ( +5 ) e ( + ) ; M= R ; 7. f( )=(+)e ; M= {[ ]; >0 >0} 8. f( z)= + + z ; M= {[ z]; + + z }; a > b > c >0. a b c 9. z( )= + M= {[ ] + =} 0. z( )= ++ ; M= {[ ] + =}. Určeterozměrvodnínádrževetvaruvádruoobjemum taabdnoastěnměl dohromad nejmenší povrch. Výsled a návod.. ma5vbodech[][ ][ ][ ]min vbodě[00 ]. mavbodech[±0][0 ±]min0v[00]. ma a +b vbodě b [ a a +b a +b ] min a +b ab vbodě[ b a a +b a +b]. sup neeistuje f není shora omezenámin vbodě[ ] 5.min0v[00]ma e vbodechružnice + =..ma 5 e vbodech[0 ±]min0vbodě[00] 7.sup e nenabýváseinf0nenabýváse 8. ma a vbodech[±a00]min0v[000] 9.mavbodech[±0]min vbodech[0 ± ] 0.ma 7 vbodech[ 0 5 ][ 0 5 ]min vbodech[ 5 5 ][ 5 5 ].dnom m výša m ab
IV.Vnásledujícíchúloháchzjistětesupainffunce fnamnožině M avšetřetezdatěchtohodnot fna Mnabývá.. f( z)= +z a) M= {[ z] + + z =}b) M= {[ z] + + z = ++ z=0}. f( z)=z a) M= {[ z] + + z =}b) M= {[ z] + + z = ++ z=0}. f( z)=sin sinsin z M= {[ z]; ++ z= π >0 >0 z >0}. f( z)= z M= {[ z]; ++z= a >0 >0}de a >0. 5. f(... n )= p + + p n ; M= {[... n ]; + + n = a >0... n >0};de a >0 p >0.. f( )=+ M= {[ ]; + =0 0 0} 7. f( z)=0z+ M = {[ z] + + z + 0} 8. f( )= + M= {[ ] + =} 9. f( )= M= {[ ] ( + ) = K}de K >0 0.Je-li R n a M R n jevzdálenostboduodmnožin Mrovna dist( M)=inf{ρ(): M}vzdálenostmnožin Modmnožin N R n jerovna dist(m N)=inf{ρ(): M N}.Určetevzdálenosti: (a)bodu[a ] R odparabol = ;(b)bodu[ a a ] R (a >0)odvětvehperbol =/ >0;(c)přím = 50odparabol =..Je-li M R n neprázdnáaomezenájejímprůměremrozumímečíslo diamm =sup{ρ(): M}. Určeteprůměrmnožin {[ ] R : p + p =}v závislostina p >. Výsled a návod.. a) ma v [ ] min v [ ]; b) ma [ 7 5 ] min v [ 7 5 ];. a) ma [ ] [ ] [ ]; min [ ] [ ] [ ]; b) ma [ ][ ];min vbodech[ ][ v bodech [ v bodech [ v ] ] v bodech [ ] ][ ];. ma 8 v[ π π π a ]inf0nenabýváse. ma v[ a a a ]inf 5. pro p=je f na M onstantní; pro p >jesup a p nenabývásemin ap v[ a n p n... a ]; pro p (0) n je inf a p a nenabývá se ma p v [ a n p n... a ];. mav[] min0v[00] 7. ma n 0 v [ 0 0 0 0 ]; min 0 v [ 0 0 0 0 ]; 8. ma 5 v [ 5 5]; min 5 v[ 5 5]; 9. ma K 5 v[ K 5 K 5 ];min K 5 v [ K 5 K 5 ]. 0.(a) a a + (b) a (+ a )(c) p 8 790.pro p ( p pro p >
V. Implicitní funce.jedánvztah e +sin+ =abod[0]: a)doažtežetímtovztahemjedefinovánahladáfunce = f()vjistémoolíbodupro terouplatí f()=0. b)napišterovnicitečnegrafufunce fvbodě. c)spočtěte f (). d)proterébod[a0] a Rlzedoázattvrzeníanalogicéa)? e) Načrtněte množinu všech bodů[ ] splňujících uvedený vztah..jedánavztah + + 5 =0abod[0].Doažteže a)tímtovztahemjedefinovánahladáfunce = f()vjistémoolíbodu0proterouplatí f(0)=; b)funce frostevjistémoolíbodu0. c)jefunce fnaoolí0onveníneboonávní?.jedánvztah + +z + z 9=0abod[ ]: a)doažtežetímtovztahemjedefinovánahladáfunce z= z( )vjistémoolí Ubodu[ ] proterouplatí z( )=; b)určete z z voolí U; c)napišterovnicitečnérovinegrafufunce z= z( )vbodě[ ]..Doažtežemnožinabodů[ z] R terésplňujívztah + + z z=0jevoolí bodu[]popsatelnájaograffunce f( )definovanénajistémoolíbodu[]proterou je f()=.napišterovnicitečnérovinegrafufunce fvbodě[]. Výsledanávod..(b)tečna: =0(c)0(d)pro a.(e)domnožinpatřívšechn bodos (tj. bod[a0]pro a R)pro a eistujeprávějedenbod ϕ(a) 0proterý [a ϕ(a)]patřídomnožin. Pro a > je ϕ(a) <0pro a < je ϕ(a) >0lzeuázatže lim a ϕ(a)=0..(b)spočtěte f (0)aověřteže f (0)=>0.(c)Je f (0)= ated f jezápornánaoolí0tudíž fjenaoolí0rzeonávní..tečnárovina z= 7 5 (+)+.tečnárovina z= ( ) ( )+ VI. Určete hodnost matic(v závislosti na parametru). 5. 8. 5. 7 5 8 7 5 5 5 5 8 7 ( ) (a ) (a+) a a ( a) a a a a+ ( ) 0 0 9... ( a a a a a 0 7 0 7 9 0 7 ) 7.. ( (a ) (a+) a ( a) a a a a a 5 7 a 0 0 najděte inverzní matice následujícím maticím ) 0.. ( 0 0 7 0 0 0 0 0 0. Na záladě výsledů předchozích příladů napište inverzní matice maticím teré vzninou: a) přehozením prvního a druhého řádu v matici z příladu 8; b) vnásobením čtvrtého řádu matice z příladu 0 číslem ; c) přičtením sedminásobu třetího řádu prvnímu řádu v matici zpříladu9;d)zmaticevpříladutažemístoprvníhořádunapíšemetrojnásobedruhého a místo druhého pětinásobe prvního. )
Výsledanávod....pro a pro a=.pro a 0 jina 5. pro a pro a=. 7. hodnostpro a pro a=hodnost 8. 9. / 5/ / 0.. ( ) ( / // ) 0 / 5/ / / / 5/ 5/ / / / / / / / / 5/ / 5/. Inverzní matice vzninou z inverzní matice původní matici a) přehozením prvního a druhého sloupce; b) vnásobením čtvrtého sloupce číslem /; c) odečtením sedminásobu prvního sloupce od třetího sloupce; d) ta že místo prvního sloupce napíšeme / druhého a místo druhého sloupce /5 prvního.(to vše lze zdůvodnit napřílad s použitím definice inverzní matice a definice maticového násobení. Jiná méně přímá možnost je vhodně použít větu o násobení a transformaci.) VII. Spočtěte determinant. 5. 0 7 0 7 9 0 7 0 0 0 0 0 0.. 0 0 5 7 5 8 7 7.. 0 0 7 7 0 5 7 8. Určete čemu se rovná determinant matice terá vznine: a)zmaticevpříladupřerovnánímřádůvpořadí; b) vnásobením matice v příladu číslem ; c) přerovnáním sloupců v matici z příladu v pořadí ; d) vnásobením matice z příladu 7 číslem /00; e)součinemmaticzpříladua5; f)jao A T ABde AjematicezpříladuaBmaticezpříladu; g)*jao AA T de Ajematicezpříladu. najděte řešení soustav lineárních rovnic. 7 9. + z= + = +z= 0. z= + = ++z=. + + = 5 + + =0 7 + =5 + = + + = + + + =5. =. +5 + +5 = + =0 + 5 + +8 = + = + = 7. Pro teré pravé stran má soustava se stejnou maticí jao v předchozím příladu řešení?
Výsled a návod.. Determinant neeistuje matice není čtvercová.... 8 5..0 7. 900000 8.a);b) ;c) 8;d) 9.;e) 8;f)0(protožedet B=0); g) 0(romě přímého výpočtu lze postupovat napřílad následovně: ověřte že h(a) < 5 odtud odvod te(třebapodlevětosoučinumaticatransformaci)že h(aa T ) <5ateddet(AA T )=0). 9. =5 = z= 0. = = z=.(00).(5 ). neonečněmnohořešenítvaru( t t0) t R.právěpropravéstran(a b c d)de 7a=b+d. VIII. Zjistěte zda následující řad onvergují absolutně onvergují neabsolutně či divergují(v závislosti na parametru).. =!. sin 7. =. 5. 8.. 5. 9. = = =0 = (!) (+00 ()!. ( ) + = = = + + R 8. log(+ ( )+ ). ). ( ( ) = ln R 9. = = ( ) + +00) 5. +( ) 7 = +7 + 0. α R. ( ) ++ α +. ( ) ++. = = ( cos ) 7. α (e + + ) α R R 9. = n R 0. = = = ( ) + R. ( ) + R. cos( π) ( + + ). + = = ( ) ( ) +. = cos(π) cos(π) = ( ) +( ) 7. = ( ) +( ) 8. = R = sin ( π + ) = = ( ) +( ) 7 + ( ) ++ + = Výsled a návod.. Konverguje absolutně.. Konverguje absolutně.. Konverguje absolutně.. Diverguje. 5. Konverguje absolutně.. Diverguje. 7. Konverguje absolutně pro ±divergujepro =±. 8.Pro0<< e onvergujeabsolutnějinadiverguje (pro 0 nemá smsl). 9. Konverguje absolutně. 0. Konverguje absolutně.. Pro α > onvergujeabsolutnějinadiverguje..diverguje..konvergujeneabsolutně.. Konverguje absolutně. 5. Konverguje neabsolutně.. Konverguje absolutně. 7. Konverguje absoluně pro α < jina diverguje. 8. Konverguje absolutně pro jina diverguje. 9. Konverguje absolutně pro < diverguje pro. 0. Konverguje absolutněpro <divergujepro >pro =onvergujeneabsolutněpro = diverguje.. Konverguje absolutně pro diverguje pro >.. Konverguje absolutněpro <divergujepro >onvergujeneabsolutněpro =..Konverguje (neabsolutně).. Konverguje neabsolutně. 5. Konverguje.. Konverguje neabsolutně. 7. Konverguje neabsolutně. 8. Diverguje. 9. Diverguje.