Derivace fukcí jedé reálé proměé Pozámka Derivaci fukce v zadaém bodě můžeme počítat přímo pomocí defiice, použitím vět o algebře derivací, použitím vět o derivaci iverzí fukce, použitím vět o derivaci složeé fukce. Nezbtou teorii alezete Breviáři všší matematik (odstavec.). Výpočet derivace pomocí defiice (zpět a začátek) d f f( z) f( ) f( ) f( ) f '( ) ( ) lim lim z z 0 Příklad ' z ' lim lim, z z 0 ' lim lim lim. 0 0 0 Příklad z z z z z lim lim lim z z z z, lim lim lim lim 0 0 0 0.
Příklad 3... lim lim 0 0... lim 0... lim 0 lim... 0. Pozor! Ne vž dospíváme při výpočtu prví derivace k tak jedoduchým limitám jako v předcházejících příkladech. Příklad 4 dcos( ) cos( ) si( ) cos( ) cos( ) cos( )cos( ) si( )si( ) cos( ) cos( ) lim lim 0 0 cos( ) si( ) cos( ) si( ) lim cos( ) si( ) cos( ) lim si( ) lim. 0 0 0
Během výpočtu jsme tak dospěli k limitám, jejichž včísleí eí vůbec jedoduché. Proto musíme uvěřit, že platí cos( ) lim 0 0 a si( ) lim. 0 Odtud pak již sado ple cos( ) 0 si( ) si( ). Příklad 5 dsi( ) si( ) cos( ) si( ) si( ) cos( )si( ) si( )cos( ) si( ) si( ) lim lim 0 0 cos( ) si( ) cos( ) si( ) lim si( ) cos( ) si( ) lim cos( ) lim. 0 0 0 Z předcházejícího příkladu už umíme získaé limit spočítat. Pak ovšem již sado získáme požadovaý výsledek. Příklad 6 de e e e e e e e e e e lim lim lim e e lim. 0 0 0 0 A opět etriviálí limita, pro kterou lze ukázat Odtud již sado požadovaý výsledek. e lim. 0
Výpočet derivace pomocí vět o algebře derivací (zpět a začátek) Příklad 7 dtg( ) tg( ) cos ( ) si( ) si( ) cos( ) si( )cos( ) cos ( ) si ( ) tg( ) cos( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) Příklad 8 dcotg( ) cotg( ) si ( ) cos( ) cos( ) si( ) cos( )si( ) si ( ) cos ( ) cotg( ) si( ), si ( ) si ( ) si ( ) cotg( ) tg( ) tg( ) /cos ( ) /cos ( ) tg( ) tg ( ) tg ( ) si ( ) / cos ( ) si ( ) Příklad 9
Výpočet derivace pomocí vět o derivaci iverzí fukce (zpět a začátek) d f ( ), d f ( ) kde a pravé straě po provedeí derivace a evetuálích úprav provedeme záměu f ( ) Příklad 0 dl( ) l( ) dl( ) l( ) de e e Příklad dlog a ( ) log a ( ) l( a) Použijte idetitu l( ) log a ( ) a pokračujte jako v příkladu 0. l( a) Příklad d d
Příklad 3 darcsi( ) arcsi( ) darcsi( ) dsi( ) cos( ) si ( ) si (arcsi( )) Pořádě si rozmslete, proč můžeme výše psát cos( ) si ( ) a si(arcsi( )). Příklad 4 d arccos( ) arccos( ) d arccos( ) dcos( ) si( ) cos ( ) cos (arccos( )) Pořádě si rozmslete, proč můžeme výše psát si( ) cos ( ) a cos(arccos( )). Příklad 5 darctg( ) arctg( ) darctg( ) dtg( ) tg ( ) tg (arctg( )) d cos ( ) Pořádě si rozmslete, že platí tg ( ) a tg(arctg( )). cos ( )
Příklad 6 darccotg( ) arccotg( ) darccotg( ) dcotg( ) cotg ( ) cotg (arccotg()) d si ( ) Pořádě si rozmslete, že platí cotg ( ) a cotg(arccotg( )). si ( ) Výpočet derivace pomocí vět o derivaci složeé fukce (zpět a začátek) d f ( g ( )) d f( ) d g ( )., g( ) kde v prvím čleu a pravé straě rovosti provedeme po derivováí áhradu g( ). Příklad 7 d k q k q k k q d k q f( ) d.. k k g ( ) kq k q kq d k q Příklad 8 da a a l( a) Trik: l( a ) l( a) a e e l( a) de g( ) e de d l( a) f( ) l( a) l( a) l( a). e l( a) a l( a)
Příklad 9, 0 Trik: l( ) l( ) e e l( ) de g( ) e de d l( ). e f( ) l( ) l( ) l( )