Univerzita Hradec Králové Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky Různé přístupy k zavedení goniometrických funkcí Bakalářská práce Autor: Kristýna Machová Studijní program: B1701 Studijní program: Fyzika se zaměřením na vzdělávání Matematika se zaměřením na vzdělávání Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Seibert, CSc. Hradec Králové srpen 2015
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně a že jsem v seznamu použité literatury uvedla všechny prameny, z kterých jsem vycházela. V Hradci Králové dne 6. 8. 2015 Kristýna Machová
Chtěla bych poděkovat svému vedoucímu bakalářské práce doc. RNDr. Jaroslavu Seibertovi, CSc. za odborné vedení, za pomoc a cenné rady při zpracování této práce.
Anotace MACHOVÁ, K. Různé přístupy k zavedení goniometrických funkcí. Hradec Králové, 2015. Bakalářská práce na Přírodovědecké fakultě Univerzity Hradec Králové. Vedoucí bakalářské práce Jaroslav Seibert. 68 s. V bakalářské práci jsou porovnány možné způsoby zavedení základních goniometrických funkcí na základní škole, střední škole a vysoké škole. Goniometrické funkce jsou zavedeny pomocí pravoúhlého trojúhelníku, jednotkové kružnice, Taylorových řad nebo pomocí funkcionálních rovnic. Spolu s definicemi goniometrických funkcí jsou uvedeny jejich základní vlastnosti, příp. vybrané vztahy pro tyto funkce. V bakalářské práci jsou uvedeny dvě tzv. trigonometrické věty (sinová a kosinová věta) a jejich aplikace. Bakalářská práce je taktéž doplněna o zavedení cyklometrických funkcí, které jsou inverzní k funkcím goniometrických. V první kapitole je připomenuta historie goniometrie a trigonometrie. Klíčová slova goniometrické funkce, cyklometrické funkce, pravoúhlý trojúhelník, jednotková kružnice, mocninné řady, funkcionální rovnice
Annotation Machová, K. Various ways of the definition of the trigonometric functions. Hradec Králové, 2015. Bachelor Thesis at Faculty of Science University of Hradec Králové. Thesis Supervisor Jaroslav Seibert. 68 p. Various ways of defining the basic trigonometric functions at primary school, at secondary school, and at university are compared in this bachelor thesis. The right-angled triangle, the unit circle, the Taylor series or the functional equations are used for defining these functions. The basic properties of the goniometric functions and the trigonometric identities are mentioned in this bachelor thesis. Two trigonometric theorems (law of sines, law of cosines) and their applications are mentioned, too. In addition to that, the definitions of the inverse trigonometric functions, which are often called the cyclometric functions, are mentioned. The history of goniometry and trigonometry is observed in the first chapter. Keywords trigonometric functions, cyclometric functions, right-angled triangle, unit circle, power series, functional equations
Obsah Úvod... 8 1 Historie... 9 2 Zavedení goniometrických funkcí pomocí pravoúhlého trojúhelníku... 11 2.1 Podobnost trojúhelníků... 11 2.2 Funkce... 13 2.3 Goniometrické funkce ostrého úhlu... 14 2.4 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi ostrého úhlu... 17 2.5 Vybrané hodnoty goniometrických funkcí... 21 3 Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice... 24 3.1 Jednotková kružnice, oblouková a stupňová míra... 24 3.2 Orientovaný úhel... 25 3.3 Goniometrické funkce v jednotkové kružnici... 26 3.4 Grafy goniometrických funkcí... 30 3.5 Vlastnosti goniometrických funkcí... 32 3.6 Goniometrické vztahy... 33 3.7 Goniometrické funkce v obecném trojúhelníku... 38 3.8 Cyklometrické funkce... 40 3.8.1 Grafy cyklometrických funkcí... 42 3.8.2 Cyklometrické vztahy... 43 4 Zavedení goniometrických funkcí pomocí Taylorových řad... 45 4.1 Mocninné řady v oboru reálných čísel... 45 4.2 Taylorovy řady v oboru reálných čísel... 48 4.3 Rozvoje goniometrických a cyklometrických funkcí v Maclaurinovy řady...... 51 4.3.1 Rozvoj funkce sinus... 51
4.3.2 Rozvoj funkce kosinus... 51 4.3.3 Rozvoj funkce tangens... 52 4.3.4 Rozvoj funkce arkussinus... 53 4.3.5 Rozvoj funkce arkustangens... 54 4.3.6 Rozvoje goniometrických a cyklometrických funkcí v Maclaurinovy řady v přehledu... 54 4.4 Taylorovy řady v oboru komplexních čísel... 55 5 Zavedení goniometrických funkcí pomocí funkcionálních rovnic... 60 Závěr... 64 Seznam použité literatury... 65 Seznam obrázků... 67 Seznam tabulek... 68
Úvod Studiem goniometrických funkcí, mezi které řadíme funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens, se zabývá goniometrie, kterou často spojujeme s trigonometrií zabývající se studiem trojúhelníků. Obě slova, jak goniometrie, tak trigonometrie, pochází z řečtiny a můžeme velmi snadno dokázat, že vznikly před více jak 2000 lety. Celou historii vývoje trigonometrie a goniometrie si v krátkosti připomeneme v první kapitole (Odvárko, 1996, s. 4, 90). V dalších kapitolách se již zaměříme na různé způsoby zavedení goniometrických funkcí a zároveň se pokusíme uvést a dokázat i některé vztahy, které můžeme mezi goniometrickými funkcemi najít. Součástí definic bude i odvození některých vlastností těchto funkcí. V druhé kapitole zavedeme goniometrické funkce pomocí pravoúhlého trojúhelníku, v němž definujeme funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens pro hodnoty proměnné odpovídající velikostem ostrých úhlů. Ve třetí kapitole budeme definovat goniometrické funkce pomocí jednotkové kružnice, kde můžeme základní goniometrické funkce zavést pro jakékoliv reálné proměnné z jejich definičního oboru. Tentokrát se již nebudeme omezovat pouze na goniometrické funkce, ale budeme definovat i funkce cyklometrické. Nezapomeneme ani na trigonometrii a ukážeme si, jak jsou pro nás poznatky z této části matematiky důležité i dnes. Ve čtvrté a páté kapitole se již budeme věnovat zavedení goniometrických, příp. cyklometrických funkcí pomocí Taylorových řad nebo pomocí funkcionálních rovnic. Tyto způsoby definice považujeme za náročnější. Setkávají se s nimi až studenti vysokých škol, protože vyžadují hlubší znalosti z matematické analýzy. 8
1 Historie Náznaky vzniku trigonometrie můžeme nalézt již v 17. století př. n. l. u Egypťanů stavících pyramidy, což dokládá Rhindův papyrus (Herman et al., 2005, s. 8-9), taktéž u Babylóňanů a Chaldejců (Odvárko, 1996, s. 118). Většinou ale za zrod trigonometrie považujeme období starověkého Řecka, kdy na alexandrijské univerzitě působili Archimédes ze Syrakus a hvězdář a zakladatel trigonometrie Hipparchos z Nikaje (Šmakal a Budinský, 1968, s. 4; Odvárko, 1996, s. 118). Archimédovi ze Syrakus se mimo jiné podařilo s velkou přesností vypočítat číslo, přičemž při výpočtu použil pravidelný mnohoúhelník, který nadále upravoval, až jím nahradil kruh. Dostal se ale jen k určitému rozmezí hodnot čísla, protože při svých výpočtech pracoval, jak s mnohoúhelníkem opsaným, tak i vepsaným (Šmakal a Budinský, 1968, s. 4; Mareš, 2011, s. 63). Mezi další významné starověké matematiky řadíme Hippokrata z Chiu, Menelaose z Alexandrie a Klaudia Ptolemaiose. Těmto starořeckým matematikům se podařilo s využitím znalostí o kružnici a tětivách v ní zjistit závislost mezi středovým úhlem a příslušnou délkou tětivy kružnice. Všechny tyto poznatky, včetně úhlových tabulek, poté zveřejnil Klaudius Ptolemaios ve svém díle Megale syntaxis (Herman et al., 2005, s. 9; Odvárko, 1996, s. 118-119). Na poznatky řeckých matematiků navázali ve středověku matematici z Asie a Blízkého východu (Herman et al., 2005, s. 10). Brahmagupta a další indický matematik Bháskara se zaměřili na studium závislosti mezi polovinou středového úhlu a polovinou příslušné tětivy, tudíž již nepracovali s rovnostranným trojúhelníkem, nýbrž s trojúhelníkem pravoúhlým a mohli zavést funkce sinus a kosinus (Herman et al., 2005, s. 9-10; Odvárko, 1996, s. 119). Brahmagupta dokonce publikoval knihu Brahmasputasiddhata, v níž se mimo jiné snažil pomocí funkce kosinus zobecnit Pythagorovu větu (Mareš, 2011, s. 93). Mezi základní goniometrické funkce ale řadíme i funkce tangens a kotangens, pro něž v 10. století vytvořili úhlové tabulky astronomové Al Battání a Abu-l-Váfá. První zmínky o trigonometrických vzorcích registrujeme v souvislosti matematikem Násiruddínem Túsí (Odvárko, 1996, s. 119). 9
V Evropě o rozvoj trigonometrie se v období od 15. do 18. století zasloužili především Johannes Müller, Mikuláš Koperník, Rhaeticus, Francǫis Viète a samozřejmě Leonhard Euler. Např. Rhaeticus se i nadále pokoušel zpřesňovat hodnoty úhlových tabulek, přičemž využíval středový úhel a příslušnou tětivu kružnice, přičemž až posledně jmenovaný Leonhard Euler zcela změnil pohled na trigonometrii (Herman et al., 2005, s. 10; Odvárko, 1996, s. 119), když zkoumal hodnoty sin, cos jako čísla, nikoli jako úsečky (Odvárko, 1996, s. 199). Tento významný švýcarský matematik zavedl pojem transcendentní funkce, kam zařadil např. funkce goniometrické a cyklometrické. Funkce sinus a kosinus vyjádřil pomocí nekonečných řad a své poznatky týkající se goniometrických funkcí publikoval v knize Úvod do analýzy (1748) (Smýkalová, 2011, s. 34-36). Připomeňme, že Euler taktéž zpřesnil některé pojmy týkající se jednotkové kružnice, jejich kvadrantů, atd. (Odvárko, 1996, s. 119). Důvody, proč trigonometrie vznikla a přetrvala až do současnosti, se nezměnily. V minulosti využívali znalosti z trigonometrie např. astronomové a mořeplavci. V současnosti jsou na jejich principech založeny např. navigace pro letadla a lodě nebo některé lékařské přístroje (Herman et al., 2005, s. 10; Odvárko, 1996, s. 118). 10
2 Zavedení goniometrických funkcí pomocí pravoúhlého trojúhelníku Za nejjednodušší způsob, jak lze definovat geometrické funkce pro hodnoty proměnné odpovídající velikostem ostrých úhlů, považujeme jejich zavedení pomocí pravoúhlého trojúhelníku. Zde využíváme faktu, že každé dva pravoúhlé trojúhelníky se stejným ostrým vnitřním úhlem jsou podobné (Herman et al., 2005, s. 80). Tento způsob definice goniometrických funkcí je velmi ovlivněn samotnými vlastnostmi pravoúhlého trojúhelníku (Smýkalová, 2011, s. 44), protože v žádném pravoúhlém trojúhelníku nemůže být délka odvěsny nulová a odvěsna s přeponou nemohou mít stejnou délku (Smýkalová, 2011, s. 44). Z předchozí věty usuzujeme, že tímto způsobem můžeme definovat základní goniometrické funkce (sinus, kosinus, tangens a kotangens) pouze pro interval 0, 90 (Smýkalová, 2011, s. 44). Ovšem žáci 9. ročníku základní školy, a taktéž studenti nižšího stupně gymnázia ( kvarta ), si umějí s tímto problémem poradit, což si ukážeme později, a tudíž je definice goniometrických funkcí pomocí pravoúhlého trojúhelníku pro ně plně dostačující (Herman et al., 2005, s. 70-71). 2.1 Podobnost trojúhelníků Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Herman et al., 2005, s. 28, 30-33; Molnár et al., 2001, s. 45). Obr. 1: Podobnost trojúhelníků A1B1C1 a A2B2C2 (Herman et al., 2005, s. 30) 11
Definice 2.1. Dva trojúhelníky nazveme podobné, právě když poměry velikostí odpovídajících si stran trojúhelníků se sobě rovnají a odpovídající si vnitřní úhly jsou shodné. Pro odpovídající si strany a vnitřní úhly podobných trojúhelníků platí rovnosti =, =, =, : = : = :. Podobnost dvou trojúhelníků (obr. 1) zapisujeme ve tvaru: ~. Pro určení, zda jsou trojúhelníky a podobné, se používají tři věty o podobnosti trojúhelníků: Věta 2.1. (Věta sss) Jestliže pro trojúhelníky a platí rovnosti = =, pak jsou tyto trojúhelníky podobné: ~. Slovně: Mají-li dva trojúhelníky stejné všechny tři poměry odpovídajících si stran, jsou podobné. Věta 2.2. (Věta uu) Jestliže pro trojúhelníky a platí rovnosti =, =, pak jsou tyto trojúhelníky podobné: ~. Slovně: Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou úhlech, jsou podobné. 12
Věta 2.3. (Věta sus) Jestliže pro trojúhelníky a platí rovnosti =, =, pak jsou tyto trojúhelníky podobné: ~. Slovně: Mají-li dva trojúhelníky stejné dva poměry odpovídajících si stran a shodují-li se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné. 2.2 Funkce Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Molnár et al., 2001, s. 56-58). Definice 2.2. Funkce je předpis, který každému prvku z dané množiny přiřazuje právě jedno reálné číslo z množiny. Poznámka: a) Proměnná je nezávisle proměnná a závisle proměnná. b) Místo proměnné lze užít zápis, tzv. funkční hodnota proměnné. c) Množina se nazývá definiční obor funkce, množina všech reálných čísel se nazývá množina hodnot funkce. d) Funkci lze definovat několika způsoby, např. tabulkou, grafem, rovnicí nebo výčtem funkčních hodnot. Vlastnosti funkce definujeme takto: Definice 2.3. (rostoucí funkce) Pro každé, z platí: jestliže <, pak také <. Definice 2.4. (klesající funkce) Pro každé, z platí: jestliže <, pak také >. 13
2.3 Goniometrické funkce ostrého úhlu Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Herman et al., 2005, s. 70-79, 82-83, 92-93, 96-98; Molnár et al., 2001, s. 68-69). V podkapitolách 2.1 a 2.2 jsme připomněli, jaká kritéria musí splňovat dva trojúhelníky, aby byly podobné. Také jsme zavedli pojem funkce. Nyní se již zaměříme na čtyři základní goniometrické funkce: sinus, kosinus, tangens a kotangens. Budeme je definovat v pravoúhlém trojúhelníku, a též se pokusíme ukázat některé jejich vlastnosti. Obr. 2: Pravoúhlý trojúhelník ABC (Herman et al., 2005, s. 69, 81) Definice 2.5. (Funkce sinus) V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu C definujeme sin jako poměr délek odvěsny protilehlé úhlu a přepony. Funkci sinus (obr. 2) zapisujeme tímto předpisem: sin =. Existují přinejmenším tři způsoby, jak můžeme určit hodnotu funkce sinus pro určitý úhel v intervalu 0, 90 : 1. rýsováním a měřením, 2. pomocí matematických tabulek, 3. užitím kalkulačky. 14
Tab. 1: Hodnoty funkce sinus (Herman et al., 2005, s. 70) 10 20 30 40 50 60 70 80 sin 0,17 0,34 0,50 0,64 0,77 0,87 0,94 0,98 Pokud bychom hodnoty funkce sinus zapsaly do tab. 1, můžeme z ní odvodit některé vlastnosti této funkce: Věta 2.4. Pro každé, kde 0, 90, platí 0 < sin < 1. Poznámka: Definičním oborem funkce sinus je zatím jen otevřený interval 0, 90, množinou hodnot funkce sinus je otevřený interval 0,1. Věta 2.5. Je-li 0 < < < 90, pak sin < sin. Nyní se vrátíme k problému, který jsme již naznačili v úvodu této kapitoly. Funkci sinus jsme prozatím definovaly pouze na otevřeném intervalu 0, 90. Abychom mohli funkci sinus definovat na uzavřeném intervalu 0, 90, musíme přijmout úmluvu: sin 0 = 0, sin 90 = 1. Množinou hodnot pak bude uzavřený interval 0,1. Definice 2.6. (Funkce kosinus) V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu definujeme cos jako poměr délek odvěsny přilehlé k úhlu a přepony. Funkci kosinus (obr. 2) zapisujeme tímto přepisem: cos =. Tab. 2: Hodnoty funkce kosinus (Herman et al., 2005, s. 82) 10 20 30 40 50 60 70 80 cos 0,98 0,04 0,87 0,77 0,64 0,50 0,34 0,17 15
Z tab. 2 vyčteme, že platí: Věta 2.6. Pro každé, kde 0, 90, platí 0 < cos < 1. Poznámka: Definičním oborem funkce kosinus je opět prozatím jen otevřený interval 0, 90 a množinou hodnot funkce je interval 0,1. Po přijmutí úmluvy: cos 0 = 1, cos 90 = 0, můžeme funkci kosinus definovat na uzavřeném intervalu 0, 90, přičemž množinou hodnot bude uzavřený interval 0,1. Věta 2.7. Je-li 0 < 90, pak cos > cos. Definici 2.7. (Funkce tangens) V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu definujeme tg jako poměr délek odvěsny protilehlé úhlu a odvěsny přilehlé úhlu. Funkci tangens (obr. 2) zapisujeme tímto přepisem: tg =. Tab. 3: Hodnoty funkce tangens (Chajda, 2012, s. 60) 10 20 30 40 50 60 70 80 tg 0,18 0,36 0,58 0,84 1,19 1,73 2,75 5,67 Z tab. 3 vyčteme, že platí: Věta 2.8. Je-li 0 < < < 90, pak tg < tg. Pro funkci tangens můžeme přijmout úmluvu: tg = 0. Ovšem úmluvu nemůžeme přijmout pro = 90, protože v tomto úhlu funkce dosahuje nekonečna, a proto ji 16
definujeme pouze pro interval 0, 90. Množinou hodnot funkce kosinus je tudíž interval 0,. Definici 2.8. (Funkce kotangens) V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu definujeme cotg jako poměr délek odvěsny přilehlé úhlu a odvěsny protilehlé úhlu. Funkci kotangens (obr. 2) zapisujeme tímto přepisem: cotg =. Tab. 4: Hodnoty funkce kotangens (Chajda, 2012, s. 60) 10 20 30 40 50 60 70 80 cotg 5,67 2,75 1,73 1,19 0,84 0,58 0,36 0,18 Z tab. 4 vyčteme, že platí: Věta 2.9. Je-li 0 < < < 90, pak cotg > cotg. Obdobně jako pro předchozí goniometrické funkce můžeme přijmout úmluvu pro funkci kotangens a platí: cotg 90 = 0. Pak je ale nutné uvědomit si, že funkce kotangens bude pro = 0 dosahovat nekonečna, a proto tuto funkci definujeme pouze pro interval 0, 90. Množinou hodnot funkce kotangens je tudíž interval 0,. 2.4 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi ostrého úhlu Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Herman et al., 2005, s. 103-108). Mezi goniometrickými funkcemi sinus, kosinus, tangens a kotangens můžeme definovat několik vztahů. Tyto goniometrické vztahy nám značně ulehčují 17
matematické výpočty s těmito funkcemi, např. známe-li hodnotu funkce sin, můžeme pomocí nich snadno určit hodnoty zbývajících goniometrických funkcí. Obr. 3: Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C (Herman et al., 2005, s. 104) Věta 2.10. Pro každé 0, 90 platí: sin = cos 90, cos = sin 90, tg = cotg 90, cotg = tg 90. Poznámka: Vztahy pro sinus a kosinus platí pro 0, 90. Důkaz: V obecném trojúhelníku pro jeho úhly platí: + + = 180. Ovšem v případě pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu (obr. 3) můžeme psát + = 90, protože úhel = 90. Říkáme, že úhel je doplňkový úhel k úhlu a naopak. V pravoúhlém trojúhelníku (obr. 3) dále platí: = sin = cos, = cos = sin, = tg = cotg, = cotg = tg. Vyjádříme-li ze vztahu + = 90 úhel ( = 90 a dosadíme-li jej postupně do předchozích rovností, dostaneme: 18
sin = cos 90, cos = sin 90, tg = cotg 90, cotg = tg 90. Věta 2. 11. Pro každé 0, 90 platí: tg =, cotg =. Důkaz: Pro pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu (obr. 3) platí: tg =, cotg =. Pokud takto vyjádřené funkce dosadíme do pravé a levé strany rovnosti dostáváme tg =, = tg =, Obdobně pro = =. = =, cotg =, dostáváme = cotg =, = = =. =, Věta 2.12. Pro každé 0, 90 platí: tg =, cotg =. 19
Důkaz: Pro pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu (obr. 3) platí: a taktéž sin =, cos =, tg =, cotg =. Z předpisů funkcí sinus a kosinus pro strany a pravoúhlého trojúhelníku plyne: = sin, = cos. Pak pro funkce tangens a kotangens platí: a tg = cotg = = = = =. Věta 2.13. Pro každé 0, 90 platí: sin + cos = 1. Důkaz: Pro 0, 90 v pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu (obr. 3), jak jsme již uvedli v předchozím důkazu, platí: = sin, = cos. Pokud takto vyjádřené délky strany a pravoúhlého trojúhelníku dosadíme do Pythagorovy věty a postupně rovnost upravíme, dostaneme: = +, = sin + cos, = sin + cos, sin + cos = 1. Pro = 0 platí: sin 0 = 0 a cos 0 = 1. Pokud tyto hodnoty dosadíme do pravé a levé strany rovnosti, dostaneme: = 0 + 1 = 1, = 1, =. 20
Pro = 90 platí: sin 90 = 1 a cos 90 = 0. Opět po dosazení do pravé a levé strany rovnosti dostáváme: = 1 + 0 = 1, = 1, =. 2.5 Vybrané hodnoty goniometrických funkcí Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Herman et al., 2005, s. 103-108). Některé hodnoty základních goniometrických funkcí sinus, kosinus, tangens a kotangens pro ostré úhly nemusíme hledat v matematických tabulkách, nebo je počítat na kalkulačce. Můžeme je snadno určit z rovnoramenného pravoúhlého a rovnostranného trojúhelníku. Obr. 4: Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC (Molnár et al., 2001, s. 75) Pomocí pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku s pravým úhlem při vrcholu (obr. 4) můžeme vypočítat hodnoty základních goniometrických funkcí pro úhel = 45. Podle Pythagorovy věty pro rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník platí: = +, = 2, = 2, = 2. 21
Hodnoty sin 45, cos 45, tg 45 a cotg 45 dopočítáme z již dříve uvedených vzorců pro výpočet goniometrických funkcí: sin 45 = = = =, cos 45 = = = =, tg 45 = = 1, cotg 45 = = 1. Obr. 5: Rovnostranný trojúhelník ABC (Molnár et al., 2001, s. 75) Pro odvození goniometrických hodnot funkcí úhlu = 60 a = 30 opět využijeme Pythagorovy věty. Tentokrát ale nebudeme pracovat s celým rovnostranným trojúhelníkem, ale pouze s pravoúhlým trojúhelníkem (obr. 5). Pro výpočet odvěsny pak platí: 2 = +, 4 = +, 3 =, = 3, = 3. Hodnoty základních goniometrických funkcí pro ostrý úhel = 60 jsou: sin 30 = =, cos 30 = = =, tg 30 = = = =, 22
A pro úhel = 30 platí: cotg 30 = = = 3. sin 60 = = =, cos 60 = =, tg 60 = = = 3, cotg 60 = = = =. Často je velmi výhodné z vybraných hodnot goniometrických funkcí sestavit tab. 5. Takto vyjádřené hodnoty jsou přesné a výpočty s nimi nejsou zatíženy zaokrouhlováním, jak by to bylo v případě, kdybychom jejich hodnoty hledali např. v matematických tabulkách. Tab. 5: Významné hodnoty goniometrických funkcí (Herman et al., 2005, s. 112) 0 30 45 60 90 sin 0 cos 1 tg 0 1 2 3 2 3 3 cotg 3 1 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 3 3 1 0 0 23
3 Zavedení goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice Zavedení základních goniometrických funkcí sinus, kosinus, tangens a kotangens pomocí pravoúhlého trojúhelníku má své limity, jak jsme uvedli v předchozí kapitole, a proto je vhodnější přistoupit k dalšímu způsobu definice goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice, který tyto nedostatky odstraní. Pojem samotné jednotkové kružnice nám ale k zavedení goniometrických funkcí nestačí, a proto musíme taktéž definovat pojem orientovaného úhlu. Tento způsob definice goniometrických funkcí používají studenti středních škol (Polák, 1998, s. 145, 148-149). 3.1 Jednotková kružnice, oblouková a stupňová míra Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Odvárko, 1996, s. 21-22; Polák, 1998, s. 146). Definice 3.1. Jednotkovou kružnicí rozumíme kružnici se středem a poloměrem 1, jejíž délka je 2. Definice 3.2. Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku o délce 1. Poznámka: Radián se používá jako základní jednotka obloukové míry úhlů (zapisujeme 1 rad). Oproti tomu, základní jednotkou stupňové míry úhlů je 1 úhlový stupeň (zapisujeme 1 ). Dalšími jednotkami jsou 1 úhlová minuta (zapisujeme 1 ) a 1 úhlová vteřina (zapisujeme 1 ). Pro úhly, jejichž velikost uvádíme ve stupňové míře, platí: 1 = 60 = 3600. Vycházíme-li z předpokladu, že 2 = 360, pak pro převody mezi obloukovou a stupňovou mírou úhlů platí: 1 = = 57 17 45, 1 =. 24
3.2 Orientovaný úhel Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Odvárko, 1996, s. 26-31). Obr. 6: Orientovaný úhel AVB Definice 3.3. Uspořádaná dvojice polopřímek, se společným počátkem se nazývá orientovaný úhel (obr. 6). Tento úhel se zapisuje. Polopřímka se nazývá počáteční rameno, polopřímka koncové rameno orientovaného úhlu, bod vrchol orientovaného úhlu. Definice 3.4. Velikost úhlu, který opíše polopřímka při otočení z počátečního ramene do koncového ramene v kladném smyslu, se nazývá základní velikost orientovaného úhlu. Poznámka: a) Za kladný smysl otáčení považujeme pohyb ramene proti směru hodinových ručiček. Pro záporný smysl otáčení platí opak. b) Nulový orientovaný úhel je úhel, jehož základní velikost je rovna 0, a jehož polopřímky a jsou totožné. Věta 3.1. Pro základní velikost každého orientovaného úhlu platí 0 < 2, resp. 0 < 360. 25
Definice 3.5. Velikostí orientovaného úhlu, jehož základní velikost v obloukové míře je, se nazývá každé číslo + 2, kde je libovolné celé číslo. Poznámka: Obdobně ve stupňové míře úhlů platí + 360, kde. Věta 3.2. Je-li jedna z velikostí orientovaného úhlu, pak množina všech čísel, která lze psát ve tvaru + 2, je rovna množině všech velikostí úhlu. Věta 3.3. Je-li v rovině dána polopřímka a je-li dáno libovolné reálné číslo, pak v této rovině existuje právě jeden orientovaný úhel, jehož jedna velikost v obloukové míře je. 3.3 Goniometrické funkce v jednotkové kružnici Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Odvárko, 1996, s. 34-35, 38, 50-52; Polák, 2012, s. 167, 170, 172, 174). Obr. 7: Orientovaný úhel v jednotkové kružnici (Polák, 2012, s. 166) Pro definici goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice (obr. 7) provedeme konstrukci. Do kartézské soustavy souřadnic, kde mají osy, 26
stejné jednotky, umístíme orientovaný úhel velikosti v základní poloze, pro jehož počáteční rameno platí 1,0, a jednotkovou kružnici se středem. Získáváme bod,, který vznikl protnutím koncového ramena orientovaného úhlu o velikosti s jednotkovou kružnicí. Poznámka: Dále budeme značit hodnotu proměnné (velikost orientovaného úhlu). Definice 3.6. Funkcí sinus se nazývá funkce na množině, kterou je každému přiřazeno číslo neboli sin =. Funkci sinus zapisujeme tímto předpisem: : = sin, =. Definice 3.7. Funkcí kosinus se nazývá funkce na množině, kterou je každému přiřazeno číslo neboli cos =. Funkci kosinus zapisujeme tímto předpisem: : = cos, =. Poznámka: Grafem funkce sinus je tzv. sinusoida a grafem funkce kosinus je tzv. kosinusoida. Důkazy následujících vět jsou přímým důsledkem definice goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice. Věta 3.4. Pro každé a pro každé je sin + 2 = sin, cos + 2 = cos. 27
Poznámka: Při vyšetřování průběhu funkcí sinus a kosinus na množině si vystačíme pouze s intervalem 0, 2, protože tyto funkce jsou periodické s periodou 2. Věta 3.5. Pro každé je sin = sin, cos = cos. Věta 3.6. Pro každé platí, že 1 sin 1, 1 cos 1. Poznámka: Funkce sinus i kosinus jsou shora i zdola omezené, jejich obory hodnot jsou v intervalu 1,1, přičemž 1 je jejich globálním maximem a 1 globálním minimem. Definice 3.8. Funkcí tangens se nazývá funkce daná vztahem =, kde cos 0. Funkci tangens zapisujeme tímto předpisem: : = tg, = 2 + 1 = 2 1, 2 + 1. Definice 3.9. Funkcí kotangens se nazývá funkce daná vztahem cotg =, kde sin 0. Funkci kotangens zapisujeme tímto předpisem: : = cotg, = = 1,. 28
Poznámka: Grafem funkce tangens je tzv. tangentoida a grafem funkce kotangens je tzv. kotangentoida. Věta 3.7. Pro každé reálné číslo 2 + 1, kde, je tg = tg. Důkaz: Abychom mohli dokázat, že funkce tangens je lichou funkcí, musí platit podmínka: každé 2 + 1, kde. Pak už levou stranu rovnosti vyjádříme podle definice 3.8., přičemž využijeme toho, že funkce kosinus je sudou funkcí a sinus lichou, pak dostáváme: tg = = = tg. Věta 3.8. Pro každé reálné číslo, kde, je cotg = cotg. Důkaz: Postup z důkazu věty 3.7. můžeme aplikovat i na funkci kotangens a dokázat tak, že funkce kotangens je lichá. Tentokrát musí být, kde. Pak cotg = = = cotg. Věta 3.9. Pro každé reálné číslo 2 + 1, kde, platí tg + = tg. Věta 3.10. Pro každé reálné číslo, kde, platí cotg + = cotg. 29
Poznámka: Funkce tangens a kotangens jsou periodické, jejich primitivní perioda je. 3.4 Grafy goniometrických funkcí Existuje velké množství počítačových programů pomocí níž lze vytvářet grafy goniometrických funkcí. Následující grafy základních goniometrických funkcí sinus (obr. 8), kosinus (obr. 9), tangens (obr. 10) a kotangens (obr. 11) jsou vytvořeny pomocí počítačového programu GeoGebra. Obr. 8: Sinusoida (Polák, 2012, s. 168) Obr. 9: Kosinusoida (Polák, 2012, s. 168) 30
Obr. 10: Tangentoida (Polák. 2012, s. 172) Obr. 11: Kotangentoida (Polák, 2012, s. 172) 31
3.5 Vlastnosti goniometrických funkcí Pro celkový přehled shrňme vlastnosti základních goniometrických funkcí do tab. 6: Tab. 6: Vlastnosti goniometrických funkcí (Odvárko, 1996, str. 59; Polák, 2012, str. 169, 173) Vlastnosti funkce Definiční obor funkce Obor funkčních hodnot Sudost, lichost funkce Periodičnost funkce (Ne)omezenost funkce Intervaly, v nichž je funkce rostoucí Intervaly, v nichž je funkce klesající Maximum funkce v bodě Minimum funkce v bodě Body, ve kterých jsou funkční hodnoty nulové = 0 Intervaly, v nichž jsou funkční hodnoty kladné > 0 Intervaly, v nichž jsou funkční hodnoty záporné < 0 y = sin y = cos y = tg y = cotg ; 2 + 1 2 ; 1; 1 1; 1, +, + lichá sudá lichá lichá periodická s periodou 2 shora i zdola omezená periodická s periodou 2 shora i zdola omezená 2 + 2, + 2, 2 2 + 2 2 + 2, periodická s periodou není ani shora, ani zdola neomezená periodická s periodou není ani shora, ani zdola neomezená 2 +, 2 + 3 2, + 2, + 2 + 2 = 1 pro = 4 + 1 = 1 pro = 4 1 = 2, + 2 + 2, 2 + 2 = 1 pro = 2 = 1 pro = 2 1 = 2 + 1 = 2 + 2,, + 2 + 2 2 + 2, 3 +, + 2 + 2 = 2 + 1, + +, + 32
3.6 Goniometrické vztahy Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Herman et al., 2005, s. 108; Odvárko, 1996, s. 71-73, 76-80, 83-86). V první kapitole jsme již uvedli některé vztahy pro goniometrické funkce, které jsme vyjádřili pro hodnoty proměnné odpovídající velikostem ostrých úhlů. Protože jsme již zavedli goniometrické funkce pomocí jednotkové kružnice, můžeme vyjádřit goniometrické vztahy pro jakékoliv reálné proměnné z definičního oboru příslušných funkcí. Věta 3.11. Pro každé je sin + cos = 1. (3.1) Důkaz: V případě důkazu tohoto vzorce je vhodné si vzpomenout, jak jsme definovali goniometrické funkce pomocí jednotkové kružnice a na některé vlastnosti funkcí sinus a kosinus. Samotný princip důkazu spočívá v tom, že do jednotkové kružnice v kartézské soustavě souřadnic umístíme orientovaný úhel o velikosti v základní poloze, protnutím koncového ramene tohoto úhlu a jednotkové kružnice dostáváme bod, jehož první souřadnicí je cos a druhou sin (viz obr. 7), pak již stačí použít Pythagorovou větu, přičemž velikost přepony je 1, a daný vzorec je dokázán pro interval 0, 2. Protože jsou funkce sinus a kosinus periodické, platí vzorec pro každé reálné číslo. Věta 3.12. Pro každé, kde, je tg cotg = 1. 33
Důkaz: Důkaz tohoto vzorce je velmi jednoduchý. Pokud bude platit podmínka, že pro každé, kde, můžeme do vzorce dosadit podle definice funkcí tangens a kotangens: a pak dostáváme: tg = tg cotg =, cotg = = 1. Věta 3.13. (Součtové vzorce) Pro každá dvě reálná čísla, platí: sin + = sin cos + cos sin, (3.3) sin = sin cos cos sin, cos + = cos cos sin sin, (3.4) cos = cos cos + sin sin. (3.5) Důkaz: Důkazy součtových vzorců jsou složitější, a proto zde naznačíme důkaz pouze jednoho z nich (3.5). Samotný důkaz musíme rozdělit do čtyř částí. V prvních třech bodech se omezíme pouze na interval 0, 2 podobně jako v případě důkazu vzorce (3.1), protože budeme opět pracovat s jednotkovou kružnicí a orientovaným úhlem. Poté se zaměříme na ostatní reálná čísla mimo tento interval, přičemž opět využijeme toho, že jsou funkce sinus a kosinus periodické. Obr. 12: Otočení kartézské soustavy souřadnic (Odvárko, 1996, s. 77) 34
= 1. Pro >, 0, 2: Do jednotkové kružnice v kartézské soustavě souřadnic umístíme dva orientované úhly a v základní poloze. Protnutím koncových ramen těchto orientovaných úhlů dostaneme postupně dva body cos, sin a cos, sin. Podle obr. 12 s využitím Pythagorovy věty píšeme: = cos cos + sin sin, = cos cos + sin sin, = 21 cos cos sin sin. Tento výpočet nám ale pro dokázání rovnosti nestačí, a proto otočíme kartézskou soustavu souřadnic o úhel (obr. 12). Pak mají body a nové souřadnice (cos, sin, 1,0) a můžeme podle Pythagorovy věty psát: = 1 cos + sin, = 1 cos + sin, = 21 cos. Nyní již stačí obě rovnosti pro porovnat a dostáváme: 21 cos cos sin sin = 21 cos, 1 cos cos sin sin = 1 cos, cos cos + sin sin = cos. Zbývá ověřit platnost rovnosti i pro případy, kdy je =, < nebo,. 2. Pro =, 0, 2 platí: cos cos + sin sin = cos, cos + sin = 1. To znamená, že pro = je daná rovnost platná. 3. Pro <, 0, 2 platí: cos = cos = cos = = cos cos + sin sin. Při důkazu jsme využili toho, že funkce kosinus je sudá. Dokazovaná rovnost pro < platí. 4. Pro, : vzorec platí pro libovolná reálná,, protože obě funkce jsou periodické. Např. zvolíme-li, 0, 2 a,, pak píšeme: = + 2 a = + 2. 35
Pro ověření dosazujeme: cos = cos + 2 + 2 = cos + 2 = = cos, cos cos + sin sin = cos + 2 cos + 2 = + sin + 2 cos + 2 = = cos cos + sin sin. Protože cos = cos cos + sin sin, platí i dokazovaná rovnost pro libovolná reálná,. Věta 3.14. Pro každé reálné číslo platí: sin 2 = 2 sin cos, cos 2 = cos sin. (3.6) Důkaz: Pro důkaz těchto vzorců použijeme součtové vzorce pro sinus (3.3) a pro kosinus (3.4), přičemž za budeme dosazovat. Pro = platí: sin 2 = sin + = sin cos + cos sin = 2 sin cos a pro = platí: cos 2 = cos + = cos cos sin sin = cos sin. Věta 3.15. Pro každé reálné číslo platí: sin =, cos =. Důkaz: Pro důkaz goniometrických vztahů pro poloviční argument sinu a kosinu využijeme předchozí vztahy pro dvojnásobný argument kosinu (3.6) a tzv. goniometrickou jedničku (3.1). 36
Pro = pak platí: cos 2 = cos sin = 1 sin sin = 1 2 sin, pokud vzorec upravíme, vyjádříme sin a dosadíme za poloviční argument, dostáváme: sin = Pro = je postup obdobný: sin = sin =. pak cos 2 = cos sin = cos 1 cos = 2 cos 1, cos = cos = cos =. Věta 3.16. Pro každá dvě reálná čísla, platí: sin + sin = 2 sin sin sin = 2 cos cos + cos = 2 cos cos cos = 2 sin cos, sin, cos, sin. Důkaz: Princip důkazu všech těchto rovností je podobný, a proto si podrobně ukážeme důkaz jen jedné z nich. Podíváme-li se na pravé strany vzorců, můžeme usoudit, že je pro nás výhodné vyjádřit a v tomto tvaru: = +, = a pak takto vyjádřené proměnné a dosadit do levé strany rovnosti a výraz dále upravovat, přičemž využijeme součtové vzorce pro sinus a kosinus. Pro = sin sin = sin pak platí: + sin = 37
= sin sin = sin sin cos + cos sin cos cos sin = cos + cos sin cos + cos sin = = 2 cos sin. 3.7 Goniometrické funkce v obecném trojúhelníku Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Odvárko, 1996, s. 90, 96-99, 102-103, 117; Polák, 2012, s. 442-443, 445-446). Studenti středních škol se běžně setkávají s matematickými či fyzikálními úlohami, kde potřebují pracovat nejen s pravoúhlým trojúhelníkem, ale též s trojúhelníkem obecným. Proto je užitečné odvodit dvě matematické (tzv. trigonometrické) věty, které jim takovéto výpočty umožňují. Věta 3.17. (Věta sinová) Pro každý trojúhelník, jehož strany mají délky,, a vnitřní úhly velikosti,,, platí: = = = 2, kde je poloměr kružnice opsané trojúhelníku, neboli =, =, =, tj. poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí příslušných protilehlých úhlů. Věta 3.18. (Věta kosinová) Pro každý trojúhelník, jehož strany mají délky,, a vnitřní úhly velikosti,,, platí: = + 2 cos, = + 2 cos, = + 2 cos. 38
Poznámka: Kosinová věta je zobecněním Pythagorovy věty, protože pro = 90 platí cos 90 = 0, z čehož vyplývá = +. Při řešení trigonometrických úloh v obecném trojúhelníku se rozhodujeme, kterou trigonometrickou větu použít podle toho, co máme zadáno, např. máme-li zadány dvě strany a úhel, který je naproti jedné z těchto stran, použijeme větu sinovou. Oproti tomu je typickým příkladem na použití věty kosinové určení všech vnitřních úhlů trojúhelníku, přičemž máme zadány pouze délky jeho stran. Zatímco věta kosinová dává jednoznačný výsledek, u věty sinové to tak být nemusí. Při řešení trigonometrických úloh nesmíme opomenout další věty o vlastnostech trojúhelníků, jako jsou např. trojúhelníková nerovnost nebo věta o součtu vnitřních úhlů trojúhelníku. Úloha 3.1. Ze stanice vyjedou současně dva vlaky po přímých tratích, které svírají úhel = 156 30. Rychlost prvního vlaku je = 13, rychlost druhého vlaku = 14,5. Jak daleko budou od sebe za 5 minuty? Řešení: Obr. 13: Náčrt k úloze 3.1. Pro lepší představu je vhodné nakreslit si jednoduchý náčrt (obr. 13). Z hodin fyziky známe vzorec pro vypočítání dráhy: = a pomocí tohoto vzorce dopočítáme velikost dráhy a, kterou vlaky urazí, ale nesmíme zapomenout dosadit za čas v sekundách (dosazujeme v základních jednotkách), a pak dostáváme: = = 13 330 = 4290, = = 14,5 330 = 4785. 39
Protože v úloze nemáme blíže uvedeno, kterým směrem vlaky pojednou, musíme počítat s oběma variantami a dopočítat ještě úhel. Při výpočtech vzdáleností obou vlaků použijeme kosinovou větu, protože již máme vyjádřené velikosti dvou stran trojúhelníku a úhel, který tyto dvě strany svírají. Pro = 156 30 platí: = + 2 cos = + 2 cos a po dosazení je: = 4290 + 4785 2 4290 4785 cos156 30 8885. A pro = 180 156 30 = 23 30 platí: = + 2 cos = + 2 cos a po dosazení je: = 4290 + 4785 2 4290 4785 cos23 30 1911. Úloha má dvě řešení, vlaky jsou od sebe vzdáleni přibližně 8885 nebo 1911. 3.8 Cyklometrické funkce Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Polák, 2012, s. 139-140, 198-199). Pro definice cyklometrických funkcí je nezbytně nutné znát pojmy prosté a inverzní funkce, a proto si je nejdříve připomeneme. Definice 3.10. Funkce s definičním oborem se nazývá prostá funkce, právě když pro každou dvojici,,, platí. Věta 3.19. Je-li funkce ryze monotónní, tj. rostoucí, anebo klesající, pak je prostá. Definice 3.11. Je daná prostá funkce, která zobrazuje definiční obor na množinu všech funkčních hodnot. K tomuto zobrazení existuje zobrazení inverzní, které je opět prosté a zobrazuje množinu na množinu. Je to funkce, které říkáme funkce inverzní k funkci a značíme ji. 40
Další známé věty jsou přímým důsledkem definice inverzní funkce. Věta 3.20. Jestliže je v kartézské soustavě souřadnic sestrojen graf libovolné prosté funkce, pak graf inverzní funkce v téže soustavě souřadnic je souměrně sdružený s grafem funkce podle přímky o rovnici =. Věta 3.21. Je-li funkce rostoucí v, pak k ní existuje inverzní funkce, která je také rostoucí v. Je-li funkce klesající v, pak k ní existuje inverzní funkce, která je též klesající v. Funkce cyklometrické jsou inverzní k funkcím goniometrickým, protože jsou ale funkce goniometrické prosté jen na určitých intervalech, můžeme tyto funkce definovat jen na nich, přičemž bereme v úvahu intervaly co nejjednodušší. Definice 3.12. (Funkce arkussinus) Funkce arkussinus je funkce daná předpisem : = arcsin = sin, = 1,1, = =,. Definice 3.13. (Funkce arkuskosinus) Funkce arkuskosinus je funkce daná předpisem: : = arccos = cos, = 1,1, = = 0,. Definice 3.14. (Funkce arkustangens) Funkce arkustangens je funkce daná předpisem : = arctg = tg, =, = = 2, 2. Definice 3.15. (Funkce arkuskotangens) Funkce arkuskotangens je funkce daná předpisem : = arccotg = cotg, =, = = 0,. 41
3.8.1 Grafy cyklometrických funkcí Grafy cyklometrických funkcí arkussinus (obr. 14), arkuskosinus (obr. 15), arkustangens (obr. 16) a arkuskotangens (obr. 17) jsou opět vytvořeny pomocí počítačového programu GeoGebra. Obr. 14: Graf funkce arkussinus (Polák, 2012, s. 199) Obr. 15: Graf funkce arkuskosinus (Polák, 2012, s. 199) 42
Obr. 16: Graf funkce arkustangens (Polák, 2012, s. 199) Obr. 17: Graf funkce arkuskotangens (Polák, 2012, s. 199) 3.8.2 Cyklometrické vztahy Podobně jako existují goniometrické vztahy pro goniometrické funkce, existují i vztahy pro funkce cyklometrické. Věty, které vyjadřují základní vztahy pro cyklometrické funkce, již uvedeme bez důkazu. Věta 3.22. Pro každé 1,1 platí: arcsinarcsin. Věta 3.23. Pro každé 1,1 platí: arccosarccos. 43
Věta 3.24. Pro každé 1,1 platí: arcsin + arccos =. Věta 3.25. Pro každé platí: arctg = arctg. Věta 2.26. Pro každé platí: arccotg = arccotg. Věta 2.27. Pro každé platí: arctg + arccotg =. 44
4 Zavedení goniometrických funkcí pomocí Taylorových řad Se zavedením goniometrických funkcí pomocí Taylorových řad se setkáváme až při vysokoškolském studiu, protože pro jejich pochopení, je nutné absolvovat alespoň základní kurz matematické analýzy. Nejdříve budeme definovat mocninné řady a jejich vlastnosti v oboru reálných čísel, poté ukážeme, že jejich zvláštním případem jsou Taylorovy (příp. Maclaurinovy) řady, pomocí nichž zavedeme goniometrické a cyklometrické funkce. Následně definice rozšíříme i pro obor komplexních čísel a poukážeme na vztah mezi funkcí exponenciální a funkcemi goniometrickými (Seibert, 1999, s. 115-149; 2000, s. 72-89). 4.1 Mocninné řady v oboru reálných čísel Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Seibert, 1999, s. 89, 117-120, 122-124, 127-129; 2000, s. 11-12; Rektorys et al., 1981, s. 308). Definice 4.1. Řadu funkcí tvaru + +, kde,,, jsou reálné konstanty, nazýváme mocninnou (potenční) řadou se středem v bodě. Čísla = 0, 1, se nazývají koeficienty řady. V následujících definicích a větách je vhodné použít novou proměnnou =, pak bude řada mít tvar. Protože ale nadále budeme pracovat s mocninnými řadami, pro jejichž střed platí = 0, můžeme řady zapisovat takto. Věta 4.1. (Abelova) Konverguje-li mocninná řada v některém bodě 0, konverguje absolutně pro všechna z intervalu =,. 45
Důsledek: Diverguje-li řada v některém bodě, diverguje i pro všechna, pro která platí >. Věta 4.2. Pro každou mocninnou řadu lze najít takové nezáporné reálné číslo R (může nabývat i nevlastní hodnoty + ), že řada konverguje pro všechna, pro která < a diverguje pro všechna, pro která >. Definice 4.2. Číslo z věty 4.2. se nazývá poloměr konvergence mocninné řady. Je-li >0, pak interval, se nazývá interval konvergence. Poznámka: a) Je-li = 0, konverguje řada pouze ve svém středu. Je-li = +, konverguje řada pro každé reálné (dokonce absolutně). b) Konvergenci každé mocninné řady v krajních bodech, intervalu konvergence je nutno vyšetřovat zvlášť. V těchto bodech řada může, ale nemusí konvergovat. Proto obor konvergence a interval konvergence nemusí být totožné. Následující věty 4.3. a 4.5. (Cauchy-Hadamardova podmínka) nám umožňují určit početně poloměr konvergence dané mocninné řady. Při formulaci věty 4.5. je nutné definovat pojem limes superior posloupnosti. Věta 4.3. Je-li posloupnost koeficientů mocninné řady taková, že existuje lim = h > 0 resp. lim = h > 0, má daná řada poloměr konvergence =. Je li h = 0, pak = +, je-li h = +, pak = 0. 46
Věta 4.4. (Bolzanova-Weierstrassova věta.) Každá ohraničená posloupnost má alespoň jeden hromadný bod. Vždy (i když těchto hromadných bodů je nekonečně mnoho) existuje jeden největší a jeden nejmenší (limes superior a limes inferior dané posloupnosti). Označení: resp. lim sup nebo lim, lim inf nebo lim. Poznámka: Místo ohraničená se používá též názvu omezená posloupnost. Věta 4.5. Pro posloupnost koeficientů mocninné řady označme lim a) Je-li h > 0, pak =. = h. Pak pro poloměr konvergence mocninné řady platí: b) Je-li h = 0, pak = +. c) Je-li h = +, pak = 0. Nezbytnou součástí definice mocninných řad je zavedení pojmu stejnoměrné konvergence řady, se kterým úzce souvisí pojmy derivace a integrace mocninných řad člen po členu: Definice 4.3. Funkční řadu nazveme stejnoměrně konvergentní v množině, jestliže 1) konverguje pro všechna, = ; 2) ke každému > 0 existuje takové přirozené číslo (nezávisle na volbě prvků ), že platí < pro každé přirozené a každé. Věta 4.6. Mocninná řada s poloměrem konvergence 0 je stejnosměrně konvergentní v každém uzavřeném intervalu,,. 47
Věta 4.7. Součet mocninné řady s kladným poloměrem konvergence je spojitá funkce v intervalu konvergence,. Je-li navíc řada konvergentní pro =, resp. =, je stejnoměrně konvergentní v intervalu 0,, resp., 0, a součet řady je spojitá funkce v intervalu,, resp.,. Věta 4.8. (Derivování mocninné řady člen po členu.) Nechť řada má kladný poloměr konvergence (může být i + ). Potom funkce = má v intervalu, vlastní derivaci =. Věta 4.9. (Integrování mocninné řady člen po členu.) Nechť řada má kladný poloměr konvergence. Potom funkce = má v intervalu, primitivní funkci =. 4.2 Taylorovy řady v oboru reálných čísel Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Seibert, 1999, s. 137-142; Kopáček, 2004, s. 127, 130-131). Než se začneme zabývat Taylorovými řadami, měli bychom připomenout Taylorův vzorec, který obsahuje pojem Taylorova mnohočlenu n-tého stupně a tzv. zbytek po Taylorově polynomu. Tento zbytek se pak v konkrétních případech vyjadřuje např. v Lagrangeově nebo Cauchyově tvaru. Věta 4.10. (Peanova). Nechť funkce má v bodě vlastí derivace do řádu včetně, kde je přirozené číslo. Potom existuje právě jeden mnohočlen stupně nejvýše (anebo nulový), že platí =. Tento mnohočlen je dán vzorcem =,! 48
nazývá se Taylorovým mnohočlenem n-tého stupně a označuje se ;,. Poznámka: Tzv. Taylorův vzorec je známý z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné. Pro Taylorovy řady a jejich vlastnosti platí: Definice 4.4. Mocninná řada je rozvojem funkce v intervalu, +, právě když má tato řada pro každé, + součet. Věta 4.11. Je-li mocninná řada rozvojem funkce v intervalu, +, pak její koeficienty = 0, 1, jsou jednoznačně určeny vztahy =, =,,! =,.! Důkaz: Budeme přepokládat, že v daném intervalu platí rovnice = + + + + + a její vyšší derivace: = 1 + 2 + 3 + 4 +, = 2 1 + 3 2 + 4 3 +, = 3 2 1 + 4 3 2 + atd. Pokud zvolíme za = dostáváme vzorce pro koeficienty: =, =!, =,! =, atd.! Definice 4.5. Taylorovou řadou se středem v bodě (nebo stručně v bodě ) funkce, která je diferencovatelná bez omezení (má derivace všech řádů) v jistém okolí bodu (speciálně v intervalu, + ), nazýváme mocninnou řadu +! + =. V případě, že = 0, nazýváme mocninnou řadu Maclaurinovou řadou funkce.! 49
Poznámka: a) Z uvedeného je zřejmé, že limitním přechodem přejde Taylorův mnohočlen formálně v Taylorovu řadu. Tedy naopak Taylorovy mnohočleny tvoří částečné součty Taylorovy řady. b) Je-li funkce rozvinutelná v mocninnou řadu v okolí bodu, je tento rozvoj Taylorovou řadou funkce v bodě. Nezbytnou podmínkou pro rozvoj funkce v Taylorovu (příp. Maclaurinovu) řadu je její konvergence. Věta 4.12. Taylorova řada funkce konverguje v intervalu (například, + ) k funkci právě tehdy, když pro každé platí lim = 0. Pro praktické použití je vhodnější následující postačující podmínka rozvinutelnosti funkce v Taylorovu řadu. Věta 4.13. Jsou-li všechny derivace funkce v intervalu (obsahující bod ) stejnoměrně ohraničené, tj. existuje-li takové reálné číslo, že pro všechna a přirozená je, pak je funkce rozvinutelná v Taylorovu řadu v intervalu. Důkaz: Při důkazu vyjádříme tzv. zbytek po Taylorově mnohočlenu n-tého stupně v Lagrangeově tvaru a dostáváme: =!,,. Ze zápisu Lagrangeova tvaru zbytku plyne, že pokud, pak také. Po zavedení nové proměnné h, pro niž platí h =, začneme dokazovat platnost: =!!. Pro ověření konvergence řady použijeme podílové kritérium:! 50
lim!! = lim! lim = h lim! = 0. Řada konverguje pro každé h, platí nutná podmínka konvergence řady, tudíž jsme dokázali, že platí lim = 0 pro každé. 4.3 Rozvoje goniometrických a cyklometrických funkcí v Maclaurinovy řady Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Seibert, 1999, s. 143, 145-147; Kopáček, 2006, s. 212; 2007, s. 31; Kříž a Šrot, 2006; Trigonometric functions, 2015). 4.3.1 Rozvoj funkce sinus Vyšší derivace funkce sinus zapisujeme ve tvaru: = 1 sin, = 1 cos pro každé = 0, 1, 2, v intervalu, +. Pak je rozvoj funkce sinus do Maclaurinovy řady ( = 0): T = + + =!!! 1!. Protože je splněna podmínka z věty 4.13., a tudíž pro každé a pro každé platí 1, můžeme psát: pro každé, +. sin =! +!! + 4.3.2 Rozvoj funkce kosinus Stejným způsobem, jaký jsme použili u funkce sinus, určíme i rozvoj funkce kosinus. Pro vyšší derivace funkce kosinus platí = 1 cos, = 1 sin pro každé = 0, 1, 2, v intervalu, +. Pak je rozvoj funkce kosinus do Maclaurinovy řady: T = 1 + + =!!! 1!. 51
Obdobně jako u funkce sinus je splněna podmínka konvergence řady z věty 4.13., kde pro každé a pro každé platí 1, a proto můžeme psát: pro každé, +. cos = 1! +!! + Rozvoj funkce kosinus lze získat i jiným způsobem. Použijeme-li větu 4.8., můžeme postupnou derivací rozvoje funkce sinus získat Taylorův rozvoj funkce kosinus: sin = + + sin =!!!! +!! + cos = 1! +!! +. 4.3.3 Rozvoj funkce tangens Abychom mohli ukázat jeden ze způsobů, jak lze získat rozvoj funkce tangens v Maclaurinovu řadu, musíme definovat další vlastnosti mocninných řad. Definice 4.6. Nechť, jsou dvě mocninné řady. Jejich součtem nazýváme mocninnou řadu +, rozdílem mocninnou řadu = a součinem mocninnou řadu = + + + + + +. Věta 4.14. Nechť mocninná řada má poloměr konvergence a součet a řada má poloměr konvergence a součet. Pak součet, rozdíl i součin těchto řad má poloměr konvergence =, a součet postupně +,,. Nejdříve označíme rozvoje funkcí sinus, kosinus a tangens: sin = = + + + + +, cos = = + + + + +, kde 0, tg = = + + + + +. Pro dané goniometrické funkce platí rovnost: cos tg = sin. 52
Pokud za funkce sinus a kosinus dosadíme jejich rozvoje do Maclaurinovy řady, dostáváme: 1! +!! + + + + =! +!! +. Při dalším výpočtu roznásobíme levou stranu rovnosti (násobení mocninných řad) a pak porovnáme koeficienty na pravé a levé straně rovnosti, z čehož postupně určíme koeficienty rozvoje funkce tangens do Maclaurinovy řady: : = 1 = 0 = 0 : + = 1 + 0 = 1 = 1 : + + = 1 + 0 +! = 0 = 0 : + + + = 1 + 0 + + 0 =! = : + + + + = 1 + 0 +! + 0 +! = 0 = 0 : + + + + + = 1 + 0 +! + 0 +! + 0 =! = Pokud bychom postupně vypočítali i další koeficienty a dosadili je do řady tg = dostáváme hledaný rozvoj funkce tangens: pro <. tg = + + + + 4.3.4 Rozvoj funkce arkussinus Při určení Taylorova rozvoje funkce = arcsin do Maclaurinovy řady využijeme toho, že známe její první derivaci pro 1,1: Použijeme substituci =, = Pro funkci platí: = = 1 + = arcsin = = 1 +! = 1 + +!. pro 1,1:! +, +!! +.! + = 1 +! 53
pro každé 1,1. Při dalším výpočtu použijeme větu 4.9., pro 1,1 integrováním mocninné řady funkce = získáme rozvoj funkce arkussinus: = + + +! +! + = = + +. Konstanta = 0, což lze snadno ověřit např. pro = 0. Rozvoj funkce arkussinus do Maclaurinovy je: arcsin = + + + + = +!! pro 1. 4.3.5 Rozvoj funkce arkustangens Postup výpočtu rozvoje funkce = arctg do Maclaurinovy řady je stejný jako u funkce arkussinus, pro 1,1 platí: = arctg =. Poté použijeme vzorec pro součet geometrické řady: = = 1 + + = 1 pro každé 1,1. Integrací pro 1,1 dostáváme: = + + + = + 1. Taktéž pro = 0 je konstanta nulová, pak arkustangens zapisujeme ve tvaru: pro 1. arctg = + + = + 1 4.3.6 Rozvoje goniometrických a cyklometrických funkcí v Maclaurinovy řady v přehledu Goniometrické funkce sin = + + =!!! cos = 1 + + =!!! 1 1!! pro, +, pro, +, 54
tg+ + + + pro <, cotg = pro 0 < <. Cyklometrické funkce arcsin = + + + + = +!! pro 1, arccos = arcsin = + +! +! + = = arctg = + + = arcotg = arctg = = 1 pro 1, pro 1, + + = 1 pro 1. 4.4 Taylorovy řady v oboru komplexních čísel Použité pojmy a poznatky jsou čerpané z: (Seibert, 2000, s. 72-84, 86-89). Definice a věty, které jsme zavedli pro mocninné a Taylorovy řady v oboru reálných čísel, můžeme s jistými úpravami používat i v oboru komplexních čísel. Uvedeme několik rozdílů: 1. Mocninnou řadu zapisujeme ve tvaru, kde,,, jsou komplexní konstanty. 2. Opět zavádíme novou proměnnou =, řada bude ve tvaru. Pro mocninné řady se = 0 píšeme. 3. V případě absolutní konvergence mocninné řady, taktéž hledáme poloměr konvergence, ale nehovoříme o intervalu konvergence, nýbrž o tzv. kruhu konvergence, protože se v případě komplexních čísel pohybujeme v Gaussově rovině. 4. Z praktických důvodů (např. při zavádění logaritmické funkce) připouštíme i takové funkce komplexní proměnné, které mohou mít pro hodnoty nezávisle proměnné víceprvkovou funkční hodnotu, tudíž funkce nemusí 55