Aktivita A07-03: eoretické řešeí problematiky trasformace výšek a určeí vybraých parametrů tíhového pole Země. Příloha 1 Popis řešeí projektu za rok 007 Všechy uvedeé vzorce pro globálí modely předpokládají vstup ve sférických souřadicích (r, ϕ,. Uživatel bude moci zadávat své souřadice buďto v systému /ERS89 ebo v systému JSK. Souřadice v systému JSK budou ejprve trasformováy pomocí globálího trasformačího klíče pro ČR do ERS89/. Následovat bude trasformace z geodetických souřadic do sférických souřadic (r, θ,. yto trasformace jsou všeobecě zámé ([1], []). Chyby trasformace roviých souřadic ze systému JSK do výše popsaých geocetrických systému ejsou z pohledu aší aplikace podstaté, protože jsou o ěkolik řádů meší ež rozlišeí použitých globálích i lokálích modelů (5 x5, resp. 30 x30 ). Lokálí modely jsou uložey ve formě rastru v souřadicovém systému. Výpočty z globálích modelů Protože koeficiety globálích modelů poteciálu (G) mají obecě jié parametry, a ež jsou parametry elipsoidu, je utá jejich trasformace [1] E ae E ae (1), m : C, C S S a a kde E, a E jsou parametry G a, a jsou parametry elipsoidu. C a S jsou (plě ormalizovaé) Stokesovy koeficiety G. V ásledujícím textu, eí-li uvedeo jiak, používáme zkratky, a a. Výpočet gravitačího poteciálu V Vstup: souřadice ϕ, h v systému Výstup: hodota V v jedotkách m.s - Nejprve trasformujeme souřadice do sférické soustavy souřadic (r, θ,. Gravitačí poteciál V počítáme z aktuálího globálího modelu geopoteciálu (G) pomocí vzorce N max a () V ( r, θ, 1 + V ( θ,, r r kde N max je ejvyšší stupeň a řád daého G, θ 90 - ϕ je pólová vzdáleost a fukce je fukce defiovaá předpisem: (3) V θ, ( C cos mλ + S si mλ ) m 0 1 ( P (si θ ) kde C, S jsou (plě ormalizovaé a trasformovaé podle (1)) Stokesovy koeficiety G a P jsou plě ormalizovaé přidružeé Legedrerovy fukce. 1
Výpočet poteciálu ormálího tíhového pole U Vstup: souřadice ϕ, h v systému (a souřadici λ výsledek ezávisí) Výstup: hodota U v jedotkách m.s - Za ormálí pole bereme pole elipsoidu. Po trasformaci vstupích souřadic do sférické soustavy souřadic (r, θ, určíme hodotu ormálího poteciálu jako (4) U V orm + Φ, kde V orm je ormálí gravitačí poteciál, který spočteme podle (5) V orm k a ( r, θ ) 1 J P (siθ ), r 1 r a Φ je odstředivý poteciál, který počítáme pomocí vztahu 1 (6) Φ ( r, θ ) ω r si θ, RRR5 kde k určuje stupeň rozvoje ormálího poteciálu (stačí zvolit k10) a P (cos θ) jsou Legedrerovy polyomy. Kostata J je pro elipsoid pevě určea a koeficiety J se z í určují pomocí vzorce + 1 3e (7) J ( 1) ( 1 + J e ) 5 ( + 1)( + 3) Plě ormalizovaé koeficiety z ich spočítáme pomocí vztahu J (8) J + 1 Výpočet tíhového poteciálu W Vstup: souřadice ϕ, h v systému Výstup: hodota W v jedotkách m.s - Hodotu W spočítáme sado pomocí vzorce (9) W(r, θ, V(r, θ, + Φ(r, θ), kde V spočítáme podle () a Φ podle (6). Výpočet poruchového poteciálu Vstup: souřadice ϕ, h v systému Výstup: hodota v jedotkách m.s - Poruchový poteciál se spočítáme podle vztahu (10) (ϕ, W(ϕ, - U(ϕ,, kde hodotu W(ϕ, určíme podle () a U(ϕ, podle (5). Poruchový poteciál můžeme rověž vyjádřit ve formě řady N max E a (11) ( r, θ, + ( θ,, a r r kde
(1) ( θ, ( C ( θ, 0 + J ( C cos mλ + S si mλ ) m 0 ) P (si θ ) + P pro liché ( C cos mλ + S si mλ ) P (si θ ) pro sudé m 1 (si θ ) Výpočet tíhové aomálie Δg Vstup: souřadice ϕ, h v systému Výstup: hodota Δg v jedotkách mgal (1 mgal 10-5 ms - ) Opět ejprve trasformujeme geodetické souřadice do sférických a hodotu Δg vyjadřuje vzorec Nmax a (13) Δ g( r, θ, ( 1) ( θ, r r Výsledek je uté vyásobit kostatou k10 5, abychom dostali výsledek v mgal. Výpočet radiálí derivace tíhového zrychleí g r Vstup: souřadice ϕ, h v systému Výstup: hodota g r v jedotkách mgal a km (fyzikálí rozměr s - ) Hodotu g r rozložíme a dvě složky g γ Δg (14) g r + r h r Dílčí složky radiálí derivace spočítáme pomocí vztahů γ γ e aϖ (15) (1 + f + m f si θ), m, h a γ e kdeγ e je velikost ormálího zrychleí a elipsoidu, kterou spočítáme podle (19) a f jeho zploštěí. Druhou složku spočítáme podle vzorce Nmax Δg a (16) ( )( 1) ( θ, 3 + r r r Následě vyásobíme řešeí kostatou k10 8, abychom dostali výsledek v požadovaých jedotkách. Výpočet výškové aomálie ζ Vstup: souřadice ϕ, h v systému Výstup: hodota ζ v jedotkách m Výškovou aomálii určíme ze vztahu (17) ζ γ Výpočet velikosti vektoru ormálího zrychleí γ Vstup: souřadice ϕ, h v systému Výstup: hodota γ v jedotkách mgal (1 mgal 10-5 ms - )
(18) 3 γ γ 0) 1 (1 + f + m f si ϕ) h + h ), m a a bγ b aγ a 1+ si ϕ aγ b (19) γ 0) γ a 1 f si ϕ Kostaty a, b, f, γ a, γ b, ω jsou parametry zvoleého elipsoidu. Parametry elipsoidu jsou (podle [3]) a 6 378 137 m b 6 356 75, 314 m e 6,694 379 990 14. 10-3 f 1/98,57 3 563 ω 7 9 115. 10-11 rad s -1 3 986 004, 418. 10 8 m 3 s - γ a 9,780 35 3359 m s - γ b 9,83 184 9378 m s - aϖ γ e Parametry se pro růzé modely G, ale vždy jsou uvedey v jeho dokumetaci. Geerováí přidružeých Legedrerových fukcí P Klasický způsob geerováí přidružeých Legedrerových fukcí (viz apř. [1]) je založe a rekuretích formulích. S těmi je možé počítat modely do stupě a řádu 360, v ichž máme současý G. Nový E08 bude ovšem obsahovat koeficiety do stupě a řadu 160. Pro takto vysoký stupeň a řád již elze pomocí těchto jedoduchých rekuretích formulí přidružeé Legedrerovy fukce počítat. Vzhledem k důležitosti geerováí těchto fukcí je toto téma v současosti itezivě studováo. Jedím z úkolů a příští rok je volba optimálích algoritmů pro geerováí přidružeých Legedrerových fukcí. Výpočty z lokálích modelů Všechy výpočty z lokálích modelů se dělají pomocí iterpolace z předem připraveého rastru. Výhodou proti použití globálích modelů je vyšší rychlost výpočtu, vyšší prostorové rozlišeí lokálího modelu i jeho vyšší přesost. Nevýhodou ovšem je, že veličiy jsou vždy vztažey pouze k jedé ploše, a íž jsou spočítáy (topografie, geoid apod.). Z lokálího modelu lze pak iterpolovat hodoty opět pouze a této ploše. Většiu hodot počítaých z lokálích modelů tedy budeme určovat prostou iterpolací z předpočítaých rastrů. Některé hodoty však velmi silě závisí a výšce a uživatel musí svou přesou admořskou výšku pro výpočet zadat. Jedá se o velikosti vektoru tíhového zrychleí g a tíhovou aomálii Δg. Výpočet velikosti vektoru tíhového zrychleí g Vstup: souřadice ϕ, λ v systému, H admořská výška * (ormálí Moloděského) Výstup: hodota g v jedotkách m.s - Výpočet velikosti vektoru tíhového zrychleí a povrchu Země se bude počítat podle vzorce (0) g( ϕ, H ) Δg + A + A F( H ) + γ H ) * Výška H musí být výška a povrchu Země, tímto postupem elze iterpolovat hodoty ad zemským povrchem. Nelze ji ovšem brát z DM, protože velikost tíže velmi silě závisí a výšce a proto musí být spočtea přesě pro uživatelem zadaou admořskou výšku.
Hodota Δ g je ouguerova tíhová aomálie, která bude vyiterpolováa z předpočítaého rastru (výpočet je velmi áročý a elze jej provádět olie). A je gravitačí zrychleí geerovaé ouguerovou sférickou slupkou, která bude iterpolovaá z předpočítaého rastru. A je teréí korekce ve sférické aproximaci, která bude rověž iterpolovaá z předpočítaého rastru. Hodota F(H) je redukce ve volém vzduchu, která se spočítá podle vztahu (1) F(H) 0,3086h a γ H ) je velikost ormálího zrychleí, které spočteme podle vzorce (18). Výpočet tíhové aomálie Δg Vstup: souřadice ϕ, λ v systému, H admořská výška* (ormálí Moloděského) Výstup: hodota Δg v jedotkách m.s - Hodotu spočítáme podle vztahu () Δ g H ) g( ϕ, H ) γ H ) Hodotu g H ) spočítáme pomocí (0) a γ H ) podle (18). Výpočet ostatích parametrů počítaých z lokálích modelů Vstup: souřadice ϕ, λ v systému. Výstup: příčá složka tížicové odchylky η ve stupích meridiáová složka tížicové odchylky ξ ve stupích ouguerova aomálie Δ g v mgal teréí korekce A v mgal gravitačí zrychleí geerovaé ouguerovou sférickou slupkou A převýšeí kvazigeoidu ζ v m převýšeí geoidu N v m yto hodoty máme předpočítaé a uložeé ve formě rastru. Jedotlivé rastry jsou předpočítaé vždy vztažeé k ějaké výšce (ke geoidu, k topografii,...) a výsledek iterpolace je vždy vztaže k odpovídající výšce. Zadáváí výšky od uživatele zde tedy emá výzam. Iterpolace Hodoty z jedotlivých rastrů budeme iterpolovat pomocí bilieárí iterpolace z okolích buěk rastru (3) ( ϕ, λ ) f ( ϕ, λ ) f 1 1 1 ΔϕΔλ ΔϕΔλ λ λ ( ) ( ) f ( ϕ ϕ ϕ1 ϕ), f ϕ, λ1 f ϕ, λ λ1 λ ΔϕΔλ ΔϕΔλ kde ϕ i, λ i jsou souřadice okolích 4 buěk rastru, f(ϕ i, λ i ) hodoty těchto buěk rastru a Δ ϕ, Δλ prostorové rozlišeí rastru. Popis jedotlivých předpočítaých rastrů Rastry máme uložeé v textovém formátu a v databázi GIS GRASS, která ám umožňuje export do celé řady dalších formátu. Kokrétí formát rastrových dat pro aplikaci bude zvole až ve fázi programováí zalostího systému. Podrobý popis těchto rastrů a jejich vziku
zde ebude pro svůj rozsah uvádě, většiou jsou uvedey odkazy a čláky, ve kterých jsou data popsáa. Digitálí model teréu Digitálí model hustoty hori íhové zrychleí a povrchu Země Popis těchto rastrů je uvede v [6]. Příčá složka tížicové odchylky η Meridiáová složka tížicové odchylky ξ Převýšeí geoidu N yto rastry byly spočítáy v rámci řešeí gratu MŠM Řešeí přesých modelů geoidu a kvazigeoidu pro oblast středí Evropy P. Novákem. Jejich podrobý popis je uvede v [4]. eréí korekce A Výpočet teréí korekce pro území ČR je popsá v [5]. Gravitačí zrychleí geerovaé ouguerovou sférickou slupkou A eto jsme získali z rastru výšek pomocí jedoduchého vztahu (4) A (ϕ, 0,1119 H(ϕ, ouguerova aomálie Δ g Hodoty vygeerovaé a povrchu geoidu. Rastr ouguerových aomálii jsme spočítali z rastru pozemích tíhových dat ( g ) a z digitálího modelu teréu (H) podle zámého vztahu [3] (5) Δ g g( ϕ, A A + F( H ) γ H ) Referece [1] Heiskae, W. A., Moritz, H.: Physical geodesy. Freema ad Co., Sa Fracisco 1967. [] Cimbálík, M., Kostelecký, J.: Direct trasformatio betwee ERS-89 ad the Czech Cadastral System S-JSK. Report o the Symposium of the IAG Subcomm. for the EUREF held i Akara, 1996. Veroeff. der ayer. Kommissio fuer It. Erdmessug der ayer. Akad. der Wisseschafte, Heft No. 57, Mueche 1996, prited 1997, p. 35-330. ISSN 0340-7691, ISN 3 7696 960 4 [3] Hoffma-Wellehof,., Moritz, H.: Physical Geodesy. SprigerWieNewYork, Wie, 005. ISN 3-11-3584-1 [4] Novák, P.: Evaluatio of local gravity field parameters from high resolutio gravity ad elevatio data. Cotributios to Geophysics ad Geodesy 36: 1-33. 006. [5] Kadlec, M.: Výpočet topografických oprav tíhových dat pro určeí přesého regioálího modelu geoidu. (007) JUNIORSAV 007 - Sborík aotací, plé texty a CD, ISN 978-80-14-3337-3, Vysoké učeí techické v rě, Fakulta stavebí, ro [6] Kadlec, M., Kostelecký J. ml., Novák P.: Databáze pro výpočty parametrů tíhového pole Země pro středí Evropu. (007) Geodetický a kartografický obzor, č. 1/007.